Pure Mathematics
Vol. 09  No. 05 ( 2019 ), Article ID: 31501 , 6 pages
10.12677/PM.2019.95086

Finite Groups Structure with n-Minimal Subgroups SS-Quasinormal

Ning Xu

School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin Guangxi

Received: Jul. 3rd, 2019; accepted: Jul. 22nd, 2019; published: Jul. 29th, 2019

ABSTRACT

Let G be a finite group. A subgroup H of G is said to be an SS-quasinormal subgroup of G if there is a supplement B of H to G such that H permutes with every Sylow subgroup of B. In this paper, the structures of finite groups are discussed by making the exactly n-minimal groups in G and the exactly n-minimal groups in G to be SS-quasinormal subgroups.

Keywords:Exactly n-Minimal Subgroups, S-Permutable Subgroups, SS-Quasinormal Subgroups, Solvable Group, Supersolvable Group

n-极小子群是SS-拟正规的有限群的结构

徐宁

广西师范大学数学与统计学院,广西 桂林

收稿日期:2019年7月3日;录用日期:2019年7月22日;发布日期:2019年7月29日

摘 要

设G是有限群,H是G的子群。称H在G中SS-拟正规,如果H存在补子群B,满足H和B的每个Sylow子群可以交换。本文基于所有恰n-极小子群是SS-拟正规子群的有限群,讨论有限群的结构。

关键词 :恰n-极小子群,S-置换子群,SS-拟正规子群,可解群,超可解群

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

在本文中G表示有限群, p , q 表示素数。文中讨论的恰n-极小子群是潘红飞在 [1] 中提出的,即对于一个子群链 1 < D 0 < D 1 < < D n 如果对于任意的 i = 0 , , n 1 D i D i + 1 的极大子群,则称这个群链是D的极大子群链且链长为n。如果子群D有一个极大子群链且链长是n,则称D为n-极小子群。如果D是n-极小子群,但是D的真子群都不是n-极小子群,则称D是恰n-极小子群。钱国华在 [2] 中提出了n-极大子群,并定义 l ( Ω ) 表示群 Ω 子群链的链长。设D是G的一个子群, C M ( G : D ) 表示G到子群D的不可加细链的集合,则 l max ( G : D ) = max { l ( Ω ) | Ω C M ( G : D ) } ,因此 C M ( G ) = C M ( G : 1 ) l max ( G ) = l max ( G : 1 )

设G是有限群, H G P S y l p ( G ) ,如果 H P = P H 则称H是G的S-置换子群,或者H是G的S-拟正规子群。若对于 B G 使得 G = H B P S y l p ( B ) H P = P H 称H是G的SS-拟正规子群,B为H在G中的SS-补,H在G中SS-补的集合记为 S S G ( H ) 。显然S-置换子群是SS-拟正规子群。

本文主要考虑恰n-极小子群是SS-拟正规子群的有限群的结构。

条件1.1:假设G所有恰n-极小子群是SS-拟正规子群,其中n是正整数。

M i n n ( G ) 表示G中所有恰n-极小子群组成的集合, l max ( G ) 表示G的所有子群链中最长的链长。对正整数n做素数幂分解, n = p 1 e 1 p s e s ,定义 ω ( n ) = 1 i s e i 。令 ω ( G ) = ω ( | G | ) 表示G的权重。

在此先给出一些注解:

根据n-极小子群的定义,显然恰n-极小子群一定是n-极小子群,但反过来不成立。

假设D是G的子群,则很容易得到以下结论:

1) D M i n n ( G ) l max ( G ) = n

2) 当D是可解群时, l max ( D ) = ω ( D )

2. 预备知识

引理2.1:令H,K是G的子群,则有下列结论成立。

1) 若H是G中S-置换子群,则H是G的次正规子群。若 H K ,则H是K中S-置换子群。

2) 若K是H中的G-不变子群,则H/K是G/K中S-置换子群当且仅当H是G中S-置换子群。

3) 若H,K是G中S-置换子群并且 H K = K H ,则HK也是G中S-置换子群。

4) 若P是G中的p-子群,则P是G中S-置换子群当且仅当 P O p ( G ) O p ( G ) N G ( P )

5) 若H,K是G中S-置换子群,则 H K 也是G中S-置换子群。

6) 若H是G中S-置换子群,则 H / C o r e G ( H ) 是幂零子群,这里 C o r e G ( H ) = x G H x

7) 若H是G中S-置换子群,若 C o r e G ( H ) = 1 时,则 H F ( G ) ;若H是可解群时,则 H F ( G ) 1

证明:这些陈述是已知的,参见 [3] [4] 和( [5] ,第一章,第二节)。

引理2.2 [6] :假设H是G中SS-拟正规子群, K G ,且N是G的一个正规子群。则

1) 若 H K ,则H是K中的SS-拟正规子群。

2) HN/N是G/N中SS-拟正规子群。

3) 若 N K 且K/N是G/N中SS-拟正规子群,则K是G中SS-拟正规子群。

4) 若K是G中拟正规子群,则HK是G中SS-拟正规子群。

引理2.3 [6] :令H是G的一个幂零子群。则有如下结论等价。

1) H是G中S-置换子群。

2) H F ( G ) 且H是G中SS-拟正规子群。

定义2.1 [7] :假设N存在一个G-不变子群链 1 < N 0 < N 1 < < N t = N ,且任意的 N i + 1 / N i 都是素数阶,则称N是G-超可解群。根据Jordan-Holder定理,一个G-不变子群N是G-超可解群当且仅当N以下的G-主因子都是素数阶的。

引理2.4 [8] :假设N是G的正规子群,若N是G-超可解群,则 G / C G ( N ) 是超可解群。

引理2.5:令F是G中正规幂零子群且n是正整数。如果F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群。则有下列结论成立。

1) 假设 Φ ( F ) = 1 ω ( F ) n + 1 。则F的所有子群是G中S-置换子群。

2) 假设E是F中的一个极小G-不变子群。则 ω ( E ) n 。如果 ω ( F ) n + 1 ,则 ω ( E ) = 1 ω ( E ) n 1

证明:

1) 因为F幂零群且 Φ ( F ) = 1 ,则F可以表示成一些素数阶子群的直积形式。令M是F的子群。若 ω ( M ) < n ,则M可由F的一些权重为n的子群 D i 的交生成;若 ω ( M ) n 则M可由F的一些权重为n子群 K j 的直积生成。根据条件知 D i K j 在G中SS-拟正规,因为 D i < F F ( G ) K j < F F ( G ) ,所以 D i F ( G ) K j F ( G ) ,则根据引理2.3知 D i K j 是G中S-置换子群。所以根据引理2.1 3) 5)知M是G中S-置换子群,所以F的所有子群是G中S-置换子群。

2) 由条件知E是一个初等交换p-群。假设结论是错误的,则 ω ( E ) n 根据结论1)知E的所有子群在G中S-置换。令 1 x E 使得x中心化G的一个Sylow p-子群。因为 x 在G中S-置换,则根据引理2.1 4)知 N G ( x ) = G ,因此 x G ,矛盾。所以 ω ( E ) n

如果 ω ( F ) n + 1 ,假设结论错误,则 ω ( E ) = n 2 。令A/E是F/E的极小子群,则A不是循环群且A的所有极大子群在G中S-置换。根据引理2.1 3)知A在G中S-置换,则F/E的任意极小子群在G/E中S-置换。根据2)第一部分条件知F/E中有一个G/E-不变子群B/E且 ω ( B ) = n + 1 。因为B是非循环群,所以 Φ ( B ) < E 。再根据E的极小正规性知 Φ ( B ) = 1 。因为 ω ( B ) = n + 1 ,根据1)知B的所有极小子群在G中S-置换,又 ω ( E ) n ω ( E ) = 1 ,矛盾。 □

引理2.6 [2] :假设F是G的正规幂零子群,且 ω ( F ) n + 1 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中S-置换子群,则

1) n 2 ,则F是G-超可解群。

2) n = 1 ,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。

引理2.7:假设F是G的正规幂零子群,且 ω ( F ) n + 1 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群,则

1) n 2 ,则F是G-超可解群。

2) n = 1 ,若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换,则F是G-超可解群。

证明:因为F是G中正规幂零子群,所以 F F ( G ) ,又 H F ,所以 H F ( G ) ,因为H是G中SS-拟正规子群,则根据引理2.3知H是G中S-置换子群。这时根据引理2.6立得上述结论。 □

引理2.8 [8] :如果交换群A忠实且不可约作用在 p m 阶初等交换群V上,则A是循环群且m是最小正整数k使得 | A | | p k 1 成立。

引理2.9:假设G满足条件1.1,令V是G的极小正规子群。若 | V | = p n n 2 ,则 G = V A 是可解的Frobenius群,A是G的奇数阶超可解补群,V是G的核,而且V是G中唯一权重为n的子群。

证明:假设 | V | = p n n 2 ,所以 V F ( G ) 。若 ω ( F ( G ) ) > n ,则根据引理2.7可知 F ( G ) 是G-超可解群且 ω ( V ) = 1 ,矛盾,所以 V = F ( G ) 。假设G中存在p-子群P,使得 V < P ω ( P ) = n + 1 ,这里P不是循环群,假设P中可找到两个不同的极大子群 P 1 P 2 。因为 P 1 P 2 是P的极大子群,所以 ω ( P 1 ) = ω ( P 2 ) = n ,所以 P 1 P 2 是G中SS-拟正规子群。根据引理2.2 4)可知 P = P 1 P 2 是G中SS-拟正规子群,所以 P F ( G ) ,矛盾。所以 V S y l p ( G ) ,因此存在G的极大子群A使得 G = V A

假设群A存在p-元x,使x中心化V的非单位元,则 V = [ V , x ] × C V ( x ) 。于是令D是 C V ( x ) 的极大子群,因为 x [ V , x ] D M i n n ( G ) ,所以 X [ V , x ] D 在G中SS-拟正规,又因为 X [ V , x ] D F ( G ) ,所以 X [ V , x ] D 在G中S-置换,则根据引理2.1 5)可知 D [ V , x ] 是G中S-置换子群,又根据引理2.1 4)知 D [ V , x ] 是G中正规子群,矛盾。因此G是有核V和补群A的Frobenius群。

假设A是偶数阶群,令D是A的2阶子群。因为V是完全可约 F p [ D ] -模,且根据引理2.8知所有不可约 F p [ D ] -模的次数为1,这就意味着V有极大的D-不变子群 A 0 ,而 A 0 = D A 0 V 是G的正规子群,矛盾,因此A是奇数阶。所以A是奇数阶Frobenius补群,当A所有的Sylow子群是循环群时,A是超可解群,同时G是可解群。

假设D是G中权重为n的子群。则D在G中SS-拟正规。因为 1 < F ( D ) < F ( G ) ,所以 F ( D ) = D F ( G ) = D V 根据引理2.3知 D V 在G中S-置换且 V S y l p ( G ) ,根据引理2.1 4)知 F ( D ) = D F ( G ) 在G中正规,所以 V = F ( G ) = D 。 □

引理2.10:令p是奇素数,假设G的任意p阶子群在G中SS-拟正规。则 G / O p ( G ) 是超可解群。如果G满足条件1.1且 n = 1 G / O 2 ( G ) 是超可解群。

证明:假设 p | | G | O p ( G ) = 1 。因为G的任意p阶子群在G中SS-拟正规,又G的p阶子群包含在 O p ( G ) 中,所以 1 < x G | o ( x ) = p O p ( G ) 。显然根据引理2.7 2)知 O p ( G ) 是G-超可解群。所以根据引理2.4知 G / C G ( O p ( G ) ) 超可解。因为 C G ( O p ( G ) ) 中任意p阶子群在 C G ( O p ( G ) ) 的中心里,根据Huppert在( [8] ,第四章,定理5.5)知 C G ( O p ( G ) ) 是p-幂零群,所以G是p-可解群。因为 O p ( G ) = 1 ,所以 C G ( O p ( G ) ) O p ( G ) 。因此 C G ( O p ( G ) ) 是超可解群,所以G是超可解群。

若G满足条件1.1且 n = 1 ,因为 O 2 ( G ) = p ( O p ( G ) ) = 1 ,所以 G / O 2 ( G ) 是超可解群。□

引理2.11:假设G是满足条件1.1的可解群,且 n 2 。若G有权重为 n 1 的极小正规子群D,则G/D是超可解群。

证明:假设G有不同于D的极小正规子群E,则 D E = D × E ,根据引理2.7,可知 ω ( E ) = 1 。根据引理2.2的2)知G/E中所有恰 ( n 1 ) -极小子群是G/E中SS-拟正规子群,若G/E中有权重为 n 1 1 的极小正规子群DE/E,根据引理2.9知 ( G / E ) / ( D E / E ) G / D E ( G / D ) / ( D E / D ) 是超可解群,又因为 ω ( D E / E ) = 1 ,所以G/D是超可解群。假设D是G唯一的极小正规子群,且 | D | = p n 1 ( p 2 ) 因此 F ( G ) 是p-群,若 Φ ( G ) > 1 ,取p-元 x G ,因为 D Φ ( G ) ,所以 x D 是G中SS-拟正规子群,因此 x D / D F ( G / D ) = F ( G ) / D ,所以 x F ( G ) ,矛盾。若 Φ ( G ) = 1 ,则根据引理2.9知 G = D A ,这里 D = F ( G ) 且A是G的极大子群。根据引理2.9知 D S y l p ( G ) ,根据引理2.10知若A中所有的极小子群是SS-拟正规的,则 A / O 2 ( A ) 是超可解群。

假设A不是超可解群,为方便证明,我们令 O = O 2 ( A ) 不是G-超可解群,又因为O不是循环群,且令B是O的4阶子群,因为D是完全可约 F p [ B ] -模,根据引理2.8知,所有不可约 F p [ B ] -模的维数是1或2。假设D有子群是1维的不可约 F p [ B ] -模,则D有极大B-不变子群 D 1 ,显然 B D 1 是G中SS-拟正规子群,因为 D 1 < D = F ( G ) B O F ( G ) ,所以 B D 1 F ( G ) ,所以 B D 1 在G中S-置换。又因为 D 1 = B D 1 D ,所以 D 1 是G中S-置换子群,根据2.1 4)知 D 1 G ,矛盾。因此D所有的不可约 F p [ B ] -模子群都是2维的,因为若 B 2 × 2 ,则所有不可约 F p [ B ] -模是1维,因此O没有 2 × 2 类型的子群。又因为O不是G-超可解群,所以O是四元数群,且 O / O 2 × 2 是A-主因子。因为 A u t ( 2 × 2 ) 是6阶的且A不可约作用在 O / O 上,所以 3 | | A | 。令 3 是A的3阶子群, 4 是O的4阶子群。因为 3 是A中SS-拟正规子群, 3 4 = 3 × 4 是12阶循环群,又因为D是 { 2 , 3 } -群,所以D是完全可约 3 4 -模。取 D = D 1 × D 2 ,这里 D 1 D 2 3 4 -模且 D 1 是不可约的,所以 12 | ( p 2 1 ) 。因为 D 1 是2维的不可约 4 -模,所以 | D 1 | = p 2 ,所以 ω ( 3 4 D 2 ) = n 3 4 D 2 是G中SS-拟正规子群。因为 3 4 F ( G ) D 2 D F ( G ) ,所以 3 4 D 2 是G中S-置换子群。若 D 2 > 1 D 2 = 3 4 D 2 D 在G中S-置换子群,所以根据引理2.1 4)知 D 2 G ,矛盾。若 D 2 = 1 ,则 3 4 是G中S-置换子群,所以根据引理2.1 7)知 3 4 D > 1 ,矛盾。 □

3. 主要结果及其证明

定理3.1:令F是G的正规幂零子群,P是F的Sylow p-子群,这里p是奇数阶。若F的所有极小子群在G中SS-拟正规,或若 ω ( F ) 3 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。则P是G-超可解群。

证明:假设 ω ( F ) 3 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。令E是F的极小G-不变子群。根据引理2.5 2)知E是素数阶,所以F/E任意极小子群在G/E中SS-拟正规。又因为 E < F F ( G ) ,所以F/E任意极小子群在G/E中S-置换。因为可由PE/E的G-超可解性直接推出P的G-超可解性。因此只要考虑当F所有极小子群在G中SS-拟正规的情况即可。

假设F所有极小子群在G中SS-拟正规,因为 F F ( G ) ,所以F所有极小子群在G中S-置换。显然F的所有子群继承了假设条件。因此假设 F = P 且P的所有真G-不变子群是G-超可解群。若 V 1 V 2 是P中不同的极大G-不变子群,则 V 1 V 2 都是G-超可解群,所以P也是G-超可解群。因此设P有唯一极大G-不变子群V。

为了证明P的G-超可解性,我们只要证明P/V是p阶群。若 V = 1 ,则P是G的极小正规子群,又根据引理2.5知P是G-超可解群。若 V > 1 ,则根据引理2.4知 G / C G ( V ) 是超可解群。

假设 C P ( V ) < P 。因为 C P ( V ) 是P中G-不变子群,且V是P中唯一极大G-不变子群,所以 C P ( V ) V ,则P/V同构于 G / C G ( V ) 的G-主因子,因此 P / V p 。因此假设 C P ( V ) = P ,则 V Z ( P ) ,且P最多有2个类。令 Ω 1 是P中所有p阶元生成的子群,所以 exp ( Ω 1 ) = p

假设 Ω 1 = P ,令 y V / V 是P/V的任意极小子群。因为 exp ( P ) = p y 是p阶群且在G中S-置换,因此P/V的所有极小子群在G/V中S-置换。因此根据引理2.5 2)知P/V是p阶群。

假设 Ω 1 < P ,则 Ω 1 V Z ( P ) ,因此 Ω 1 是初等交换群。又因为 Ω 1 是G-超可解群,所以根据引理2.4知 G / C G ( Ω 1 ) 是超可解群。若 p -群平凡的作用在 Ω 1 上,则 p -群平凡的作用在P上。则 C G ( Ω 1 ) / C G ( P ) 是p-群。显然 C G ( P / V ) C G ( P ) 。又因为P/V是G的p-主因子,且 O p ( G / C G ( P / V ) ) = 1 ,所以 C G ( P / V ) C G ( Ω 1 ) ,又因为 G / C G ( Ω 1 ) 是超可解群,所以 G / C G ( P / V ) 是超可解群。根据引理2.1 4)知 Ω 1 是由一些p阶 O p ( G ) -不变子群的直积生成,因此 O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) 是交换群且 exp ( O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) ) | p 1 。令 T G 使得 T / C G ( P / V ) = O p ( G / C G ( P / V ) ) ,显然 T = O p ( G ) C G ( P / V ) C O p ( G ) ( P / V ) = O p ( G ) C G ( P / V ) O p ( G ) C G ( Ω 1 ) = C O p ( G ) ( Ω 1 ) ,则 T / C G ( P / V ) O p ( G ) / ( C G ( P / V ) O p ( G ) ) = O p ( G ) / C O p ( G ) ( P / V ) O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) 的商群,因此 T / C G ( P / V ) 是交换群且 exp ( T / C G ( P / V ) ) | p 1 。对于 G / C G ( P / V ) 的任意 p -主因子 。因为 一定是 T / C G ( P / V ) G / C G ( P / V ) -主因子,所以 是素数q阶且 q | p 1 。又因为 G / C G ( P / V ) 的Sylow p-子群平凡的作用在 上,所以也平凡的作用在 T / C G ( P / V ) 上。因为 O p ( G / C G ( P / V ) ) = 1 ,所以 T = G 。因此 G / C G ( P / V ) 是交换群且 exp ( G / C G ( P / V ) ) | p 1 ,所以P/V是p阶群。得证。 □

定理3.2:设G是满足条件1.1的可解群且 n 2 ,若G所有极大子群链链长至少为 n + 1 ,或者 l max ( G ) 2 n ,则G是超可解群。

证明:假设G不是超可解群,且G是极小阶反例。令D是G唯一的极小正规子群,当 ω ( D ) n 1 时,则根据引理2.9和引理2.11,可知G/D是超可解群。当 ω ( D ) n 2 时,则G/D满足定理的所有条件,根据归纳法可知G/D是超可解群。如果G有不同的极小正规子群 D 1 , D 2 ,则根据归纳法 G / D i 都是超可解群。如果 D i Φ ( G ) 时,因为G/D是超可解群。则G也是超可解群。当 Φ ( G ) = 1 时,设D是G唯一极小正规子群,则根据引理2.10知 G = D A D = F ( G ) ,其中A是G的极大子群。

如果G的任意极大子群链链长至少为 n + 1 ,则 ω ( A ) n ;如果 l max ( G ) 2 n ,则 ω ( A ) 2 n ω ( D ) n 。取P是A中极大正规幂零子群。则 P F ( G ) ,又因为 D = F ( G ) ,所以 P D > 1 ,又因为 D A = 1 ,矛盾。

从而G是超可解的。 □

定理3.3:设G是满足条件1.1的可解群且 n 2 ,若 ω ( G ) n ( 1 + k ) / k ,k是正整数, n l ( G ) 表示G的幂零长,则 n l ( G ) 1 + k

证明若 k = 1 ,则 ω ( G ) 2 n ,则根据定理3.2知G是超可解群,所以 n l ( G ) 2 = 1 + k

k 2 ,令D是G的极小正规子群。若 ω ( D ) n 1 ,则根据引理2.9和引理2.11知G/D是超可解群。所以 n l ( G ) 3 ;若 ω ( D ) n 2 ,令 n D = n ω ( D ) ,则 n D 2 ,则G/D满足定理条件,G/D中所有权重为 n D 的子群都是SS-拟正规子群,并且 ω ( G / D ) n D ( 1 + k ) / k ,则根据归纳法知 n l ( G / D ) 1 + k 。假设 Φ ( G ) = 1 D = F ( G ) 是G唯一的极小正规子群,所以 G = D A ,其中A是G的极大子群。令 d = ω ( D ) ,且 a = ω ( A ) 。若 a n ,则A中有子群M在G中SS-拟正规,则 M F ( G ) = M D > 1 ,矛盾。所以 a < n ,因为 a + d = ω ( G ) n ( k + 1 ) / k 。则 k ( a + d n ) n > a k 2 ,因此 a > ( n d ) k / ( k 1 ) = n D k / ( k 1 ) 。根据归纳法可知 n l ( A ) 1 + ( k 1 ) = k ,所以 n l ( G ) 1 + k 。□

基金项目

文章引用

徐 宁. n-极小子群是SS-拟正规的有限群的结构
Finite Groups Structure with n-Minimal Subgroups SS-Quasinormal[J]. 理论数学, 2019, 09(05): 647-652. https://doi.org/10.12677/PM.2019.95086

参考文献

  1. 1. Pan, H. (2017) On the n-Minimal Subgroups. Communications in Algebra, 45, 5374-5379.
    https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1307382

  2. 2. Qian. G. (2015) Finite Groups with S-Permutable n-Maximal Subgroups. Communications in Algebra, 43, 5183-5194.
    https://doi.org/10.1080/00927872.2014.974102

  3. 3. Deskins. W.E. (1963) On Quasinormal Subgroups of Finite Groups. Mathematische Zeitschrift, 82, 125-132.
    https://doi.org/10.1007/BF01111801

  4. 4. Kegel, O.H. (1962) Sylow-Gruppen und Subnormalteiler Endlicher Gruppen. Mathematische Zeitschrift, 78, 205-221.
    https://doi.org/10.1007/BF01195169

  5. 5. 徐明曜. 有限群导引: 上册[M]. 北京: 科学出版社, 2001: 246.

  6. 6. Li, S.R., Shen, Z.C., Liu, J.J. and Liu, X.C. (2008) The Influence of SS-Quasinormality of Some Subgroups on the Structure of Finite Groups. Journal of Algebra, 319, 4275-4287.
    https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.01.030

  7. 7. Pan, H. and Qian, G. (2018) Finite Groups with S-Permutable n-Minimal Subgroups. Communications in Algebra, 46, 3198-3204.
    https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1407417

  8. 8. Huppert, B. (1967) Endliche Gruppen I. Springer-Verlag New York, Berlin.
    https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3

  9. NOTES

    广西研究生教育创新计划项目(XYCSZ2019086)。

期刊菜单