涉及高阶导数的亚纯函数正规定则 Normal Rules for Meromorphic Functions Involving Higher-Order Derivatives

doi:10.12677/PM.2022.1212233

Pure Mathematics
Vol. 12 No. 12 ( 2022 ), Article ID: 59869 , 8 pages
10.12677/PM.2022.1212233

涉及高阶导数的亚纯函数正规定则

冉娜，杨祺^*

●How to Cite this Article

新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐

收稿日期：2022年11月25日；录用日期：2022年12月21日；发布日期：2022年12月30日

摘要

本文讨论了关于分担值的亚纯函数正规族，在Zalcman-pang引理的基础上，利用分担值的方法，并结合前人的研究，关于 $f^{(k)} (z) - a f^{n} (z)$ 和 $f^{(k)} (z) - a f^{- n} (z)$ 这两种形式IM分担b的正规定则，其中a，b为非零复数，本文将其推广到有关函数f的非零复数 $b_{f}, c_{f}$ ，得到了两个新的正规定则。

关键词

正规族，亚纯函数，分担值

Normal Rules for Meromorphic Functions Involving Higher-Order Derivatives

Na Ran, Qi Yang^*

College of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang

Received: Nov. 25^th, 2022; accepted: Dec. 21^st, 2022; published: Dec. 30^th, 2022

ABSTRACT

This paper discusses the normal family of meromorphic functions on sharing values, based on the Zalcman-pang lemma, using the method of sharing values, and combined with previous research, the positive rule of IM sharing b in the two forms $f^{(k)} (z) - a f^{n} (z)$ and $f^{(k)} (z) - a f^{- n} (z)$ , where a and b are non-zero complex numbers, this paper generalizes them to the non-zero complex number $b_{f}, c_{f}$ of the function f, and obtains two new normal rules.

Keywords:Normal Family, Meromorphic Functions, Shared Values

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言及主要结果

设 $D \subseteq ℂ$ 为一个区域， $F$ 为区域D内一族亚纯函数， ${f_{n}}$ 为函数列，如果对于 $\forall {f_{n}} \subset F$ 均存在子序列 ${f_{n_{v}}}$ 在区域D内按球距内闭一致收敛到一个亚纯函数或者 $\infty$ ，则称 $F$ 在区域D内是正规的。显然， $F$ 在D内的每一点都正规(参见 [1] [2] [3])。

设 $f (z)$ ， $g (z)$ 是区域D内的两个亚纯函数，a，b是两个复数，如果 $f (z) = a$ 则 $g (z) = b$ ，记为

$f (z) = a \Rightarrow g (z) = b$

则， $f (z) = a \Rightarrow g (z) = b$ 且 $g (z) = b \Rightarrow f (z) = a$ ，将其记为

$f (z) = a \Leftrightarrow g (z) = b$

当 $a = b$ 时，我们称f，gIM分担a。

本文我们用 $σ (x, y)$ 表示x和y的球面距离，有关球面定义见(见文献 [4])。

2000年，庞学诚和Zalcman在(文献 [5])中，证明了定理A。

定理A设为单位圆 $Δ$ 内的一族亚纯函数，a，b为互相判别的两个复数，c为一个非零复数，若对 $\forall f \in F$ ，都满足 $f (z) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (z) = a$ 和 $f (z) = c \Leftrightarrow f^{'} (z) = b$ ，则 $F$ 在单位圆 $Δ$ 内正规。

2004年，A.P. Singh和A. Singh在(文献 [6])中将定理A中的常数a，b推广到依赖于f的常数，他们证明了如下定理。

定理B设 $F$ 在单位圆 $Δ$ 内的一族亚纯函数，对任意函数 $f \in F$ ，存在非零复数 $b_{f}, c_{f}$ ，满足：

i) $\frac{b_{f}}{c_{f}}$ 为常数

ii) $\min {σ (0, b_{f}), σ (0, c_{f}) σ (c_{f}, b_{f})} \geq m$ ，其中 $m > 0$ ，

iii) $f (z) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (z) = 0$ 和 $f (z) = c_{f} \Leftrightarrow f^{'} (z) = b_{f}$ ，

则 $F$ 在单位圆 $Δ$ 内正规。

2008年，张庆彩在文献 [7] 中证明了定理C。

定理C设 $n (\geq 4) \in ℤ$ ， $a (\neq 0), b$ 为两个有穷复数，设 $F$ 为区域D内的一族亚纯函数，若对 $\forall f, g \in F$ ，满足 $f^{'} (z) - a f^{n} (z)$ 和 $g^{'} (z) - a g^{n} (z)$ 在D内IM分担b，则 $F$ 是正规的于区域D内。

2012年，由仇惠玲等人在文献 [8] 证明了定理D。

定理D设 $n, k (n \geq k + 3)$ 是一个整数， $a (\neq 0), b$ 为两个有穷复数，设 $F$ 为区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f \in F$ 的零点重级均 $\geq k$ ，如果对 $\forall f$ ， $g \in F$ ，满足 $f^{(k)} (z) - a f^{n} (z)$ 和 $g^{(k)} (z) - a g^{n} (z)$ 在D内IM分担b，则 $F$ 在区域D内正规。

2013年，由陈玮等人在文献 [9] 证明了定理E。

定理E设 $n, k (n \geq k + 1)$ 是一个整数， $a (\neq 0), b$ 为两个复数且有穷，设 $F$ 在区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f \in F$ 的零点重级均 $\geq k$ ，如果对 $\forall f, g \in F$ ，满足 $f^{(k)} (z) - a f^{- n} (z)$ 和 $g^{(k)} (z) - a g^{- n} (z)$ 在D内IM分担b，则 $F$ 在区域D内正规。

本文将根据定理A推广到定理B的方式，对定理D和定理E进行推广，得到了以下结论。

定理1设 $n, k (n \geq k + 3)$ 是一个整数， $a (\neq 0), b$ 为两个复数且有穷，设 $F$ 为区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f \in F$ 的零点重级均 $\geq k$ ，若 $\exists b_{f}, c_{f}$ 为非零复数，满足：

i) $\frac{b_{f}}{c_{f}}$ 为常数

ii) $\min {σ (0, b_{f}), σ (0, c_{f}) σ (c_{f}, b_{f})} \geq m$ ，其中 $m > 0$ ，

iii) $f^{(k)} (z) - \frac{1}{b_{f}^{n - 1}} f^{n} (z) = c_{f} \Leftrightarrow g^{(k)} (z) - \frac{1}{b_{g}^{n - 1}} g^{n} (z) = c_{g}$ ，

则 $F$ 在区域D内正规。

定理2设 $n, k (n \geq k + 1)$ 是一个整数， $a (\neq 0), b$ 为两个有穷复数，设 $F$ 在在区域D内的一族亚纯函数，其中 $\forall f \in F$ 的零点重级均 $\geq k$ ，若 $\exists b_{f}, c_{f}$ 为非零复数，满足：

i) $\frac{b_{f}}{c_{f}}$ 为常数，

ii) $\min {σ (0, b_{f}), σ (0, c_{f}) σ (c_{f}, b_{f})} \geq m$ ，其中 $m > 0$ ，

iii) $f^{(k)} (z) - b_{f}^{n + 1} f^{- n} (z) = c_{f} \Leftrightarrow g^{(k)} (z) - b_{g}^{n + 1} g^{- n} (z) = c_{g}$ ，

则 $F$ 在区域D内正规。

2. 主要引理

引理1 [10] 设 $F$ 在在单位圆 $Δ$ 内的一族亚纯函数，且族 $F$ 中任意函数的所有极点重级均 $\geq q$ ，所有零点重级均 $\geq p$ 。设 $α$ 是一个实数且满足 $- p < α < q$ 。则 $F$ 在 $z_{0}$ 处不正规 $⇌$ 存在

一个点列 $z_{j} \in Δ, z_{j} \to z_{0}$ ；

一个函数列 $f_{j} \in F$ ；

一个正数列 $ρ_{j} \to 0^{+}$ ，

使得 $g_{j} (ξ) = ρ_{j}^{α} f_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$ 在复平面 $ℂ$ 上按球距局部一致收敛到 $g (ξ)$ ，其中g是一个非常数亚纯函数，所有零点重级均 $\geq p$ ，所有级点重级均 $\geq q$ 。

引理2 [11] [12] 设 $F$ 为单位圆 $Δ$ 内的一族亚纯函数，其中 $\forall f \in F$ 的零点重级均 $\geq k$ ，必有 $| f^{(k)} (z) | \leq A$ 。若 $F$ 在 $Δ$ 内不正规，则对于 $\forall α (0 \leq α \leq k)$ ，

1) 存在点列 $z_{n} \in D, z_{n} \to z_{0}$ ，

2) 函数列 ${f_{n}} \in F$ ，

3) 一个正数列 $ρ_{n} \to 0^{+}$ 。

使得 $g_{n} (ξ) = ρ_{n}^{- α} f_{n} (z_{n} + ρ_{n} ξ)$ 在复平面 $ℂ$ 上按球距内闭一致收敛到 $g (ξ)$ (复平面上的一个非常数亚纯函数)，且所有零点重级均 $\geq k$ ，且 $g^{*} (ξ) \leq g^{*} (0) = k A + 1$ ，特别地，g的级 $\leq 2$ ，g的球面导数表示为 $g^{*} (ξ) = | g^{'} (ξ) | / [1 + {| g (ξ) |}^{2}]$ 。

由文献 [8] 引理2的证明过程中，可以得到以下结论。

引理3 [8] 设f是一个复平面的亚纯函数， $a (\neq 0)$ 是一个有穷复数， $n, k \in ℤ^{+}$ 且满足 $k \geq 2$ ， $n \geq k + 3$ 。若f的所有零点重级 $\geq k$ ，且 $f^{(k)} (z) - a f^{n} (z)$ 至多有一个判别的零点，则f是一个常数。

引理4 [13] 设 $n \geq 2, k$ 是两个整数，若f为超越亚纯函数，则 $f^{n} f^{(k)}$ 有无穷多个非零复数的根；若f为非常数有理函数，则 $f^{n} f^{(k)}$ 至少有一个非零复数的根。

引理5 [14] 设 $n, k$ 是两个整数且 $n \geq k + 1, b \neq 0$ 是一个有限复数，f为有理函数，且f的零点重数 $\geq k$ ，则 $f^{n} f^{(k)} - b$ 至少有两个互相判别的零点。

由文献 [14] 引理2.4的证明过程中可得到引理6

引理6设 $n, k$ 是两个整数且 $n \geq 2, b \neq 0$ 是一个有限复数，f为非常数多项式且零点重数 $\geq k$ ，则 $f^{n} f^{(k)} - b$ 至少有两个互相判别的零点。

引理7 [15] 设m为一个正整数，a，b，c为三个常数，Möbius变换g满足

$σ (g (a), g (b)) \geq m, σ (g (c), g (b)) \geq m, σ (g (a), g (c)) \geq m,$

则g满足李普希茨条件，即

$σ (g (z), g (w)) \leq k_{m} σ (z, w)$

这里 $k_{m}$ 是常数且与m有关。

引理8 [16] 设 $f (z)$ 为非常数亚纯函数， $0, \infty$ 均为 $f (z)$ 的Picard例外值，则 $f (z) = e^{h (z)}$ ，其中 $h (z)$ 为一个非常数整函数。

引理9 [16] 设 $h (z)$ 为一个非常数整函数， $f (z) = e^{h (z)}$ 且 $f (z)$ 的级为 $λ$ ，下级为 $μ$ ，若 $h (z)$ 为p次多项式，则 $λ = μ = p$ ；若 $h (z)$ 为超越整函数，则 $λ = μ = \infty$ 。

3. 主要结论证明

定理1的证明由定理假设，不妨设 $M = \frac{b_{f}}{c_{f}}$ ，显然可以找到两个非零复数b，c，满足 $\frac{b_{f}}{c_{f}} = \frac{b}{c}$ ，对任意 $f \in F$ ，我们定义一个Möbius变换 $I_{f} : I_{f} = \frac{c_{f} z}{c}$ ，则 $I_{f}^{- 1} = \frac{c z}{c_{f}}$ ，接下来我们证明 $G = (I_{f}^{(- 1)} \circ f) | f \in F$ 在D内正规。

用反证法证明，假设G在D内不正规，则存在 $z_{0} \in D$ ，使得G在 $z_{0}$ 处不正规，由引理1知，存在 $g_{j} \in G$ ，

$z_{j} \to z_{0}$ 和 $ρ_{j} \to 0^{+}$ ，使得 $L_{j} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$ 。

按球距内闭一致于一个非常数亚纯函数 $L (ξ)$ ，其中零点重数 $\geq k$ ，它的极至 $\leq 2$ 。

由 $L_{j} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$ 知 $L^{(k)} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$

注意到

$\begin{array}{l} ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} (g_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} g_{j}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ) - c) \\ = L_{j}^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L_{j}^{n} (ξ) - ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} c \to L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L (ξ) \end{array}$ (1)

接下来分情况讨论：

情况1 $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ) \equiv 0$ ，则 $L^{(k)} (ξ) \equiv \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ)$ ，由于 $n \geq k + 3$ 可知， $L (ξ)$ 是一个整函数，故有

$\begin{matrix} n T (r, L) = T (r, b^{n - 1} L^{(k)}) \leq T (r, L^{(k)}) + o (1) \\ \leq m (r, L^{(k)}) + N (r, L^{(k)}) + o (1) \\ \leq m (r, L) + S (r, L) \\ \leq T (r, L) + S (r, L) \end{matrix}$

即 $(n - 1) T (r, L) \leq S (r, L)$ ，故有 $T (r, L) = S (r, L)$ ，故矛盾。

情况2 $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ) \equiv 0$

(2.1) $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ) \neq 0$ 时，由文献 [17] 中的推论2可知， $L (ξ)$ 为常数，矛盾。

(2.2) $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ) = 0$ 时，下面将证明 $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ)$ 只有一个零点。

假设存在 $ξ_{0}, ξ_{0}^{*}$ 为 $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ)$ 的两个零点，选足够小的 $δ > 0$ ，使得 $D (ξ_{0}, δ) \cup D (ξ_{0}^{*}, δ) = \emptyset$ ，其中，

$\begin{array}{l} D (ξ_{0}, δ) = {ξ : | ξ - ξ_{0} | < δ}, \\ D (ξ_{0}^{*}, δ) = {ξ : | ξ - ξ_{0}^{*} | < δ}, \end{array}$

根据(1)式，由Hurwitz定理知，存在点列 $ξ_{j} \in D (ξ_{0}, δ), ξ_{j}^{*} \in D (ξ_{0}^{*}, δ)$ ，使得对于足够大的j有

$\begin{array}{l} f_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - \frac{1}{b_{f_{j}}^{n - 1}} f_{j}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - c_{f_{j}} = 0, \\ f_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - \frac{1}{b_{f_{j}}^{n - 1}} f_{j}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - c_{f_{j}} = 0. \end{array}$

由定理假设 $f^{(k)} (z) - \frac{1}{b_{f}^{n - 1}} f^{n} (z) = c_{f} \Leftrightarrow g^{(k)} (z) - \frac{1}{b_{g}^{n - 1}} g^{n} (z) = c_{g}$ 可知，对任意的正整数m，有

$f_{m}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - \frac{1}{b_{f_{m}}^{n - 1}} f_{m}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - c_{f_{m}} = 0,$

$f_{m}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - \frac{1}{b_{f_{m}}^{n - 1}} f_{m}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - c_{f_{m}} = 0.$

固定m，令 $j \to \infty$ ，并注意到 $z_{j} + ρ_{j} ξ_{j} \to z_{0}$ ， $z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*} \to z_{0}$ ，则

$f_{m}^{(k)} (z_{0}) - \frac{1}{b_{f_{m}}^{n - 1}} f_{m}^{n} (z_{0}) - c_{f_{m}} = 0.$

因为 $f_{m}^{(k)} - \frac{1}{b_{f_{m}}^{n - 1}} f_{m}^{n} - c_{f_{m}}$ 为解析函数，故其零点是孤立的，因此

$z_{j} + ρ_{j} ξ_{j} = z_{0}, z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*} = z_{0} .$

从而

$ξ_{j} = z_{0} - \frac{z_{j}}{ρ_{j}}, ξ_{j}^{*} = z_{0} - \frac{z_{j}}{ρ_{j}} .$

这显然与 $D (ξ_{0}, δ) \cap D (ξ_{0}^{*}, δ) = \emptyset$ 矛盾，故 $L^{(k)} (ξ) - \frac{1}{b^{n - 1}} L^{n} (ξ)$ 仅有一个零点。根据引理2知， $L (ξ)$ 为

常数，从而矛盾。

因此 $G = {(I_{f}^{- 1} \circ f) | f \in F}$ 在D内是正规的，即等度连续的，那么对于任意的( $\frac{ε}{k_{m}} > 0$ )，其中 $k_{m}$ 为引

理7中的常数，存在 $δ > 0$ ，使得对任意满足球面距离 $σ (x, y) < δ$ ，以及 $f \in F$ ，有

$σ ((I_{f}^{- 1} \circ f) (x), σ (I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) < \frac{ε}{k_{m}} .$

由引理7知，

$\begin{matrix} σ (f (x), f (y)) = σ ((I_{f} \circ I_{f}^{- 1} \circ f) (x), σ (I_{f} \circ I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) \\ \leq k_{m} σ ((I_{f}^{- 1} \circ f) (x) σ (I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) < ε \end{matrix}$

因此 $F$ 在D内是等度连续的，即为正规的。定理1得证。

定理2的证明由定理假设，不妨设 $M = \frac{b_{f}}{c_{f}}$ ，显然可以找到两个非零复数b，c，满足 $\frac{b_{f}}{c_{f}} = \frac{b}{c}$ ，对任意 $f \in F$ ，我们定义一个Möbius变换 $I_{f} : I_{f} = \frac{c_{f} z}{c}$ ，则 $I_{f}^{- 1} = \frac{c z}{c_{f}}$ ，接下来我们证明 $G = {(I_{f}^{- 1} \circ f) | f \in F}$ 在D内正规。

用反证法证明，假设G在D内不正规，则存在 $z_{0} \in D$ ，使得G在 $z_{0}$ 处不正规，由引理2知，存在 $g_{j} \in G$ ，

$z_{j} \to z_{0}$ 和 $ρ_{j} \to 0^{+}$ ，使得 $L_{j} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{- k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$ 。

按球距内闭一致于一个非常数亚纯函数 $L (ξ)$ ，其中零点重数 $\geq k$ ，它的极 $\leq 2$

由 $L_{j} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{- k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$ 知 $L^{(k)} (ξ) = ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} g_{j} (z_{j} + ρ_{j} ξ)$

注意到

$\begin{array}{l} ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} (g_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ) - b^{n + 1} g_{j}^{n} (z_{j} + ρ_{j} ξ) - c) \\ = L_{j}^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} T_{j}^{n} (ξ) - ρ_{j}^{\frac{n k}{n - 1}} c \to L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{n} (ξ) \end{array}$ (2)

接下来分情况讨论：

情况1 $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ) \equiv 0$ ，明显不成立，假设成立，则 $L (ξ)$ 是一个没有零点的整函数，由引理7-8知 $L (ξ) = e^{c ξ^{2} + d ξ + e}$ (c，d，e为常数，且 $c d \neq 0$ )。显然则 $L^{(k)} (ξ) L^{n} (ξ) \equiv b^{n + 1}$ 不成立。

情况2 $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ) \equiv 0$

由引理3.4.5可知， $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ)$ 至少有两个不相等零点，接下来证明，这是不可能的。

只需考虑 $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ) = 0$ 有两个不相等零点情况，

假设存在 $ξ_{0}, ξ_{0}^{*}$ 为 $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ)$ 的两个零点，选足够小的 $δ > 0$ ，使得 $D (ξ_{0}, δ) \cap D (ξ_{0}^{*}, δ) = \emptyset$ ，其中，

$\begin{array}{l} D (ξ_{0}, δ) = {ξ : | ξ - ξ_{0} | < δ}, \\ D (ξ_{0}^{*}, δ) = {ξ : | ξ - ξ_{0}^{*} | < δ}, \end{array}$

根据(2)式，并结合Hurwitz定理知，存在点列 $ξ_{j} \in D (ξ_{0}, δ), ξ_{j}^{*} \in D (ξ_{0}^{*}, δ)$ ，使得对于足够大的j有

$\begin{array}{l} f_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - b^{n + 1} f_{j}^{- n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - c_{f_{j}} = 0, \\ f_{j}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - b^{n + 1} f_{j}^{- n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - c_{f_{j}} = 0. \end{array}$

由定理假设 $f^{(k)} (z) - b_{f}^{n + 1} f^{- n} (z) = c_{f} \Leftrightarrow g^{(k)} (z) - b_{g}^{n + 1} g^{- n} (z) = c_{g}$ 可知，对任意的正整数m，有

$\begin{array}{l} f_{m}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - b_{f_{m}}^{n + 1} f_{m}^{- n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}) - c_{f_{m}} = 0, \\ f_{m}^{(k)} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - b_{f_{m}}^{n + 1} f_{m}^{- n} (z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*}) - c_{f_{m}} = 0. \end{array}$

固定m，令 $j \to \infty$ ，并注意到 $z_{j} + ρ_{j} ξ_{j} \to z_{0}$ ， $z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*} \to z_{0}$ ，则

$f_{m}^{(k)} (z_{0}) - b_{f_{m}}^{n + 1} f_{m}^{- n} (z_{0}) - c_{f_{m}} = 0$

因为 $f_{m}^{(k)} - b_{f_{m}}^{n + 1} f_{m}^{- n} - c_{f_{m}}$ 为解析函数，故其零点是孤立的，因此

$z_{j} + ρ_{j} ξ_{j} = z_{0}, z_{j} + ρ_{j} ξ_{j}^{*} = z_{0} .$

从而

$ξ_{j} = z_{0} - \frac{z_{j}}{ρ_{j}}, ξ_{j}^{*} = z_{0} - \frac{z_{j}}{ρ_{j}} .$

这显然与 $D (ξ_{0}, δ) \cap D (ξ_{0}^{*}, δ) = \emptyset$ 矛盾，故 $L^{(k)} (ξ) - b^{n + 1} L^{- n} (ξ)$ 仅有一个零点。从而矛盾。

因此 $G = {(I_{f}^{- 1} \circ f) | f \in F}$ 在D内是正规的，即等度连续的，那么对于任意的 $(\frac{ε}{k_{m}} > 0)$ ，其中 $k_{m}$ 为引

理7中的常数，存在 $δ > 0$ ，使得对任意满足球面距离 $σ (x, y) < δ$ ，以及 $f \in F$ ，有

$σ ((I_{f}^{- 1} \circ f) (x), σ (I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) < \frac{ε}{k_{m}}$ 。

由引理7知，

$\begin{matrix} σ (f (x), f (y)) = σ ((I_{f} \circ I_{f}^{- 1} \circ f) (x), σ (I_{f} \circ I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) \\ \leq k_{m} σ ((I_{f}^{- 1} \circ f) (x), σ (I_{f}^{- 1} \circ f) (y)) < ε \end{matrix}$

因此 $F$ 在D内是等度连续的，即为正规的。定理2得证。

基金项目

国家自然科学基金资助(11961068)。

文章引用

冉娜,杨祺. 涉及高阶导数的亚纯函数正规定则
Normal Rules for Meromorphic Functions Involving Higher-Order Derivatives[J]. 理论数学, 2022, 12(12): 2170-2177. https://doi.org/10.12677/PM.2022.1212233

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NOTES

^*通讯作者。

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