ABSTRACT

According to the L_p mixed volume, Ludwig extended the notion of L_p-affine surface area. Recently, Wang and He extended the L_p dual affine surface area. More recently, Ma studied the i-th L_p affine surface area. In this paper, we introduce the concept of i-th L_p dual affine surface area and established some inequalities according to the Brunn-Minowski-Fiery.

Keywords:L_p Affine Surface Area, L_p Dual Affine Surface Area, i-th L_p Affine Surface area, Brunn-Minkowski-Firey Theory, i-th L_p Dual Affine Surface Area

i阶L_p对偶仿射表面积

张蕊^1*，马统一²

¹西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州

²河西学院数学与统计学院，甘肃 张掖

收稿日期：2018年1月8日；录用日期：2018年1月23日；发布日期：2018年1月31日

摘 要

Ludwig根据L_p混合体积的定义引进了L_p仿射表面积的概念，随后汪和何定义了L_p仿射对偶仿射表面积。近年，马统一引进了i阶L_p仿射表面积，本文介绍了的i阶L_p对偶仿射表面积的定义并且利用Brunn-Minowski-Fiery理论建立了几个不等式。

关键词 :L_p仿射表面积，L_p对偶仿射表面积，i阶L_p对偶表面积，Brunn-Minkowski-Firey理论，i阶L_p对偶仿射表面积

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1. 引言和主要结果

这篇文章的背景是 $n$ 维欧氏空间 ${ℝ}^n$ 。设 ${\mathcal{K}}^n$ 是 $n$ 维欧氏空间 ${ℝ}^n$ 中的凸体(有非空内点的紧凸集)的集合。用 ${\mathcal{K}}_o^n$ ， ${\mathcal{K}}_c^n$ 和 ${\mathcal{K}}_s^n$ 分别表示 ${ℝ}^n$ 中包含原点为内点的凸体集合，中心在原点的凸体集合和关于原点对称的凸体集合。用 $V_i\left(K\right)$ 表示的 $i$ 维体积凸体 $K$ 的 $i$ 维体积， ${\mathcal{S}}_o^n$ 表示 ${ℝ}^n$ 中的凸体(关于原点)，标准单位球 $B$ 的 $n$ 维体积用 ${\omega }_n$ 表示，并用 $S^{n-1}$ 表示 ${ℝ}^n$ 中的单位球面。

Leichtweiß ( [1] )给出仿射表面积的定义，若 $K\in {\mathcal{K}}^n$ ， $K$ 的仿射表面积 $\Omega \left(K\right)$ 被定义为：

$n^{-\frac{1}{n}}{\Omega }_p{\left(K\right)}^{\frac{n+1}{n}}=\inf \left\{n{V}_1\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{\frac{1}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$ (1.1)

Lutwak根据 $L_p$ 混合体积引进了 $L_p$ 仿射表面积( [2] )。若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ， $p\ge 1$ ， $K$ 的 $L_p$ 仿射表面积 $\Omega \left(K\right)$ 被定义为：

$n^{-\frac{p}{n}}{\Omega }_p{\left(K\right)}^{\frac{n+p}{n}}=\inf \left\{n{V}_p\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{\frac{p}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$ (1.2)

显然，当 $p=1$ ， ${\Omega }_p\left(K\right)$ 就是经典的仿射表面积。

2008年，根据 $L_p$ 混合体积的定义( [3] )，汪和何给出对偶仿射表面积的定义，若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ， $1\le p\le n$ ， $L_p$ 对偶仿射表面积 ${\tilde{\Omega }}_{-p}\left(K\right)$ 被定义为：

$n^{\frac{p}{n}}{\tilde{\Omega }}_{-p}{\left(K\right)}^{\frac{n-p}{n}}=\inf \left\{n{\tilde{V}}_{-p}\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{-\frac{p}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$ (1.3)

近年来，马统一( [4] )将 $L_p$ 仿射表面积 ${\Omega }_p\left(K\right)$ 引入到 $i$ 阶 $L_p$ 仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$ ，若

$K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$ ， $i$ 阶 $L_p$ 仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$ 被定义为：

$n^{-\frac{p}{n-i}}{\Omega }_p^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n+p-i}{n-i}}=\inf \left\{n{W}_{p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{\frac{p}{n-i}}:Q\in S_o^n\right\}$ (1.4)

随后，马统一和冯宜彬给出了 $i$ 阶 $L_p$ 仿射表面积的完整定义( [5] )。若 $p\ge 0,i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$ ，且 $K\in {\mathcal{F}}_{i,o}^n$ ，则 $i$ 阶 $L_p$ 仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$ 的定义如下：

${\tilde{\Omega }}_p^{\left(i\right)}\left(K\right)={\displaystyle {\int }_{S_{n-1}}{f}_{p,i}}{\left(K,u\right)}^{\frac{n-i}{n+p-i}}\text{d}S\left(u\right)$ (1.5)

令(1.5)中的 $i=0$ ， $i$ 阶 $L_p$ 对偶仿射表面积就是经典的 $L_p$ 仿射表面积( [6] )。

现在我们定义 $i$ 阶 $L_p$ 对偶仿射表面积。若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\},p\ge 1$ ，则 $i$ 阶 $L_p$ 对偶仿射表面积 ${\Omega }_{-p}^i\left(K\right)$ 的定义如下：

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}=\inf \left\{n{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{-\frac{p}{n-i}}:Q\in S_o^n\right\}$ (1.6)

定理1.1：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ ， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$ ，且 $p\ge 1$ ，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{W}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^p$ (1.7)

当 $i=0$ 时，等号成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体，当 $0<i<n-1$ 时，当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $n$ 维球。

定理1.2：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ ， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$ ，且 $p\ge 1$ ，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\left({\omega }_i{\omega }_{n-i}\right)}^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{W}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}$ (1.8)

当 $i=0$ 时，等号成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体，当 $0<i<n-1$ 时，当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $\left(n-i\right)$ 维球。

定理1.3：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ ， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$ ，且 $p\ge 1$ ，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\le n^2{W}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)$ (1.9)

当 $i=0$ 时，等号成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的椭球体，当 $0<i<n-1$ 时，当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的球。

定理1.1~1.3的证明在第三部分。

2. 预备知识

如果 $K\in {\mathcal{K}}^n$ ， $K$ 的支撑函数 $h_K=h\left(K,\cdot \right):{ℝ}^n\left(-\infty ,\infty \right)$ 被定义为( [7] [8] )

$h\left(K,x\right)=\max \left\{x\cdot y:y\in K\right\},x\in {ℝ}^n$ (2.1)

这里 $x\cdot y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的标准内积。

如果 如果 $K$ 是 ${ℝ}^n$ 中一个紧的星形(关于原点)，则 $K$ 的径向函数 ${\rho }_K=\rho \left(K,\cdot \right):{ℝ}^n\backslash \left[0,\infty \right)$ 被定义为( [7] [8] )：

$\rho \left(K,x\right)=\max \left\{\lambda >0:\lambda x\in K\right\},x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$ (2.2)

如果 ${\rho }_K$ 是正连续的函数，则称 $K$ 是一个星体(关于原点)。如果 $\rho \left(K,u\right)/\rho \left(L,u\right)$ 是与 $u\in S^{n-1}$ 无关的，则称星体 $K$ 和 $L$ 是互相膨胀的。

对于 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ， $K$ 的极体 $K^{\ast }$ 被定义为：( [7] [8] )

$K^{\ast }=\left\{x\in {ℝ}^n:x\cdot y\le 1,y\in K\right\}$ (2.3)

根据(2.3)，我们有 ${\left(K^{\ast }\right)}^{\ast }=K$ ，且

$h_{K^{\ast }}=\frac{1}{{\rho }_K}$ ， ${\rho }_{K^{\ast }}=\frac{1}{h_K}$ (2.4)

对于 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ 和它的极体 $K^{\ast }$ ，Blaschke-Santaló不等式( [6] )的证明如下：

引理2.1：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ ，则

$V\left(K\right)V\left(K^{\ast }\right)\le {\omega }_n^2$ (2.5)

等号成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体。

注意当 $K\in S_o^n$ ， $K$ 的体积 $V\left(K\right)$ 如下：

$V\left(K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$ (2.6)

这里 $S$ 是 $S^{n-1}$ 上Lebesgue测度。

如果 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ， $p>0,\lambda ,\mu \ge 0$ ，(不同时为零)， $K$ 和 $L$ 的 $L_p$ 线性组合 $\lambda \cdot K+{}_P\mu \cdot L\in S_o^n$ 被定义为( [2] )

$\rho {\left(\lambda \cdot K+p\mu \cdot L,\cdot \right)}^p=\lambda \rho {\left(K,\cdot \right)}^p=\mu \rho {\left(L,\cdot \right)}^p$ (2.7)

1996年，给出了 $L_p$ 对偶混合体积的概念( [2] )：如果 $K,L\in S_o^n$ ， $p\ge 1$ 且 $\epsilon >0$ ， $K$ 和 $L$ 的 $L_p$ 对偶混合体积被定义为：

$\frac{n}{-p}{\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{V\left(K+{}_{-p}\epsilon \cdot L\right)-V\left(K\right)}{\epsilon }$ (2.8)

由(2.2)和(2.3)，Haberl给出了 $L_p$ 对偶混合体积的完整表述：如果 $K,L\in S_o^n$ ，且 $p>0$ ，则

${\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^{n+p}\left(u\right){\rho }_L^{-p}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$ (2.9)

由(2.3)和(2.4)，我们可以得到对任意 $K\in S_o^n$ ，且 $p>0$ ，

${\tilde{V}}_{-p}\left(K,K\right)=V\left(K\right)$ (2.10)

$L_p$ 对偶混合均质积分的定义如下：如果 $K,L\in S_o^n$ ， $p\ge 1$ ， $\epsilon >0$ 且实数 $i\ne n$ ， $K$ 和 $L$ 的 $L_p$ 对偶混合均质积分 ${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)$ 被定义为( [9] )：

$\frac{n-i}{-p}{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{{\tilde{W}}_i\left(K+{}_{-p}\epsilon \cdot L\right)-{\tilde{W}}_i\left(K\right)}{\epsilon }$ (2.11)

若 $i=0$ ，则(2.11)就是经典的 $L_p$ 对偶混合体积，即 ${\tilde{W}}_{-p,0}\left(K,L\right)={\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)$ 。

根据(2.11)，王卫东和冷岗松给出了 $L_p$ 对偶混合均质积分的完整表述( [9] )：如果 $K,L\in S_o^n$ ， $p\ge 1$ 且实数 $i\ne n$ ， $n+p$ ，则

${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^{n+p-i}\left(u\right){\rho }_L^{-p}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$ (2.12)

结合(2.10)和(2.12)，若 $K\in {\mathcal{S}}_o^n$ ， $p\ge 1$ ，且 $i\ne n$ ， $n+p$ ，则：

${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,K\right)={\tilde{W}}_i\left(K\right)$ (2.13)

引理2.2：( [10] )如果 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，且 $0<i<n,i\in ℝ$ ，则

${\tilde{W}}_i\left(K\right)\le V{\left(K\right)}^{\frac{n-i}{n}}{\omega }_n^{\frac{i}{n}}$ (2.14)

等号成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $n$ 维椭球体。

引理2.2：( [10] )若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，且 $i\in \left\{1,\cdots ,n-1\right\}$ ，则

${\tilde{W}}_i\left(K\right)\le W_i\left(K\right)$ (2.15)

等号成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $n$ 维椭球体。

3. 定理1.1~1.3的证明

定理1.1的证明：根据定义 ${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right)$ ，可以得到如果 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$ ， $Q\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_{-p,i}{\left(K,Q^{\ast }\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{-p}$ 。

令 $Q=K^{\ast }$ ，则有

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{-p}$ (3.1)

结合Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2，可以得到：

$\begin{array}{c}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{-p}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\left({\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{-p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{-p}\right)\\ \le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\omega }_n^{\frac{-2ip}{n}}\left(V{\left(K\right)}^{-p}V{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{-(n-ip}{n}}\right)\\ \le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\end{array}$ 。

因此，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^p$ 。

由Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2中等号成立的条件可得，当 $i=0$ 时等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体。当 $0<i<n-1$ 时，等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $n$ 维椭球体。

定理1.2的证明：结合不等式(3.1)和Blaschke-Santaló不等式(2.5)，我们有

$\begin{array}{c}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\widetilde{W_i}{(}^{K^{\ast }}\\ =n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}{\left[{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right]}^{-p}\\ =n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}{\omega }_i^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{\left[V_{n-i}\left(K\right)V_{n-i}\left(K^{\ast }\right)\right]}^{-p}\\ \le n^{n-p-i}{\left({\omega }_i{\omega }_{n-i}\right)}^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{\omega }_n{}^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}\end{array}$ 。

在证明过程中我们很容易得到当 在证明过程中我们很容易得到当 $i=0$ 时，等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体。当 $0<i\le n-1$ 时，等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的 $\left(n-i\right)$ 维椭球体。

定理1.3的证明：由 ${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right)$ 定义可得

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$ 。

对任何 $Q\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，令 $Q=K^{\ast }$ ，我们有

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$ (3.2)

令 $K=K^{\ast }$ ，我们有

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$ (3.3)

结合(3.2)，(3.3)和引理，可以得到：

$\begin{array}{l}{\left({\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\\ \le n^{\frac{2\left(n-p-i\right)}{n-i}}{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right){\left({\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right)}^{{}^{\frac{-p}{n-i}}}\\ \le n^{\frac{2\left(n-p-i\right)}{n-i}}{\left({\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right)}^{{}^{\frac{n-p-i}{n-i}}}\end{array}$ 。

因此，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\le n^2{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)$ ，

根据引理2.3中等号成立的条件，可以得到当 $i=0$ 时，在不等式(1.9)中等号成立当且仅当 $K$ 是一个椭球体。当 $0<i\le n-1$ 时，等号在不等式(1.9)中成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的椭球体。

基金项目

国家自然科学基金资助(11561020, 11371224)。

文章引用

张 蕊,马统一. i阶L_p对偶仿射表面积
The i th L_p Dual Affine Surface Area[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 99-104. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81012

参考文献 (References)