Pure Mathematics
Vol. 10  No. 04 ( 2020 ), Article ID: 35205 , 11 pages
10.12677/PM.2020.104044

Fully Degenerate Poly-Genocchi Polynomials

Song Qin

Department of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong

Received: Mar. 27th, 2020; accepted: Apr. 16th, 2020; published: Apr. 23rd, 2020

ABSTRACT

Combing A. Genocchi’s definition of the Genocchi numbers in 1852, L. Carlitz’s definition of the degenerate Bernoulli numbers in 1956, M. Kaneko’s definition of poly-Bernoulli numbers in 1999 and T. Kim et al.’s definition of fully degenerate poly-Bernoulli polynomials in 2016, in this paper, we introduce the notion of the fully degenerate poly-Genocchi polynomials, we also investigate their properties and prove five combinatorial identities of them.

Keywords:Genocchi Polynomial, The Fully Degenerate Poly-Genocchi Polynomials

完全退化的Poly-Genocchi多项式

秦松

华南理工大学数学学院,广东 广州

收稿日期:2020年3月27日;录用日期:2020年4月16日;发布日期:2020年4月23日

摘 要

结合意大利学者A. Genocchi于1852年关于经典Genocchi数的定义,美国学者L. Carlitz于1956年关于退化Bernoulli数的定义,日本学者M. Kaneko于1999年关于poly-Bernolli数的定义,以及韩国学者T. Kim等人于2016年关于完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义,本文给出了完全退化的poly-Genocchi多项式的定义,研究了它们的性质,并得到了关于它们的五个组合恒等式。

关键词 :Genocchi多项式,完全退化的Poly-Genocchi多项式

Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

1713年,瑞士数学家Jocob Bernoulli引进了Bernoulli数的概念,用以解决Leibniz关于自然数的幂和问题 [1]。他证明了

1 n + 2 n + 3 n + + m n = B n + 1 ( m + 1 ) B n + 1 n + 1 .

这里Bernoulli多项式 B n ( x ) 由生成函数

t e x t e t 1 = n = 0 B n ( x ) t n n !

所定义,而数 B n = B n ( 0 ) 称为Bernoulli数(见文献 [1] 定理2)。1874年,德国数论学家E. Kummer利用Bernoulli数给出了非正则素数的定义,并用以解决代数数论中关于分圆域的类数和素数幂次Fermat方程的解的问题(见文献 [2])。

1755年,L. Euler为计算交错幂和引入了Euler多项式的定义。他证明了

1 n 2 n + 3 n + + ( 1 ) ( m + 1 ) m n = ( 1 ) m E n ( m + 1 ) + E n ( 0 ) 2 .

这里Euler多项式 E n ( x ) 由生成函数

2 e t e t + 1 e x t = n = 0 E n ( x ) t n n !

所定义(见文献 [1] 定理2)。1852年,德国数学家Scherk在著作中首次明确了Euler数和Euler多项式

的称谓 [3]。按照他的叫法,故 E k = 2 k E k ( 1 2 ) , k = 0 , 1 , 2 , 被称为Euler数。

1852年,为了研究对称群 S 2 n 1 中置换的组合性质,意大利数学家Angelo Genocchi给出了Genocchi数 G n 的定义:

2 t e t + 1 e x t = n = 0 G n ( x ) t n n ! .

而k阶Genocchi多项式 G n ( k ) ( x ) 定义为:

( 2 t e t + 1 ) k e x t = n = 0 G n ( k ) ( x ) t n n ! , (1)

x = 0 时, G n ( k ) = G n ( k ) ( 0 ) 为k阶Genocchi数,当 k = 1 时, G n ( 1 ) ( x ) = G n ( x ) 为Genocchi多项式 [4]。

2019年,类比Kummer在1874年的工作,胡甦老师,Min-Soo Kim,沙敏老师以及德国学者Pieter Moree在文 [5] 中给出了Genocchi数对应的非正则多项式的定义,并得到了它们与分圆域类数之间的联系。

从数学分析我们知道

e = l i m n ( 1 + 1 n ) n ,

(见文献 [6] 的第74页)。类比Bernoulli数的定义,美国著名数论学家L. Carlitz [7] 在1956年提出退化的Bernoulli数的定义:

t e λ ( t ) 1 = t ( 1 + λ t ) 1 λ 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 β n , λ t n n ! , (2)

并得到了相应的Staudt-Clausen定理,见文献 [8]。

1999年,日本数论学家Arakawa和Kaneko [9] 通过Mellin变换给出了一类新的zeta函数 ζ k ( s , x ) 的定义:

Γ ( s ) ζ k ( s , x ) = 0 t s 1 L i k ( 1 e t ) 1 e t e x t d t ,

其中 L i k ( z ) = m = 1 z m m k 为k阶超对数(polylogarithm)函数。他们发现上面所定义的zeta函数 ζ k ( s , x ) 在负整

数处的特殊值通过poly-Bernoulli多项式加以表达,即

ζ k ( n , x ) = ( 1 ) n B n ( k ) ( x ) .

这里poly-Bernoulli多项式定义为:

L i k ( 1 e t ) 1 e t e x t = n = 0 B n ( k ) ( x ) t n n ! , (3)

并且 B n ( k ) = B n ( k ) ( 0 ) 称为poly-Bernoulli数。

2015年,韩国特殊函数方向的专家T. Kim研究了一类退化的zeta函数并发现它在复平面上是解析的,并且在负整数处的特殊值即为Carlitz的退化Euler多项式 [10]。随后,他又在2016年推导出退化q-Bernoulli多项式的系列性质 [11] [12]。与此同时,他与俄罗斯学者D. V. Dolgy合作,用p-进~q-积分得出了退化q-Euler多项式的对称性 [13]。之后,他与D. S. Kim等学者合作对退化的Frobenius-Euler数和退化的poly-Bernoulli数,poly-Bernoulli多项式进行了研究,将若干经典的性质推广到了退化情形 [14] [15]。另外,他们还给出了完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义:

L i k ( 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ) 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 β n , λ ( k ) ( x ) t n n ! , (4)

并对其性质进行了详细证明 [16]。

受经典Genocchi多项式的定义(1),退化的Bernoulli数的定义(2),poly-Bernoulli多项式的定义(3)以及完全退化的poly-Bernoulli多项式的定义(4)的启发,我们通过下面的生成函数给出退化的Genocchi多项式 G n , λ ( x ) 的定义:

2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 G n , λ ( x ) t n n ! , (5)

x = 0 时, G n , λ ( 0 ) = G n , λ 被称为退化的Genocchi数。注意到,

2 t e t + 1 e x t = lim λ 0 2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 lim λ 0 G n , λ ( x ) t n n ! ,

G n ( x ) = l i m λ 0 G n , λ ( x ) 。我们也通过下面的生成函数给出poly-Genocchi多项式的定义:

L i k ( 1 + e t ) 1 + e t e x t = n = 0 G n ( k ) ( x ) t n n ! , (6)

x = 0 时, G n ( k ) = G n ( k ) ( 0 ) 是poly-Genocchi数。当 k = 1 时,有 G n ( 1 ) ( x ) = 1 2 G n ( x ) ,这是因为

n = 0 G n ( 1 ) ( x ) t n n ! = t 1 + e t e x t = 1 2 n = 0 G n ( x ) t n n ! .

我们还通过下面的生成函数给出完全退化的poly-Genocchi多项式的定义:

L i k ( 1 + ( 1 + λ t ) 1 λ ) 1 + ( 1 + λ t ) 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 G n , λ ( k ) ( x ) t n n ! , (7)

x = 0 时, G n , λ ( k ) = G n , λ ( k ) ( 0 ) 被称为完全退化的poly-Genocchi数。注意到,

2 t e t + 1 e x t = lim λ 0 2 t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 lim λ 0 G n , λ ( x ) t n n ! ,

G n ( k ) ( x ) = l i m λ 0 G n , λ ( k ) ( x )

本文沿着前人的道路研究了上面定义的完全退化的poly-Genocchi多项式 G n , λ ( k ) ( x ) 的性质,并得到了

关于它们的下面五个组合恒等式。

定理1 下面等式成立:

G n , λ ( k ) ( x + y ) = l = 0 n ( n l ) ( y λ ) n l λ n l G n , λ ( k ) ( x ) , ( n 0, k ) .

特别地,

G n , λ ( k ) ( x ) = l = 0 n ( n l ) ( x λ ) n l λ n l G n , λ ( k ) , ( n 0, k ) .

定理2 记 ( j | λ ) n = j ( j λ ) ( j 2 λ ) ( j ( n 1 ) λ ) ,有

G n , λ ( k ) + G n , λ ( k ) ( 1 ) = m = 0 j = 0 m + 1 ( m + 1 j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n 0 , k ) .

定理3 记 ( j | λ ) n = j ( j λ ) ( j 2 λ ) ( j ( n 1 ) λ ) ,有

G n , λ ( k ) = m = 0 j = 0 m ( m j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n 0, k ) .

定理4 记 ( j | λ ) n = j ( j λ ) ( j 2 λ ) ( j ( n 1 ) λ ) ,有

G n , λ ( k 1 ) = ( 1 + λ n ) G n , λ ( k ) + G n + 1 , λ ( k ) + m = 0 n ( n m ) ( λ 1 | λ ) n m G m + 1 , λ ( k ) , ( n 1 , k ) .

定理5 记 ( j | λ ) n = j ( j λ ) ( j 2 λ ) ( j ( n 1 ) λ ) ,有

G n , λ ( k ) = m = 0 j = 0 m ( m j ) ( j | λ ) n ( m + 1 ) k , ( n 1 , k ) .

2. 预备知识

2.1. Stirling序列的定义 [5]

第一类Stirling数 S 1 ( n , l ) 通过下降阶乘 ( x ) n 的展开式中x的幂的系数定义:

( x ) n = l = 0 n S 1 ( n , l ) x l ,

第二类Stirling数 S 2 ( n , l ) 则被定义为:

x n = l = 0 n S 2 ( n , l ) ( x ) l .

这里,当 n 1 时,下降阶乘 ( x ) n = x ( x 1 ) ( x 2 ) ( x n + 1 ) ( x ) 0 定义为1。

2.2. 退化的概念 [5]

λ , t ,退化的指数函数 e λ x ( t ) 定义为:

e λ x ( t ) = ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 ( x ) n , λ t n n ! ,

其中 ( x ) n , λ 是退化的下降阶乘,当 n 1 ( x ) n , λ = x ( x λ ) ( x 2 λ ) ( x ( n 1 ) λ ) , ( x ) 0 , λ = 1

x = 1 时,

e λ ( t ) = ( 1 + λ t ) 1 λ ,

注意到, lim λ 0 + e λ x ( t ) = lim λ 0 + ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 ( x t ) n n ! = e x t

2.3. 退化的Stirling数,Euler多项式,Bernoulli多项式 [5]

λ , t ,退化的第二类Stirling数 S 2, λ ( n , k ) 定义为:

1 k ! ( e λ ( t ) 1 ) = n = k S 2 , λ ( n , k ) t n n ! .

注意到, l i m λ 0 S 2. λ ( n , k ) = S 2 ( n , k ) , ( n , k 0 )

λ , t ,退化的Euler多项式 E n , λ ( x ) 由如下的生成函数给出:

2 e λ ( t ) + 11 e λ x ( t ) = t ( 1 + λ t ) 1 λ + 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 E n , λ ( x ) t n n ! ,

x = 0 , E n , λ = E n , λ ( 0 ) 称为退化的Euler数。注意到,

2 e t + 1 e x t = lim λ 0 t ( 1 + λ t ) 1 λ 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 lim λ 0 β n , λ ( x ) t n n ! ,

所以有 E n ( x ) = l i m λ 0 E n , λ ( x )

λ , t ,退化的Bernoulli多项式 β n , λ ( x ) 由如下生成函数给出:

t e λ ( t ) 1 e λ x ( t ) = t ( 1 + λ t ) 1 λ 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 β n , λ ( x ) t n n ! ,

x = 0 , β n , λ = β n , λ ( 0 ) 称为退化的Bernoulli数。注意到,

2 e t + 1 e x t = l i m λ 0 t ( 1 + λ t ) 1 λ 1 ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 l i m λ 0 β n , λ ( x ) t n n ! ,

所以有 B n ( x ) = l i m λ 0 β n , λ ( x )

2.4. 完全退化的Poly-Bernoulli多项式 [14]

k ,完全退化的poly-Bernoulli多项式 β n , λ ( k ) 的生成函数如下:

L i k ( 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ) 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 β n , λ ( k ) ( x ) t n n ! ,

x = 0 , β n , λ ( k ) = β n , λ ( k ) ( 0 ) 称为完全退化的poly-Bernoulli数。注意到,

L i k ( 1 e t ) 1 e t e x t = lim λ 0 L i k ( 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ) 1 ( 1 + λ t ) 1 λ ( 1 + λ t ) x λ = n = 0 lim λ 0 β n , λ ( k ) ( x ) t n n ! ,

所以有 B n ( k ) ( x ) = l i m λ 0 β n , λ ( k ) ( x )

3. 关于完全退化的Poly-Genocchi数和多项式的组合恒等式

我们需要下面的引理。

引理 对退化的Genocchi多项式 G n , λ ( x ) ,我们有

(1) n = 0 ( G n , λ ( 1 ) + G n , λ ) t n n ! = 2 t , G n , λ ( 1 ) + G n , λ = 2 δ 1, n ( n 0 ) , G 0, λ = 0

(2) G n , λ ( x ) = l = 0 ( n l ) G n , λ λ n l ( x λ ) n l

证明 (1) 根据退化的Genocchi多项式的定义(5),当x分别取1和0时有

(2) 根据退化的Genocchi多项式的定义(5)有

这里是第一类Stirling数。 □

定理1 下面等式成立:

(8)

特别地,

(9)

定理1的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式的定义(7)有

这里是第一类Stirling数,比较上式两端关于项的系数,得到

特别地,当时,有

比较上式两端关于项的系数即得定理的结论。 □

定理2 记,有

(10)

定理2的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式的定义(7)有

比较上式两端关于项的系数即得定理的结论。 □

定理3 记,有

(11)

定理3的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式的定义(7)有

比较上式两端关于项的系数即得定理的结论。 □

定理4 记,有

(12)

定理4的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式的定义(7)有

(13)

(14)

比较等式(13),(14)得到

进一步化简得:

比较上式两端关于项的系数,得到

此即得定理的结论。 □

定理5 记,有

(15)

定理5的证明 根据完全退化的poly-Genocchi多项式的定义(7)有

于是

比较上式两端关于项的系数即得定理的结论。 □

文章引用

秦 松. 完全退化的Poly-Genocchi多项式
Fully Degenerate Poly-Genocchi Polynomials[J]. 理论数学, 2020, 10(04): 345-355. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104044

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