一类非线性变系数波方程解的存在性 The Existence of a Class of Nonlinear Wave Equations with Variable Coefficients

doi:10.12677/PM.2013.35051

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Pure Mathematics 理论数学, 2013, 3, 326-331

http://dx.doi.org/10.12677/PM.2013.35051 Published Online September 2013 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)

The Existence of a Class of Nonlinear Wave Equations

with Variable Coefficients*

Peng Wang

College of Science, The PLA University of Science and Technology, Nanjing

Email: mathswp@163.com

Received: May. 9th, 2013; revised: Jun. 14th, 2013; accepted: Jun. 27th, 2013

unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract: This paper is devoted to the existence results for the one dimensional wave equation with x-de-

pendent coefficients when resonance occurs at the eigenvalue

r. By using the Mawhin’s continuation theo-

rem, the authors get a result which is similar to the literature.

Keywords: Wave Equations; x-Dependent Coefficients; Resonance; Periodic Solution

一类非线性变系数波方程解的存在性*

汪鹏

解放军理工大学理学院，南京

Email: mathswp@163.com

收稿日期：2013 年5月9日；修回日期：2013年6月14 日；录用日期：2013 年6月27日

摘要：本文研究了系数依赖于 x的一维波方程当共振发生在特征值 rN处的解的存在性，主要利用

Mawhin 连续性定理，进而得到了一个类似于文学性的结果。

关键词：波方程；依赖于x的系数；共振；周期解

1. 引言

目前有许多关于常系数非线性波方程的文章，例如[1,2,4-8]，同时也有很多研究线性部分存在共振的非线性

偏微分方程可解性的文献，例如[3,9-11]等等。Solimini 在[3]中讨论了椭圆型偏微分方程，其中对给定的 k，k



是平凡的。作者利用奇点定理和拓扑度得到结果。在文献[9]中，Iannacci 和Nkashama 研究了一般算子方程的共

振问题，他们得到了一些很一般的抽象结果，这些结果满足共振发生在特征值

r处且非线性项处于两个连续特

征值之间时已知的存在性定理。其中



,t的Landesman-Lazer 型条件在[9-11]中都起了重要的作用。



与常系数非线性微分方程相比，关于变系数非线性微分方程的文献就相对较少，例如文献[12-14]等等。在

[14]中，Barbu 和Pavel 研究了系数依赖于

的一维非线性波方程：

 















,0,π, ,

ttx x

uxuguhxtx t



 R

(1)

周期条件

  













,0, ,,0,0,π,

uxuxTu xu xTx

(2)

*基金项目：本文获得解放军理工大学理学院青年科研基金支持。

326

汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性

Dirichlet 型边值条件







0, π,0, utut tR.



 (3)

其中





和T满足假设：



，当时

 

20, πxH







0, πx





0xs



，



，且



0 inf0ess x







，其中









 









。



2πp

，其中，为互素的正整数。 p q

设，记为Lebesgue空间，即绝对值的次幂是Lebesgue 可积的实值可

测函数空间。



0, π0,T 



 

Lp p

 







HvLDvL mm



 ,2

为一般的Sobolev 空间，范数为

 



21, 2

vDum















。

在



u的一些假设条件下，利用次微分作者得到问题(1)~(3)至少有一个弱解。Kim 和Pavel 在文献[12]中研

究了常系数及系数依赖于

的二维波方程弱周期解的存在性及正则性，其边界条件是齐次 Dirichlet 型和

Neumann-Dirichlet型。在[13]中，他们又合作讨论了方程(1)和(2)在非齐次 Neumann-Dirichlet型边界条件





















00,, π,0, 0,

uttutt T



  (4)

下的T周期解。

本文在上述文章的启发下，讨论一类系数依赖于

且共振发生在特征值

r处的一维非线性波方程解的存在

性，方程为

 



 

 

   

00,0,π,0 0,

,0, ,,0,0,π.

ttx N

xuxurxu hxtxt

ututt T

ux uxTux uxTx

 







 















(5)

其中，，



0, π0,T 



hL





满足





且对T有假设：







π21

, ,

pN



。

本文得到的结论是方程(5)在假设条件下，至少存在一个解。为了证明这个结论，首先讨论方程线性部分的

性质。

2. 方程线性部分的性质

考虑系数依赖于

的一维波方程：

 





 

 

  

,, ,,

00,0, π,0, 0,

,0,,,0,, 0,π.

ttx x

xuxuxhxtxt

ututt T

uxuxTu xu xTx

 







 













(6)

汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性

若对



vC ，有

 









dd,,dd

ttx x

uxvxv xtxhxtvxtx









t (7)

则称为的弱解，其中



uL(6)













 



π;0,π,0,

,0, ,,0, ,,,

CvCvtvt

vx vxTvx vxTxt

 



在中稠密。



L

令，

 





;7DLu Lh L  使得（）成立

定义



:, , LDLLLu hu DL 

即当且仅当

Lu h

 







dd,,dd,

ttx x

uxvxv xtxhxtvxtxtvC





 

 。

此算子称为弱解算子，显然在上可逆，其逆



RL 1



为弱解算子。

定义内积 ,为

















121 212

,,,dd; ,hhxh xthxtxthhL







,

其中 2

h为的共轭。此内积对应的范数为

 

,dd;hxhxtxthL







。



在中，特征函数系



构成正交系统，其中



L;,

nNmZ









1, 2,3,N，

为整数集，



12π2

e, ,

mmp







 Z

，



和n



为Sturm-Liouville 问题



 

,0 π0, .

nnnnn nN

 







的特征函数和特征值，我们知道当时，

n



，且



121









其中当时，

n n



。记



 

















,dd ,

mnn mmnn m

uxuxtxtxthxhxtxt

 







ddxt

分别为

















mn nmmn nm

mZnN mZnN

uuxthhx

 

 





在中的 Fourier 系数。将



L











t代入 (7) 式，由 Parseval 公式 2

mZnN



，



,mZ



，得，关于算子有下面的一些性质[13]。



nm mnmn

Lu huh



 L

引理 1 在中是自伴的， L



L











2;0Span;,

nm mnnmnm

RLhLhm Zn NNL

 



 当时，且

是闭的，

328

汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性







Span; ,

nmn m

NLm Zn N







且

为有限维。连续紧，且有



1:LRL RL



 

Lh Ch





，



Lh Ch







，

,Lhh h





 ，

 

,, , Lu uLuhRLuDL





 ，

其中



222 2

inf ;

mnmn









。

此引理 1已经在[13]推论 2.1中证明。

3. 结论的证明

由引理 1知算子的谱为纯点谱，即任意的L











，0r



是有限重特征值，







22 ,

Lr N



n



mZ无有限聚点，我们可以将他们罗列出来： 21012

0rrrrr





。

记

P为到的正交投影，有下面的谱替换



r



NL IL

LrP



。

在任何赋范空间里，用记强收敛，若









:FLL



是一个正的非线性算子，如果







,0,FuFv uvuvL



 、

则称

在是单调的。



L

令，对任意NZ





uDL，记











uuxuxux 



若的 Fourier 展式为u

uPu

则

, ,

jN jN

uPuuPuuP







u

，

且记。

uuu



显然。记



uNLrI



uDLu Pu















为





DL的子空间，使得。 uH



定理1. 设使，





 ..ae



,xt 









pxt rrr









且对任意，，



wNLrI



 0w



















,,ddxr xpxtwxtxt





0





。 (8)

则存在常数使得对任意的



 

0





uDL有











DuLu rpuuuuu





 。

证明：由





uu与u的正交性及





uNLr可得







,, ,,

pNN

DuLurupuuLuuruupuu uu





 

 00

，

因为在





0, π上





0xs



且对 ..ae



,xt



，





,pxt非负，故上式中的最后一项非负，所以



1,,

pN N

DuLurupuuLuu ruu





 

 ,。

由Parseval-Steklov 恒等式得

汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性









22 2

11 11

,, min

NNjjjNjjN

jN jNjNjN

ru uLu urPurPurrPurrPu

 

 

 2

故可得 2

ruu Luuu



，其中 11NN





 。

下面证明存在使得



 

0

Lurupu uu





 

 

。 (9)

因为，..ae



,xt 



 

,NN

pxt rrr







，所以







,,,,

NNj

Lu urpu uLu uru urrPu









 



 Nj

，

故





NjN

LurupuurrP u













 j

，因此 1,

Lurupu u



0



 

w



，当且仅当 u，





wNLrI





时取等号，由(8)式得，

1,0

Lurupu uu





 

 

0。

假设(9)式不成立，则存在序列







uHDL

使得对任意 kN



，1



且11

Lurupuuk







 。

记



1N1

NL rIH



 



，其中为有限维特征空间，



NL rI







是

中





NL rI



的正交空间。显然

，其中，，故当时，在

kkk

vwNL

uw





1kN

I1k

vHk

中。由为有限维的及 0vk



NL r





1kkk

uwv

2

得存在





w的子列，仍记为





w，





wwNLrI



 

且1w。从而









111 1

121

,,2,

,2 ,,

kNkkkkNkkkNkkkNkkk

NNkkNkkN Nk

kLurupuuLwrw pwwrpwvLvrvpvv

rrpw wrpw vrrv





 







 

 1



由于当时，，，故k 0

vk

w



















NN ,dd

rr xpxtwxtx











t，又由于

，

..ae



,xt 



 

,NN

px t rrr



，故



















0,,dd

rxpxtwxtx









t



，

其中，再由(8)式得，与



wNLrI



 0w1w



矛盾，所以不等式得证。选取，又

由

(9)



min ,0





222

uuu



，定理得证。

我们将利用Mawhin 连续性定理来证明本文的主要结论，为了方便，在这里作为引理给出[15]。

引理 2. 设

和为两个巴拿赫空间，Y





:LDLX Y为具有零指标的Fredholm算子，

 为有界开

集，且 :NY

 为紧的， :

XY为全连续的，如果下面的条件成立：

1) ，



ker 0LA



2) ，。

 



,0xDL



 ,1



10LxAxNx





则在Lx Nx



DL 内至少有一个解。

定理 2.设的定义与前面一致，设L







(







为的谱)，则问题(5)等价于下面方程的可解性问题 L

Lur uh





 (10)

则(10)至少有一个解。

证明：设











22 1

:, ,ELL uh







 ，











22 1

:, ,ALL uh







 ，

则方程(10)等价于

330

汪鹏  一类非线性变系数波方程解的存在性

Lur uEu



 (11)

在上的可解问题。



由引理 1知道是有限维的，则为指标为零的线性 Fredholm 算子，且和



NL L E

在的有界子集上

是-紧的。由引理 2知，如果对任意使得方程

2()L





Lur uAuEu





  (12)

成立的





0,1



和都有



uDL0

uk，则方程(11)有解。

根据定理 1，对任意使得方程(12)成立的





0,1



和





uDL，均有 0



成立，故由引理 2，方程(10)至

少有一个解，也即方程(5)在假设条件下，至少有一个解。

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