ABSTRACT

This paper studies a class of Painlevé difference equations of the form $w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=h\left(z\right)w^2\left(z\right)$ where $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ is a rational function, and proves the following conclusions: 1) if w has finitely many zeros and poles, then $\rho \left(w\right)\in \left\{1,2\right\}$ and $\begin{array}{l}\begin{array}{l}w\hfill \end{array}\hfill \end{array}=R{e}^{a_2{z}^2+a_{1}z+a_0}$ , where R is a rational function, and $a_0,a_1,a_2$ are constants such that either $a_1\ne 0$ or $a_2\ne 0$ ; 2) if w has infinitely many zeros or poles, then $\rho \left(w\right)\ge max\left\{\lambda \left(w\right),\lambda \left(1/w\right)\right\}\ge 1$.

Keywords:Difference Painlevé Equations, Growth, Poles, Zeros

一类差分潘勒韦方程亚纯解的性质

陈宝琴，李升^*

广东海洋大学，数学与计算机学院，广东 湛江

收稿日期：2018年6月23日；录用日期：2018年7月13日；发布日期：2018年7月20日

摘 要

本文研究了一类的形如 $$ 的差分潘勒韦方程，其中 $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 为有理函数，得到以下结论：1) 若w只有有限个零点和极点，则 $\rho \left(w\right)\in \left\{1,2\right\}$ 且 $\begin{array}{l}\begin{array}{l}w\hfill \end{array}\hfill \end{array}=R{e}^{a_2{z}^2+a_{1}z+a_0}$ ，其中R为有理函数， $a_0,a_1,a_2$ 为常数， $a_1,a_2$ 不同时为0；2) 若w有无穷多个零点或极点，则 $\rho \left(w\right)\ge max\left\{\lambda \left(w\right),\lambda \left(1/w\right)\right\}\ge 1$ 。

关键词 :差分潘勒韦方程，增长级，极点，零点

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1. 引言

在本文中，亚纯函数是指该函数在整个复平面上亚纯。在下文中，假定所有读者都熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论和潘勒韦方程理论及其基本记号 [1] [2] [3] 。特别地，对亚纯函数f，分别用 $N\left(r,f\right)$ ， $m\left(r,f\right)$ ， $T\left(r,f\right)$ ， $\lambda \left(r,f\right)$ ， $\lambda \left(r,1/f\right)$ ， $\rho \left(f\right)$ 和 ${\rho }_2\left(f\right)$ 表示f的极点计数函数，均值函数，特征函数，零点收敛指数，极点收敛指数，增长级和超级。如果g满足 $T\left(r,g\right)=o\left(T\left(r,f\right)\right)\left(r\to +\infty ,r\notin E\right)$ ，其中E为对数测度有限的集合，则称g为f的小函数。用 $S\left(f\right)$ 表示f的所有小函数之集。

微分潘勒韦方程是一类物理背景深厚、应用广泛的重要方程。人们开展相关的研究已有一百多年，并取得了极其丰富的成果。近十多年来，人们通过引入Nevanlinna理论深入研究复域差分、差分方程，并取得了一些优秀的成果 [4] - [11] 。这其中的奠基性工作由Halburd和Korhonen [12] 以及Chiang和Feng [13] 分别独立给出。事实上，他们的研究成果，促进了差分的Nevanlinna理论的建立以及差分潘勒韦方程的发展。另一项重要的工作是Halburd和Korhonen [5] ，以及Ronkainen [7] 对非线性差分方程的分类工作。他们给出了几类差分Riccati方程和差分潘勒韦方程 [5] [7] 。在此仅给出以下与本文密切相关的结果。

定理A [7] ：假设方程

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=R\left(z,f\right)$ (1)

有超级小于1的可容许解w，其中 $R\left(z,w\right)$ 关于z亚纯且为w的有理函数，则或者w满足差分Riccati方程

$w\left(z+1\right)=\frac{\alpha \left(z\right)w\left(z\right)+\beta \left(z\right)}{w\left(z\right)+\gamma \left(z\right)},$

其中 $\alpha \left(z\right),\beta \left(z\right),\gamma \left(z\right)\in S\left(w\right)$ 为代数体函数，或者方程(1)等价于以下形式之一：

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=\frac{\eta \left(z\right)w^2\left(z\right)-\lambda \left(z\right)w\left(z\right)+\mu \left(z\right)}{\left(w\left(z\right)-1\right)\left(w\left(z\right)-\nu \left(z\right)\right)},$ (2a)

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=\frac{\eta \left(z\right)w^2\left(z\right)-\lambda \left(z\right)w\left(z\right)}{w\left(z\right)-1},$ (2b)

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=\frac{\eta \left(z\right)\left(w\left(z\right)-\lambda \left(z\right)\right)}{w\left(z\right)-1},$ (2c)

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=h\left(z\right)w^m\left(z\right).$ (2d)

在(2a)中，系数满足

$\begin{array}{l}{\kappa }^2\left(z\right)\mu \left(z+1\right)\mu \left(z-1\right)={\mu }^2\left(z\right),\\ \lambda \left(z+1\right)\mu \left(z\right)=\kappa \left(z\right)\lambda \left(z-1\right)\mu \left(z+1\right),\\ \kappa \left(z\right)\lambda \left(z+2\right)\lambda \left(z-1\right)=\kappa \left(z-1\right)\lambda \left(z\right)\lambda \left(z+1\right),\end{array}$

和以下情况之一：1) $\eta \equiv 1,\nu \left(z+1\right)\nu \left(z-1\right)=1,\kappa \left(z\right)=\nu \left(z\right)$ ；2) $\eta \left(z+1\right)=\eta \left(z-1\right)=\nu \left(z\right),\kappa \equiv 1$ 。

在(2b)中，系数满足 $\eta \left(z\right)\eta \left(z+1\right)=1$ 和 $\lambda \left(z+2\right)\lambda \left(z-1\right)=\lambda \left(z\right)\lambda \left(z+1\right)$ 。

在(2c)中，系数满足

1) $\eta \equiv 1$ ，且 $\lambda \left(z\right)=\lambda \left(z+1\right)\lambda \left(z-1\right)$ 或 $\lambda \left(z+3\right)\lambda \left(z-3\right)=\lambda \left(z+2\right)\lambda \left(z-2\right)$ 成立；

2) $\lambda \left(z+1\right)\lambda \left(z-1\right)=\lambda \left(z+2\right)\lambda \left(z-2\right),\eta \left(z+1\right)\lambda \left(z+1\right)=\lambda \left(z+2\right)\eta \left(z-1\right),\eta \left(z\right)\eta \left(z-1\right)=\eta \left(z+2\right)\eta \left(z+3\right)$ ；

3) $\eta \left(z+2\right)\eta \left(z-2\right)=\eta \left(z\right)\eta \left(z-1\right),\lambda \left(z\right)=\eta \left(z-1\right)$ ；

4) $\lambda \left(z+3\right)\lambda \left(z-3\right)=\lambda \left(z+2\right)\lambda \left(z-2\right)\lambda \left(z\right),\eta \left(z\right)\lambda \left(z\right)=\eta \left(z+2\right)\eta \left(z-2\right)$ 。

在(2d)中， $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 且 $m\in \mathbb{Z},\left|m\right|\le 2$ 。

在定理A中，方程(2a)~(2d)均为第三类差分潘勒韦方程。蓝双婷和陈宗煊 [8] [9] ，张继龙和仪洪勋 [10] [11] 在一些特殊的系数条件下进行了研究，并得到一些很好的结果。本文考虑(2d)在 $m=2$ 且系数为有理函数的情况，即以下形式的第三类差分潘勒韦方程

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=h\left(z\right)w^2\left(z\right),$ (3)

其中， $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 为有理函数，得到了以下结果：

定理1：设w为方程(3)的有限级亚纯解，其中 $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 为有理函数，则以下结论成立：

1) 若w只有有限个零点和极点，则 $\rho \left(w\right)\in \left\{1,2\right\}$ 且 $\begin{array}{l}\begin{array}{l}w\hfill \end{array}\hfill \end{array}=R{\text{e}}^{a_2{z}^2+a_{1}z+a_0}$ ，其中R为有理函数， $\begin{array}{l}{a}_0\hfill \end{array},a_1,a_2$ 为常数， $a_1,a_2$ 不同时为0；

2) 若w有无穷多个零点或极点，则 $$ 。

注：方程(3)可能有级为无穷且超级为1的亚纯解；而在不考虑条件 $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 时，方程(3)可能既有超越亚纯函数解，又有有理函数解，例如方程

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=\frac{z^2-1}{z^2}{w}^2(z)$

的其中五个解为 ${\begin{array}{l}\begin{array}{l}w\hfill \end{array}\hfill \end{array}}_1=z{\text{e}}^{{\text{e}}^{2\text{π}iz}},w_2=z,w_3=z{\text{e}}^z,w_4=z\sin \left(2\text{π}z\right),w_5=z/\sin \left(2\text{π}z\right)$ 。这里 $w_2$ 是有理函数解，而

$\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_1\right)=+\infty ,\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_2\right)=\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_3\right)=\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_4\right)=\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_5\right)={\rho }_2\left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_1\right)=1;\lambda \left(1/w_4\right)=\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_4\right);\lambda \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_5\right)=\rho \left({\begin{array}{l}w\hfill \end{array}}_5\right).$

2. 引理

引理1 [14] ：假设 $f\left(z\right)$ 为有限级的亚纯函数，级为 $\rho \left(f\right)$ 。若在 $\begin{array}{l}z=0\hfill \end{array}$ 处，

$\begin{array}{l}f\left(z\right)=c_k{z}^k+c_{k+1}{z}^{k+1}+\cdots ,\hfill \end{array}{c}_k\ne 0,k\in \mathbb{Z},$

则

$f\left(z\right)=z^k{\text{e}}^{Q\left(z\right)}\frac{P_1\left(z\right)}{P_2\left(z\right)},$

其中 $P_1\left(z\right),P_2\left(z\right)$ 分别为 $f\left(z\right)$ 非零零点和极点的典型乘积， $Q_2\left(z\right)$ 为次数不超过 $\rho \left(f\right)$ 的多项式。

引理2：假设w为方程(3)的非常数亚纯解， $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ ，则w为超越亚纯函数。

证明：利用反证法，假设w为方程(1)的有理函数解，则w至少有一个零点或极点， $T\left(r,\begin{array}{l}\begin{array}{l}w\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right)=O\left(\log r\right)$ 。由 $h\left(z\right)\in S\left(w\right)$ 可知 $h\left(z\right)$ 为常数函数，且

$h\left(z\right)\equiv \underset{z\to \infty }{\lim }\frac{w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)}{w^2\left(z\right)}=1.$

这表明

$w\left(z+1\right)w\left(z-1\right)=w^2\left(z\right).$ (4)

为方便计，不妨设0为 $w\left(z\right)$ 的 $k_1\ge 1$ 阶零点(事实上，若为 $w\left(z\right)$ 的 $\begin{array}{l}{k}_1\hfill \end{array}$ 阶零点，则0为 $w_1\left(z\right)=w\left(z+z_1\right)$ 的k阶零点，若 $z_2$ 为 $w\left(z\right)$ 的 $k_1$ 阶零点，则0为 $w_1\left(z\right)=1/w\left(z+z_0\right)$ 的 $k_1$ 阶零点)。则由(4)可知， $w\left(1\right)w\left(-1\right)=w^2\left(0\right)$ 。下面分三种情况进行讨论。

情况1：−1为 $w\left(z\right)$ 的 $l_1\ge 1$ 阶零点。此时由 $w^2\left(-2\right)=w\left(-1\right)w\left(-3\right)$ ，可知：

子情况1.1：−2既不是 $w\left(z\right)$ 的零点也不是 $w\left(z\right)$ 的极点，则−3为 $w\left(z\right)$ 的 $l_1$ 阶极点。再由 $w^2\left(-3\right)=w\left(-2\right)w\left(-4\right)$ ，可知−4为 $w\left(z\right)$ 的 $2l_1$ 阶极点。依次类推， $-n\left(n=5,6,7,\cdots \right)$ 均为 $w\left(z\right)$ 的 $\left(n-2\right)l_1$ 阶极点，这表明w有无穷多个极点，与w为有理函数矛盾。

子情况1.2：−2为 $w\left(z\right)$ 的 $k_2\ge 1$ 阶零点，则

1) 当 $2k_2-l_1=0$ 时，−3既不是 $w\left(z\right)$ 的零点也不是 $w\left(z\right)$ 的极点，类似情况1可得类似的矛盾。

2) 当 $2k_2-l_1\le -1$ 时，−3为 $$ 的 $l_1-2k_2$ 阶极点。再由 $w^2\left(-3\right)=w\left(-2\right)w\left(-4\right)$ ，可知−4为 $w\left(z\right)$ 的 $2l_1-3k_2$ 阶极点。依次类推， $-n\left(n=5,6,7,\cdots \right)$ 均为 $w\left(z\right)$ 的 $\left(n-2\right)l_1-\left(n-1\right)k_2$ 阶极点，这表明w有无穷多个极点，与w为有理函数矛盾。

3) 当 $2k_2-l_1\ge 1$ 时，−3为 $w\left(z\right)$ 的 $2k_2-l_1$ 阶零点。再由 $w^2\left(-3\right)=w\left(-2\right)w\left(-4\right)$ ，由(1)和(2)中的讨论可知−4是 $w\left(z\right)$ 的极点且阶为 $3k_2-2l_1$ 。依此类推可得， $-n\left(n=5,6,7,\cdots \right)$ 均为 $w\left(z\right)$ 的 $\left(n-1\right)k_2-\left(n-2\right)l_1$ 阶零点。这表明w有无穷多个零点，与w为有理函数矛盾。

情况2：−1为 $w\left(z\right)$ 的 $l_1\ge 1$ 阶极点。类似子情况1.2中(2)的讨论可得类似的矛盾。

情况3：−1既不是 $w\left(z\right)$ 的零点也不是 $w\left(z\right)$ 的极点。类似子情况1.1可得类似的矛盾。

综上所述，引理2得证。

3. 定理1的证明

假设w为方程(1)的有限级非常数亚纯解，则由引理2可知，w为超越亚纯函数。再由引理1，可以将w记为

$w\left(z\right)=z^k{\text{e}}^{Q\left(z\right)}\frac{P_1\left(z\right)}{P_2\left(z\right)},$ (5)

其中 $P_1\left(z\right),P_2\left(z\right)$ 分别为w非零零点和极点的典型乘积， $Q\left(z\right)$ 为多项式且次数不超过w的级 $\rho \left(w\right)$ 。

情况1：w只有有限个零点和极点，此时 $P_1\left(z\right),P_2\left(z\right)$ 为多项式，从而 $Q\left(z\right)$ 为非常数多项式。将(5)代入(3)可得

$h\left(z\right)=\frac{{\left(z+1\right)}^k{\left(z-1\right)}^k}{z^{2k}}\frac{P_2^2\left(z\right)P_1\left(z+1\right)P_1\left(z-1\right)}{P_1{}^2\left(z\right)P_2\left(z+1\right)P_2\left(z-1\right)}{\text{e}}^{2Q\left(z\right)-Q\left(z+1\right)-Q\left(z-1\right)},$

即

${\text{e}}^{Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)}=\frac{{\left(z+1\right)}^k{\left(z-1\right)}^k}{z^{2k}h\left(z\right)}\frac{P_2^2\left(z\right)P_1\left(z+1\right)P_1\left(z-1\right)}{P_1{}^2\left(z\right)P_2\left(z+1\right)P_2\left(z-1\right)}.$ (6)

记

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}Q\left(z\right)\hfill \end{array}\hfill \end{array}=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0,$

其中 $a_n\ne 0,n\ge 1$ 。注意到(6)的右边是有理函数，故

$Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)=c.$ (7)

容易验证：

1) 当 $n=1$ 时， $Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)=0$ ；

2) 当 $n=2$ 时， $Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)=2C_2^{2-2}{a}_2{z}^{2-2}$ ；

3) 当 $n=3$ 时， $Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)=2\cdot \left(C_3^2{a}_3{z}^{3-2}+C_2^2{a}_2{z}^{2-2}\right)$ 。

由此再结合归纳法可得当 $n\ge 3$ 时，

$Q\left(z+1\right)+Q\left(z-1\right)-2Q\left(z\right)=2{\displaystyle \sum _{j=2}^n{C}_j^{j-2}}{a}_j{z}^{j-2}\triangleq b_{n-2}{z}^{n-2}+b_{n-3}{z}^{n-3}+\cdots +b_0,$

其中 $b_j=2C_j^{j-2}{a}_j,j=2,3,\cdots ,n$ 。要使得(7)成立，必有 $n\le 2$ 。这就得到

$Q\left(z\right)=a_2{z}^2+a_{1}z+a_0,$

其中 $\begin{array}{l}{a}_0\hfill \end{array},a_1,a_2$ 为常数， $a_1,a_2$ 不同时为0。

情况2：w有无穷多个零点或极点。不妨设w有无穷多个零点。注意到h为有理函数，至多有有限个零点和极点。故可以取到w的某个零点 $z_m$ 使得 $h\left(z_m+k\right)\ne 0,\infty ,\forall k\in \mathbb{Z}$ 。类似引理2的讨论，可以证明 $\begin{array}{l}{z}_k-k\hfill \end{array}\left(k=3,4,\cdots \right)$ 都是w零点(极点)。从而在圆 $\left\{z:\left|z\right|=r\le s+\left|z_m\right|\left(s=1,2,\cdots \right)\right\}$ 内至少有 $s-2$ 个零点(极点)，从而得到

$\lambda \left(r,w\right)=\underset{r\to +\infty }{\lim }\sup \frac{\log N\left(r,1/w\right)}{\log r}\ge \underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{\log \left(\left(s-2-k\right)\log s\right)}{\log \left(s+\left|z_m\right|\right)}=1,$

或

$\lambda \left(r,1/w\right)=\underset{r\to +\infty }{\lim }\sup \frac{\log N\left(r,w\right)}{\log r}\ge \underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{\log \left(\left(s-2-k\right)\log s\right)}{\log \left(s+\left|z_m\right|\right)}=1.$

也就是

$\rho \left(w\right)\ge \max \left\{\lambda \left(w\right),\lambda \left(1/w\right)\right\}\ge \text{1}\text{.}$

定理1证明完毕。

致谢

本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089)，广东自然科学基金项目(2015A030313620)，广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007，HDYQ2015006)，广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209)的资助。

文章引用

陈宝琴,李升. 一类差分潘勒韦方程亚纯解的性质
Properties of Meromorphic Solutions of a Class of Difference Painlevé Equations[J]. 应用数学进展, 2018, 07(07): 836-841. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77100

参考文献