Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
04
(
2020
), Article ID:
35284
,
9
pages
10.12677/AAM.2020.94068
Multiplicity of Positive Solutions of p(x)-Kirchhoff Problems with Sign-Changing Weight Functions
Bin Shang
Department of Mathematics and Computer Science, Zhejiang Normal University, Jinhua Zhejiang
Received: Apr. 5th, 2020; accepted: Apr. 20th, 2020; published: Apr. 27th, 2020
ABSTRACT
In this paper, the p(x)-Kirchhoff problem with sign-changing weight functions is studied. Based on variational method and Nehari manifold, it is proved the existence and multiplicity of positive solutions of the problem.
Keywords:Positive Solution, Nehari Manifold, Variational Method, p(x)-Kirchhoff Equation
![](http://html.hanspub.org/file/12-2621186x3_hanspub.png)
带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性
尚彬
浙江师范大学数学与计算机科学学院,浙江 金华
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收稿日期:2020年4月5日;录用日期:2020年4月20日;发布日期:2020年4月27日
摘 要
本文研究带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程,主要运用变分方法与Nehari流形的分解证明其正解的存在性与多重性。
关键词 :正解,Nehari流形,变分法,p(x)-Kirchhoff方程
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This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文考虑一类带有p(x)-Laplacian算子的Kirchhoff方程
(1)
正解的存在性与多重性,其中 , 是光滑有界区域, 是p(x)- Laplacian算子,参数 ,。
本文的方程满足如下条件:
(H1) 对于 ,,。
(H2) ,。
(H3) ,。
(H4) ,其中 ,
,
。
对于Kirchhoff类型方程的研究一直是偏微分方程中的重要课题。Huang等在 [1] 中利用山路引理讨论了方程(1)在p(x)=p和权函数非负的情况下正解的存在性。当权函数f(x),g(x)变号时, [2] [3] 中利用Nehari流形分解的方法得到了正解的存在性与多重性。对于带有变号权函数的p(x)-Laplacian方程正解的存在性与多重性结果可参见 [4] [5]。
本文的主要结果如下:
定理1.1:若假设(H1)~(H4)成立,则存在 ,使得当 时方程(1)存在至少两个正解。
2. 预备知识与变分框架
对 ,变指数Lebesgue空间 定义为:
其范数定义为:
记E为Sobolev空间 ,其范数 ,空间E是自反可分的Banach空间。
命题2.1 [6] 设 和 是可测函数使得对a.e. 有 以及 ,设 ,则有
命题2.2 [6] 若 ,且 ,,则 是紧嵌入且连续的。
根据假设条件(H4),易知对 有 以及 其中 与 分别是 与 的共轭指数。因此 和 是紧嵌入且连续的。
由Hölder不等式及Sobolev嵌入可以得到,当 时下列不等式成立:
(2.1)
(2.2)
定义2.3若对任意 ,下列积分恒等式成立,则称 是方程(1)的弱解
方程(1)的能量泛函 表示为
(2.3)
当 时,有
根据假设(H4)有 ,由此可知 在空间E中不是下方有界的。因此,我们在下面的Nehari流形中考虑问题,其定义为
显然,其中的点为 的临界点。若 当且仅当
(2.4)
对 ,有
(2.5)
将 分解为
3. 预备引理
引理3.1 存在 ,使得对 ,。
证明:假设 , 以及 使得 。根据(2.1),(2.2),(2.4)以及假设(H4)可以得到
因此,
(3.1)
同样的,
因此,
(3.2)
若 足够的小,例如
结合式(3.1)和(3.2)可知 ,与假设矛盾。因而可以得到当 时 。
由上面引理可知,当 时, 。记
,。
引理3.2 泛函 在流形 上是强制和下方有界的。
证明:设 ,。通过式(1.1)、(2.2)以及假设(H4)可以得到
根据假设(H4),可以得到 时, 。因此泛函 在流形 上是强制和下方有界的。
定理3.3 假设 是 在流形 上的局部极小值或局部最大值,且 ,则 是 的临界点。
证明:若
是
在流形
上的局部极值,由Lagrange乘数法可知,存在使得
。因此,
由于,
,而
,
。因此可得
,即
。
引理3.4 若,
,则
。
证明:由于,可以得到
(3.3)
我们将式(2.4) × ()后与式(3.3)相加,可得
因此
则有,
引理3.5 若,则
在
中存在极小值
,且
。
证明:由引理3.2可知在
上是有界的,所以存在序列
使得
由于是强制的,
在空间E中是有界的,我们假设在E中
,根据Sobolev嵌入可以得到
在中,
以及
在中,
接下来,我们证明在空间E中。假设在E中
,则有
根据Sobolev紧嵌入,有
根据以及式(2.1),
因此,
根据条件(H4),当时,
而引理3.4表明当时
,由此得到矛盾。
所以在空间E中以及
因此,是
在
中的极小值。
引理3.6 若,
,则
。
证明:设,通过
定义式(2.3)以及式(2.4)可得
若选择
则有。基于
以及
,通过引理3.4可知
。
引理3.7 若,则
在
中存在极小值
,且
。
证明:由引理3.2可知在
上是有界的,所以存在极小化序列
使得
由于是强制的,
在空间E中是有界的,假设在E中
,根据Sobolev嵌入可以得到
在中,
以及
在中,
若,则存在常数
使得
以及
。
根据式(2.5),有
根据条件(H4),可以得到。因此根据
的定义,知
。
接下来,我们证明在空间E中。假设在E中
,则有
可得
因此,是
在
中的极小值。
定理1.1的证明:通过引理3.4和引理3.6可知存在以及
使得
由于以及
,可知
为非负解。由定理3.3,
是
空间E中的临界点,因此
是方程(1)的弱解。再由Harnack不等式 [7],
是方程(1)的正解。
致谢
作者对审稿人表示衷心的感谢。
文章引用
尚 彬. 带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程正解的存在性与多重性
Multiplicity of Positive Solutions of p(x)-Kirchhoff Problems with Sign-Changing Weight Functions[J]. 应用数学进展, 2020, 09(04): 565-573. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.94068
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