Pure Mathematics
Vol.
11
No.
01
(
2021
), Article ID:
39955
,
4
pages
10.12677/PM.2021.111013
Jørgensen不等式的推广
李娜
河南大学数学与统计学院,河南 开封
收稿日期:2020年12月14日;录用日期:2021年1月15日;发布日期:2021年1月25日
摘要
假设Möbius变换f和g生成一个离散群,我们得到下列Jørgensen不等式的推广:1:若 为M的离散子群且 ,则 ;2:若 为M的离散子群且 ,则 ;3:若 为M的离散子群且 ,则 。
关键词
离散群,Möbius变换,Jørgensen不等式
The Generalization of Jørgensen’s Inequality
Na Li
Department of Mathematics and Statistics, Henan University, Kaifeng Henan
Received: Dec. 14th, 2020; accepted: Jan. 15th, 2021; published: Jan. 25th, 2021
ABSTRACT
Assume that Möbius transformation f and g genenrate a discrete group. We obtain the following generalizations of Jørgensen’s inequalities: 1: If is a subgroup of M and , then ; 2: If is a subgroup of M and , then ; 3: If is a subgroup of M and , then .
Keywords:Discrete Group, Möbius Transformation, Jørgensen’s Inequality
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
令f和g为两个Möbius变换, 为其生成的离散非初等群,则它满足Jørgensen不等式 [1]
Jørgensen不等式一个重要的作用是可以判断一个二元生成群是否为离散群。历年来,很多学者对其进行研究,并且得到了一系列Jørgensen不等式的推广。这些推广主要分为两类。一类是当限定 的取值范围时,探讨 的取值范围,参见 [2] 和 [3]。另一类是固定不等式中 的形式,变换 中的常数项,来得到两项之和的取值范围,参见 [2] 和 [4]。
本文将在已有结果的基础上,通过固定 的形式,变换 中a的取值,来得到几个不等式的推广。
本文的安排如下:在第2节中,我们将给出本文将用到的主要定义、记号及在证明本文主要结果中用到的经典定理。在第3节中,我们将给出本文的主要结果及证明。
2. 预备知识
令M表示扩充复平面 上的所有的Möbius变换构成的群。设Möbius变换
对应的矩阵为
并且令 ,其中 表示矩阵A的迹。
设f和g为Möbius变换,令
我们称 为二元生成群 的参数,并记为 。这些参数并不依赖于 中f和g的矩阵表示的选择。当 时,由 [5] 可知 可以在共轭等价的意义下唯一确定 。
M中的元素除去单位变换外可以分为三类:
1) f是椭圆元素当且仅当 ;
2) f是斜驶元素当且仅当 ;
3) f是抛物元素当且仅当 。
Cao. C在 [2] 中给出了关于二元生成离散群的如下必要条件。我们将利用如下定理及迹的相关知识,得到我们的主要结果。
定理2.1 [2]:假设 是M的一个离散子群,并且 ,。若f不是二阶的椭圆元素,则
并且上述每一个不等式都是最优的。
3. 主要结果
本节我们将通过选取合适的子群,利用定理2.1及不等式求最值的方法,来得到Jørgensen不等式的推广。为了书写方便,我们记 。
定理3.1若 为M的离散子群且 ,则 。
证明:因为 为离散群,所以其子群 也为离散群。根据定理2.1,我们知道若 , 且 不为二阶椭圆元素,又由
得到当 时,
从而我们得到
而当 时,上式显然成立。定理得证。
定理3.2若 为M的离散子群且 ,则 。
证明:我们考虑 的子群 。由
及定理2.1,我们可得当 时,
从而我们得到
而当 时,上式显然成立。定理得证。
定理3.3若 为M的离散子群且 ,则 。
证明:类似定理3.1的证明,我们考虑 的子群 ,若 , 且 不为二阶椭圆元素,得到当 时,
从而我们得到
而当 时,上式显然成立。定理得证。
注:事实上,在证明上述不等式的过程中,我们对于子群和约束条件的选取是有充分考量的。为了得到理想的全局下界做了多番尝试。虽然上述不等式不一定是最优的,但是也依然提供给我们一种得到Jørgensen不等式推广的方法。
基金项目
感谢河南省高等学校重点科研项目计划(项目编号:18A110015)的支持。
文章引用
李 娜. Jørgensen不等式的推广
The Generalization of Jørgensen’s Inequality[J]. 理论数学, 2021, 11(01): 90-93. https://doi.org/10.12677/PM.2021.111013
参考文献
- 1. Jørgensen, T. (1976) On Discrete Groups of Möbius Transformations. American Journal of Mathematics, 98, 737-749. https://doi.org/10.2307/2373814
- 2. Cao, C. (1995) Some Trace Inequalities for Discrete Groups of Möbius Transformations. Proceedings of the American Mathematical Society, 123, 3807-3815. https://doi.org/10.2307/2161910
- 3. Gehring, F.W. and Martin, G.J. (1991) Some Universal Constraints for Discrete Möbius Groups. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0967-6_25
- 4. Tan, D. (1989) On Two-Generator Discrete Groups of Möbius Transformations. Proceedings of the American Mathematical Society, 106, 763-770. https://doi.org/10.2307/2047433
- 5. Gehring, F.W. and Martin, G.J. (1989) Stability and Extremality in Jørgensen’s Inequality. Complex Variables, Theory and Application, 12, 277-282. https://doi.org/10.1080/17476938908814372