Modern Physics 现代物理, 2013, 3, 68-72 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2013.32013 Published Online May 2013 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) Quantum Evolution Strategy of Hawk-Dove Game Aiwen Kuang, Shidong Liang* State Key Laboratory of Optoelectronic Material and Technology, Guangdong Province Key Laboratory of Display Material and Technology, School of Physics and Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou Email: *stslsd@mail.sysu.edu.cn Received: Apr. 6th, 2013; revised: Apr. 27th, 2013; accepted: May 6th, 2013 Copyright © 2013 Aiwen Kuang, Shidong Liang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: We introduce the basic concepts of quantum strategy and quantum evolution stable strategy and use them to analyze the Hawk-Dove game. We find that quantum strategy can realize the Pareto equilibrium by Dove-Dove strategy and the Hawk-Hawk strategy is not only a Nash equilibrium, but also a quantum evolution stable strategy when the re- source gain is larger than the loss in the Hawk-Dove game. Keywords: Quantum Game; Quantum Evolution Strategy; Hawk-Dove Game 鹰鸽博弈中量子演化策略 邝艾文,梁世东* 中山大学物理科学与工程技术学院,广东省显示材料与技术重点实验室,光电材料与技术国家重点实验室,广州 Email: *stslsd@mail.sysu.edu.cn 收稿日期:2013 年4月6日;修回日期:2013年4月27 日;录用日期:2013 年5月6日 摘 要:本文介绍量子博弈和量子演化博弈的基本概念,并分析鹰鸽博弈的量子策略和量子演化稳定策略。量 子策略可以得到鹰鸽博弈的Pareto 均衡,我们发现在资源利益比损失多情况下,鹰鹰策略不仅是 Nash 均衡还是 量子演化稳定策略。 关键词:量子博弈;量子演化策略;鹰鸽博弈 1. 引言 用量子策略找到了囚徒困境模型的 Pareto 解,这为博 弈论翻开新的一页[5,6] 。量子策略的概念被 Azhar Iqbal 和A. H. Toor 等人进一步推广到量子的演化稳定策略 (QESS),给出囚徒困境模型的一些特殊量子演化稳定 解[7,8] ,杜江峄等人分析了量子纠缠对QESS 策略的影 响,并利用 NMR 技术实现了囚徒困境模型量子策略 [8]。 博弈论是研究一群参与者在一定的规则下从竞 争和冲突中如何找到最佳策略的理论[1]。它被广泛应 用到经济学和生态学,成为现代经济学和生态学的理 论基础。均衡是博弈学的核心概念,J. Nash应用 Kakutani 稳定点定理证明了 n人非合作博弈存在均衡 解(Nash 均衡)奠定了博弈论和现代经济学的基础[2]。 Fisher 和Maynard Smith提出了演化稳定策略(ESS)的 概念把博弈理论推广到演化生物学和生态学[2-4] 。最 近 Meyer 和J. Eisert等人提出了量子策略的概念,并利 事实上,量子演化稳定策略的研究才刚刚开始, 还有许多问题有待研究。鹰鸽博弈模型是一种典型的 双方利益冲突的博弈模型,对于对称的鹰鸽博弈模 型,如果战争获取的资源比战争带来的损失大,双方 战争策略(H, H)是Nash均衡,尽管双方和平(D, D)是 *通讯作者。 Copyright © 2013 Hanspub 68 鹰鸽博弈中量子演化策略 最佳策略,即Pareto均衡。如果采用量子策略,能否 在量子策略空间找到Pareto均衡解?Nash均衡是不是 量子演化稳定策略?本文将基于量子策略的框架下, 讨论鹰鸽博弈的量子策略,并分析鹰鸽博弈策略的量 子演化稳定性。 2. 鹰鸽博弈及其量子策略 鹰鸽博弈模型是一种典型的2人2策略对称博弈 模型,它的收益矩阵可以表示为 Bob ,, 22 Alice (0, ), 22 HD vcvc Hv vv v D 0 (1) 其中H和D为两种经典纯策略,分别表示好战鹰策略H 和炫耀(和平)鸽策略D,收益矩阵中的v > 0表示获胜后 获取的资源,c > 0表示战争受伤或损失。对于0 < v < c,即资源少于战争的损失时,纯策略(D, D)是Nash均 衡,也是Pareto均衡。对于v > c,纯策略(H, H)是Nash 均衡,但不是Pareto均衡,(D, D)才是Pareto均衡。也 就是说,如果资源比战争的损失大,双方都会采用鹰 策略H,因为如果使用鹰策略对鸽策略或相反亦即(H, D)或者(D, H),鸽策略的那方就会损失惨重,而鹰策 略的一方就会获得最大的利益。但双方采用(D, D)比双 方采用(H, H)带来更大的利益,(因为v/2 > (v − c)/2)。 量子策略可以看成是一种混合策略,对于2人2策 略博弈量子策略可以表示为2参数的SU(2)矩阵[6], cos sin 22 , sin cos 22 i i e U e (2) 其中 0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ φ ≤ π/2。量子策略的收益可以表示 为[6] $22 $22 ADD HHHD B DDHH DH vvc PPv vvc PPv P P (3) 根据 EWL 量子博弈理论[6], ''| | AB PJUUJ DD, 其中 σ = H或者 D,它表示在(UA, UB)策略下在(σ, σ') 通道中的联合几率。 exp 2JiDD 是量子纠缠 算符,γ = 0 表示没有纠缠,γ = π/2表示最大纠缠,其 中 01 ,0 10 DU 。 博弈的初态为量子态 00 11 DD 。 对一般的量子策略(U(θ, φ),U(θ, φ)),我们得到, 22 22 2 22222222 2 22 2 coscos1 sinsin 22 sinsinsinsin() coscos 222 2 1 cossincoscossinsinsinsincossin sinsincossin 222 22 cos sincos 22 AB DDA B ABA B HHA B ABA B D HAAB AB BA HD P P P P AB 222222 1 cossinsinsinsincossin sinsincossin 222 BA B BA ABB A (4) 对于没有纠缠的量子策略,γ = 0,AB双方的收益分别表示为 2222 22 2222 22 $cos cossin sinsin cos 22 22222 $cos cossin sinsin cos 22 22222 ABAB AB A ABAB B B vvc v vvc v 2 2 A (5) Copyright © 2013 Hanspub 69 鹰鸽博弈中量子演化策略 可以看出在没有纠缠时,双方的收益都与φ无关, 图1给出AB双方的量子策略空间中的收益函数。 可以看出如果AB方分别采用(θA, θB) = (π, 0),A方 获得的收益v,而B方收益为0,即相当于(H, D)策略, 如果AB方分别采用相反的策略(θA, θB) = (0, π),则A方 收益为0,B方为v,相当于(D, H)策略。可见,双方采 用不同的量子策略无法达到均衡。 如果双方都采用相同的策略,θA = θB = θ,那么, 双方的收益可以简化为, 4 , $si 22 2 AB vc 可以看出,当 θ = π,, $2 AB vc 这是Nash均衡,对应经典策略(H, H),当 θ = 0,, $2 AB v , 这是Pareto均衡,对应经典策略(D, D)也就是说量子策 略可以实现Pareto均衡。图2给出整个非纠缠量子策略 空间中的双方收益函数。可以看出在不同的c/v下,量 子策略当θ足够小提供了许多接近Pareto均衡的策略。 当考虑纠缠的量子策略,γ ≠ 0,双方采用相同的 策略,他们的收益可以表示为, n (6) 2 4222 2 , 22 22222222 $cos1sinsin2sinsincossin 2 222 22 1 cossincoscossinsin cossinsinsin sin2sin 2222 4 AB vvc v (7) Figure 1. The payoff of non-entangled quantum strategies 图1. 无纠缠量子策略的收益 Figure 2. The payoffs for the same quantum strategies 图2. 相同量子策略的收益 Copyright © 2013 Hanspub 70 鹰鸽博弈中量子演化策略 对给定的c/v = 0.5和θA = θB = π/2,我们在图3和图 4给出量子纠缠策略空间中双方的收益。其中图3给出 收益与纠缠度和φ的关系,图4给出收益与纠缠度和θ 的关系。我们可以看出在给定的φ或者θ,纠缠度的增 加对收益并没有帮助,反而使收益减少。 3. 量子演化策略 为了推广博弈均衡的概念来解释达尔文的自然 选择理论,Maynard Smith和G. R. Price提出了演化 稳定策略的概念,演化稳定策略x,对每一个变异的 策略 y ≠ x,存在一个足够小的正势垒ε > 0,使得收益 函数满足,则 $,1$,1 x xy yxy (5) 可以证明这个不等式等价于[2,3],对 B yS (B的 Figure 3. The relationship between payoff, quantum entanglement and φ 图3. 收益与量子纠缠和φ的关系 Figure 4. The relationship between payoff, quantum entanglement and θ 图4. 收益与量子纠缠和θ的关系 策略空间), $, $, $,$, ,$,$, axxyx bxxyxxyy 如果 则 y (6) 其中a表示对于对称博弈,如果x是演化稳定策略,则 x也是Nash均衡,但一般来说Nash均衡不一定是演化 稳定策略。如果要求x是Nash均衡同时也是演化稳定 策略,则要满足(6)式中的b条件成立。 当0 < v < c,没有对称的纯策略的演化稳定策略 [4,7],可以证明混合策略σ* = (p*, 1 − p*),其中p* = v/c 是使用H的概率,σ*是演化稳定策略[4,7]。对于 v, 纯策略(H, H)是演化稳定策略[4,7]。它是不是在量子策 略下演化稳定?由于在非纠缠量子策略γ = 0下,收益 与φ无关,这样我们令x* = U*(θ) = U(π),和y = U(θ), (x*, x*)对应经典的(H, H)策略,我们对经典策略(H, H),考查非纠缠量子策略空间中的演化稳定条件(6), 我们得到 c 22 24 sin cossinsin 22 222 vc vcvc c 2 (7) 显然,在整个量子策略空间0 ≤ θ ≤ π和0 ≤ φ ≤ π/2,演化稳定条件(7)成立,也就是说,经典策略(H, H) 在非纠缠量子策略空间中是演化稳定的。同样方法, 我们考查了经典策略(H, H)在纠缠量子策略空间中的 稳定性,我们发现演化稳定条件并不能在整个量子空 间成立,也就是说(H, H)在纠缠的量子策略空间不是 演化稳定。 4. 结论与展望 我们讨论了鹰鸽博弈的量子策略和量子演化稳 定策略,我们发现非纠缠的量子策略θ = 0,可 以 给 出 鹰鸽博弈的 Pareto 均衡,(H, H)策略是非纠缠量子演 化稳定策略。量子策略空间提供了许多接近 Pareto 均 衡的量子策略。量子策略给博弈论提供了新的视角和 思路,量子演化稳定策略的分析给博弈均衡分析提供 了新的途径。当然,怎样理解量子策略在实际问题中 的应用仍然是量子博弈论有待解决的问题。毫无疑 问,量子策略和量子演化稳定策略在生态学和理解达 尔文的自然选择学说中扮演非常重要的角色。 5. 致谢 感谢中央高校基本科研业务费专项和光电材料 Copyright © 2013 Hanspub 71 鹰鸽博弈中量子演化策略 与技术国家重点实验室的资金资助。 参考文献 (References) [1] J. V. Neumann, O. Morgenstern. Theory of games and economic behaviour. Princetion University Press, 1953. [2] J. M. Smith. Evolution and the theory of games. Cambridge University Press, 1982. [3] J. M. Smith, G. R. Price. The logic of animal conflict. Nature, 1973, 246(5427): 15-18. [4] J. N. Webb. Game theory. Berlin: Springer, 2007. [5] D. A. Meyer. Quantum strategies. Physical Review Letters, 1999, 82(5): 1052-1055. [6] J. Eisert, M. Wilkins and M. Lewenstein. Quantum games and quantum strategies. Physical Review Letters, 1999, 83(15): 3077-3080. [7] A. Iqbal. Impact of entanglement on the game-theoretical con- cept of evolutionary stability, 2005. arXiv:quant-ph/0508152 [8] J. F. Du, H. Li, X. D. Xu, M. J. Shi, J. H. Wu, X. Y. Zhou and R. D. Han. Experimental realization of quantum games on a quan- tum computer. Physical Review Letters, 2002, 88: 137902. Copyright © 2013 Hanspub 72 |