场代数弱局部性与商空间的研究 On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space

doi:10.12677/PM.2019.99136

Pure Mathematics
Vol. 09 No. 09 ( 2019 ), Article ID: 33214 , 6 pages
10.12677/PM.2019.99136

On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space

Xiaopei Chen, Xiandong Wang

●How to Cite this Article

School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao Shandong

Received: Nov. 3^rd, 2019; accepted: Nov. 22^nd, 2019; published: Nov. 29^th, 2019

ABSTRACT

In this paper, we investigate the weak locality of a field algebra and give a concrete example which relates to weak locality and non-locality. The quotient space of a field algebra is obtained by its bilateral ideals. Finally, some theorems on the quotient space of a field algebra are explored.

Keywords:Field Algebra, Vertex Algebra, Weak Locality, Bilateral Ideals, Quotient Space

场代数弱局部性与商空间的研究

陈晓培，王宪栋

青岛大学数学与统计学院，山东青岛

收稿日期：2019年11月3日；录用日期：2019年11月22日；发布日期：2019年11月29日

摘要

本文对场代数的弱局部性进行了研究，给出了一个具体的例子，用于比较算子的弱局部性与非局部性。对场代数关于其双边理想做商得到商空间，并探究了场代数商空间的若干基本性质。

关键词 :场代数，顶点代数，弱局部性，双边理想，商空间

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1. 引言

场代数是顶点代数概念的“非局部性”推广。在顶点代数的定义中，局部性是一个基本的条件，把它换成较弱的结合性条件，将得到一个新的代数结构——场代数。由于场代数与顶点代数之间有着如此密切的联系，对场代数的研究将有助于更好的理解顶点代数及其相关领域。

在文献 [1] 中，作者系统讨论了态场对应、场代数的定义及初等性质，并且研究了场代数和顶点代数之间的关系，研究了态场对应的弱局部性和莱布尼兹共形代数上的张量代数等等。文献 [2] 研究了场代数的结合性，文献 [3] 和 [4] 分别引进了局部共形场代数和全场代数。本文将在上述文献给出的基本概念的基础上，探讨弱局部性与非局部性之间的关系，并给出具体实例加以说明。另外，本文对场代数的商空间也进行了描述，并讨论了一些基本性质。

本文假设所讨论的向量空间与各种代数结构都是指某个固定的域F上的，F可以是一般的域，必要时还可以假定它是复数域，从而保障线性变换特征值与特征向量的存在性。关于顶点代数的系统讨论，以及本文用到的一些术语与记号，参见文献 [5] [6] [7] [8] [9]。

设V是一个向量空间， $0 \neq | 0 〉 \in V$ ，若有线性映射：

$\begin{array}{l} Y : V \to g l f (V) = {a (z) = \sum_{n \in Z} a_{n} z^{- n - 1}; a_{n} \in E n d V, n \in Z} \\ a \to Y (a, z) \end{array}$

及自同态 $T \in E n d V$ ，使得下列条件成立：

1) 真空性 $Y (| 0 〉, z) = I_{V}$ ， $Y (a, z) | 0 〉 = a + T (a) z + \dots \in V 〚 z 〛$ ，其中 $I_{V} (\in E n d V)$ 是恒等变换；

2) 平移不变性 $[T, Y (a, z)] = Y (T a, z) = \partial_{z} Y (a, z)$ (称T是V上的平移算子)；

则称三元组 $(V, | 0 〉, Y)$ 是态场对应。

进一步，若态场对应 $(V, | 0 〉, Y)$ 满足结合性公理：对 $a, b, c \in V$ ，有

${(z - w)}^{N} Y (Y (a, z) b, - w) c = {(z - w)}^{N} i_{z, w} Y (a, z - w) Y (b, - w) c, N ≫ 0 ，$

则称三元组 $(V, | 0 〉, Y)$ 为场代数。

2. 预备知识

定义2.1 [1]：对 $a (z), b (z) \in g l f (V)$ ，若有正整数N，使得 $Re s_{z} (z - w) {}^{N}{[a (z), b (w)]} = 0$ ，则称二元对 $(a (z), b (z))$ 是N-弱局部的。若对充分大的N，总有 $Re s_{z} (z - w) {}^{N}{[a (z), b (w)]} = 0$ ，则称二元对 $(a (z), b (z))$ 是弱局部的。

定义2.2 [5]：(局部性)对 $a (z), b (z) \in g l f (V)$ ，若存在自然数 $N \in Ν$ ，使得下列等式成立：

${(z - w)}^{N} [Y (a, z), Y (b, w)] = 0 ，$

其中 $[Y (a, z), Y (b, w)] = \sum_{n, m \in Z} [a_{n}, b_{m}] z^{- n - 1} w^{- m - 1}$ ，则称 $(a (z), b (z))$ 是相互局部的。

定义2.3 [1]：设V是场代数，I是V的子空间，且 $T I \subset I$ 。若有 $a_{n} b \in I$ ， $\forall n \in Ζ, a \in V, b \in I$ ，则称I是V的一个左理想。如果有 $a_{n} b \in I$ ， $\forall n \in Ζ, b \in V, a \in I$ ，则称I是V的一个右理想。若I既是左理想又是右理想，则I是V的一个双边理想。

3. 主要结果及证明过程

设V是域F上的向量空间，定义V上的算子向量空间

$g l f (V) = {a (x) = \sum_{n \in Z} a_{n} x^{- n - 1} | a_{n} \in E n d V; \forall v \in V, a_{n} v = 0, n > > 0} ，$

其加法和数乘运算都是自然定义的。称 $g l f (V)$ 是向量空间V上的场空间，其中的元素 $a (x)$ 为V上的场或算子。定义 $g l f (V)$ 上的双线性n-运算如下：

$\begin{array}{l} n : g l f (V) \times g l f (V) \to g l f (V) \\ (a (x), b (x)) \to a {(x)}_{n} b (x) \end{array}$

$a {(x)}_{n} b (x) = Re s_{x_{1}} {{(x_{1} - x)}^{n} a (x_{1}) b (x) - {(- x + x_{1})}^{n} b (x) a (x_{1})}$

此时， $g l f (V)$ 是F上的非结合代数，其中的算子也称为是下方截断的，见文献 [1]。

引理3.1：定义算子 $a (z) \in E n d V 〚 z, z^{- 1} 〛$ ，使得 $a (z)$ 的系数 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N}$ 与 $b (z)$ 的任何系数可交换，则有 $Re s {(z - w)}^{N} [a (z), b (w)] = 0$ 。此时，算子 $(a (z), b (z))$ 是N-弱局部的。

进一步，若还有 $a_{N + j} = 0, j \geq 1$ ，则算子 $(a (z), b (z))$ 是弱局部的。

证明：设 $a (z) = \sum_{n \in Z} a_{n} z^{- n - 1}, b (z) = \sum_{m \in Z} b_{m} z^{- m - 1}$ ，其中 $a_{n}, b_{m} \in E n d V, \forall n, m \in Z$ 。根据引理的条件，有下列等式：

$\begin{matrix} Re s_{z} {(z - w)}^{N} [a (z), b (w)] = Re s_{z} [\sum_{i = 0}^{N} {(- 1)}^{i} z^{N - i} w^{i} \sum_{n, m \in Z} [a_{n}, b_{m}] z^{- n - 1} w^{- m - 1}] \\ = Re s_{z} [\sum_{i = 0}^{N} {(- 1)}^{i} \sum_{n, m \in Z} [a_{n}, b_{m}] z^{N - i - n - 1} w^{i - m - 1}] \\ = Re s_{z} [\sum_{i = 0}^{N} {(- 1)}^{i} \sum_{n, m \in Z} [a_{N + n - i}, b_{m + i}] z^{- n - 1} w^{- m - 1}] \\ = \sum_{i = 0}^{N} {(- 1)}^{i} \sum_{m \in Z} [a_{N - i}, b_{m + i}] w^{- m - 1} \\ = 0 \end{matrix}$

即，等式 $Re s_{z} {(z - w)}^{N} [a (z), b (w)] = 0$ 成立，算子 $(a (z), b (z))$ 是N-弱局部的。

定理3.2：设算子 $a (z)$ ， $b (z)$ 如上，且 $b (z)$ 是下方截断的。若有正整数 $N_{1}$ 使得 $b_{N_{1}} \neq 0, b_{N_{1} + j} = 0$ ， $\forall j = 1, 2, \dots$ ，且算子 $a (z)$ 满足条件：对任意的正整数 $N_{2}$ ，存在非负整数n，使得系数 $a_{N_{2} + n}$ 与 $b_{N_{1}}$ 不可交换，则 $(a (z), b (z))$ 不是局部的。

证明：对任意正整数 $N_{2}$ ，要证明 ${(z - w)}^{N_{2}} [a (z), b (w)] \neq 0$ 。根据前面的计算式，只要证明

$\sum_{i = 0}^{N_{2}} {(- 1)}^{i} [a_{N_{2} + n - i}, b_{m + i}] \neq 0, \exists n, m \in Z$

选取 $m = N_{1}$ ，上述不等式化简为 $[a_{N_{2} + n}, b_{N_{1}}] \neq 0$ 。再根据定理条件： $a_{N_{2} + n}$ 与 $b_{N_{1}}$ 不可交换，前面的不等式确实成立，从而算子 $(a (z), b (z))$ 不是局部的。

注记：上述定理中的 $a (z)$ 不具有下方截断性。若要求 $a (z)$ 满足下方截断性，可选取正整数 $K > N_{1}$ ，使得 $a_{K} \neq 0$ ，且 $a_{K + j} = 0, j \geq 1$ 。此时，对任意的正整数 $N_{2}$ 及整数k，满足： $0 \leq k \leq N_{2}$ ，使得 $a_{N_{2} + n - k} \neq 0$ ，且 $a_{N_{2} + n - k + j} = 0, j \geq 1$ ，这里 $n = k - N_{2} + K$ 。取 $b_{N_{1}}$ ，使它与 $a_{K}$ 不可交换。再令 $m = N_{1} - k$ ，则有下列式子：

$[a_{N_{2} + n - k}, b_{m + k}] = [a_{N_{2} + n - k}, b_{N_{1}}] \neq 0,$

从而有

$\sum_{i = 0}^{N_{2}} {(- 1)}^{i} [a_{N_{2} + n - i}, b_{m + i}] = [a_{N_{2} + n - k}, b_{m + k}] \neq 0.$

因此，算子 $(a (z), b (z))$ 不是局部的。

下面我们以二阶矩阵为例，给出一个具体的例子。

例3.3：1) 构造算子 $a (z)$ ：当 $s < 0$ 时， $a_{s}$ 为任意矩阵。当 $0 \leq s \leq N_{1}$ 时，令 $a_{s} = (\begin{matrix} b_{s} & 0 \\ 0 & b_{s} \end{matrix}), b_{s} \in F$ 。当 $N_{1} + 1 \leq s \leq K$ ，令 $a_{s} = (\begin{matrix} s & s \\ 0 & s \end{matrix})$ 。当 $s \geq K + 1$ ，令 $a_{s} = 0$ 。2) 构造算子 $b (z)$ ：当 $s < N_{1}$ 时， $b_{s}$ 为任意矩阵。当 $s = N_{1}$ 时， $b_{N_{1}} = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix})$ ， $b_{21} \neq 0$ 或者 $b_{12} \neq b_{22}$ 。当 $s > N_{1}$ 时， $b_{N_{1} + j} = 0, j \geq 1$ 。此时， $(\begin{matrix} s & s \\ 0 & s \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} s & s \\ 0 & s \end{matrix})$ 。因此， $(a (z), b (z))$ 是 $N_{1}$ -弱局部的，但是它们不是局部的。

讨论算子的弱局部性是为了构造场代数，而局部性的研究是顶点代数要面临的问题。下面的例子给出了一些说明，其详细讨论见文献 [1] 和文献 [8]。

例3.4：设子空间W是向量空间 $g l f (V)$ 的一个弱局部子空间，它包含恒等变换 $I (x) = I d_{V}$ ，且对n运算封闭，则 $(W, Y, I (x))$ 是一个态场对应。这里线性映射 $Y : W \to E n d W 〚 z, z^{- 1} 〛$ 定义如下：

$Y (a (x), z) = \sum_{n \in Z} a {(x)}_{n} z^{- n - 1},$

其中 $a {(x)}_{n} b (x)$ 定义如上。若 $(W, Y, I (x))$ 满足结合性公理，则它是场代数。若还满足弱局部性，则它是强场代数。

引理3.5：设 $(V, | 0 〉, Y)$ 是场代数，I是V的T不变的双边真理想，则 $(V / I, [| 0 〉], \tilde{Y})$ 也是一个场代数。相应的线性映射可以如下给出：

$\begin{array}{l} \tilde{Y} : V / I \to E n d (V / I) 〚 z, z^{- 1} 〛 \\ [u] \to Y ([u], z) = \sum_{n \in Ζ} {[u]}_{n} z^{- n - 1}, n \in Z, u \in V \end{array}$

证明：1) 合理性：商空间 $V / I$ 中的n运算定义为： ${[u]}_{n} [v] = [u_{n} v], \forall u, v \in V$ 。若 $[a] = [b]$ ， $[u] = [w]$ ，则 $a - b \in I, u - w \in I$ ，I是V的双边理想，必有 ${(a - b)}_{n} u \in I, b_{n} (u - w) \in I$ 。

$a_{n} u - b_{n} w = a_{n} u - b_{n} u + b_{n} u - b_{n} w = {(a - b)}_{n} u + b_{n} (u - w) \in I,$

于是， $[a_{n} u] = [b_{n} w]$ ，运算的定义是合理的。

2) 真空性： $Y ([| 0 〉], z) = I_{V / I}$ ， $Y ([a], z) | 0 〉 = [a] + T ([a]) z + \dots \in V / I 〚 z 〛$ ，其中 $I_{v} \in E n d V$ 是恒等变换。

3) 平移不变性： $[T, Y ([a], z)] = Y (T [a], z) = \partial_{z} Y ([a], z)$ ，T是 $V / I$ 上的平移算子。

4) 因为 $(V, | 0 〉, Y)$ 是场代数，对所有的 $a, b, c \in V$ ，有下列结合性等式：

${(z - w)}^{N} Y (Y (a, z) b, - w) c = {(z - w)}^{N} i_{z, w} Y (a, z - w) Y (b, - w) c, N ≫ 0$

${(z - w)}^{N} Y (\sum_{n \in Z} a_{n} b z^{- n - 1}, - w) c = {(z - w)}^{N} i_{z, w} \sum_{m \in Z} a_{m} {(z - w)}^{- m - 1} \sum_{k \in Z} b_{k} c {(- w)}^{- k - 1}$

将上式变形，得到下列等式：

${(z - w)}^{N} \sum_{s, n \in Z} {(a_{n} b)}_{s} c z^{- n - 1} {(- w)}^{- s - 1} = {(z - w)}^{N} i_{z, w} \sum_{m, k \in Z} a_{m} (b_{k} c) {(z - w)}^{- m - 1} {(- w)}^{- k - 1} .$

对商空间 $V / I$ 中的任意元素 $[a], [b], [c]$ ，必有

${(z - w)}^{N} \sum_{s, n \in Z} {({[a]}_{n} [b])}_{s} [c] z^{- n - 1} {(- w)}^{- s - 1} = {(z - w)}^{N} i_{z, w} \sum_{m, k \in Z} {[a]}_{m} ({[b]}_{k} [c]) {(z - w)}^{- m - 1} {(- w)}^{- k - 1}$

${(z - w)}^{N} Y (Y ([a], z) [b], - w) [c] = {(z - w)}^{N} i_{z, w} Y ([a], z - w) Y ([b], - w) [c], N ≫ 0$

故 $(V / I ， [| 0 〉], Y)$ 也是一个场代数。

可以按照通常的方式定义场代数的同态，并且同态的核是理想，同态的像是场代数。

引理3.6：场代数的同态基本定理：设 $f : V \to W$ 是场代数 $V, W$ 之间的同态，I是V的一个理想，并且 $I \subset \ker f$ ，则有唯一的场代数同态 $\tilde{f} : V / I \to W$ ，使得 $\tilde{f} π = f$ 。这里 $π : V \to V / I, a \to [a]$ 是典范同态，而 $\tilde{f} ([a]) = \tilde{f} π (a) = f (a), \forall a \in V$ 。

特别，若 $I = \ker f$ ，则 $\tilde{f}$ 是单射，此时 $\tilde{f} : V / I \to Im f$ 是同构。

证明：

1) 令 $\tilde{f} ([x]) = f (x), \forall x \in V$ 。映射 $\tilde{f}$ 定义合理：若 $[a_{1}] = [a_{2}]$ ，即 $a_{1} ~ a_{2}$ ， $a_{1} - a_{2} \in I \subset \ker f$ ，有

$f (a_{1} - a_{2}) = 0$ 。 $f (a_{1}) = f (a_{2})$ ， $\tilde{f} ([a_{1}]) = \tilde{f} ([a_{2}])$ 。

2) $\tilde{f}$ 是同态： $V / I \to W$ 。首先，它是向量空间的线性映。另外，它保持n运算：

$\tilde{f} ([| 0 〉]) = | 0 〉, \tilde{f} ({[a]}_{n} [b]) = f (a_{n} b) = f {(a)}_{n} f (b) = \tilde{f} {([a])}_{n} \tilde{f} ([b]) .$

3) 由 $\tilde{f}$ 的定义直接看出： $\tilde{f} π = f$ 。

4) 唯一性：若还有另外一个同态 $g : V / I \to W$ ，使得 $g π = f$ 。则 $(g π) (x) = f (x), \forall x \in V$ 。即 $g ([x]) = f (x), \forall [x] \in V / I$ 。由此可知， $g = \tilde{f}$ 。

5) $\tilde{f} : V / I \to Im f$ 是双射：由定义直接看出。因此， $\tilde{f} : V / I \to Im f$ 是场代数的同构映射。

引理3.7：设 $(V, | 0 〉, Y)$ 是场代数，I是V的真理想，则商代数 $V / I$ 的理想构成的集合B与V包含I的理想构成的集合A之间有一一对应。特别地， $V / I$ 的理想形如 $L / I$ ，这里L是V的包含I的理想。

证明：考虑典范态场对应同态 $π : V \to V / I, a \to [a]$ ，由此定义集合之间的映射

$σ : A \to B, L \to π (L) = L / I .$

1) $σ$ 是单射：设理想 $L_{1}, L_{2} \in A$ ，且 $L_{1} / I = L_{2} / I$ 。 $\forall a \in L_{1}$ ，必有。故存在，使得。于是，从而，同理可得，则。

2)是满射：设，令，现证。，。从而。，则，同理可证。因此，L是V的理想。另外，L是V的包含I的理想，即。最后由于典范映射是满射，必有，即是满射。

因此，是双射，引理结论成立。

引理3.8：设是场代数，其中I，J为场代数的两个双边真理想，且有理想的包含关系：，则有场代数之间的同构映射：。

证明：由双边理想的定义可以验证是的双边理想，利用同态基本定理可以验证引理的结论成立。

文章引用

陈晓培,王宪栋. 场代数弱局部性与商空间的研究
On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space[J]. 理论数学, 2019, 09(09): 1108-1113. https://doi.org/10.12677/PM.2019.99136

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