 Modern Physics 现代物理, 2013, 3, 161-167 http://dx.doi.org/10.12677/mp.2013.35023 Published Online November 2013 (http://www.hanspub.org/journal/mp.html) 1/mQ Expansion for Heavy Baryons and bc l Transition in HQEFT Yinghua Deng, Wenyu Wang School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing Email: einsteina@163.com, wangwy@ustb.edu.cn Received: Sep. 2nd, 2013; revised: Sep. 30th, 2013; accepted: Oct. 10th, 2013 Copyright © 2013 Yinghua Deng, Wenyu Wang. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: The transition matrix elements between heavy baryons each of which contains a single heavy quark are stud- ied in the framework of heavy quark effective field theory. The framework is derived from the full QCD and the heavy quark-antiquark coupling effects are manifestly included in the effective Lagrangian. The transition matrix elements between heavy baryons are expanded up to order 2 1Q m. A set of heavy quark spin-flavor independent wave functions are defined to describe these transitions. The form factors and baryon masses are then related to these wave functions. Based on the 1/mQ expansion, we discuss the semileptonic branching fraction of bc l . Keywords: Heavy Quark Effective Field Theory; Baryon; 1/mQ Expansion 重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 邓英华，王问宇 北京科技大学数理学院，北京 Email: einsteina@163.com, wangwy@ustb.edu.cn 收稿日期：2013 年9月2日；修回日期：2013年9月30 日；录用日期：2013 年10月10 日 摘 要：本文在重夸克有效场论框架下讨论了含有一个重夸克的重子间跃迁矩阵元的重夸克展开。该有效场论 来自对完整 QCD 重夸克场的分解，其特点是有效拉氏密度中包括了正、反重夸克耦合项。本文将重子间跃迁矩 阵元展开讨论到了 2 1Q m阶，定义与重夸克自旋、味无关的波函数，得到形状因子、重子质量用这些波函数表示 的1/mQ展开式。利用这些结果，文中从重子质量估计波函数的零反冲点值，并讨论了 bc l 的衰变分支比。 关键词：重夸克有效场论；重子；1/mQ展开 1. 引言 本文涉及的重强子是指含有一个重夸克(b, c)和 若干个轻夸克(u, d, s)的强子，包括重介子和重重子。 这类强子的研究对于精确检验标准模型、深入了解强 相互作用性质和探寻新物理都有重要意义。一方面， 对重强子性质和衰变的研究是准确抽取标准模型重 要参数如 CKM 矩阵元|Vcb|、|Vub|的基本途径。另一方面， 由于重夸克质量mQ的特殊性，可能利 用重夸克对称性 把不同衰变联系起来，并且通过重夸克展开方法把强相 互作用的微扰、非微扰效应系统地表示和研究[1-5]。 重介子结构相对简单，相应的遍举和单举衰变成 为抽取|Vcb|和|Vub|的最主要渠道。其中对|Vcb|的确定已经 Open Access 161  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 很精确，而|Vub|的准确性则差很多，特别是目前从遍举 衰变得到的结果明显比从单举衰变得到结果要低[6,7]。 这说明研究方法还有待完善，而对更多重强子过程的 研究也是很有必要的。相对而言，对重重子的研究比 重介子落后很多。对于含一个重夸克和两个轻夸克的 重子，由于其中的重夸克质量远大于两个轻夸克质量 及QCD 特征能标 ，近似的重夸克对称性仍然成 立，而对重夸克极限情况的修正则可按 1/mQ展开逐级 讨论，因此可以采用和介子相似的展开方法进行处理。 QCD Λ 重夸克对称性和重夸克展开[8-10]已得到广泛应用。 例如，文献[8]和[9]在通常的重夸克有效理论下分别对 重介子和重重子间跃迁矩阵元作了重夸克展开。本文则 是在另一种重夸克展开框架[10]下进行讨论，其特点是直 接从 QCD 基本理论出发，对 QCD基本夸克场做完整 分解后仅把重夸克场小分量积分出去而得到有效拉氏 密度，结果是在有效拉氏密度中包括了正、反重夸克耦 合项。文献[10]中已用这种展开方法讨论了重介子半轻 衰变 * BDDl 及|Vcb|的抽取，本文则把该重夸克 展开框架应用于重子。第二节将对所用的展开方法作简 单介绍；第三节把该展开方法应用于bc l 类型重 子跃迁矩阵元的分析；第四节根据所得结果对 bc l 衰变波函数和分支比作初步估算。 2. 重夸克有效场论和重子衰变矩阵元 在文献[10]中，从完整QCD 理论出发，把完整QCD 场分解为大、小分量，再把小分量积分出去，可以得 到一个包含正、反重夸克耦合算符贡献的有效拉氏密 度。这里我们称相应的有效理论为重夸克有效场论 (HQEFT)以区别于通常的重夸克有效理论 (HQET)[8,9]。 在HQET 中，夸克、反夸克被分开处理，即在开始导 出有效拉氏密度时即认为夸克与反夸克是退耦合的。 当然，两种不同的方法在领头阶是相同的，差别仅来 自对正、反重夸克耦合的考虑，相应的重夸克展开中 差异开始于 1/mQ阶修正。 对于由一个重夸克和两个轻夸克组成的重子，重 夸克对称性与介子类似。重夸克的四维动量可以表示 为QQ p mv k ，其 中v 为重子的四维速度。残余 动量 k 远小于 Q mv ，它标志了重夸克离壳程度。设 H p为完整 QCD 中的重子态， 为重子动量，重 子质量为 p H m。由矢量流守恒，重子态满足归一化条件： 22 H H pQ QHppmv (2.1) 当时，引入与重夸克味道无关的重子态， 其归一化形式为： Q m 2 vvv v H QQH v (2.2) 其中 为有效重夸克场[10]。这里我们用 v Q H 表示重子 质量与重夸克质量之差 H H mm Q ，而 lim Q mH 与重夸克质量无关。 这样，完整QCD 中的态(矩阵元)与有效理论中的 态(矩阵元)之间的关系为： , HH eff vQv v HH H pQQHpHJ xH mm (2.3) 其中 可为伽玛矩阵的任意组合，等式右边为重夸克 有效场论中的衰变矩阵元， , eff Qv J x为有效流，衰变矩 阵元的重夸克展开需要考虑有效流和态的修正，其展 开结果是(保留到 2 ˆ 1Q m阶)： 2 2 2 2 , 2 2 11 ˆˆ 2222 1 ˆ2 4 1 ˆ2 4 eff vQvvv v QQ Q Q PP ii AHJ xHHQDFDF mivD miv D Pi DFivDivDFvDF iv D m i iv DDF m 2 2 2 2 22 2 1 ˆ22 4 1 ˆ22 4 1 ˆˆ 42 v Q Q QQ P iFv DFDviv D PP ii DF DF iv Div D m PP ii DF DF mivDiv D i DF mm 2 2vv PP i DFQH iv D iv D (2.4) Open Access 162  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 其中 1 2 Pv ，1 2 v P ， DD vDv ， D 定义为 。注意(2.4)式实际上是采 用了按照 D D ˆ 1Q m展开的形式，其中缀饰重夸克质量 ˆQQ mm ，(2.4)式具体推导请参考文献[10]。 3. bc l 跃迁矩阵元的展开 考虑从一个含质量为 的重夸克的重子 Q m H 到一 个含质量为 的重子 Q m H 的半轻弱衰变，它由矢量流 和轴矢流的强子矩阵元决定，可以定义 6个形状因子： 5 123 , , HH HH mm H pQ QHpUvs FFvFvUvs (3.1) 5 5 123 , , HH HH mm H pQ QHpUvs GGvGvU 其中旋量U满足归一化条件 ,,2Uvs Uvsv (3.3) 及vvUUUU 。 另一方面，式子(3.1)、(3.2)左边的矩阵元可以按 照(2.3)、(2.4)式作逐级重夸克展开。对于所得展开式 中的每项，可以参数化为与重夸克质量、自旋无关的 波函数。例如对于(2.4)式中领头阶，有 vvv v H QQHUU Isgur-Wise 函数 只与反冲值 vv 有关。 对于 ˆ 1Q m修正的各项，可以作类似的参数化。考虑到 2 ˆ 1Q m阶，如下定义波函数： 2 1 1 vvv v P H QDQH iv D UU vs (3.2) 2 1 1 vvv v P H QD QHUU iv D 2 1 1 vvv v P H QDivDivDFQH iv D UU 2 1 1 vvv v P H QivDDiFvD QHU iv D U 22 1 1 vvv v PP H QDDQH iv Div D UU 22 1 1 vvv v PP H QD DQHUU iv DivD 2 1 , 22 2 v vvv v PP ii i 2 i H QFFQHvvUPP iv Div D U 2 1 , 22 22 vvv v PP ii ii H QFFQH vvUPP iv DivD U 22 1 2 1 vvv v PP H QDDQH UU iv D iv D , vvv v PP H QFFQHvvUPP iv D iv D U 其中 23 ,,vvvvgggggvvgvvgvvgvv 23 ,vvgggggv vgvvgvvgvv 用以上定义的波函数表示，对弱衰变bc l 而言(2.4)式中的矩阵元展开可简化为： Open Access 163  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 111 22 22 23 22 23 22 11 111111 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ 24 44 11 24 ˆ 16 11 24 ˆ 16 QQ QQ QQ Q Q 1 A UU mm mm mm UPP PPvvU m UPP PPvv m 23 2 1124 ˆˆ 16 QQ U UPP PPvvU mm (3.4) 当 ，(3.4)式成为： 122 2 112 3 22 2 122 3 22 11 11 1 ˆˆ ˆˆ 2 11 31 1 4442 11 11 221 ˆˆˆˆ 44 QQ QQ QQ QQ Amm mm UUUv vU mm mm 在零反冲点 1 ，并假设末态与初态相同，即 H H ，利用(2.1)~(2.3)及(3.3)可得： 11 2 112 2 2 111 11 ˆˆ 2 112 116131 ˆ 4 H QQ Q mm m (3.5) 由于 H H mmQ ，上式给出了重子质量与波函数零反冲点值的关系。 对于 H 与H为不同重子的情形，根据(2.3)式和(3.4 )式可得到 QCD 矩阵元的展开结果。对矢量流和轴矢流 部分，分别有： 1 2 112 3 222 22 122 3 22 11 1 ˆˆ 2 111131 1 ˆˆ4442 11 11 221 ˆˆ ˆˆ 44 HH v QQ HH QQ QQ QQ mm AHpQQHp mm mm UUUv vU mm mm 和 5 11 22 25 12 312 222 2 23 2 1111 11 ˆˆ ˆˆ 24 11 111 321 ˆˆ ˆˆ 44 11 221 ˆˆ 4 HH av QQ QQ HH QQ QQ QQ mm AHpQQHp mm mm UU mm mm Uv v mm U Open Access 164  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 Open Access 165 与形状因子的定义式(3.1)、(3.2)相比较，可得形状因子用波函数表示的展开式： 11 2 112 3 222 22 12 2 11 1 ˆˆ 2 111131 1 ˆˆ 4442 11 ˆˆ 4 QQ QQ QQ Fmm mm mm (3.6) 23 23 2 11 221 ˆˆ 4QQ FF mm (3.7) 1 11 HQHQ Q mmmm (4.1) 11 GF (3.8) 11 22 ˆ QQ mm 23 23 21 ˆ 4 GG (3.9) 对于重子 b Λ(udb)和(udc)，质量 c Λ 5.61 V b m 9 Ge， c2.286GeVm[11]。夸克质 量有较大不确定性，文献[10]在同样的有效场论框架 下讨论半轻衰变 * DlBD ，从重介子质量估算重 介子跃迁波函数。讨论中对介子而言 b mm 在零反冲点处有： 11 112 222 2 12 2 111 11 1 ˆˆ 2 111 13 11 ˆˆ 444 11 11 ˆˆ 4 QQ QQ QQ Fmm mm mm c (或 ˆˆ bc mm )所取较合理范围为 3.45~3.55 GeV。若取夸克 质量 3.50G bc mm eV ，[11]则由(4.1) 式可得 4.65 GeV bm Λ0.89GeV 2 110.53GeV 1 由(3.10)、(3.12)式得到 111 2 11 11 11 111.21 ˆˆˆ 2bc Q FG O mm m (3.10) (4.2) 可见 ˆ 1Q m阶波函数对形状因子有约 20%的 修正。 11 23 2 2 11 11 ˆˆ 2QQ FF mm 1 (3.11) 11 1GF1 (3.12) 23 23 2 11 11 12 ˆˆ 2QQ GG mm 忽略轻子质量， bc l 的微分衰变率可表示 为[12]： 1 2 2 32 3 2 2*2* 11 2 2 d 1 d2 1 121 1 12 3 cb bc Fcb lGV mm rr FG ArBr C (3.13) 2 (4.3) 4. 波函数与衰变分支比 形状因子或波函数表征了强子衰变的完整信息， 对它们的详细计算需要采用格点模拟或 QCD求和规 则等非微扰方法。但利用上节得到的形状因子、波函 数和强子质量的关系，可以对 bc l 衰变作现象 学的初步讨论。 其中 c rm m b ， * **2* **2 122 122 212 1 A FFF GGG *2** ** *****2 1 122331231 ** ** **** 12 23 3123 BFFF FF FFFFG GG GG GGGG 在只考虑到 ˆ 1Q m阶修正的情况下，由(3.4)式有：  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 *2* **2* * 313 31 12 12CFFF GG 3 G 根据定义，上列式子中 * i F 和 * i G 与本文中 的 bc ，即 i F 和 i G 相差一个因子 *1,2, 3 bc ii FFi *1,2, 3 bc ii GGi 在忽略 2 ˆ 1Q m阶修正的情况下(4.3)式简化为： 2 2 2 32 2 3 222 1 d d 1 4 2 12 1 3 cb bc bc Fcb l GV mm rr rF (4.4) 领头阶Isgur-Wise 函数随 的变化已经被用 QCD 求和规则[12]、相对论夸克模型[13,14]、Skyrme模 型[15]、bag 模型[16]等方法作了研究，而高阶波函数还 未被系统地详细讨论。这里我们假设1 F 随 的变化方 式与 类似，且满足最简单的关系[17]， 2 ˆ1 11 1eFF (4.5) 其中 [14,17]。如果取 ， 2 1.1 ˆ2.0 0.82 ˆ2.0 2 4.09 10 cb V，则(4.4)式积分可得到总衰变宽度 14 Γ2.3810GeV 结合 的寿命值 [11]可得 衰变分支比： b 12 1.425 0.03210s 5.14% bc Br l 但如果不考虑 1 F 中的 ˆ 1Q m修正，结果为： 3.51% bc Br l 这里的主要不确定性来源于 2 ˆ 和夸克质量。如果 取[14,17] ， ， ，可得到 2 1.1 ˆ2.0 4.65 0.03 b 0.8 0.05 GeV bc mm 3.50 GeVm 3.56 1.63 5.14 % bc Br l 图1和图 2分别显示了分支比随 2 ˆ 及质量差 Figure 1. Cruve: relation between bc Br lνΛΛ and ˆ ρ 2 when and b m4.65 GeV 4.65 GeV bc mm3.50 GeV 3.50 GeV 图1. 当 ，时， b mbc mm b ΛΛ c lνBr随 ˆ ρ 2变化情况 m b −m c Figure 2. Cruve: relation between bc Br lνΛΛ and when and b mm b4.65 Ge cb m4.65GeV ˆ ρ 22.0 ˆ ρ 22.0 图2. 当， 时， mV bc Br lνΛΛ随 变 化情况 bc mm b mm c 的变化情况。 5. 小结 本文对重重子跃迁矩阵元作了重夸克有效场论 下的展开分析。定义了与重夸克自旋、味无关的波函 数，得到了形状因子间一些关系，例如 11 FG ， 且 2 F 、 3 F 与 2 G 、 3 G 直到 ˆ 1Q m阶均为 零。另外，重子质量可与波函数零反冲点值联系起来。 文中从重子质量估计了 ˆ 1Q m阶的波函数，其对形状因 子展开领头阶的修正大约为20%。估 算bc l 衰 变的分支比为 5.14 % 3.56 1.63 bc l Br 。从估算 结果看，对该衰变的精确讨论需要认真考虑ˆ 1Q m修正 的贡献。 Open Access 166  重夸克有效场论下重子矩阵元的 1/mQ展开及 bc l 衰变 Open Access 167 6. 致谢 感谢国家自然科学基金项目( 10805005) 、中 央高 校基本科研业务费项目(FRF-BR-11-003A)资助。 参考文献 (References) [1] Isgur, N. and Wise, M.B. (1989) Weak decays of heavy mesons in the static quark approximation. Physics Letters B, 232, 113-117. [2] Isgur, N. (1990) Weak transition form factors between heavy mesons. Physics Letters B, 237, 527-530. [3] Eichten, E. and Hill, B. 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