新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐

收稿日期：2023年6月12日；录用日期：2023年7月17日；发布日期：2023年7月24日

摘要

本文主要研究了在复合Linex对称损失函数下先验分布为伽马分布的逆伽马分布尺度参数的Bayes估计、E-Bayes估计和多层Bayes估计，并通过数值模拟说明了三种估计的稳健性和精确度，其中Bayes估计的稳健性和精确度都是最高的。

关键词

复合Linex对称损失函数，逆伽马分布，Bayes估计，E-Bayes估计，多层Bayes估计

Bayesian Estimation of Inverse Gamma Distribution under Composite Linex Symmetric Loss Function

Lei Su, Juling Zhou^*

School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang

Received: Jun. 12^th, 2023; accepted: Jul. 17^th, 2023; published: Jul. 24^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, Bayesian estimation, E-Bayes estimation and Hierarchical Bayes estimation of inverse gamma distribution scale parameters with prior distribution as gamma distribution under the composite Linex symmetric loss function are studied, the robustness and accuracy of the three estimates are illustrated by numerical simulation, among which the robustness and accuracy of Bayes estimation are the highest.

Keywords:Composite Linex Symmetric Loss Function, Inverse Gamma Distribution, Bayesian Estimation, E-Bayes Estimation, Hierarchical Bayes Estimation

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

逆伽马分布在统计学、物理学、药理学等领域都有广泛的运用，例如在雷达工程中逆伽马分布作为统计特性严重拖尾的杂波建模的复合高斯过程的纹理分量 [1] ；在药理学中灭绝条件下随机抗生素耐药性模型中的患者携带对药物敏感的细菌弱收敛于逆伽马分布 [2] ；在误差分析和随机控制中也会经常运用该分布。所以对逆伽马分布进行深入的研究，具有重要的学术意义。

统计决策中统计量的优劣由损失函数的选择和参数估计问题的精确程度决定。目前，研究对称损失下一般分布参数的Bayes估计的文献有很多，如王亚楠等 [3] 讨论了复合LINEX对称损失下逆高斯分布参数倒数Bayes估计；岑泰林等 [4] 讨论了复合LINEX对称损失下广义Pareto分布形状参数 $\theta$ 的Bayes估计；吕佳等 [5] 讨论了复合LINEX损失下艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计；李俊华 [6] 讨论了复合LINEX对称损失函数下Burr分布参数的估计；但逆伽马分布有关的Bayes估计的文章很少，如丁新月等 [7] 讨论了Mlinex损失函数下逆伽马分布尺度参数的Bayes估计。

本文在复合Linex对称损失函数下对双参数逆伽马分布在形状参数已知的情况下，研究了其尺度参数的估计。

设X为随机变量。假如它的密度函数为

$f\left(x|\alpha ,\theta \right)={\left[\Gamma \left(\alpha \right)\right]}^{-1}{\theta }^{\alpha }{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\alpha +1}{\text{e}}^{-\frac{\theta }{x}},x>0,\alpha >0,\theta >0,$ (1)

称X服从参数为 $\alpha ,\theta$ 的逆伽马分布，记作 $X~I\Gamma \left(\alpha ,\theta \right)$ ，其中 $\alpha$ 为形状参数， $\theta$ 为尺度参数。

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为来自总体X独立同分布的样本，则此样本的似然方程为

$L\left(x|\alpha ,\theta \right)={\left[\Gamma \left(\alpha \right)\right]}^{-n}{\theta }^{n\alpha }{\text{e}}^{-T\theta }\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{\left(\frac{1}{x_i}\right)}^{\alpha +1},$ (2)

其中 $T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^{-1}}$ 。

复合Linex对称损失函数由张睿 [8] 提出，其形式为

$L\left(\theta ,\delta \right)=L_c\left(\theta ,\delta \right)+L_{-c}\left(\theta ,\delta \right)={\text{e}}^{-c\left(\theta -\delta \right)}+{\text{e}}^{c\left(\theta -\delta \right)}-2,c>0.$ (3)

2. θ的Bayes估计

引理1 对任何的先验分布 $\pi \left(\theta \right)$ ，在复合Linex对称损失函数下， $\theta$ 的Bayes估计为

${\delta }_B=\frac{1}{2c}\ln \frac{E\left({\text{e}}^{c\theta }|x\right)}{E\left({\text{e}}^{-c\theta }|x\right)}.$ (4)

定理1 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是 $I\Gamma \left(\alpha ,\theta \right)$ 的一组观察值，则在损失函数(3)下，取 $\Gamma \left(a,b\right)$ 为 $\theta$ 的先验分布， $\theta$ 的Beyes估计为

${\delta }_B\left(x\right)=\frac{n\alpha +a}{2c}\ln \frac{b+T+c}{b+T-c},$

其中 $T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^{-1}}$ 。

证明 由 $\Gamma \left(a,b\right)$ 为逆伽马分布 $\theta$ 的先验分布，可得 $\theta$ 的先验密度函数为

$\pi \left(\theta \right)=\Gamma \left(a,b\right)=\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{a-1}{\text{e}}^{-b\theta },a>0,b>0,\theta >0$ (5)

根据样本的联合密度函数(2)和式(5)，得到 $\theta$ 的后验密度函数为

$\begin{array}{c}h\left(\theta |x\right)=\frac{L\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }L}\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left[\Gamma \left(\alpha \right)\right]}^{-n}{\theta }^{n\alpha }{\text{e}}^{-T\theta }{\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{\left(\frac{1}{x_i}\right)}^{\alpha +1}}\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{a-1}{\text{e}}^{-b\theta }}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\left[\Gamma \left(\alpha \right)\right]}^{-n}{\theta }^{n\alpha }{\text{e}}^{-T\theta }{\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{\left(\frac{1}{x_i}\right)}^{\alpha +1}}\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{a-1}{\text{e}}^{-b\theta }\text{d}\theta }}\\ =\frac{{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}\theta }}\\ =\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta },\end{array}$ (6)

其中 $T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^{-1}}$ ，从而 $\theta$ 的后验分布为 $h\left(\theta |x\right)~\Gamma \left(n\alpha +a,b+T\right)$ 。那么

$\begin{array}{c}E\left({\text{e}}^{c\theta }|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{c\theta }\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T-c\right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{{\left(b+T-c\right)}^{n\alpha +a}}\\ ={\left(\frac{b+T}{b+T-c}\right)}^{n\alpha +a}.\end{array}$ (7)

$\begin{array}{c}E\left({\text{e}}^{-c\theta }|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-c\theta }}\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}\theta \\ =\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T+c\right)\theta }\text{d}\theta }\\ =\frac{{\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)}{{\left(b+T+c\right)}^{n\alpha +a}}\\ ={\left(\frac{b+T}{b+T+c}\right)}^{n\alpha +a}.\end{array}$ (8)

将(7)和(8)带入式(4)可得

${\delta }_B\left(x\right)=\frac{1}{2c}\ln \frac{E\left({\text{e}}^{c\theta }|x\right)}{E\left({\text{e}}^{-c\theta }|x\right)}=\frac{1}{2c}\ln \frac{{\left(\frac{b+T}{b+T-c}\right)}^{n\alpha +a}}{{\left(\frac{b+T}{b+T+c}\right)}^{n\alpha +a}}=\frac{n\alpha +a}{2c}\ln \frac{b+T+c}{b+T-c}.$

3. θ的E-Bayes估计

对 ${\delta }_B\left(x\right)$ 中的超参数a、b进行估计。设超参数a、b的先验分布为 $\pi \left(a\right)=U\left(0,1\right)$ 和 $\pi \left(b\right)=U\left(0,d\right)$ ，若 $a,b$ 的联合分布为均匀分布，即 $\pi \left(a,b\right)=\frac{1}{d}$ ，此时 $\theta$ 的多层先验密度函数为

$\begin{array}{c}\pi \left(\theta \right)={\displaystyle {\iint }_D\pi \left(\theta |a,b\right)\pi \left(a,b\right)\text{d}a\text{d}b}\\ ={\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{d}\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{a-1}{\text{e}}^{-b\theta }\text{d}a\text{d}b}}\\ =\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{a-1}{\text{e}}^{-b\theta }\text{d}a\text{d}b}}.\end{array}$ (9)

定理2 在复合Linex对称损失函数下，对于逆伽马分布(1)，若参数 $\theta$ 的先验分布为 $\Gamma \left(a,b\right)$ ，超参数a和b的先验分布为D上的均匀分布，则参数 $\theta$ 的E-Bayes估计为

${\delta }_{EB}\left(x\right)=\frac{n\alpha +a}{2cd}{\displaystyle {\int }_0^d\ln }\frac{b+T+c}{b+T-c}\text{d}b,$ (10)

其中 $T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^{-1}}$ 。

证明 根据E-Bayes的定义得

$\begin{array}{c}{\delta }_{EB}\left(x\right)={\displaystyle {\iint }_D{\delta }_B\left(x\right)\pi \left(a,b\right)\text{d}a\text{d}b}\\ =\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{n\alpha +a}{2c}\ln \frac{b+T+c}{b+T-c}\text{d}a\text{d}b}}\\ =\frac{1}{d}{\displaystyle {\int }_0^d\ln \frac{b+T+c}{b+T-c}}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{n\alpha +a}{2c}\text{d}a\text{d}b}\\ =\frac{2n\alpha +1}{4cd}{\displaystyle {\int }_0^d\ln }\frac{b+T+c}{b+T-c}\text{d}b.\end{array}$

4. θ的多层Bayes估计

定理3 在复合Linex对称损失函数下，对于逆伽马分布(1)，若参数的先验分布为 $\Gamma \left(a,b\right)$ ，则参数 $\theta$ 的多层Bayes估计为

${\delta }_{HB}\left(x\right)=\frac{1}{2c}\ln \frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T-c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T+c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}},$ (11)

其中 $T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^{-1}}$ 。

证明 根据Bayes定理， $\theta$ 的多层后验密度为

$\begin{array}{c}h\left(\theta |x\right)=\frac{L\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }L}\left(x|\alpha ,\theta \right)\pi \left(\theta \right)\text{d}\theta }\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}a\text{d}b\text{d}\theta }}}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}.\end{array}$

从而有

$\begin{array}{c}E\left({\text{e}}^{c\theta }|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{c\theta }h\left(\theta |x\right)\text{d}\theta }\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{c\theta }}{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}a\text{d}b\text{d}\theta }}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T-c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}.\end{array}$

$\begin{array}{c}E\left({\text{e}}^{-c\theta }|x\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-c\theta }h\left(\theta |x\right)\text{d}\theta }\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-c\theta }}{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{b^a}{\Gamma \left(a\right)}{\theta }^{n\alpha +a-1}{\text{e}}^{-\left(b+T\right)\theta }\text{d}a\text{d}b\text{d}\theta }}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}\\ =\frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T+c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}.\end{array}$

故在复合Linex对称损失函数下 $\theta$ 的多层Bayes估计为

${\delta }_{HB}\left(x\right)=\frac{1}{2c}\ln \frac{E\left({\text{e}}^{c\theta }|x\right)}{E\left({\text{e}}^{-c\theta }|x\right)}=\frac{1}{2c}\ln \frac{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T-c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}{{\displaystyle {\int }_0^d{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\Gamma \left(n\alpha +a\right)b^a}{\Gamma \left(a\right){\left(b+T+c\right)}^{n\alpha +a}}\text{d}a\text{d}b}}}.$

5. 数值模拟

利用R语言进行数值模拟，生成一组 $n=30$ ，形状参数 $\alpha =2$ 、尺度参数 $\theta$ 真值为1的逆伽马分布随机样本，并根据定理1中参数 $\theta$ 的Bayes估计 ${\delta }_B$ ，在参数 $b=5$ 时，对参数a和c取不同的值时 $\theta$ 的估计值，模拟结果如表1。

表1. δ_B的估计值

利用相同的随机样本，根据定理2中参数 $\theta$ 的E-Bayes估计 ${\delta }_{EB}$ 和定理3中参数 $\theta$ 的多层Bayes估计的表达式 ${\delta }_{HB}$ 在参数 $d=10$ 时求估计值，结果分别为表2与表3。

表2. δ_EB的估计值

表3. δ_HB的估计值

稳健性：

由表1，表2，表3可以看出当 $5\le c\le 10$ 且适当选择参数 $a,b$ 以及d的值时， ${\delta }_B$ ， ${\delta }_{EB}$ ， ${\delta }_{HB}$ 的极差都非常小。从统计决策中稳健性角度考虑，参数 $\theta$ 的三种Bayes估计都很稳健，其中Bayes估计最稳健，符合统计决策中稳健性。

精确度：

由表1，表2，表3可以看出当 $5\le c\le 10$ 时，容易求出 ${\delta }_B$ ， ${\delta }_{EB}$ ， ${\delta }_{HB}$ 的偏差( $\Delta \delta =\left|\delta -{\delta }_0\right|$ ，其中 $\delta$ 为参数 $\theta$ 的估计量， ${\delta }_0$ 为参数 $\theta$ 的真值)，区间分别为[0.000303, 0.011622]，[0.018552, 0.025928]，[0.005407, 0.12818]。可见偏差非常小，所以其精确度也很高，其中Bayes估计的精确度最高，符合统计决策的要求。

基金项目

国家自然科学基金(11801488)；新疆师范大学教学研究与改革(SDJG2020-30)；新疆师范大学科研发展专项(XJNUZX202001)。

文章引用

粟 磊,周菊玲. 复合Linex对称损失下逆伽马分布参数的Bayes估计
Bayesian Estimation of Inverse Gamma Distribution under Composite Linex Symmetric Loss Function[J]. 理论数学, 2023, 13(07): 2017-2023. https://doi.org/10.12677/PM.2023.137207

参考文献