一类非线性四阶边值问题正解的存在性 The Existence of Positive Solutions for a Class of Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems

doi:10.12677/PM.2020.1011131

Pure Mathematics
Vol. 10 No. 11 ( 2020 ), Article ID: 38900 , 9 pages
10.12677/PM.2020.1011131

一类非线性四阶边值问题正解的存在性

杨丽娟

●How to Cite this Article

西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州

收稿日期：2020年10月30日；录用日期：2020年11月20日；发布日期：2020年11月27日

摘要

研究了非线性四阶常微分方程(ordinary differential equation，简称ODE)边值问题 ${\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = r f (t, u (t), u^{'} (t)), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0, \end{array}$ 其中r是一个正参数，非线性项 $f : [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty) \to [0, \infty)$ 为连续函数，且存在常数 $a, b, c, d \in [0, \infty)$ 满足 $a + b > 0, c + d > 0$ ，使得当 $u \to 0$ 时， $f (t, u, p) = a u + b p +$ $o (| (u, p) |)$ ，当 $u \to \infty$ 时， $f (t, u, p) = c u + d p + o (| (u, p) |)$ ，通过运用全局分歧理论，证明了该问题正解的存在性。

关键词

四阶ODE，正解，分歧理论，Krein-Rutman定理

The Existence of Positive Solutions for a Class of Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems

Lijuan Yang

College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu

Received: Oct. 30^th, 2020; accepted: Nov. 20^th, 2020; published: Nov. 27^th, 2020

ABSTRACT

This article studies the boundary value problems of nonlinear fourth-order ordinary differential equations ${\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = r f (t, u (t), u^{'} (t)), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0, \end{array}$ where r is a positive parameter, nonlinearity $f : [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty) \to [0, \infty)$ is a continuous function, and there exist four constants $a, b, c, d \in [0, \infty)$ satisfying $a + b > 0, c + d > 0$ , so when $u \to 0$ , $f (t, u, p) = a u + b p + o (| (u, p) |)$ ; when $u \to \infty$ , $f (t, u, p) = c u + d p + o (| (u, p) |)$ . The existence of positive solutions is obtained by using the global bifurcation theorem.

Keywords:Fourth-Order ODE, Positive Solution, Bifurcation Theorem, Krein-Rutman Theorem

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1. 引言

本文研究非线性四阶常微分方程边值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = r f (t, u (t), u^{'} (t)), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0 \end{array}$ (1)

其中r是一个正参数，非线性项 $f : [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty) \to [0, \infty)$ 为连续函数。该方程的实际应用背景是平衡状态下的弹性梁，其一端固定而另一端自由。对于该类问题的可解性，许多学者用不同的方法研究过 [1] - [7]。比如，文献 [1] [3] [4] 运用锥上的不动点定理研究了其正解的存在。文献 [2] 通过单调迭代方法获得了其单调正解的存在性。然而，文献 [1] - [7] 虽然都得到了问题(1)解或正解的存在性，但由于所使用的工具的局限性，均无法得到问题(1)正解的全局结构。

2005年，Ma [8] 率先研究了四阶两点边值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = f (t, u (t), u^{″} (t)), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{″} (0) = u (1) = u^{″} (1) = 0 \end{array}$ (2)

其中非线性项f满足：

(C1) $f : [0, 1] \times [0, \infty) \times (- \infty, 0] \to [0, \infty)$ 为连续函数，且存在常数 $α_{1}, β_{1}, α_{2}, β_{2} \in [0, \infty)$ 满足 $α_{1} + β_{1} > 0, α_{2} + β_{2} > 0$ ，使得

$f (t, u, p) = α_{1} u - β_{1} p + o (| (u, p) |)$ ，当 $| (u, p) | \to 0$ 时

对 $t \in [0, 1]$ 一致成立，及

$f (t, u, p) = α_{2} u - β_{2} p + o (| (u, p) |)$ ，当 $| (u, p) | \to \infty$ 时

对 $t \in [0, 1]$ 一致成立，这里 $| (u, p) | : = \sqrt{u^{2} + p^{2}}$ 。

(C2) $f (t, u, p) > 0$ 对 $t \in [0, 1]$ ， $(u, p) \in ([0, \infty) \times (- \infty, 0]) \ {(0, 0)}$ 。

(C3) 存在常数 $α_{0}, β_{0} \in [0, \infty)$ 满足 $α_{0} + β_{0} > 0$ ，使得

$f (t, u, p) \geq α_{0} u - β_{0} p, (t, u, p) \in [0, 1] \times [0, \infty) \times (- \infty, 0]$ .

设 $λ_{1} (α_{i}, β_{i}) (i = 1, 2)$ 是广义线性特征值问题

$\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = λ (α_{i} u (t) - β_{i} u^{″} (t)), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{″} (0) = u (1) = u^{″} (1) = 0 \end{array}$

的正特征值。

在满足以上假设的条件下，文献 [8] 得到如下结果：

定理A 假设条件(C1)~(C3)成立。若下列条件之一成立：

i) $λ_{1} (α_{1}, β_{1}) < 1 < λ_{1} (α_{2}, β_{2})$ ；

ii) $λ_{1} (α_{2}, β_{2}) < 1 < λ_{1} (α_{1}, β_{1})$ ，

则问题(2)至少存在一个正解。

值得注意的是，文献 [8] 不仅得到了问题(2)正解的存在性，而且运用全局分歧理论得到了问题(2)正解的全局结构。现在自然要问，对于问题(1)，是否也可以通过运用分歧理论，在非线性项f满足一定的条件下，得到问题(1)正解的全局结构呢？受文献 [8] 启发，本文通过运用全局分歧理论，获得了问题(1)正解的全局结构。

本文总假定：

(H1) $f : [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty) \to [0, \infty)$ 为连续函数，且存在常数 $a, b, c, d \in [0, \infty)$ 满足 $a + b > 0$ ， $c + d > 0$ ，使得

$f (t, u, p) = a u + b p + o (| (u, p) |)$ ，当 $| (u, p) | \to 0$ 时

对 $t \in [0, 1]$ 一致成立，及

$f (t, u, p) = c u + d p + o (| (u, p) |)$ ，当 $| (u, p) | \to \infty$ 时

对 $t \in [0, 1]$ 一致成立，这里 $| (u, p) | : = \sqrt{u^{2} + p^{2}}$ 。

(H2) $f (t, u, p) > 0$ 对 $t \in [0, 1]$ ， $(u, p) \in ([0, \infty) \times [0, \infty)) \ {(0, 0)}$ 。

(H3) 存在常数 $a_{0}, b_{0}$ 满足 $a_{0} + b_{0} > 0$ 使得 $f (t, u, p) \geq a_{0} u + b_{0} p$ ， $(t, u, p) \in [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty)$ 。

2. 预备知识

设 $C [0, 1]$ 为实值连续函数构成的空间，其在范数

${‖ u ‖}_{C} = \max_{t \in [0, 1]} | u (t) |$

下构成Banach空间。

令 $X = {u \in C^{3} [0, 1] | u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0}$ ，其在范数

${‖ u ‖}_{X} = \max {{‖ u ‖}_{C}, {‖ u^{'} ‖}_{C}, {‖ u^{″} ‖}_{C}, {‖ u^{‴} ‖}_{C}}$

下构成Banach空间。

设 $(E, ‖ \cdot ‖)$ 是一个Banach空间， $K \subset E$ 是E中的一个锥。 $A : [0, \infty) \times K \to E$ 是一个非线性算子。如果 $A ([0, \infty) \times K) \subseteq K$ ，则称非线性算子A是正的。若A是连续的且A将 $[0, \infty) \times K$ 中的有界集映为E中的准紧子集，则称非线性算子A是K-全连续的。设 $V : E \to E$ 是一个正线性算子，如果 $A (λ, u) \geq λ V (u)$ 对 $(λ, u) \in [0, \infty) \times K$ 成立，则称V是关于A的线性弱函数。

设B是E上的线性连续算子，令 $r (B)$ 为B的谱半径，定义集合 $C_{K} (B) = {λ \in [0, \infty) |$ 存在 $x \in K$ 且 $‖ x ‖ = 1$ ，使得 $x = λ B x}$ 。

引理1 [9] 假设

i) K有非空的内部，且 $E = \bar{K - K}$ ，

ii) $A : [0, \infty) \times K \to E$ 是K-全连续的正算子，对 $λ \in R$ ， $A (λ, 0) = 0$ 且

$A (λ, u) = λ B u + F (λ, u)$ ,

其中 $B : E \to E$ 是线性强正紧算子且 $r (B) > 0$ ， $F : [0, \infty) \times K \to E$ 满足当 $‖ u ‖ \to 0$ 时， $‖ F (t, u) ‖ = o (‖ u ‖)$ 对 $λ$ 局部一致成立，则集合

$D_{K} (A) = {(λ, u) \in [0, \infty) \times K | u = A (λ, u), u \neq 0} \cup (r {(B)}^{- 1}, 0)$

存在一个无界连通分支 $C$ 且 $(r {(B)}^{- 1}, 0) \in C$ 。更进一步，如果V是A的一个线性弱函数，且存在 $(μ, y) \in (0, \infty) \times K$ ，使得 $‖ y ‖ = 1$ 且 $μ V y \geq y$ ，则

$C \subseteq {D_{K} (A) \cap ([0, μ] \times K)}$ .

引理2 [9] (Krein-Rutman定理)设E是一个Bannach空间， $K \subset E$ 是一个锥满足 $\bar{K ∖ K} = E$ 。设 $T \in L (E)$ 是一个紧的正算子，并且 $r (T) > 0$ ，则 $r (T)$ 是T的具有正特征函数的正特征值。

引理3 若 $φ \in C [0, 1], u \in C^{4} [0, 1]$ ，则线性边值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} (t) = φ (t), t \in (0, 1), \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0 \end{array}$

存在唯一解

$u (t) = \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) φ (s) d s$ ,

其中

$G_{1} (t, s) = {\begin{array}{l} \frac{1}{6} s^{2} (3 t - s), 0 \leq s \leq t \leq 1, \\ \frac{1}{6} t^{2} (3 s - t), 0 \leq t \leq s \leq 1 \end{array}$

而

$u^{'} (t) = \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) φ (s) d s$ ,

其中

$G_{2} (t, s) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} s^{2}, 0 \leq s \leq t \leq 1, \\ t s - \frac{1}{2} t^{2}, 0 \leq t \leq s \leq 1 \end{array}$

为了研究问题(2)，需要考虑线性特征值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} = λ (α u + β u^{'}), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0 \end{array}$ (3)

其中 $(α, β) \in [0, \infty) \times [0, \infty)$ 均为常数且满足 $α + β > 0$ 。

定义1 [9] 如果 $λ$ 使得问题(3)有非平凡解，则称 $λ$ 是问题(3)的广义特征值。

接下来，定义锥

$P = {u \in X | u (t) \geq 0, u^{'} (t) \geq 0, t \in [0, 1]}$ ,

则P是正规的且有非空内部， $X = \bar{P \ P}$ 。

对于线性特征值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} = λ (a u + b u^{'}), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0 \end{array}$ (4)

定义算子 $T : P \to C [0, 1]$ 为

$T u (t) = λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) a u (s) d s + λ \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) b u (s) d s$ .

下证 $T (P \ {0}) \subset int P$ 且 $T : P \to P$ 是全连续的。

引理 4 $T (P \ {0}) \subset int P$ 。

证明根据锥P的定义 $P \ {0}$ 意味着 $u (t) > 0$ ，由边界条件 $u (0) = 0$ 知，此时 $t \in (0, 1]$ ，故对任意的 $u \in P \ {0}$ ，

$(T u) (t) = λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) a u (s) d s + λ \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) b u (s) d s > 0$ .

因此 $T u (t) \subset int P$ ，即 $T (P \ {0}) \subset int P$ 。

引理5 $T : P \to P$ 是全连续的。

证明对任意的 $t \in [0, 1]$ ，若存在一列 $u_{n} (t) \to u (t) (n \to \infty)$ 于P，有

$\begin{matrix} \lim_{n \to \infty} | T u_{n} (t) - T u (t) | = \lim_{n \to \infty} λ | \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) a u_{n} (s) d s - \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) a u (s) d s \\ + \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) b u_{n} (s) d s - \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) b u (s) d s | \\ \leq \lim_{n \to \infty} λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) a | u_{n} (s) - u (s) | d s + λ \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) b | u_{n} (s) - u (s) | d s \\ = 0 \end{matrix}$

这表明当 $u_{n} (t) \to u (t) (n \to \infty)$ 时，有 $T u_{n} (t) \to T u (t)$ ，由Heine定理，T连续且在P中一致有界。

对任意的 $ε > 0$ ，存在 $δ = \frac{6 ϵ}{λ {‖ u ‖}_{C} (2 a + 3 b)} > 0$ ，使得 $| t_{1} - t_{2} | < δ, t_{1}, t_{2} \in [0, 1]$ 及 $u \in P$ 时，有

$\begin{matrix} | T u (t_{1}) - T u (t_{2}) | = λ | \int_{0}^{1} G_{1} (t_{1}, s) a u (s) d s - \int_{0}^{1} G_{1} (t_{2}, s) a u (s) d s \\ + \int_{0}^{1} G_{2} (t_{1}, s) b u_{n} (s) d s - \int_{0}^{1} G_{2} (t_{2}, s) b u (s) d s | \\ \leq λ | \int_{t_{1}}^{t_{2}} G_{1} (t, s) a u (s) d s | + λ | \int_{t_{1}}^{t_{2}} G_{2} (t, s) b u (s) d s | \\ \leq λ {‖ u ‖}_{C} | \int_{t_{1}}^{t_{2}} G_{1} (t, s) d s | + λ b {‖ u ‖}_{C} | \int_{t_{1}}^{t_{2}} G_{2} (t, s) d s | \\ \leq λ a {‖ u ‖}_{C} \cdot \frac{1}{3} | t_{1} - t_{2} | + λ b {‖ u ‖}_{C} \cdot \frac{1}{2} | t_{1} - t_{2} | \\ = \frac{λ {‖ u ‖}_{C} (2 a + 3 b)}{6} | t_{1} - t_{2} | < ε \end{matrix}$

因此T等度连续。由Arzela-Ascoli定理，T全连续。

由引理4，T是强正算子，故T一定是正算子，又由引理5，T是紧算子。结合引理2，T存在一个正特征值 $λ_{1} (a, b)$ ，且 $λ_{1} (a, b)$ 具有正特征函数 $φ_{1} (t)$ 。同理证得广义特征值问题

${\begin{array}{l} u^{(4)} = λ (c u + d u^{'}), 0 < t < 1, \\ u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0 \end{array}$ (5)

存在一个正特征值 $λ_{1} (c, d)$ ，且 $λ_{1} (c, d)$ 具有正特征函数 $ϕ_{1} (t)$ 。

3. 主要结果

定理1 假设(H1)~(H3)成立。若下列条件之一成立：

i) $λ_{1} (a, b) < r < λ_{1} (c, d)$ ；

ii) $λ_{1} (c, d) < r < λ_{1} (a, b)$ ，

则问题(1)至少存在一个正解。

定义算子 $L : D (L) \to C [0, 1]$ 为

$L u = u^{(4)}, u \in D ( L )$

其中 $D (L) = {u \in C^{4} [0, 1] | u (0) = u^{'} (0) = u^{″} (1) = u^{‴} (1) = 0}$ 。结合引理5知，算子 $L^{- 1} : C [0, 1] \to D (L)$ 是紧的。

令 $ζ, ξ \in C ([0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty))$ 使得

$\begin{array}{l} f (t, u, p) = a u + b p + ζ (t, u, p), \\ f (t, u, p) = c u + d p + ξ (t, u, p) \end{array}$

显然，由(H1)知

$\lim_{| (u, p) | \to 0} \frac{ζ (t, u, p)}{| (u, p) |} = 0$ ，对 $t \in [0, 1]$ 一致成立，

$\lim_{| (u, p) | \to \infty} \frac{ξ (t, u, p)}{| (u, p) |} = 0$ ，对 $t \in [0, 1]$ 一致成立。

令

$\tilde{ξ} (r) = \max {| ξ (t, u, p) | : 0 \leq | (u, p) | \leq r}$ ,

则 $\tilde{ξ} (r)$ 非减且 $\lim_{r \to \infty} \frac{\tilde{ξ} (r)}{r} = 0$ 。

考虑分歧问题

$L u = λ r (a u + b u^{'}) + λ r ζ (t, u, u^{'})$ (6)

从平凡解 $u \equiv 0$ 处产生的分歧。由引理3，问题(6)等价于

$u (t) = λ [\int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r a u (s) d s + \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r b u (s) d s] + λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s : = A (λ, u) (t)$ .

定义 $B : X \to X$ 为

$B u (t) : = \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r a u (s) d s + \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r b u (s) d s$ .

由引理4，B是X上的强正算子，又根据引理5， $B : X \to X$ 全连续。故由文献 [10] (定理3.2)知，

$r (B) = {[λ_{1} (a, b)]}^{- 1}$ .

定义 $F : [0, \infty) \times P \to X$ 为

$F (λ, u) (t) : = λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s$ .

则对任意有界的 $λ$ ，

$\begin{matrix} {‖ F (λ, u) ‖}_{X} = \max_{0 \leq t \leq 1} {| λ \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s |, | λ \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s | \begin{matrix} \underset{}{} \end{matrix} \\ | λ \int_{0}^{1} \frac{\partial G_{2} (t, s)}{\partial t} r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s |, | λ \int_{0}^{1} \frac{\partial^{2} G_{2} (t, s)}{\partial t^{2}} r ζ (s, u (s), u^{'} (s)) d s |} \\ \leq C_{1} {‖ ζ (t, u (t), u^{'} (t)) ‖}_{C} \end{matrix}$

则

$\lim_{{‖ u ‖}_{X} \to 0} \frac{{‖ F (λ, u) ‖}_{X}}{{‖ u ‖}_{X}} \leq \lim_{{‖ u ‖}_{X} \to 0} \frac{C_{1} {‖ ζ (t, u, u^{'}) ‖}_{C}}{{‖ u ‖}_{X}} \leq \lim_{{‖ u ‖}_{C} \to 0} \frac{C_{1} {‖ ζ (t, u, u^{'}) ‖}_{C}}{{‖ u ‖}_{C}} = 0$ ,

即 ${‖ F (λ, u) ‖}_{X} = o ({‖ u ‖}_{X})$ 关于 $λ$ 局部一致。

结合条件(H2)，引理1和引理4，若 $λ > 0$ 且 $(λ, u)$ 是(6)的一个非平凡解，则 $u \in int P$ 且存在集合

${(λ, u) \in (0, \infty) \times P : u = A (λ, u), u \in int P} \cup {(λ_{1} (a, b), 0)}$

的一个无界连通分支 $C$ 使得 $(λ_{1} (a, b), 0) \in C$ 。

定理1的证明显然，问题(6)的任意一个形如 $(r, u)$ 的解均是问题(1)的解u。将证明在 $R \times X$ 中，连通分支 $C$ 穿过超平面 ${1} \times X$ 。为此只需证 $C$ 连接 $(λ_{1} (a, b), 0)$ 到 $(λ_{1} (c, d), \infty)$ 。令 $(μ_{n}, y_{n}) \in C$ 满足

$μ_{n} + {‖ y_{n} ‖}_{X} \to \infty$ .

注意到，对于任意的 $n \in N$ ， $μ_{n} > 0$ 。因为当 $λ = 0$ 时，问题(6)仅有平凡解，且 $C \cap ({0} \times X) = \emptyset$ 。

情形1 $λ_{1} (c, d) < r < λ_{1} (a, b)$ 。

在这种情况下，证明

$(λ_{1} (c, d), λ_{1} (a, b)) \subseteq {λ \in R | \exists (λ, u) \in C}$ .

第一步。证明若存在一个常数 $M > 0$ 使得

$μ_{n} \subset (0, M]$ , (7)

则 $C$ 连接 $(λ_{1} (a, b), 0)$ 到 $(λ_{1} (c, d), \infty)$ 。

由式(7)知， ${‖ y_{n} ‖}_{X} \to \infty$ 。下面考虑问题

$L y_{n} = μ_{n} (r c y_{n} + r d {y^{'}}_{n}) + μ_{n} r ξ (t, y_{n}, {y^{'}}_{n})$ ,

令 ${\bar{y}}_{n} = \frac{y_{n}}{{‖ y_{n} ‖}_{X}}$ ，因为在X中是有界的，所以对于 $\bar{y} \in X$ ，存在 ${\bar{y}}_{n} \to \bar{y}$ (这里仍用 ${\bar{y}}_{n} \to \bar{y}$ 代表它的收敛子列)且 ${‖ \bar{y} ‖}_{X} = 1$ 。进一步，由于 $\tilde{ξ}$ 是非减的，于是

$\lim_{n \to \infty} \frac{| ξ (y_{n} (t)) |}{{‖ y_{n} ‖}_{X}} = 0$ ,

注意到

$\frac{| ξ (y_{n} (t)) |}{{‖ y_{n} ‖}_{X}} \leq \frac{\tilde{ξ} (| y_{n} (t) |)}{{‖ y_{n} ‖}_{X}} \leq \frac{\tilde{ξ} ({‖ y_{n} ‖}_{C})}{{‖ y_{n} ‖}_{X}} \leq \frac{\tilde{ξ} ({‖ y_{n} ‖}_{X})}{{‖ y_{n} ‖}_{X}}$ ,

因此

$\bar{y} (t) : = \bar{μ} \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r c \bar{y} (s) d s + \bar{μ} \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r d \bar{y} (s) d s$ ,

这里 $\bar{μ} : = \lim_{n \to \infty} μ_{n}$ (这里仍用 ${\bar{μ}}_{n}$ 代表它的收敛子列)。因此

$L \bar{y} = \bar{μ} (c \bar{y} + d {\bar{y}}^{'})$ ,

而 $\bar{μ} = λ_{1} (c, d)$ ，因此 $C$ 连接 $(λ_{1} (a, b), 0)$ 和 $(λ_{1} (c, d), \infty)$ 。

第二步。将证明确实存在一个常数M，使得对于任意的 $n \in ℕ$ 有 $μ_{n} \in (0, M]$ 。由引理1，仅需要证明A有一个线性弱函数V且存在 $(μ, y) \in (0, \infty) \times P$ ，使得 ${‖ y ‖}_{X} = 1$ 且 $μ V y \geq y$ 。

由(H3)，存在常数 $a_{0}, b_{0} \in [0, \infty)$ 满足 $a_{0} + b_{0} > 0$ ，使得

$f (t, u, p) \geq a_{0} u + b_{0} p, (t, u, p) \in [0, 1] \times [0, \infty) \times [0, \infty)$

对于 $u \in X$ 。令

$V u (t) : = \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r a_{0} u (s) d s + \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r b_{0} u (s) d s$ .

则V是A的一个线性弱函数。进一步，存在 $(λ_{1} (a_{0}, b_{0}), ψ_{1} (t)) \in (0, \infty) \times P$ 使得 ${‖ ψ_{1} (t) ‖}_{X} = 1$ 且 $λ_{1} (a_{0}, b_{0}) V ψ_{1} (t) = ψ_{1} (t)$ 。事实上，

$\begin{array}{l} λ_{1} (a_{0}, b_{0}) V ψ_{1} (t) \\ = λ_{1} (a_{0}, b_{0}) \int_{0}^{1} G_{1} (t, s) r a_{0} ψ_{1} (s) d s + λ_{1} (a_{0}, b_{0}) \int_{0}^{1} G_{2} (t, s) r b_{0} ψ_{1} (s) d s \\ = ψ_{1} (t) . \end{array}$

因此，由引理1，

$| μ_{n} | \leq λ_{1} (a_{0}, b_{0})$ .

情形2 $λ_{1} (a, b) < r < λ_{1} (c, d)$ 。

在这种情况下，若存在 $(μ_{n}, y_{n}) \in C$ 使得

$\lim_{n \to \infty} (μ_{n} + {‖ y_{n} ‖}_{X}) = \infty$ ,

且

$\lim_{n \to \infty} μ_{n} = \infty$ ,

则

$(λ_{1} (a, b), λ_{1} (c, d)) \subseteq {λ \in (0, \infty) | \exists (λ, u) \in C}$ ,

且

$({1} \times X) \cap C \neq \emptyset$ .

假设存在 $M > 0$ ，使得对任意 $n \in N$ ，有

$μ_{n} \in (0, M]$ .

类似于情形1的第一步的证明过程，有

$(μ_{n}, y_{n}) \to (λ_{1} (c, d), \infty), n \to \infty$

因此 $C$ 连接 $(λ_{1} (a, b), 0)$ 和 $(λ_{1} (c, d), \infty)$ 。

文章引用

杨丽娟. 一类非线性四阶边值问题正解的存在性
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