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●How to Cite this Article
Pure Mathematics
理论数学
, 2013
,
3
, 188-194
http://dx.doi.org/10.12677/pm
.201
3.33028
Published Online
May
2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm
.html
)
Generalized
′
ϕ
ϕ
-Expansion Method and the Traveling
Wave Solutions of the STO Equation
Yuanyua n
H
an
,
Desheng
Li, Ting Huang
School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang
Email
:
yuanyuan010529@163.com
Received: Feb.
21
st
, 2013; revised:
Mar
.
7
th
, 2013; accepted:
Mar.
19
th
, 201
3
Copyright
© 2013
Yuanyuan Han
et al
. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which
permits unrestricted use, distribution, an
d reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
:
T
his
paper
is
about to discuss the method which is
based on the generaliz
ed
ϕ
ϕ
′
-
expansion method,
and explain how to
d etermine
ϕ
by
the equation itself
without considering
the auxiliary equation
to make
sure
the solution
s
of the equation
.
This paper discusses the
Shar ma
-Tasso-
O lver
(STO)
equation and obtains
the traveling wave solutions
and trigonometric function solution
s
of the STO equation
.
Keywords:
Generalized
ϕ
ϕ
′
-
Expansion Method;
Traveling Wave Solution
;
Trigonometric Functions Sol
u
tion
扩展的
′
ϕ
ϕ
-
展开法及
Sharma-Tasso-
Olver
方程的行波解
韩园媛,李德生,黄
婷
沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳
Email
:
yuanyuan
010529@163.com
收稿日期:
2013
年
2
月
21
日;修回日期:
2013
年
3
月
7
日;录用日期:
2013
年
3
月
19
日
摘
要:
本文在原有扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法基础之上,不考虑
ϕ
满足的辅助方程,只利用方程本身来确定
ϕ
,
进而确定方程的解。文章讨论求解了
Sharma
-Tasso-
Olver (ST O)
方程,获得了
STO
方程的行波解和三角
函数解。
关键词:
扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法;行波解;三角函数解
1.
引言
由于非线性偏微分方程的解对于解释物理学、生物学等领域出现的各种现象具有积极的意义,因此非线性
偏微分方程的求解受到了大家的广泛关注,求解方法也层出不穷,如
Darboux
变换
[1]
、
Bäcklund
变换 法
[2
-4]
、辅
助方程法
[5]
、
Hirota
双线性方法
[6]
、对称法
[7]
等。
Copyright © 2013 Hanspub
188
韩园媛
等
|
扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
王明亮等人于
2008
年在文献
[8]
中提出了
G
G
′
(
即本文所说的
ϕ
ϕ
′
)-
展开法,大量的文章利用这一方法求解非线
性偏微分方程,并对其进行了推广
[9-15]
。最近,文献
[16]
的作者对这一方法进行了另一种推广,但是仍然借助了
辅助方程,本文在此基础上,去掉辅助方程这一条件,只利用方程本身进行求解,并利用该方法讨论研究了
STO
方程,获得了该方程的精确解。
本文分为四个部分,第一部分 为引 言;第二部分 详细描述 了扩 展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法的步骤;第三部利用这 一 方
法讨论研究了
STO
方程,获得了该方程的行波解和三角函数解;第四部分阐述文章的结论。
2.
扩展的
′
ϕ
ϕ
-
展开法
利用扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法求解非线性偏微分方程分为以下几个步骤:
1)
通过平衡方程的最高阶非线性项和最高阶导数项,确定正整数
n
;
2)
假设方程具有如下形式的解
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
112 2112 2
0
1
112 2112 2
,0
ij ij
n
ij ij
ki jki jk
uA AA
ϕξ ϕξϕξ ϕξ
ϕξ ϕξϕξ ϕξ
= +=+=
′′ ′′
=+≠
∑∑ ∑
,
(1 )
其中
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2 222
kx ct l
ξ
= ++
,
( )
( )
( )
11 11
11 1
d
d
ϕξ ϕξ
ϕξ ξ
′
=
,
(
)
(
)
( )
22 22
22 2
d
d
ϕξ ϕξ
ϕξ ξ
′
=
,
012 1 212
,,,, ,,,
ij
A Akk ccll
为任意常数。将
(1)
式代入方程中,由于
12
ij
ϕϕ
−−
(
)
0,1,2,;0,1,2,
ij
= =
是线性无关的,因
此令
12
ij
ϕϕ
−−
的系数等于零,得到关于
( )()
01122
,,,
ij
AA
ϕξ ϕξ
的常微分方程组;
3)
求解前一步获得的常微分方程组,确定
( )
(
)
0112 2
,, ,
ij
AA
ϕξ ϕξ
;
4)
利用前一步的结果以及
(1)
式,即可得到方程的精确解。
3.
扩展的
′
ϕ
ϕ
-
展开法对
STO
方程的应用
考虑
Shar ma
-Tasso-
Olve r
(STO)
方程
( )
22
3
30
2
t xxxx
xx
u uuuu
ααα
+ ++=
,
(2)
其中
α
是任意实常数。
平衡方程
(2)
的最高阶非线性项与最高阶导数项可得
1
n
=
,因此设方程
(2)
具有如下形式的解
( )
( )
( )
( )
112 2
01 2
112 2
uA AA
ϕξ ϕξ
ϕξ ϕξ
′′
=++
,
(3)
其中
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2 222
kx ct l
ξ
= ++
,
01212 1 212
,,,,, ,,,
A AAkkccll
为任意常数,将
(3)
式代入方程
(2)
中 ,令
12
ij
ϕϕ
−−
的系数等于零,可以得到关于
012
,,
AAA
以及
( )()
1122
,
ϕξ ϕξ
的常微分方程组,求解一部分方程并整理其余的方
程可得到下面的结果和方程
0
Aa
=
,
11
Ak
=
,
22
Ak
=
,
2 23
11111111
33 0
ca kakk
ϕαϕαϕαϕ
′′′′ ′′′
++ +=
,
(4)
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扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
2 23
22222 222
33 0
ca kakk
ϕαϕαϕαϕ
′′′′ ′′′
++ +=
,
(5)
11212 212
20
k ak
ϕϕϕϕ ϕϕ
′′′′ ′′ ′′
++=
,
(6)
其中
a
为任意常数。
方程
(4)
的特征方程为
(
)
22 32
11 11
33 0
ca kakk
λαα λαλ
+++=
,
记方程
( )
22 32
11 11
33 0
ca kakk
ααλαλ
++ +=
的判别式和根分别为
224 3
11 11
34
a kck
αα
∆=− −
,
2
11
11
3
1
3
2
ak
k
α
λ
α
− +∆
=
,
2
11
12
3
1
3
2
ak
k
α
λ
α
− −∆
=
,
同理,对于方程
(5)
的特征方程中的判别式和特征根记为
224 3
22 22
34
ak ck
αα
∆=− −
,
2
22
21
3
2
3
2
ak
k
α
λ
α
− +∆
=
,
2
22
22
3
2
3
2
ak
k
α
λ
α
− −∆
=
。
12
,
∆∆
的符号决定了方程
(4)
和方程
(5)
的解的形式,进而决定了方程
(2)
的解的形式,按解的形式不同,可以
分为以下三种情况:
情况一
1
2
0,
0,
∆>
∆>
1)
显然
()( )
11 1
11 1
e
M bt
λξ
ϕξ
= +
,
(7)
()( )
21 2
22 2
e
N bt
λξ
ϕξ
= +
,
(8)
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,其中
,
MN
是任意常数,
(
)
( )
12
,
bt bt
是
t
的任意函数。将其代入方程
(6)
1 11221
20
ak k
λλ
++ =
,
(9)
事实上,
(9)
式为
1212
,, ,,,
kk cc a
α
满足的方程,为了书写方便,我们用
(9)
式表示。将
(7)
、
(8)
式代入
(3)
式,并利用
(9)
式,可得方程
(2)
的行波解
1 111122121
111 10220
tanh tanh
2222
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
= +++
,
(10)
其中
( )
10
1
1
ln
2
M
bt
ξ
=
,
( )
20
2
1
ln
2
N
bt
ξ
=
,
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2 222
kx ct l
ξ
= ++
,
1212
,, ,,,
kk cc a
α
满足
(9)
式。
2)
显然
()( )
11 1
11 1
e
M bt
λξ
ϕξ
= +
,
(11)
()( )
22 2
22 2
e
N bt
λξ
ϕξ
= +
,
(12)
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扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,由
(11)
、
(1 2)
式可以得到方程
(2)
的行波解为
1 111122222
121 10220
tanh tanh
222 2
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
= +++
,
(13)
其中
( )
10
1
1
ln
2
M
bt
ξ
=
,
( )
20
2
1
ln
2
N
bt
ξ
=
,
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2 222
kx ct l
ξ
= ++
,
1212
,, ,,,
kk cc a
α
满足如下方程
1 11222
20
ak k
λλ
++ =
(14 )
3)
显然
()( )
12 1
11 1
e
M bt
λξ
ϕξ
= +
,
(15)
()( )
22 1
22 2
e
N bt
λξ
ϕξ
= +
,
(16)
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,由
(15)
、
(1 6)
式可以得到方程
(2)
的行波解为
1 121222222
131 10220
tanh tanh
2222
kk
u
λλ λλ
ξξ ξξ
= +++
( 17)
其中
(
)
10
1
1
ln
2
M
bt
ξ
=
,
(
)
20
2
1
ln
2
N
bt
ξ
=
,
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2 222
kx ct l
ξ
= ++
,
1212
,, ,,,
kk cc a
α
满足如下方程
1 12222
20
akk
λλ
++ =
。
(18)
情况二
1
2
0,
0,
∆>
∆<
1)
显然
()( )
11 1
11 1
e
M bt
λξ
ϕξ
= +
,
(19)
( )
( )
22
33
22
22
221222 2
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ϕξξ ξ
αα
−−
−∆ −∆
=++
,
(2 0)
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,其中
12
,,
MN N
为任意常数,
( )( )
12
,
bt bt
是
t
的任意函数,将其代入
(6)
式,并
考虑
224 3
22 22
34
ak ck
αα
∆=− −
可得
2
22
3
c ak
α
= −
,
(21 )
将
(19)
~
(21)
式代入
(3 )
式可得方程
(2)
的精确解
1 111 11112
211 102
2
tanh
22 2
kk
ua k
λλ λϕ
ξξ
ϕ
′
=+++ +⋅
,
(2 2)
其中
( )
10
1
1
ln
2
M
bt
ξ
=
,
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2
2 222
3
kxakt l
ξα
=−+
。
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扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
2)
显然
()( )
12 1
11 1
e
M bt
λξ
ϕξ
= +
,
(23)
( )
(
)
22
33
22
22
221222 2
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ϕξξ ξ
αα
−−
−∆ −∆
=++
,
(24)
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,由
(23)
、
(2 4)
式可以得到方程
(2)
的解为
1 121 12122
221 102
2
tanh
22 2
kk
ua k
λλ λϕ
ξξ
ϕ
′
=+++ +⋅
,
(25)
其中
( )
10
1
1
ln
2
M
bt
ξ
=
,
1 111
kx ct l
ξ
= ++
,
2
2 222
3
kxakt l
ξα
=−+
。
情况三
1
2
0,
0,
∆<
∆<
显然
( )
11
11
33
11
22
1 11211
33
11
e cose sin
22
aa
kk
MM bt
kk
ξξ
ϕξ ξ
αα
−−
−∆ −∆
=++
,
(26)
( )
22
22
33
22
22
212222
33
22
e cose sin
22
aa
kk
NN bt
kk
ξξ
ϕξ ξ
αα
−−
−∆ −∆
=++
,
(27)
分别为方程
(4)
和方程
(5)
的解,其中
1 212
, ,,
MM NN
为任意常数,
( )( )
12
,
bt b t
为
t
的任意函数,将其代入
(6)
式有
1112212 2
0
AM NBM NCMNDMN
−++− =
,
(28 )
1112212 2
0
BMNAMNDM NCM N
−− ++=
,
(29)
1112212 2
0
CMNDMNAM NBM N
−+− +=
,
(30 )
11122122
0
DM NCM NBMNAMN
+++ =
,
( 31)
其中
2
12
24 24
12
12
3
6
8
a
Aa
kk
kk
αα
∆∆
= ++
,
2
2
1
3 24
12 1
15
8
Ba
kk k
αα
−∆
∆
= +
,
1
2
2
3 24
12 2
15
8
Ca
kk k
αα
−∆
∆
= +
,
12
233
12
a
D
kk
α
∆∆
=
。
因此方程
(2)
的精确解为
12
312
12
u akk
ϕϕ
ϕϕ
′′
=+⋅+⋅
,
(32)
其中
12
,
ϕϕ
分别为
(26)
、
(27)
式,
1212
,, ,,,
kk cc a
α
,
1 212
, ,,
MM NN
满足
(28)
~
(31)
式。
事实上,根据
12
,
∆∆
的符号不同进行组合,一共有
9
种情况,但是
1
2
0,
0,
∆>
∆=
1
2
0,
0,
∆>
∆=
1
2
0,
0,
∆=
∆>
以及
1
2
0,
0,
∆=
∆=
获
得的解的形式与情况一中解的形式相同,
1
2
0,
0,
∆<
∆>
1
2
0,
0,
∆=
∆<
以及
1
2
0,
0,
∆<
∆=
获得的解的形式与情况二中解的形式相
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扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
同,这里不再赘述。
4.
结论
实际上,解
11 1213
,,
uuu
是方程
(2)
的双孤子解,由于
11 12
,
λλ
异号,
21 22
,
λλ
异号,使得表达式中
t
的系数不同,
即波速不同,所以
11 1213
,,
uuu
是三个不同的双孤子解;同理,
21 22
,
uu
是两个不同的复合形式解,这种复合形式的
解由双曲正切函数和三角函数组成;
3
u
是包含多个任意参数的三角函数解。本文获得的解中都包含多个任意参
数,若将参数选为某特殊值,将
会得到文献
[16]
中的部分解。
在解
11
u
中,选取
0
a
=
,
11
kF
=
,
22
kF
=
,
13
lF
=
,
24
lF
=
,
( )
32
111 1
4
cF
αλ µ
=−−
,
( )
32
222 2
4
cF
αλ µ
=−−
,
( )
1
10
12
1
ln arctan
2
M
M
bt M
ξ
= =
,
( )
1
20
22
1
ln arctan
2
N
N
btN
ξ
= =
,
(33)
并利用
(9)
式,则
(10 )
式变为
2222
111 1122222
111 10220
44 44
tanh tanh
222 2
FF
u
λµ λµλµλµ
ξξ ξξ
−− −−
= +++
,
()()
22 22
111 122 2
11 3
43 4
4
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ
−+ −
=−+
,
1
10
2
arctan
M
M
ξ
=
,
() ()
22 22
222 2111
22 4
43 4
4
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ
−+ −
=−+
,
1
20
2
arctan
N
N
ξ
=
,
(34)
(34)
式
即为文献
[16]
中的
(13)
式。
在解
3
u
中,选取
0
a
=
,
11
kF
=
,
22
kF
=
,
13
lF
=
,
24
lF
=
,
(
)
32
11 1
1
4
4
F
c
αλ µ
−
= −
,
( )
32
22 2
2
4
4
F
c
αλ µ
−
= −
,
交换
12
,
MM
的位置,
12
,
NN
的位置,并利用
(28)
~
(31)
式,则
(32)
式变为
( )
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
11 11
1121
2
1 11
3
22
11 11
1 121
22
22 22
122 2
2
2 22
2
22
1
44
cos sin
22
4
2
44
sin cos
22
44
cos sin
22
4
2
4
sin
MM
F
u
MM
NN
F
N
λµ λµ
ξξ
λµ
λµ λµ
ξξ
λµ λµ
ξξ
λµ
λµ
−− −−
−
−−
=⋅
−− −−
+
−− −−
−
−−
+⋅
−−
( )
2
22
22 2
4
cos
22
N
λµ
ξξ
−−
+
,
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193
韩园媛
等
|
扩展的
ϕ
ϕ
′
-
展开法及
Sharma-
Tasso-
Olver
方程的行波解
()()
22 22
111 122 2
11 3
434
16
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ
−+ −
=−+
,
() ()
22 22
222 2111
22 4
43 4
16
FFF t
Fx F
α λµλµ
ξ
−+ −
=−+
,
(35)
(35)
式即为文献
[16]
中的
(14)
式。
利用本文的方法可以获得很多非线性偏微分方程的双孤子解、三角函数解,且都是行波解,能否利用该方
法得到非行波解还是一个有待解决的问题,有兴趣的读者可以做进一步的研究。
参考文献
(References)
[1]
Y
.
S.
Li,
W
.
X.
Ma
and
J.
E.
Zhang. Darboux tran
sformation of classical Boussinesq system and its new solutions.
Physics Letters A,
2000,
275
(1)
:
60
-
66.
[2]
屠规彰
. Boussinesq
方程的
Bäcklund
变换与守恒律
[J].
应用数学学报
,
1981,
4(1):
63
-
68.
[3]
E
. G.
Fan. Auto-
Bäcklund transformation and similarity reductions for general variable coefficient KdV equations.
Physic Letters A, 2002,
294
(1)
:
26
-
30.
[4]
H.
A. Zedan. Exact solutions for the generalized KdV equation by using Bäcklund tra
nsformations.
Journal of the Franklin Institute,
2011,
348
(8)
:
1751
-
1768.
[5]
套格图桑
,
斯仁道尔吉
.
辅助方程构造
(2
+
1)
维
Hybrid-Lattice
系统和离散的
mKdV
方程的精确解
[J].
物理学报
,
2002,
56(2):
627
-
636.
[6]
H. W.
T am,
W
.
X.
Ma,
X
.
B. Hu
, et
al.
The
hirota-satsuma c
oupled KdV
e
quation and a
coupled
Ito
s
ystem
r
evisited. Journal of the
Phys
ical
Society of Japan
,
2000,
69
(1)
:
45
-
52
.
[7]
C
.
Z.
Qu. Allowed transformation and symmetry classes of variable coefficient Burgers equation.
IMA
Journal of Applied Mathematics
,
1995,
54
(3)
:
203
-
225.
[8]
M
.
L.
Wang,
X
.
Z.
Li
and J
.
L.
Zhang. The
( )
GG
′
-
expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in m
a-
the
matical physics. Physics Letters A,
2008,
372:
417
-
423.
[9]
S.
Zhang, J
.-L.
Tong
and W.
Wang. A generalized
(
)
GG
′
-
expansion method for the mKdV equation with variable coefficients.
Physics
Let
ters A,
2008, 372:
2254
-
2257
.
[10]
J.
Zhang, X. L.
Wei
and Y
.
J. Lu. A generalized
(
)
GG
′
-
expansion method and its applications. Physics Letters A,
2008,
372:
3653
-
3658.
[11]
S.
Zhang, W
.
Wang
and J.-L.
Tong. A generalized
( )
GG
′
-
expansion method and its application to the (2
+
1)
-
dimensional Broer
-
Kaup equa-
tions. Applied Mathematics and Computation,
2009,
209:
399
-
404.
[12]
K. A. Gepreel. A generalized
( )
GG
′
-
expansion method to find the traveling wave solutions of nonlinear evolution equations. Journal of
Partial Differential Equations,
2011,
24
(1
):
55
-
69.
[13]
B.
Tang, Y
.
N. Wei and S
.
L.
Wang. Variable
-
coefficient disc
rete
( )
GG
′
-
expansion method for nonlinear differential
-
difference equations.
Physics Letters A,
2011,
375:
3355
-
3361.
[14]
A.
Bansal, R
.
K.Gupta. Modified
( )
GG
′
-
expansion method for finding exact wave solutions of the
coupled Klein
-
Gordon
-
Schrödinger equ
a-
tion. Mathematical Methods in the Applied Sciences,
2012,
35(10):
1175
-
1187.
[15]
X
.
H.
Liu,
W
.
G.
Zhang
and Z
. M.
Li. Application of Improved
( )
GG
′
-
Expansion Method for the Complex
KDV
Equation.
Advan
ced
Sci
ence Letters,
2012,
7:
586
-
588.
[16]
J
.
C.
Chen, B
.
Li. Multiple
( )
GG
′
-
expansion method and its applications to nonlinear evolution equations in mathematical physics. Pra
mana
-
Journal of
Physics,
2012,
78
(3
):
375
-
388.
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194