¹伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁

²伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁

收稿日期：2023年3月17日；录用日期：2023年4月18日；发布日期：2023年4月26日

摘要

本文利用增算子不动点定理证明了有序Banach空间中带有积分边界条件的分数阶发展方程mild解存在性，并且给出了计算该解的迭代序列，最后举例阐述了所得结论。

关键词

分数阶发展方程，非紧性测度，积分边界条件，增算子，存在性

Existence of Mild Solutions for Fractional Evolution Equations with Integral Boundary Conditions

Yong Zhang^1,2, Fangfang Hu^1,2, Zhen Xin^1,2*

¹School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

²Institute of Applied Mathematics, Yili Normal University, Yining Xinjiang

Received: Mar. 17^th, 2023; accepted: Apr. 18^th, 2023; published: Apr. 26^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, by using the fixed point theorem of increasing operators, the existence of mild solutions for fractional evolution equations with integral boundary conditions in ordered Banach spaces is proved and gives iterative sequence. Finally, an example is provided to illustrate the applications of the obtained result.

Keywords:Fractional Evolution Equations, Measure of Noncompactness, Integral Boundary Condition, Increasing Operators, Existence

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

本文研究了有序Banach空间X中带积分边界条件的分数阶发展方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^{\alpha }x\left(t\right)+Ax\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in I:=\left[0,a\right],\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$ (1)

mild解存在性。其中 ${}^{C}D{}^{\alpha }$ 是 $\alpha \left(0<\alpha \le 1\right)$ 阶Caputo型分数阶导数； $A:D\left(A\right)\subset {\rm X}\to {\rm X}$ 是稠定闭线性算子， $-A$ 生成正C₀-半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ ， $g,f:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是给定的函数。

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广。除了在数学方面的应用外，它还在流体力学，分数控制系统与分数控制器，各种电子回路，电分析化学，生物系统的电传导等方面有广泛的应用。因此，分数阶问题引起了许多学者的关注。近年来，带有积分边界条件的微分方程已有不少研究成果 [1] [2] [3] 。问题(1)是含时间t的带积分边界条件的分数阶偏微分方程初值问题的抽象模型 [4] [5] ，这类问题的研究成果较少。在文献 [6] 中，作者用逐次逼近的方法获得了问题(1)在实Banach空间X中mild解存在的充分条件。在文献 [7] 中，作者用增算子不动点定理的方法证明了方程

$x^{\prime }\left(t\right)+Ax\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in \Re$

在Banach空间X中ω-周期解的存在性，其中要求 $-A$ 生成正C₀-半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 为紧半群。随后，在文献 [8] 中，作者用Sadovskii不动点定理证明了初值问题

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)+Ax\left(t\right)=f\left(t,x\left(t\right)\right),t>0,\\ x\left(0\right)=x_0\end{array}$

在Banach空间X中mild解的存在性。

受上述工作的启发，本文在有序Banach空间中，用非紧性测度条件代替了文献 [7] 中的紧半群条件，将文献 [8] 中的初值条件 $x\left(0\right)=x_0$ 演化为非局部条件 $x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$ ，利用增算子不动点定理讨论了问题(1) mild解的存在性。证明了当问题(1)中的非线性项 $f\left(t,x\right)$ 和非局部函数 $g\left(t,x\right)$ 只需满足容易验证的序条件时，问题(1) mild解的存在性，并且给出了计算该mild解的迭代序列。

2. 预备知识

设X为Banach空间，其范数为 $\Vert \cdot \Vert$ ， $C\left(I,X\right)$ 为定义于I取值于X的连续函数之集，按范数

${\Vert x\Vert }_C=\underset{t\in I}{\max }\Vert x\left(t\right)\Vert$

构成Banach空间。本文记N为正整数集。

设K为X中的闭凸锥， $-A$ 生成的C₀-半群为正算子半群，即对 $x\ge 0$ ，有 $T\left(t\right)x\ge 0$ 。不失一般性，设 $\exists M\ge 1$ ，使得

$\Vert T\left(t\right)\Vert \le M,\forall t\ge 0$ 。

下面介绍分数阶微积分的概念：

定义1. 定义在区间I上的函数f的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶分数阶积分定义为

$I^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\text{d}s},t>0$ ，

其中 $\Gamma (\cdot )$ 是Gamma函数。

定义2. 定义在区间I上的函数f的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为

${}^{L}D{}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{t}^n}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha +1-n}}\text{d}s},t>0$ ，

其中 $\alpha \in \left(n-1,n\right]$ ， $n\in N$ 。

定义3. 定义在区间I上的函数f的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶Caputo型分数阶导数定义为

${}^{C}D{}^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha +1-n}}\text{d}s}=I_t^{n-\alpha }{f}^{\left(n\right)}\left(t\right),t>0$ ，

其中 $\alpha \in \left(n-1,n\right]$ ， $n\in N$ 。

注1：(1) Riemamn-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数有下列关系：

${}^{C}D{}^{\alpha }f\left(t\right)={}^{L}D{}^{\alpha }\left(f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{t^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(0\right)}\right)$ 。

(2) 常数的Caputo型导数为0。

(3) 如果f是X中的抽象函数，则定义1，2，3中的积分为Bochner意义下的积分。

首先，对 $\forall h\in C\left(I,X\right)$ ，考虑问题(1)相应的线性问题

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^{\alpha }x\left(t\right)+Ax\left(t\right)=h\left(t\right),t\in I,\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}.\end{array}$ (2)

由定义1，2，3可知，问题(2)可化为下列积分方程

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\left[h\left(s\right)-Ax\left(s\right)\right]\text{d}s,t\in I,}\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s.}\end{array}$

与文献 [9] 中引理3.1中的证明方法类似，可以证明下列引理：

引理1. 设 $x\in C\left(I,X\right)$ 是问题(2)的mild解，当x且仅当满足积分方程

$x\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}{T}_{\alpha }\left(t-s\right)h\left(s\right)\text{d}s,t\in I$ ，

其中

$S_{\alpha }\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_{\alpha }\left(\theta \right)T\left(t^{\alpha }\theta \right)\text{d}\theta }$ ，

$T_{\alpha }\left(t\right)=\alpha {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\theta {\xi }_{\alpha }\left(\theta \right)T}\left(t^{\alpha }\theta \right)\text{d}\theta$ ， ${\xi }_{\alpha }\left(\theta \right)=\frac{1}{\alpha }{\theta }^{-1-\frac{1}{\alpha }}{\varpi }_{\alpha }\left({\theta }^{-\frac{1}{\alpha }}\right)\ge 0$ ，

${\varpi }_{\alpha }\left(\theta \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^{n-1}}{\theta }^{-\alpha n-1}\frac{\Gamma \left(n\alpha +1\right)}{n!}\sin \left(n\pi \alpha \right)$ ， $\theta \in \left(0,\infty \right)$ ，

${\xi }_{\alpha }$ 是定义在 $\left(0,\infty \right)$ 上的单边概率密度函数，且 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_{\alpha }}\left(\theta \right)\text{d}\theta =1$ ， $\theta \in \left(0,\infty \right)$ 。

注2：由算子半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 的正性易知，对 $x\ge 0$ ，有 $S_{\alpha }\left(t\right)x\ge 0$ ， $T_{\alpha }\left(t\right)x\ge 0$ 。

引理2. [9] 对任意给定的 $t\ge 0$ ， $S_{\alpha }\left(t\right)$ ， $T_{\alpha }\left(t\right)$ 是有界线性算子，即对 $\forall x\in X$ ，有

$\Vert S_{\alpha }\left(t\right)x\Vert \le M\Vert x\Vert$ ， $\Vert T_{\alpha }\left(t\right)x\Vert \le \frac{\alpha M}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\Vert x\Vert$ ，

其中 $\Vert T\left(t\right)\Vert \le M，\forall t\ge 0$ 。

设 $\beta (\cdot )$ 为X中的非空有界集的Kuratowski非紧性测度， ${\beta }_C(\cdot )$ 为 $C\left(I,X\right)$ 中非空有界集的Kuratowski非紧性测度。本文将用到关于非紧性测度的如下重要引理：

引理3. [10] 设X为Banach空间，若 $D\subset C\left(I,X\right)$ 为有界且等度连续集，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上连续，且

${\beta }_C\left(D\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(D\left(t\right)\right)=\beta \left(D\left(I\right)\right)$ 。

引理4. [11] 设X为Banach空间， $D_0=\left\{x_n\right\}\subset C\left(I,X\right)$ 为可列集，若存在 $\varphi \in L^1\left(I\right)$ ，使得 $\Vert x_n\left(t\right)\Vert \le \varphi \left(t\right)$ ， $a.e，t\in I$ ， $n=1,2,\cdots$ ，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上Lebesgae可积，且

$\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_I{x}_n\left(t\right)\text{d}t|n\in {\rm N}}\right\}\right)\le 2{\displaystyle {\int }_I\beta \left(D_0\left(t\right)\right)\text{d}t}$ 。

引理5. [7] 设X是Banach空间， $D\subset C\left(I,X\right)$ 有界，则存在可列子集 $D_0\subset D$ ，使得

$\beta \left(D\right)\le 2\beta \left(D_0\right)$ 。

设X是Banach空间，K为X中的一个锥，则K确定了X中的一个半序“ $\le$ ”。下面给出问题(1)上下解的定义：

定义4. 若 $\exists v_0\in C\left(I,X\right)$ ，满足

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^{\alpha }{v}_0\left(t\right)+A{v}_0\left(t\right)\le f\left(t,v_0\left(t\right)\right),t\in I,\\ v_0\left(0\right)\le {\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s,}\end{array}$

则称 $v_0$ 为问题(1)的下解。若 $\exists w_0\in C\left(I,X\right)$ ，满足

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^q{w}_0\left(t\right)+A{w}_0\left(t\right)\ge f\left(t,w_0\left(t\right)\right),t\in I,\\ w_0\left(0\right)\ge {\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,w_0\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$

则称 $w_0$ 为问题(1)的上解。

本文主要定理的证明基于如下不动点定理：

引理6. [12] (增算子不动点定理) 设X是实Banach空间，K是正规锥， $F:\left[v_0,w_0\right]\to X$ 是凝聚映射，并且是增算子。又设

$v_0\le F{v}_0,F{w}_0\le w_0$ ，

那么F在 $\left[v_0,w_0\right]$ 中必有最大不动点 $\bar{x}$ 与最小不动点 $\underset{\_}{x}$ (即若 $x^{\ast }$ 为F在 $\left[v_0,w_0\right]$ 中的任一不动点，必有 $\underset{\_}{x}\le x^{\ast }\le \bar{x}$ )，并且

$\bar{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n,\underset{\_}{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$ ，

其中 $v_n=F{v}_{n-1}$ ， $w_n=F{w}_{n-1}$ ，满足

$v_0\le v_1\le \cdots \le v_n\le \cdots \le w_n\le \cdots \le w_1\le w_0$ 。

为了证明主要结论，我们给出下列假设：

(P1) 函数 $g:I\times X\to X$ 是连续函数，存在 $M_1>0$ ，对 $\forall x$ ， $y\in \left[v_0\left(t\right),w_0\left(t\right)\right]$ ，当 $x\le y$ 时，有

$g\left(t,y\right)-g\left(t,x\right)\ge -M_1\left(x-y\right),t\in I$ 。

(P2) 函数 $f:I\times X\to X$ 是连续函数，存在 $M_2>0$ ，对 $\forall x$ ， $y\in \left[v_0\left(t\right),w_0\left(t\right)\right]$ ，当 $x\le y$ 时，有

$f\left(t,y\right)-f\left(t,x\right)\ge -M_2\left(x-y\right),t\in I$ 。

(P3) 对 $\forall t\in I$ ，存在常数 $L_1>0$ ， $L_2>0$ ，使得

$\beta \left(f\left(t,D\right)\right)\le L_1\beta \left(D\right),\beta \left(g(t,D)\right)\le L_2\beta \left(D\right),t\in I$ ，

其中 $D\subset \left[v_0\left(t\right),w_0\left(t\right)\right]$ 为非空有界集。

注3：若非线性函数 $f\left(t,x\right)$ ， $g\left(t,x\right)$ 满足Lipschitz条件，则 $f\left(t,x\right)$ ， $g\left(t,x\right)$ 满足条件(P3)。

3. 主要结果及其证明

定理1. 设X是有序Banach空间， $K\subset X$ 为正规锥， $-A$ 生成X中的正C₀-半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ ，若问题(1)存在下解 $v_0$ 和上解 $v_0$ ，使得 $v_0\left(t\right)\le w_0\left(t\right)\left(t\in I\right)$ ，函数 $f\left(t,x\right)$ ， $f\left(t,x\right)$ 满足条件(P1)~(P3)，且

$2aM{L}_2+\frac{2M{L}_1{a}^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}<\frac{1}{2}$ ， (3)

则问题(1)在 $\left[v_0,w_0\right]$ 上存在最大mild解 $\bar{x}$ 及最小mild解 $\underset{\_}{x}$ ，且

$\bar{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n,\underset{\_}{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$ ，

其中

$v_n\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,v_{n-1}\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,v_{n-1}\left(s\right)\right)\text{d}s,t\in I$ ，

$w_n\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,w_{n-1}\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,w_{n-1}\left(s\right)\right)\text{d}s,t\in I$ ，

满足

$v_0\left(t\right)\le v_1\left(t\right)\le \cdots \le v_n\left(t\right)\le \cdots \le w_n\left(t\right)\le \cdots \le w_1\left(t\right)\le w_0\left(t\right),t\in I$ 。

证明：定义算子 $F:C\left(I,X\right)\to C\left(I,X\right)$ 如下：

$\left(Fx\right)\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right),t\in I$ 。

记 $D=\left[v_0,w_0\right]\subset C\left(I,X\right)$ 。首先证明F是增算子。对 $\forall h_1$ ， $h_2\in D$ ， $h_1\le h_2$ ，由条件(P1)，(P2)，有

$\begin{array}{l}\left(F{h}_2\right)\left(t\right)-\left(F{h}_1\right)\left(t\right)\\ =S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^a\left[g\left(s,h_2\right)-g\left(s,h_1\right)\right]\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)\left[f\left(s,h_2\left(s\right)\right)-f\left(s,h_1\left(s\right)\right)\right]\text{d}s\\ \ge -M_1{S}_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^a\left[h_1\left(s\right)-h_2\left(s\right)\right]\text{d}s}-M_2{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)\left[h_1\left(s\right)-h_{\text{2}}\left(s\right)\right]\text{d}s\\ \ge 0,\end{array}$

故F是增算子。

接下来证明 $F\left(D\right)\subset D$ ，即证明 $v_0\le F\left(v_0\right)$ ， $w_0\le F\left(w_0\right)$ 。因为 $v_0$ 为问题(1)的下解，由定义4知， ${}^{C}D{}^{\alpha }{v}_0\left(t\right)+A{v}_0\left(t\right)\le f\left(t,v_0\left(t\right)\right)$ ， $t\in I$ 。记上式的左端为 $y\left(t\right)$ ，则由线性方程解的表示，有

$\begin{array}{c}{v}_0\left(t\right)=S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)y\left(s\right)\text{d}s\\ \le S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,v_0\left(s\right)\right)\text{d}s\\ =F\left(v_0\left(t\right)\right).\end{array}$

故 $v_0\le F\left(v_0\right)$ ，同理可证明 $w_0\le F\left(w_0\right)$ 。

最后证明 $F:D\to D$ 是凝聚映射。因为 $D\subset C\left(I,X\right)$ 为非空有界集，由引理5，存在 $D_0=\left\{x_n\in C\left(I,X\right)|n\in N\right\}\subset D$ 为可列集，使得

$\beta \left(D\right)\le 2\beta \left(D_0\right)$ 。

进而，由引理4及条件(P3)，有

$\begin{array}{c}0\le \beta \left(F\left(D_0\left(t\right)\right)\right)\\ =\beta \left(\left\{S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in N\right\}\right)\\ =\beta \left(\left\{S_{\alpha }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s}|n\in N\right\}\right)+\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{T}_{\alpha }}\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in N\right\}\right)\\ \le M\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s}|n\in N\right\}\right)+\frac{\alpha M}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}f}\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in N\right\}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\le 2M{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left(g\left(s,D_0\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}+\frac{2\alpha M}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\beta }\left(f\left(s,D_0\left(s\right)\right)\right)\text{d}s\\ \le 2M{L}_2{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left(D_0\left(s\right)\right)\text{d}s}+\frac{2\alpha M{L}_1}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\beta }\left(D_0\left(s\right)\right)\text{d}s\\ \le 2aM{L}_2\beta \left(D\right)+\frac{2M{L}_1{a}^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\beta \left(D\right).\end{array}$

所以，由引理4可知，

$\begin{array}{c}{\beta }_C\left(F\left(D\right)\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F\left(D\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F\left(D_0\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\left(2aM{L}_2+\frac{2M{L}_1{a}^{\alpha }}{\Gamma \left(1+\alpha \right)}\right){\beta }_C\left(D\right).\end{array}$

因此，由(3)式可知， ${\beta }_C\left(F\left(D\right)\right)<{\beta }_C\left(D\right)$ 。所以， $F:D\to D$ 是凝聚映射。故由引理6可知，算子F在 $\left[v_0,w_0\right]$ 上存在最大不动点 $\bar{x}$ 和最小不动点 $\underset{\_}{x}$ 。易知 $\bar{x}$ ， $\underset{\_}{x}$ 分别为问题(1)在 $\left[v_0,w_0\right]$ 中的最大mild解和最小mild解。证毕。

定理2. 设K为X中的正则锥， $-A$ 生成X中的正C₀-半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ ，若问题(1)存在下解 $v_0$ 和上解 $w_0$ ，使得 $v_0\left(t\right)\le w_0\left(t\right)\left(t\in I\right)$ ，函数 $f\left(t,x\right)$ ， $g\left(t,x\right)$ 满足条件(P1)，(P2)，则问题(1)在 $\left[v_0,w_0\right]$ 上存在最大mild解 $\bar{x}$ 及最小mild解 $\underset{\_}{x}$ ，且

$\bar{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n,\underset{\_}{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$ ，

其中 $v_n\left(t\right)=\left(F{v}_{n-1}\right)\left(t\right)$ ， $w_n\left(t\right)=\left(F{w}_{n-1}\right)\left(t\right)$ ，满足

$v_0\left(t\right)\le v_1\left(t\right)\le \cdots \le v_n\left(t\right)\le \cdots \le w_n\left(t\right)\le \cdots \le w_1\left(t\right)\le w_0\left(t\right),t\in I$ 。

证明：设F为定理1中定义的算子，由于条件(P1)，(P2)，成立，则按照定理1的证明可知，F为连续的增算子，且有 $v_0\le F\left(v_0\right)$ ， $\left(F{w}_0\right)\le w_0$ 成立。作迭代 $v_n\left(t\right)=\left(F{v}_{n-1}\right)\left(t\right)$ ， $w_n\left(t\right)=\left(F{w}_{n-1}\right)\left(t\right)$ ，由于F是增算子，则有

$v_0\left(t\right)\le v_1\left(t\right)\le \cdots \le v_n\left(t\right)\le \cdots \le w_n\left(t\right)\le \cdots \le w_1\left(t\right)\le w_0\left(t\right),t\in I$ 。

故序列 $\left\{v_n\left(t\right)\right\}$ ， $\left\{w_n\left(t\right)\right\}$ 为X中的单调序列。按锥K的正则性可知，

$\bar{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n,\underset{\_}{x}=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$ 。

在 $v_n=F{v}_{n-1}$ ， $w_n=F{w}_{n-1}$ ，两边取极限，注意到F的连续性可知， $F\bar{x}=\bar{x}$ ， $F\underset{\_}{x}=\underset{\_}{x}$ 。证毕。

注4：当 $A\equiv 0$ 时， $T\left(t\right)\equiv I$ 。问题(1)退化为Banach空间中的常微分方程，故本文的结论是带积分边界条件的分数阶常微分方程的推广。

4. 应用

例 考虑如下带积分边界条件的分数阶偏微分方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^{\frac{1}{4}}x\left(t,u\right)-\frac{{\partial }^{2}x\left(t,u\right)}{\partial u^2}=\phi \left(t\right)\sin \left(x\left(t,u\right)\right),u\in \Omega ,t\in I\\ x|{}_{\partial \Omega }=0\\ x\left(0,u\right)={\displaystyle {\int }_0^a\psi \left(s\right)\cos \left(x\left(s,u\right)\right)\text{d}s,u\in \Omega }\end{array}$ (4)

mild解存在性，其中 ${}^{C}D{}^{\frac{1}{4}}$ 是 $\alpha =\frac{1}{4}$ 阶Caputo型分数阶导数， $I:=\left[0,1\right]$ ， $\phi \left(t\right)$ ， $\psi \left(t\right)\in C^{+}\left(I,\Re \right)$ ， $\Omega \subset {\Re }^n\left(n\in N\right)$ 为边界 $\partial \Omega$ 充分光滑的有界区域。

定理3. 若问题(4)存在下解 $v_0$ 和上解 $w_0$ ，则问题(4)在 $\left[v_0,w_0\right]$ 上存在最大mild解 $\bar{x}$ 及最小mild解 $\underset{\_}{x}$ 。

证明：设 $X=L^2\left(\Omega \right)$ ， $K=\left\{x\in X|{\Vert x\Vert }_2\ge 0\right\}$ ，则K为X中的正规锥。作X中的算子A：

$\left(Ax\right)\left(t\right)=-x^{″}\left(t\right),t\in I,D\left(A\right)=\left\{x\in X|x|{}_{\partial \Omega }=0,x^{\prime },x^{″}\in X\right\}$ ，

按文献 [13] ， $-A$ 生成X中的解析半群 $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 。设 $x\left(t\right)=x\left(t,\cdot \right)$ ， $f\left(t,x\left(t\right)\right):=\phi \left(t\right)\sin \left(x\left(t,u\right)\right)$ ， $g\left(t,x\left(t\right)\right):=\psi \left(t\right)\cos \left(x\left(t,u\right)\right)$ ，这样问题(4)可化为形如问题(1)的分数阶发展方程。由抛物型方程的极大值原理易知， $T\left(t\right)\left(t\ge 0\right)$ 为正C₀-半群。下面验证非线性函数满足Lipschitz条件。对 $\forall t\in I$ ， $u\in \Omega$ ，y， $x\in X$ ，满足 $0<y-x<\pi$ ，有

$\begin{array}{c}\Vert \phi \left(t\right)\sin \left(y\left(t,u\right)\right)-\phi \left(t\right)\sin \left(x\left(t,u\right)\right)\Vert =2\phi \left(t\right)\Vert \cos \frac{\left(y\left(t,u\right)+x\left(t,u\right)\right)}{2}\Vert \Vert \sin \frac{\left(y\left(t,u\right)-x\left(t,u\right)\right)}{2}\Vert \\ \le 2\phi \left(t\right)\frac{\Vert \left(y\left(t,u\right)-x\left(t,u\right)\right)\Vert }{2}\\ \le R_1\Vert \left(y\left(t,u\right)-x\left(t,u\right)\right)\Vert ,\end{array}$

其中 $R_1:=\underset{t\in I}{\sup }\phi \left(t\right)$ 。故非线性函数 $f\left(t,x\right)$ 满足Lipschitz条件。类似地，可以验证存在 $R_2:=\underset{t\in I}{\sup }\psi \left(t\right)$ 使得 $f\left(t,x\right)$ 亦满足Lipschitz条件。从而，条件(P1)~(P3)成立，其中

$\alpha =\frac{1}{4},M_1=L_1=R_1,M_2=L_2=R_2,a=1,M=1$ ，

使得当 $R_2+R_1<\frac{1}{4}$ 时，(3)式成立。由定理1可知，问题(4)在 $\left[v_0,w_0\right]$ 上存在最大mild解 $\bar{x}$ 及最小mild解 $\underset{\_}{x}$ 。证毕。

基金项目

伊犁师范大学校级资助项目(2021YSYB078)。

文章引用

张 永,胡芳芳,辛 珍. 带有积分边界条件的分数阶发展方程mild解的存在性
Existence of Mild Solutions for Fractional Evolution Equations with Integral Boundary Conditions[J]. 理论数学, 2023, 13(04): 854-861. https://doi.org/10.12677/PM.2023.134090

参考文献