 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 169-175 http://dx.doi.org/10.12677/pm.2013.33025 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) Central BMO Estimates for Commutators of Weighted Hardy Operators on Herz Type Spaces Shuli Gong1, Xianming Hou2,3, Zunwei Fu2 1College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 2Department of Mathematics, Linyi University, Linyi 3School of Mathematical Sciences, Shandong Normal University, Jinan Email: gongshuli123@163.com, houxianming37@163.com, zwfu@mail.bnu.edu.cn Received: Feb. 25th, 2013; revised: Mar. 12th, 2013; accepted: Mar. 21st, 2013 Copyright © 2013 Shuli Gong et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, we present sufficient conditions on weighted function which ensures the boundedness of commutators generated by weighted Hardy operators and central BMO functions on Herz spaces and Mor- rey-Herz spaces, respectively. Moreover, the corresponding results are extended to the case of k-th order. Keywords: Weighted Hardy Operator; Commutator; Central BMO Space; Herz Type Space 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 龚淑丽 1，侯宪明 2,3，傅尊伟 2 1湖南大学数学与计量经济学院，长沙 2临沂大学数学系，临沂 3山东师范大学数学科学学院，济南 Email: gongshuli123@163.com, houxianming37@163.com, zwfu@mail.bnu.edu.cn 收稿日期：2013 年2月25 日；修回日期：2013 年3月12 日；录用日期：2013 年3月21 日 摘 要：给出了一个关于权函数满足的充分条件，该条件使得加权 Hardy 算子与中心 BMO 函数生成的 交换子在 Herz 型空间中有界。进一步地，将所得结论推广到了k阶的情形。 关键词：加权 Hardy 算子；交换子；中心 BMO 空间；Herz 型空间 1. 引言 对于 上复值可测的函数 n f ，Carton-Lebrun 和Mosset[1]在1984 年给出了加权Hardy 算子U 的定义： ，x。其 中 1dUfftxt t 0 xn :0,1 0, 为权函数。显然，如果 1, 1n ，且 f 定义在 上， 则U 将退化为经典的Hardy 算子U： 0 1xdxft t x Uf 。在文献[1]中，Carton-Lebrun 和Mosset 还证明了 加权 Hardy 算子U 在 上的有界性。在一定意义下，得到了当 1 pn Lp 1n 时，U 与Hilbert 变换可 交换，当 时，U2n 与奇异积分算子可交换的结论。注意到U 的定义中 ，因此U n x 可视为U的一类高 维情形，关于高维Hardy 算子的最新结果，见[2]。值得一提的是当权函数 取特殊情形时，U 还可以退化为经 典的 n维Hardy 算子，见[3]。 算子U 的伴随算子为 Cesàro 平均，记为V ，其定义为 1 0d n Vfxf xtttt 。由该定义式易知当 Copyright © 2013 Hanspub 169  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 1 且 时，V 1n 将退化为如下经典的Cesàro 算子(也称为伴随 Hardy 算子)V： d, 0 d, 0 x x fy yx y Vf xfy yx y 。 容易验证当 p n fL， ，1 qn gLp ，11pq1 时，U 和V 满足 dd nn Ufxgxx fxVgxx ， 因此，U 和V 满足交换法则：UV VU 。 在文[4]中，肖推广了 Carton-Lebrun 和Mosset 的结论，指出加权 Hardy 算子U 在 p n L 1p 上有 界当且仅当 1 0d np ttt ， (1.1) 且 1 0d pn pnnp LL Ut tt。进一步，鉴于 p n L的对偶空间为 qn L，1p ，11pq1，文[4] 还得到了以下结论： p npn qnqn LL LL UV 。 此外，文[4]还指出加权 Hardy-Littlewood平均算子U 在 n BMO 上有界当且仅当 ，且 1 0dtt 1 0d nn BMO BMO Utt 。 并考虑到 的对偶空间为(见Fefferman[5])，进一步得到 1n H n BMO 11 1 0d nn nn BMO BMOHH UV tt， 反之亦然。 除了讨论算子U 的有界性以外，学者们近年来还对U 的交换子的有界性进行了研究。在文[6]中，傅等人 给出了U 的交换子 b U 的如下定义： : b UfbUfU bf ， (1.2) 其中 f 为 上的局部可积函数， n :0,1 0, 为权函数。显然，当 n bL 且 满足条件(1.1)时，交换子 b U 在 上是有界的。然而当 pn L 1p n MObB时，条件(1.1 )就不能保证 b U 在 p n L上的有界性。 文[6]通过利用 Hardy-Littlewood 极大算子代替Sharp极大算子的方法，建立了 b U 在 p n L上有界时权函数 满 足的充分必要条件。此后，文[7]将这一结论推广到了 qn O bCM且底空间位中心 Morrey 空间的情形，这里 为中心空间，其定义最初由Lu 和Yang 在文[8]中给出： nq OCM BMO 定义 1.1 对于1，及 中的函数q Loc L qn f ，如果 f 满足 1 0, 0, 0 1 sup d 0, q q q Br CMO Br R ffxf Br x ， 则称 f 属于中心 空间，其中 BMO qn CMO 0, 0, 1d 0, Br Br f fy y Br 。 Copyright © 2013 Hanspub 170  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 在以上结果的启发下，本文研究当 qn bCMO时，加权 Hardy算子的交换子 b U 在Herz 空间以及 Morrey- Herz 空间中的有界性，并进一步将所得结论推广到 k阶的情形。作为必要的铺垫。在引出主要结果之前先来回 顾一下相关空间的定义。为叙述方便，在下文中用 k 来表示集合 的特征函数，即 k Ck Ck ，这里 1 \ kkk CBB ， :2 nk k Bx x 且 。 k 首先来介绍一下 Herz 空间的定义。 定义 1.2[9] 设 ，1p ，1。 q 1) 齐次Herz 空间 , p n q K 定义为 , ,:\0: pn q pnq n qLoc K KfL f ， 其中 , 1 2 pn qn q p p kp k KL k ff 。 2) 非齐次 Herz 空间 , p n q K 定义为 , ,:: pn q pnq n qLoc K KfLf ， 其中 , 1 0 2 pn qn q p p kp k KL k ff 。 当或时，定义作适当修改。 p q 注记 1.1 由上述定义易于得到，对所有的1p 及 均有 0, 0, p npnp qq KKL n ，且 ,,pp nppnp qq K KLx dx 。 下面，再来介绍一下 Morrey-Herz 空间的定义。 定义 1.3[10] 设 ，1p ，1，且 q 0 。 1) 齐次 Morrey-Herz 空间 定义为 , ,n pq MK , , , ,:\0: n pq nqn pqLoc MK MKf Lf ， 其中 0 0 , 0 1 :sup22 pn qn q p kp kkp k MK L kk ff 。 2) 非齐次 Morrey-Herz 空间 定义为 , ,n pq MK , , , ,:: n pq nqn pqLoc MK MKf Lf ， 其中 0 0 , 0 1 0 :sup2 2 pn qn q p kp kkp k MK L kk ff ， 当或时，定义作适当修改。 pq Copyright © 2013 Hanspub 171  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 2. 主要结论 首先给出一个引理。 引理 2.1[11] 设 且1, ，则U n pq 为 , p n q K 上的有界算子当且仅当函数 满足 1 0d nq ttt ， (2.1) 而且当(2.1)成立时，U 的 , p n q K 范数满足 ,, 1 0d pp qq nq KK Ut tt。 下面给出本文的第一个主要结论，即交换子 b U 在Herz 空间中的有界性。 定理 2.1 对于， 12 1,qq21 111qqq，12 nq 及 qn bCMO，如果 11 1 0 2 log d nq ttt t ， 则b U 从1 1 , p q K 到2 2 , p q K 是有界的。 在上述定理的基础上，我们还可以得到如下的定理。 定理 2.2 对于， 12 1,qq21 111qqq，12 nq 及 qn bCMO，如果 11 111 0 2 log d nq ttt t ， 则b V 从1 1 , p q K 到2 2 , p q K 有界，这里 b V 为Cesàro 平均V 的交换子，其定义为 : b VfbVfV bf ， 且函数 与f 的定义与(1.2)中的一致。 由于定理 2.1 与定理2.2 的证明类似。不失一般性，本文只给出定理2.1 的证明。 证明：由 Minkowski 不等式得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 11 00 11 11 00 123 dd dd dd dd qk k k kkk k k qq qq bk B CC L qq qq tBB tB CC Ufbxbtxftxttxbxbftxttx bbtx ftxttxbbftxt tx III 。 因为 21 111qqq，由 Hölder 不等式得 1 1 11 1 11 10 1 ddd 1d2 2 k kk q qq k k q qq q B CC q qkn qkn q Bk CMO Bk L L k Ibxbx ftxttx bx bxUfCbUf B ， 因为 12 nq ，则对于1 I 有 221 1, 11 1 1 222 2 q p qq q pp p p kp kpkp pknpq kk CMO K LL kk k ICb UfCUfCUf ， 从而由引理 2.1 知 Copyright © 2013 Hanspub 172  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 11 1, 1, 1 1 1 0d p pq q nq K K UfCftt t 。 对于 2 I ，由 Minkowski 不等式和 Hölder 不等式 21 111qqq得 21 21 1 1 1 1 1 11 11 200 1 1 0 0 1 0 ddd dd 1 2ddd2 2dd k k kkk q k kk k qk qqq qqq tB tB CCC qqq qqq kn qkn q tB CMO tB CC k q qnq kn q CMO tC Ib txbftxxttb txbxftxxtt bx bxftxxttCbftxxtt tB Cbfxxt tt dd 2 m ， 对任意的，可以找到 ，使得 0, 1tm1 2 m t ，由 Minkowski 不等式知 1 11 1 211 1 1 2 1 02 20 2dd2 qq km km q qnq nq kn qkn qkm km LL xd I Cfxxt ttCfft tt 。 从而有 21 1 11 11 11 1 1 111 1, 1 1 1 1 21 0 11 11 1 00 11 0 22 d 22 22 d qq q q p q p p p kp kpnq pkm km LL kk pp p kpnpqkp npq pp km km LL kk mmnq K ICff ttt CfttCftt Cftt t C dt 11 1, 1 1/ 0d p q nq K ft tt 。 最后估计 3 I ，由 Minkowski 不等式有 2 2 2 2 2 2 1 2 2 11 1 1 1 30 1 1 0 1 2 2 0 1 2 22 2 2 00 dd dd dd dd kk k kk k i ikk k i jjj ik kk k k q q BtB C q q BtB C q q BtB C i qi q tB BB B C ij Ibbftxxtt ftxxbbt t ftxxbbt t f txxbbbbtt ， 由于 1 1 22 2 2 00 1d1 2q jj i j kk k k q ii q CMO j BB B B jj k bbCbyb yCbi B ， 所以有 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 32 0 1 2 2 0 1 1 0 d1 1 dlog 1 2dlo i qik i qik qk q q CMO C i q q CMO C i q q kn q CMO C d d gd I Cbf txxitt Cbf txxtt t Cbf txxtt t 。 Copyright © 2013 Hanspub 173  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 注意到 21 111qqq，上面最后一个不等式可由Hölder 不等式得到。类似于 2 I 的估计，我们有 11 21, 1 11 30 2 2l p q pnq kpp K k ogd I Cf ttt t 。 综上所述，若 11 1 0 2 log d nq ttt t ， 那么 b U 从1 1 , p q K 到2 2 , p q K 是有界的，证毕。 基于傅、陆在[12]中的结果，下面给出本文的第二个主要结论，即交换子b U 在Morrey-Herz 空间中的有界 性。 定理 2.3 对于， 12 1,qq21 111qqq，0 ，12 nq 及，如果 qn bCMO 11 1 0lo nq tt 2 g dt t，那么b U 从 n 1 1 , ,pq MK 到 2 2 , ,n pq MK 是有界的。 对应于定理 2.1 和定理 2.2 的情形，我们也可得到如下的定理： 定理 2.4 对于， 12 1,qq21 111qqq，0 ，12 nq 及，如果 qn bCMO 11 111 0lo q tt 2 g dt t，则 b V 从 1 1 , ,n pq MK 到 2 2 , ,n pq MK 是有界的。 同样不失一般性，这里只给出定理2.3 的证明。 证明：根据定理 2.1 的证明得到 0 02 , 22 ,20 0 011 11 0 1 1 1 1 0 sup22 2 sup22log d q pq qq p kp kkp bb k MK L kk p p k kkp nq km km LL kk Uf Uf ffttt t ， 由Minkowski 不等式有 0 011 ,1 2 ,20 0 011 1 0 111 1, ,1 1 1 1 0 1 1 0 1 2 sup22logd 2 sup2 2logd 2 22 logd q pq q q p p p kp kkp pnq b p km L MK kk p p kp kkppnq p kmL kk mmnq MK Ufftt t t ft tt t Cfttt t 11 1, ,1 1 1 0 0 2 log d q p nq MK Cftt t t 。 从而得到 11 , 1, 2 , ,12 1 0 2 log d qpq p nq b MK MK UCtt t t ， 定理证毕。 3. 高阶交换子 在上一小节的基础上，本节将所得结论进一步推广到高阶交换子的情形中。首先，定义加权Hardy 算子的 高阶交换子U b为 1 01 d, kn jj j Ufxb xbtxftxttx b ， Copyright © 2013 Hanspub 174  龚淑丽 等 加权 Hardy 算子交换子在 Herz 型空间中的中心 BMO 估计 Copyright © 2013 Hanspub 175 其中为正整数，为一个 k维向量。不难验证，当 0k 12 ,,, k bb bb0k 时，UU b；当 时， 1kb UU b。 类似地，定义加权 Cesàro平均的高阶交换子V b为 1 01 d, kn jj j Vfxb xtb xfxtttx b ,sqq1, 2,,ik 。 将上一节中的结论推广到k阶交换子的情形中，可得到如下两个定理： ，21 1 111 k i i qq s 及12 1 1 k i i ns ，如 定理 3.1 对于 ，1,， i sn i bCMO12i 果 11 1 0 2 log d k t nq tt t p p ，那么U b1,2, 从1 q K 到2 q K 是有界的。 定理 3.2 对于 ，1,， i sn i bCMO ,sqq 1, 2,,ik 12i，21 1 11 1 k i i qq s 及12 1 1 k i i ns ，如 果 11 111 0 2 log d k t nq tt t p p ，那么V b1,2, 从1 q K 到2 q K 是有界的。 同上，我们可得到定理2.3 和定理2.4的高阶交换子的形式，这里不再给出定理的具体内容。另外，本节中 定理的证明可完全遵循上节中相关定理的证明过程得到，在此不再赘述。 4. 致谢 作者对审稿人提出的修改意见表示衷心的感谢! 本文受到国家 自然科学基金资助项目(10901076， 11271175)。 参考文献 (References) [1] C. 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