 Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 305-311 http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35047 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html) The Benz Theorem and the Aleksandrov Problem in 2-Normed Space* Qian Zhang, Yubo Liu, Meimei Song Department of Applied Mathematics, Science of College, Tianjin University of Technology, Tianjin Email: zhang71qian@163.com, liuyubo2003@126.com, songmeimei@tjut.edu.cn Received: May. 13th, 2013; revised: Jun. 7th, 2013; accepted: Jun. 21st, 2013 Copyright © 2013 Qian Zhang et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: In this paper, we introduce Benz theorem that is established without the condition “Y is strictly convex and ”. Then the main theorem holds mainly by changing the type of space in [1] and weakening the conditions of the theorem in 2-normed space and in n-normed space. And the theorem 2.1 in [1] can be used as the corollary of theorem 2.3 in this paper. dim 2X Keywords: The Benz Theorem; 2-Isometry; AOPP; The Aleksandrov Problem Benz 定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov 问题* 张 倩，刘玉波，宋眉眉 天津理工大学理学院应用数学系，天津 Email: zhang71qian@163.com, liuyubo2003@126.com, songmeimei@tjut.edu.cn 收稿日期：2013 年5月13 日；修回日期：2013 年6月7日；录用日期：2013 年6月21 日 摘 要：本文首先介绍了 定理在去掉了“Y是严格凸的和 ”两个条件仍然成立[1]。其后 我们通过改变文献[1]中的空间类型，弱化了定理中的条件，得到在 2-范空间和 n-范空间结论仍然成立， 并且使得文献[1]中定理2.1 成为本文定理 2.3 的推论。 Benz dim 2X 关键词： Be 定理； 2 nz 等距；AOPP；问题 Aleksandrov 1. 引言 在1970 年，Al 首次介绍了 DOPP 问题，即 问题[2,3](假设 为实赋范空间，一个映 射 ，若T保某一个距离，是否得到 T为等距算子？)。在 1983 年，T[4]给出了一系列关于 DOPP 和SDOPP 映射下如果 和 eksandrov f1 Aleksandrov YX, s: TX Y. Rassia f 是保某一距离的，则也可以是等距的结果。在 1985 年， [5]给出了当 是 实范线性空间且“ Y是严格凸的和”的条件下得到的等距的结果。下面简单介绍下 的一个主要 定理： Benz YX, dim X2Benz 定理 1.1[6]：令 , X Y为实赋范线性空间，映射 ，其中 di 并且 Y是严格凸的，假设:fX Ym 2X0 是 某一个固定的实数， 是一个固定的正整数。对于任意的 1N , x yX ，xyTx Ty ， x yNTx TyN ，则T为等距算子，即 , x yX ,Tx Tyxy ，而且 为仿射。 T 从上述定理我们可以得到算子T保两个距离 和N 。Mazu 定理指出，设r-Ulam , X Y为实的赋范空间，若 *资助信息：国家自然科学基金(批准号：11026177)。 Copyright © 2013 Hanspub 305  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 T为从 X 到Y的满等距算子，则T一定是仿射。此后，等距问题成为泛函分析研究的热门课题，主要是弱化定 理的条件，得到重要的结论。本文推广了[1]中的定理，下面介绍下文献[1]中的主要定理： 定理 1.2[1]：令 X 和Y是两个赋范空间， : f XY是一个满射，并且满足 1) 1xy则 f xfy xy； 2) xy 则fx fy Benz 。那么 是一个等距。 f 在定理 1.2 中我们去掉了的定理中的条件“ Y是严格凸的和 ”得到在赋范空间上 问题的成立。本文通过用赋 dim 2XAleksandrov 2范空间替换赋范空间，弱化了定理中的条件，从而得到了较强的结论。我们为了 引出我们的定理，首先介绍一些将在证明过程中出现的基本概念。 定义 1.3[7]：如果 X 为一实赋范线性空间，并且2 ,: X R ,则 2,,X 称为一个 范空间，如果满足： 2 1) ,0xy x 和 是线性相关的； y 2) ,, x yyx； 3) ,, x yx y； 4) ,,, x yzxy xz 。 对于 R 和,, x yz X。并且 , 称为 X 上的 2范数。 定义 1.4[8]：如果 X 是实线性空间， dim X n并且 ,,:n X R ,则 ,, ,X 称为 范空间如果满足： n 1) 1,, 0 n xx 1,, n x x 是线性相关的； 2) 1 1,, ,,n nj j x xxx 对于 的每一个分量 1,, n 1,, n jj ； 3) 11 ,, ,, nn x xx x； 4) 222 ,,,,,, ,,, nnn yxxxxxyxx对于 R 和,, x yzX ，并且 ,, 称为 X 上的 n 范。 x 定义 1.5[9]：如果 , X Y为 范空间，并且映射2: f XY我们称 f 是2 等距如果对于 ,, x yz X有 ,, x zyzfxf yf yfz AOPP(area one preserving property)：令 ,, x yzX 并且 ,1xzyz ，则 ,1fxfyfyfz 。 我们称 为映射如果存在，对于f 2-Lipschitz0k,, x yzX ,使得 ,,zffyfx kzxyx x ，最小的 称为k 2Lipschitz 常数。 f 定义 1.6[8]：如果 , X Y为线性 范空间，并且 n: f XY，对于 01 ,,, n x xxX ,我们称 f 为 等距，如 果 n 1001 00 ,, ,, n x n xxxfxfxfxfx nDOPP(n-distance one preserving property)： 对于 01 ,,, n x xxX并且 10 0 ,, 1 n xx xx ，则 10 0 ,, 1 n fx fxfxfx 。 我们称 f 为映射如果 ，对于n-Lipschitz 0k01 ,,, n x xxX ,使得 100 10 ,, ,, nn0 f xfxfxfxkxxxx 这里最小的 称为常数。 kn-Lipschitz 2. 主要结果 在这一部分，我们将给出主要的定理，主要用到了[1]和[6]里的方法。 引理 2.1[7]：对于，如果 b和是线性相关的，即 c,bc Xcb 对于某些 0 ，则对于 ，有aX ,,,ab cabac 。 Copyright © 2013 Hanspub 306  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 引理 2.2[7]：对于 和 ，rR ,ab X ,,abab ra。 定理 2.3：令 , X Y是 范空间并且是满射并且满足： 2:fX Y 1) ,1xypq，则 ,,fxfyfpfqx ypq。 2) ,xypq ,则 ,fxfy fpfq 。 对于 ,,, x ypq X 。并且得到是等距。 f2 证明：a) 首先，我们证明对于 ,,, x ypq X，都有 ,,fxfyfpfqx ypq 令,m xypq n ，如果 1m ，结果是显然的。 我们假设 时， 2m 定义 ii qq pq m ， 0,1,2, ,im 则 11 ii qq pq m ， 1 1 m ii io pqq q 可得 111 ,, , ii xyqqxypqxypq mm 1 n ， 0,1,2, ,1im 11 11 00 ,, mm ii ii ii m fxfy fpfqfxfy fqfqxyqqn , 由引理 2.1，可得 1 1 0 ,, m ii i x yp qxyqq ， 因此 ,, f xfyfpfq xypq。 b) 我们证明 保距离f 。 我们假设 ,xypq ，则存在 ,mn N ，并且 m n ，由(a)，我们得到 ,,fxfyfpfqx ypq 由条件(2) ,, f xfyfpfq xypq 因此 ,,fxfyfpfqx ypq c) 证明当 ,xypq 有 ,,fxfyfpfqx ypq。 对于 0 ，一定存在 使得 ,mn Nm n ，由(a)， Copyright © 2013 Hanspub 307  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 ,,fxfyfpfqx ypq 假设 ,,fxfyfpfqxypq，令 , zx yx xypq ，因此 ,zxpq ，,,zypq xypq 则由(b)和(a) ,,, ,, f zfxfpfqfzfyfpfqfxfyfpfq xypqxypq 得出矛盾，也就是说 ,, f xfyfpfq xypq。 d) 我们证明 f 保距离 2 n 。 令,2 n xzpq ，由(a)，则 ,2 n fxfzfpfq ， 令 2, fz fx ufx f zfxfpfq ，存在 vX ，由于 f 是满射，可得 f vu，那么 ,2 ufxfpfq 。 由(2)我们得 ,vxpq 。由(c)， ,, 2 vxpqufxfp fq 那么 ,1 2 ufzfp fqn 。 否则如果 ,1 2 ufzfp fqn ，也就是说 ,1 2 fvfz fpfqn 。 我们可以找到一列 ，，使得 i vX 1, 2,,1in01 ,n vvv z ，由 f 是满射，存在 ，则 i vX ,0,1,2,,1 1 ii fvfvfz fvin n ， 由于 11 1 ii f vfv fzfv n ，并且 1ii f vfv 2n 共线，因此 1 0ii i fv fzfvfv 由引理 2.1 2 1 0 1 ,, 2 n ii i n fvfzfp fqfvfvfpfq 因此 1,2 ii fvfvfp fq ，由条件(2)，因此 1,0,1,2, ii vv pqin ,1，由(c) 11 ,, 2 iii i vv pqfvfvfpfq 0,1,2,,1in 也就是说 111 11 010 1 ,,, 22 nnn ii ii iii n vzpqvvpqvv pq Copyright © 2013 Hanspub 308  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 由(c)， ,, , 2 vxpqfvfxfpfqufxfp fq 。 而且 1 ,,, 222 nn xzpqxvpq vzpq 与,2 n xzpq 矛盾，并且 1 2,2 fz fx ufz fxfzfxfz, f zfxfpfqfzfxfpfq 那么 ,,1 2, ,2 ufzfp fqfx fzfp fq f zfxfpfq fxfzfpfq 因此 1, , 22 nufzfp fqfz fxfp fq ，也就是说 ,2 f zfxfpfqn 。 e) 下面证明 f 是 X 到Y的等距。即 ,, f xfyfpfq xypq。 对于 ,,, x ypq X,0 ，存在正整数 ，使得n,2 x yp qn 。对于 2n ，存在 ，并且,mn N2 m nn ， 由(a)，我们得到 ,, f xfyfpfq xypq 假设 ,, f xfyfpfq xypq。令 2, n zx yx xypq 。 因此 ,2 n zxpq ，,, 2 zypqn xypq 。 由(d)， ,, 2 f zfxfpfq zxpqn 由(c)和假设 ,,, 2 ,, 22 n f zfxfpfqfzfyfpfq fxfyfpfq nxypq xypqn 因此得出矛盾，即 ,, f xfyfpfq xypq。 定理 2.4：如果 是两个 范空间，映射 YX,2: f XY满足 GAOPP，对于 ,,, x ypq X 1) 当,xypq1 时，有 Copyright © 2013 Hanspub 309  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 ,, f xfyfpfq xypq； 2) 当, x yp qn时，有 , f xfyfpfq n 。 则 f 是 X 到Y的 等距。 2 证明：a) 首先我们证明当 ,1xypq时， ,, f xfyfpfq xypq 。 假设 ,, f xfyfpfq xypq， 令, yx zx yxpq ，因此 ,1zxpq ，,1,zypqxypq1 。 由GAOPP， ,fzfxfpfq1，则我们得到 1,, , 1,,1 f zfxfpfqfzfyfpfq fxfyfpfq xypq xypq 。 我们得出矛盾，因此 ,,fxfyfpfqx ypq。 b) 对于 ,,, x ypq X,当,xypq1，存在正整数 ，使得n,1nxypqn 。 令, yx zxn yxpq ，则 ,zxpqn，,,zypqxypq n1 。 由于满足 GAOPP，并且由定理 2.3 的条件(2)和证明(a)，因此 f , f zfxfpfqn， ,, f zfyfpfq zypq 也即是 ,, ,,, f zfxfpfqfzfyfpfq nzypqnxypqnxypq 则 ,, f xfyfpfq xypq。 c) 我们证明 ,, f xfyfpfq xypq。 假设 ,, f xfyfpfq xypq， 令 11, yx zxn yxpq ， 因此 1,1zxpqn，1,1,zypqn xypq1， 则 1 1 1, ,, 1,,1 nfzfxfpfq f z fyfpfqfyfxfpfq nxypqxypqn 因此得出矛盾，则 ,, f xfyfpfq xypq。 推论 2.5：如果 , X Y是线性 范空间，映射n: f XY是满射，对于01 ,,, n x xxX 满足： 1) 当100 ,, 1 n xx xx ，则 Copyright © 2013 Hanspub 310  张倩 等 Benz定理和赋 2-范空间上的 Aleksandrov问题 Copyright © 2013 Hanspub 311 10 010 ,, ,, nn0 f xfxfxfxxx xx ； 2) 当100 ,, n xx xx ，则 10 0 ,, n fx fxfxfx 。 那么 f 是 等距。 n 推论 2.6：如果, X Y是n 范空间，映射 : f XY满足 nDOPP，对于01 ,,, n x xxX ，满足： 1) 当100 ,, 1 n xx xx ，则 10 010 ,, ,, nn0 f xfxfxfxxx xx ； 2) 当10 0 ,, n x xxx m时，则 10 0 ,, n f xfxfxfxm。 则 f 是 等距。 n 参考文献 (References) [1] Y. 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