ABSTRACT

In this paper, the p(x)-Kirchhoff problem with sign-changing weight functions is studied. Based on variational method and Nehari manifold, it is proved the existence and multiplicity of positive solutions of the problem.

Keywords:Positive Solution, Nehari Manifold, Variational Method, p(x)-Kirchhoff Equation

带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性

尚彬

浙江师范大学数学与计算机科学学院，浙江 金华

收稿日期：2020年4月5日；录用日期：2020年4月20日；发布日期：2020年4月27日

摘 要

本文研究带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程，主要运用变分方法与Nehari流形的分解证明其正解的存在性与多重性。

关键词 :正解，Nehari流形，变分法，p(x)-Kirchhoff方程

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1. 引言

本文考虑一类带有p(x)-Laplacian算子的Kirchhoff方程

$\{\begin{array}{l}-M\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x\right){\Delta }_{p\left(x\right)}u=\lambda f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)-2}u+g(x){\left|u\right|}^{h\left(x\right)-2}u,x\in \Omega ,\hfill \\ u=0,x\in \partial \Omega \hfill \end{array}$ (1)

正解的存在性与多重性，其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$，$N\ge 3$ 是光滑有界区域， ${\Delta }_{p\left(x\right)}=div\left({\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-2}\nabla u\right)$ 是p(x)- Laplacian算子，参数 $\lambda >0$，$p\left(x\right),q\left(x\right),h\left(x\right),s_1\left(x\right),s_2\left(x\right)\in C\left(\bar{\Omega }\right)$。

本文的方程满足如下条件：

(H₁) 对于 $k\ge 0$，$M\left(t\right)=a+b{t}^k$，$t\in \left[0,\infty \right)$。

(H₂) $f\left(x\right)\in L^{s_1\left(x\right)}\left(\Omega \right)$，$f\left(x\right)\cancel{\equiv }0$。

(H₃) $g\left(x\right)\in L^{s_2\left(x\right)}\left(\Omega \right)$，$g\left(x\right)\cancel{\equiv }0$。

(H₄) $1<q\left(x\right)<p\left(x\right)<h\left(x\right)\le N<\min \left(s_1\left(x\right),s_2\left(x\right)\right)$，其中 $x\in \bar{\Omega }$，

$1<p^{-}:=\underset{x\in \Omega }{\inf }p\left(x\right)\le p\left(x\right)\le p^{+}:=\underset{x\in \Omega }{\sup }p\left(x\right)$，

$1<q^{-}\le q^{+}<p^{-}\le p^{+}<p^{+}\left(k+1\right)<h^{-}\le h^{+}$。

对于Kirchhoff类型方程的研究一直是偏微分方程中的重要课题。Huang等在 [1] 中利用山路引理讨论了方程(1)在p(x)=p和权函数非负的情况下正解的存在性。当权函数f(x)，g(x)变号时， [2] [3] 中利用Nehari流形分解的方法得到了正解的存在性与多重性。对于带有变号权函数的p(x)-Laplacian方程正解的存在性与多重性结果可参见 [4] [5]。

本文的主要结果如下：

定理1.1：若假设(H₁)~(H₄)成立，则存在 ${\lambda }_1>0$，使得当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$ 时方程(1)存在至少两个正解。

2. 预备知识与变分框架

对 $p\left(x\right)\in C_{+}\left(\bar{\Omega }\right)$，变指数Lebesgue空间 $L^{p(\cdot )}\left(\Omega \right)$ 定义为：

$L^{p(\cdot )}\left(\Omega \right)=\left\{u|u是一个可测实函数，{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x<\infty }\right\},$

其范数定义为：

${\left|u\right|}_{p\left(x\right)}=\inf \left\{\lambda >0:{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\frac{u\left(x\right)}{\lambda }\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x\le 1}\right\}.$

记E为Sobolev空间 $W_0^{1,p\left(x\right)}\left(\Omega \right)$，其范数 ${\Vert u\Vert }_E={\left|\nabla u\right|}_{p(\cdot )}$，空间E是自反可分的Banach空间。

命题2.1 [6] 设 $p\left(x\right)$ 和 $q\left(x\right)$ 是可测函数使得对a.e. $x\in \Omega$ 有 $p\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 以及 $1\le p\left(x\right)q\left(x\right)\le \infty$，设 $u\in L^{q\left(x\right)}\left(\Omega \right)$，则有

${\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}\le 1\Rightarrow {\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}^{p^{+}}\le {\left|{\left|u\right|}^{p\left(x\right)}\right|}_{q\left(x\right)}\le {\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}^{p^{-}},$

${\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}\ge 1\Rightarrow {\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}^{p^{-}}\le {\left|{\left|u\right|}^{p\left(x\right)}\right|}_{q\left(x\right)}\le {\left|u\right|}_{p\left(x\right)q\left(x\right)}^{p^{+}}.$

命题2.2 [6] 若 $q\left(x\right)\in C_{+}\left(\bar{\Omega }\right)$，且 $q\left(x\right)<p^{\ast }\left(x\right)$，$\forall x\in \bar{\Omega }$，则 $W_0^{1,p\left(x\right)}\left(\Omega \right)\to L^{q\left(x\right)}\left(\Omega \right)$ 是紧嵌入且连续的。

根据假设条件(H₄)，易知对 $\forall x\in \bar{\Omega }$ 有 ${s^{\prime }}_1\left(x\right)q\left(x\right)<p^{\ast }\left(x\right)$ 以及 ${s^{\prime }}_2\left(x\right)h\left(x\right)<p^{\ast }\left(x\right)$ 其中 ${s^{\prime }}_1$ 与 ${s^{\prime }}_2$ 分别是 $s_1$ 与 $s_2$ 的共轭指数。因此 $E\to L^{{s^{\prime }}_1\left(x\right)q\left(x\right)}\left(\Omega \right)$ 和 $E\to L^{{s^{\prime }}_2\left(x\right)h\left(x\right)}\left(\Omega \right)$ 是紧嵌入且连续的。

由Hölder不等式及Sobolev嵌入可以得到，当 $u\in E$ 时下列不等式成立：

${\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}\text{d}x}\le 2{\left|f\right|}_{s_1\left(x\right)}{\left|{\left|u\right|}^{q\left(x\right)}\right|}_{{s^{\prime }}_1\left(x\right)}\le \max \left\{C_1{\Vert u\Vert }^{q^{+}},C_2{\Vert u\Vert }^{q^{-}}\right\},$ (2.1)

${\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}\text{d}x}\le 2{\left|g\right|}_{s_2\left(x\right)}{\left|{\left|u\right|}^{h\left(x\right)}\right|}_{{s^{\prime }}_2\left(x\right)}\le \max \left\{C_3{\Vert u\Vert }^{h^{+}},C_4{\Vert u\Vert }^{h^{-}}\right\}.$ (2.2)

定义2.3若对任意 $\phi \in E$，下列积分恒等式成立，则称 $u\in E$ 是方程(1)的弱解

$\begin{array}{l}a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-2}\nabla u\nabla \phi \text{d}x}+b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p(x)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-2}\nabla u\nabla \phi \text{d}x}\\ =\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)-2}u\phi \text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)-2}u\phi \text{d}x}}.\end{array}$

方程(1)的能量泛函 $J_{\lambda }:E\to {ℝ}^N$ 表示为

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(u\right)=a{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+\frac{b}{k+1}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^{k+1}}\\ -\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{f\left(x\right)}{q\left(x\right)}{\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}{\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x,\end{array}$ (2.3)

当 $\Vert u\Vert >1$ 时，有

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(u\right)\ge \frac{a}{p^{+}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+\frac{b}{{\left(p^{+}\right)}^{k+1}\left(k+1\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^{k+1}}\\ -\frac{\lambda }{q^{-}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x-\frac{1}{h^{-}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x\\ \ge \frac{a}{p^{+}}{\Vert u\Vert }^{p^{-}}+\frac{b}{{\left(p^{+}\right)}^{k+1}\left(k+1\right)}{\Vert u\Vert }^{p^{-}\left(k+1\right)}-\frac{\lambda }{q^{-}}{C}_1{\Vert u\Vert }^{q^{+}}-\frac{1}{h^{-}}{C}_3{\Vert u\Vert }^{h^{+}}.\end{array}$

根据假设(H₄)有 $q^{+}<p^{-}<p^{-}\left(k+1\right)<h^{+}$，由此可知 $J_{\lambda }$ 在空间E中不是下方有界的。因此，我们在下面的Nehari流形中考虑问题，其定义为

$N_{\lambda }=\left\{u\in E\backslash \left\{0\right\}:\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =0\right\}.$

显然，其中的点为 $J_{\lambda }$ 的临界点。若 $u\in N_{\lambda }$ 当且仅当

$\begin{array}{l}{I}_{\lambda }\left(u\right)=\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p(x)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\\ -\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x=0\end{array}$ (2.4)

对 $u\in N_{\lambda }$，有

$\begin{array}{l}\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =a{\displaystyle {\int }_{\Omega }p\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+kb{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^{k-1}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^2}\\ +b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }p\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)q\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right)h\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x.\end{array}$ (2.5)

将 $N_{\lambda }$ 分解为

$N_{\lambda }^{+}\left(\Omega \right)=\left\{u\in N_{\lambda }\left(\Omega \right):\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle >0\right\},$

$N_{\lambda }^{-}\left(\Omega \right)=\left\{u\in N_{\lambda }\left(\Omega \right):\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle <0\right\},$

$N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)=\left\{u\in N_{\lambda }\left(\Omega \right):\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =0\right\}.$

3. 预备引理

引理3.1 存在 ${\lambda }_1>0$，使得对 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$，$N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)=\varnothing$。

证明：假设 $N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)\ne \varnothing$，$\lambda >0$ 以及 $u\in N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)$ 使得 $\Vert u\Vert >1$。根据(2.1)，(2.2)，(2.4)以及假设(H₄)可以得到

$\begin{array}{l}0=\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle =a{{\displaystyle {\int }_{\Omega }p\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+kb{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^{k-1}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}}^2\\ +b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }p\left(x\right){\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right)q\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right)h\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x\\ \ge p^{-}a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}+p^{-}\left(k+1\right)b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-h^{+}{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x\\ -q^{+}\left[a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}+b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }g\left(x\right){\left|u\right|}^{h\left(x\right)}}\text{d}x\right]\\ \ge \left(p^{-}-q^{+}\right)a{\Vert u\Vert }^{p^{-}}+\frac{p^{-}\left(k+1\right)-q^{+}}{{\left(p^{+}\right)}^k}b{\Vert u\Vert }^{p^{-}\left(k+1\right)}+\left(q^{-}-h^{+}\right)C_3{\Vert u\Vert }^{h^{+}}\end{array}$

因此，

$\Vert u\Vert \ge C_5{\left(\frac{p^{-}-q^{+}}{h^{+}-q^{+}}\right)}^{\frac{1}{h^{+}-p^{-}}}$ (3.1)

同样的，

$\begin{array}{c}0=\langle {I^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right),u\rangle \\ \le p^{+}a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}+\left(k+1\right)p^{+}b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\lambda q^{-}{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x\\ -h^{-}\left[a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}+b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x\right]\\ \le \left(p^{\text{+}}-h^{-}\right)a{\Vert u\Vert }^{p^{-}}+\frac{p^{+}\left(k+1\right)-h^{-}}{{\left(p^{-}\right)}^k}b{\Vert u\Vert }^{p^{-}\left(k+1\right)}+\lambda \left(h^{-}-q^{-}\right)C_1{\Vert u\Vert }^{q^{+}}\end{array}$

因此，

$\Vert u\Vert \le C_6{\left[\lambda \frac{h^{-}-q^{-}}{h^{-}-\left(k+1\right)p^{+}}\right]}^{\frac{1}{p^{-}-q^{+}}}$ (3.2)

若 $\lambda$ 足够的小，例如

${\lambda }_1=\frac{h^{-}-p^{+}\left(k+1\right)}{h^{-}-q^{-}}{\left(\frac{1}{C_6}\right)}^{p^{-}-q^{+}}$

结合式(3.1)和(3.2)可知 $\Vert u\Vert \le 1$，与假设矛盾。因而可以得到当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$ 时 $N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)=\varnothing$。

由上面引理可知，当 $\lambda \in \left(0,{\lambda }_1\right)$ 时， $N_{\lambda }\left(\Omega \right)=N_{\lambda }^{+}\left(\Omega \right)\cup N_{\lambda }^{-}\left(\Omega \right)$。记

${\alpha }_{\lambda }^{+}=\underset{u\in N_{\lambda }^{+}\left(\Omega \right)}{\inf }{J}_{\lambda }\left(u\right)$，${\alpha }_{\lambda }^{-}=\underset{u\in N_{\lambda }^{-}\left(\Omega \right)}{\inf }{J}_{\lambda }\left(u\right)$。

引理3.2 泛函 $J_{\lambda }$ 在流形 $N_{\lambda }\left(\Omega \right)$ 上是强制和下方有界的。

证明：设 $u\in N_{\lambda }\left(\Omega \right)$，$\Vert u\Vert >1$。通过式(1.1)、(2.2)以及假设(H₄)可以得到

$\begin{array}{l}{J}_{\lambda }\left(u\right)\ge \frac{a}{p^{+}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x+\frac{b}{p^{+}\left(k+1\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q^{-}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x\\ -\frac{1}{h^{-}}\left[a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}+b{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\left(x\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}\right)}^k{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x\right){\left|u\right|}^{q\left(x\right)}}\text{d}x\right]\\ \ge \left(\frac{a}{p^{+}}-\frac{a}{h^{-}}\right){\Vert u\Vert }^{p^{-}}+\left[\frac{1}{p^{+}\left(k+1\right)}-\frac{1}{h^{-}}\right]\frac{b}{{\left(p^{+}\right)}^k}{\Vert u\Vert }^{p^{-}\left(k+1\right)}+C_1\lambda \left(\frac{1}{h^{-}}-\frac{1}{q^{-}}\right){\Vert u\Vert }^{q^{+}}\\ \ge \frac{h^{-}-p^{+}}{p^{+}{h}^{-}}a{\Vert u\Vert }^{p^{-}}+\frac{h^{-}-p^{+}\left(k+1\right)}{{\left(p^{+}\right)}^{k+1}\left(k+1\right)h^{-}}b{\Vert u\Vert }^{\left(k+1\right)p^{-}}-C_1\lambda \frac{h^{-}-q^{-}}{h^{-}{q}^{-}}{\Vert u\Vert }^{q^{+}}\end{array}$

根据假设(H₄)，可以得到 $\Vert u\Vert \to \infty$ 时， $J_{\lambda }\to \infty$。因此泛函 $J_{\lambda }$ 在流形 $N_{\lambda }\left(\Omega \right)$ 上是强制和下方有界的。

定理3.3 假设 $u_0$ 是 $J_{\lambda }$ 在流形 $N_{\lambda }\left(\Omega \right)$ 上的局部极小值或局部最大值，且 $u_0\notin N_{\lambda }^0\left(\Omega \right)$，则 $u_0$ 是 $J_{\lambda }$ 的临界点。

证明：若 $u_0$ 是 $J_{\lambda }$ 在流形 $N_{\lambda }\left(\Omega \right)$ 上的局部极值，由Lagrange乘数法可知，存在使得。因此，

由于，，而，。因此可得，即。

引理3.4 若，，则。

证明：由于，可以得到

(3.3)

我们将式(2.4) × ()后与式(3.3)相加，可得

因此

则有，

引理3.5 若，则在中存在极小值，且。

证明：由引理3.2可知在上是有界的，所以存在序列使得

由于是强制的，在空间E中是有界的，我们假设在E中，根据Sobolev嵌入可以得到

在中，

以及

在中，

接下来，我们证明在空间E中。假设在E中，则有

根据Sobolev紧嵌入，有

根据以及式(2.1)，

因此，

根据条件(H₄)，当时，

而引理3.4表明当时，由此得到矛盾。

所以在空间E中以及

因此，是在中的极小值。

引理3.6 若，，则。

证明：设，通过定义式(2.3)以及式(2.4)可得

若选择

则有。基于以及，通过引理3.4可知。

引理3.7 若，则在中存在极小值，且。

证明：由引理3.2可知在上是有界的，所以存在极小化序列使得

由于是强制的，在空间E中是有界的，假设在E中，根据Sobolev嵌入可以得到

在中，

以及

在中，

若，则存在常数使得以及。

根据式(2.5)，有

根据条件(H₄)，可以得到。因此根据的定义，知。

接下来，我们证明在空间E中。假设在E中，则有

可得

因此，是在中的极小值。

定理1.1的证明：通过引理3.4和引理3.6可知存在以及使得

由于以及，可知为非负解。由定理3.3，是空间E中的临界点，因此是方程(1)的弱解。再由Harnack不等式 [7]，是方程(1)的正解。

致谢

作者对审稿人表示衷心的感谢。

文章引用

尚 彬. 带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性
Multiplicity of Positive Solutions of p(x)-Kirchhoff Problems with Sign-Changing Weight Functions[J]. 应用数学进展, 2020, 09(04): 565-573. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.94068

参考文献