i = 1 , 2 , , m 1 。则具有分布势函数的S-L问题(2),(4)与下述具有分段常值函数的方程

( p ¯ [ y + s ¯ y ] ) + s ¯ p ¯ [ y + s ¯ y ] + q ¯ y = λ w ¯ y , I = ( a , b ) , (12)

以及同一边界条件(4)所构成的S-L问题(12),(4)具有相同的特征值。

根据引理3.1,我们可知当给定边界条件(4)和区间I上的一个划分,存在一类Atkinson类型的S-L问题与具有分布势函数的S-L问题(12),(4)具有相同的特征值。这样的一类问题我们称之为具有分布势函数的S-L问题(12),(4)的一个等价类,它们具有相同的参数 r 2 i + 1 , s 2 i + 1 , q 2 i w 2 i

对具有分离型边界条件的S-L问题(2)和(5)与矩阵特征值问题之间的等价关系,我们给出下述引理。

引理3.2 [7] :若分离型边界条件(5)中 α , β ( 0 , π ) 。定义 ( m + 1 ) × ( m + 1 ) 的Jacobi矩阵

P α β = [ 1 r 1 + cot α e s 1 r 1 e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 e s 3 r 3 e s 2 m 3 r 2 m 3 e 2 s 2 m 3 r 2 m 3 + 1 r 2 m 1 e s 2 m 1 r 2 m 1 e s 2 m 1 r 2 m 1 e 2 s 2 m 1 r 2 m 1 cot β ] , (13)

以及对角矩阵

Q α β = d i a g ( q 0 , q 2 , , q 2 m 2 , q 2 m ) , W α β = d i a g ( w 0 , w 2 , , w 2 m 2 , w 2 m ) . (14)

则具有分离型边界条件的S-L问题(2),(5)的谱 σ ( α , β ) 与矩阵对 ( P α β + Q α β , W α β ) 的谱 σ ( P α β + Q α β , W α β ) 相同。

注3.1:引理3.2的论述对于分离型边界条件 α = 0 , β ( 0 , π ) α ( 0 , π ) , β = π α = 0 , β = π 的情况同样成立,即: P 0 β = ( P α β ) 1 P α π = ( P α β ) 1 P 0 π = ( P α π ) 1 = ( P 0 β ) 1 Q 0 β = ( Q α β ) 1 Q α π = ( Q α β ) 1 Q 0 π = ( Q α π ) 1 = ( Q 0 β ) 1 W 0 β = ( W α β ) 1 W α π = ( W α β ) 1 W 0 π = ( W α π ) 1 = ( W 0 β ) 1 。我们可得到与引理3.2相同的结论,具体引理内容可参见文献 [7] 。根据引理3.2的矩阵表示形式,可以得到

( P α β + Q α β ) 1 = P 0 β + Q 0 β , ( P α β + Q α β ) 1 = P α π + Q α π , ( P α π + Q α π ) 1 = P 0 π + Q 0 π , ( P 0 β + Q 0 β ) 1 = P 0 π + Q 0 π .

对具有耦合型边界条件的S-L问题(2)和(6)与矩阵特征值问题之间的等价关系,我们给出下述引理。

引理3.3 [7] :若耦合型边界条件(6)中 k 12 0 。定义 ( m + 1 ) × ( m + 1 ) 阶循环Jacobi矩阵

P I = [ 1 r 1 k 11 k 12 e s 1 r 1 1 k 12 e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 e s 3 r 3 e s 2 m 3 r 2 m 3 e 2 s 2 m 3 r 2 m 3 + 1 r 2 m 1 e s 2 m 1 r 2 m 1 1 k 12 e s 2 m 1 r 2 m 1 e 2 s 2 m 1 r 2 m 1 k 22 k 12 ] , (15)

以及对角矩阵

Q I = d i a g ( q 0 , q 2 , , q 2 m 2 , q 2 m ) , W I = d i a g ( w 0 , w 2 , , w 2 m 2 , w 2 m ) . (16)

则具有耦合型边界条件的S-L问题(2),(6)的谱 σ ( K ) 与矩阵对 ( P I + Q I , W I ) 的谱 σ ( P I + Q I , W I ) 相同。

引理3.4 [7] :若耦合型边界条件(6)中 k 12 = 0 。定义 m × m 阶循环Jacobi矩阵

P θ = [ k 11 k 21 + 1 r 1 + k 11 2 e s 2 m 1 r 2 m 1 e s 1 r 1 k 11 e s 2 m 1 r 2 m 1 e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 e s 3 r 3 e s 2 m 5 r 2 m 5 e 2 s 2 m 5 r 2 m 5 + 1 r 2 m 3 e s 2 m 3 r 2 m 3 k 11 e s 2 m 1 r 2 m 1 e s 2 m 3 r 2 m 3 e 2 s 2 m 3 r 2 m 3 + 1 r 2 m 1 ] , (17)

以及对角矩阵

Q θ = d i a g ( q 0 + k 11 2 q 2 m , q 2 , , q 2 m 2 ) , W θ = d i a g ( w 0 + k 11 2 w 2 m , w 2 , , w 2 m 2 ) . (18)

则具有耦合型边界条件的S-L问题(2),(6)的谱 σ ( K ) 与矩阵对 ( P θ + Q θ , W θ ) 的谱 σ ( P θ + Q θ , W θ ) 相同。

4. 矩阵的逆特征值问题

在本节中,我们研究Jacobi矩阵和循环Jacobi矩阵的逆特征值问题。利用引理3.2中的矩阵表示,我们首先考虑 M k 中如下的对称矩阵

J = [ c 1 d 1 d 1 c 2 d 2 d k 2 c k 1 d k 1 d k 1 c k ] . (19)

定义4.1:若 d i < 0 , i = 1 , 2 , , k 1 ,则形如(19)的矩阵J称为负Jacobi矩阵。

引理4.1 [5] :设 { λ i : i = 1 , , k } { μ i : i = 1 , , k 1 } 是两组严格交错的实数,满足

λ 1 < μ 1 < λ 2 < μ 2 < < λ k 1 < μ k 1 < λ k . (20)

W = d i a g ( w 1 , , w k ) 是一个对角矩阵,其中 w i > 0 , i = 1 , , k 。则存在唯一的负Jacobi矩阵 M M k 使得: σ ( M , W ) = { λ i : i = 1 , , k } σ ( M 1 , W 1 ) = { μ i : i = 1 , , k 1 }

推论4.1 [5] :当引理4.1中的 M 1 W 1 分别由 M 1 W 1 替代,则引理4.1依然成立。

推论4.2 [5] :当引理4.1中的 w i > 0 分别由 w i < 0 替代 ( i = 1 , , k ) ,则引理4.1依然成立。

利用引理3.3,3.4中的矩阵表示,我们考虑下述属于集合 M k 的对称矩阵

J c = [ c 1 d 1 d k d 1 c 2 d 2 d k 2 c k 1 d k 1 d k d k 1 c k ] . (21)

定义4.2:若 d i < 0 , i = 1 , 2 , , k 1 ,则形如(21)的矩阵 J c 称为负循环Jacobi矩阵。

引理4.2 [5] :设 { λ i : i = 1 , , k } { μ i : i = 1 , , k 1 } 满足下述条件:

i) λ 1 μ 1 λ 2 μ 2 λ k 1 μ k 1 λ k

ii) μ i μ j i j

iii) d > 0 ,对于 j = 1 , , k 1

i = 1 k | μ j λ i | 2 d [ 1 + ( 1 ) k + 1 j ] . (22)

W = d i a g ( w 1 , , w k ) 是一个对角矩阵,其中 w i > 0 , i = 1 , , k 。则存在唯一的负循环Jacobi矩阵 N M k ,使得 i = 1 k d i = d ,并且: σ ( N , W ) = { λ i : i = 1 , , k } σ ( N 1 , W 1 ) = { μ i : i = 1 , , k 1 }

推论4.3 [5] :当引理4.2中的 M 1 W 1 分别由 M 1 W 1 替代,则引理4.2依然成立。

推论4.4 [5] :当引理4.2中的 w i > 0 分别由 w i < 0 替代 ( i = 1 , , k ) ,则引理4.2依然成立。

5. 主要结论及其证明

我们建立具有分布势函数的Atkinson类型的S-L问题(2),(4)的逆谱问题的结论。下述定理是关于分离型边界条件(5)的逆谱问题的结论。

定理5.1:设 { λ i : i = 1 , , k } { μ i : i = 1 , , k 1 } 是两组严格交错的实数,形如(20)。令 m = k 1 。则对于区间 I = [ a , b ] ( < a < b < + ) 上的任何划分(7),任何函数 s L ( I , ) 满足(8)以及任何函数 w L ( I , ) 满足(10),我们有以下结论:

a) 存在函数 r , q L ( I , ) 满足(8)和(9)使得S-L问题(2),(5)及其等价类的谱为

σ ( α , β ) = { λ i : i = 1 , , k } , σ ( 0 , β ) = { μ i : i = 1 , , k 1 } .

b) 存在函数 r , q L ( I , ) 满足(8)和(9)使得S-L问题(2),(5)及其等价类的谱为

σ ( α , β ) = { λ i : i = 1 , , k } , σ ( α , π ) = { μ i : i = 1 , , k 1 } .

此外,a)和b)中的结论在等价类意义下是唯一的。

证明:a) 对于区间 I = [ a , b ] ( < a < b < + ) 上的给定划分(7),定义:

s 2 i + 1 = a 2 i + 1 a 2 i + 2 s ( t ) d t , i = 0 , 1 , , m 1 , w 2 i = a 2 i a 2 i + 1 w ( t ) d t , i = 0 , 1 , , m ,

W α β = d i a g ( w 0 , w 2 , , w 2 m ) .

根据(8),(10), s 2 i + 1 0 , i = 0 , 1 , , m 1 w 2 i > 0 , i = 0 , 1 , , m 。因为 k = m + 1 ,根据引理4.1,存在唯一的负Jacobi矩阵 M M m + 1 使得:

σ ( M , W ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( M 1 , W 1 ) = { μ i : i = 1 , , m } .

设:

r 2 i 1 = e s 2 i 1 d i , i = 1 , , m ; q 0 = c 1 1 r 1 cot α , q 2 i = c i + 1 e 2 s 2 i 1 r 2 i 1 1 r 2 i 1 , i = 1 , , m 1 , q 2 m = c m + 1 e 2 s 2 m 1 r 2 m 1 + cot β .

根据(13),(14)和注3.1定义 P α β , Q α β , P 0 β Q 0 β 。可知, r 2 i + 1 > 0 , i = 0 , 1 , , m 1 。容易推出: M = P α β + Q α β M 1 = P 0 β + Q 0 β 。根据注2.1,我们得到 ( W α β ) 1 = W 0 β 。因此,

σ ( P α β + Q α β , W α β ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( P 0 β + Q 0 β , W 0 β ) = { μ i : i = 1 , , m } .

根据引理3.2和注3.1,我们得到S-L问题(2),(5)的谱:

σ ( α , β ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( 0 , β ) = { μ i : i = 1 , , m } .

其中 r 2 i + 1 , i = 0 , 1 , , m 1 q 2 i , i = 0 , 1 , , m 的选取是唯一的,而且对于这样的选取所确定的所有函数 r , q L ( I , ) 构成了S-L问题(2),(5)的一个等价类。证毕。

b) 证明方法与a)相同,只需利用推论4.1,引理4.1,引理3.2和注3.1即可,故省略证明细节。

下述定理是关于耦合型边界条件(6)的逆谱问题的结论。

定理5.2:设 { λ i : i = 1 , , k } { μ i : i = 1 , , k 1 } 是两组交错的实数,满足引理4.2的条件i)~iii)。

m = k 1 。则对于区间 I = [ a , b ] ( < a < b < + ) 上的任何划分(7),任何函数 s L ( I , ) 满足(8)以及任何函数 w L ( I , ) 满足(10),我们有以下结论:

a) 对于 β ( 0 , π ) K = ( k i j ) S L 2 ( ) 满足 k 12 < 0 cot β = k 22 / k 12 ,并且存在函数 r , q L ( I , ) 满足(8)和(9),使得S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为

σ ( K ) = { λ i : i = 1 , , k } , σ ( 0 , β ) = { μ i : i = 1 , , k 1 } .

b) 对于 α ( 0 , π ) K = ( k i j ) S L 2 ( ) 满足 k 12 < 0 cot α = k 11 / k 12 ,并且存在函数 r , q L ( I , ) 满足(8)和(9),使得S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为

σ ( K ) = { λ i : i = 1 , , k } , σ ( α , π ) = { μ i : i = 1 , , k 1 } .

证明:对于区间 I = [ a , b ] ( < a < b < + ) 上的给定划分(7),定义:

s 2 i + 1 = a 2 i + 1 a 2 i + 2 s ( t ) d t , i = 0 , 1 , , m 1 , w 2 i = a 2 i a 2 i + 1 w ( t ) d t , i = 0 , 1 , , m ,

W I = d i a g ( w 0 , w 2 , , w 2 m ) .

根据(8),(10), s 2 i + 1 0 , i = 0 , 1 , , m 1 w 2 i > 0 , i = 0 , 1 , , m 。因为 k = m + 1 ,根据引理4.2,存在唯一的负循环Jacobi矩阵 N M m + 1 使得:

σ ( N , W ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( N 1 , W 1 ) = { μ i : i = 1 , , m } .

设: r 2 i 1 = e s 2 i 1 d i , i = 1 , , m ;则 r 2 i + 1 > 0 , i = 0 , 1 , , m 1 。令 k 12 = 1 d m + 1 ,则 k 12 < 0 。对于 β ( 0 , π ) ,选取 K S L 2 ( R ) 使得 cot β = k 22 k 12 , k 12 = 1 d m + 1 。由K定义一个耦合型边界条件(6),则:

q 0 = c 1 1 r 1 + k 11 k 12 q 2 i = c i + 1 e 2 s 2 i 1 r 2 i 1 1 r 2 i 1 , i = 1 , , m 1 , q 2 m = c m + 1 e 2 s 2 m 1 r 2 m 1 + k 22 k 12 .

根据(13),(14),(15),(16)和注3.1定义 P I , Q I , P 0 β Q 0 β 。容易推出: M = P I + Q I , M 1 = P 0 β + Q 0 β

由注3.1,可得 ( W I ) 1 = W 0 β 。因此,

σ ( P I + Q I , W I ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( P 0 β + Q 0 β , W 0 β ) = { μ i : i = 1 , , m } .

根据引理3.2和注3.1,我们得到S-L问题(2),(6)的谱为

σ ( K ) = { λ i : i = 1 , , m + 1 } , σ ( 0 , β ) = { μ i : i = 1 , , m } .

而且得到的所有函数 r , q L ( I , ) 构成了S-L问题(2),(6)的一个等价类。证毕。

b) 证明方法与a)相同,利用推论4.3,引理4.2,3.2,3.3和注3.1即可。证明细节略。

定理5.3:设 K = ( k i j ) S L 2 ( ) k 12 = 0 k 11 > 0 。设 { λ i : i = 1 , , k } { μ i : i = 1 , , k 1 } 是两组交错的实数,满足引理4.2的条件i)~iii)。令 m = k 。则对于区间 I = [ a , b ] ( < a < b < + ) 上的任何划分(7),任何函数 s L ( I , ) 满足(8)以及任何函数 w L ( I , ) 满足(10),存在函数 r , q L ( I , ) 满足(8)和(9)使得,S-L问题(2),(6)及其等价类的谱为

σ ( K ) = { λ i : i = 1 , , k } , σ ( 0 , π ) = { μ i : i = 1 , , k 1 } .

证明:证明方法与定理5.2相似,利用推论4.3,引理4.2,3.2,3.4和注3.1即可。证明细节略。

基金项目

国家自然科学基金(11661059),内蒙古自然科学基金(2017JQ07)资助。

文章引用

张 亮,敖继军. Atkinson类型的具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的逆谱问题
Inverse Sturm-Liouville Problems with Distribution Potentials of Atkinson Type[J]. 应用数学进展, 2018, 07(12): 1565-1573. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.712183

参考文献

  1. 1. Atkinson, F.V. (1964) Discrete and Continuous Boundary Problems. Academic Press, New York/London.

  2. 2. Kong, Q., Wu, H. and Zettl, A. (2001) Sturm-Liouville Problems with Finite Spectrum. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 263, 748-762. https://doi.org/10.1006/jmaa.2001.7661

  3. 3. Volkmer, H. and Zettl, A. (2007) Inverse Spectral Theory for Sturm-Liouville Problems with Finte Spectrum. Proceedings of the American Mathematical Society, 135, 1129-1132. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-06-08563-7

  4. 4. Kong, Q., Volkmer, H. and Zettl, A. (2009) Matrix Representations of Sturm-Liouville Problems with Finite Spectrum. Results in Mathematics, 54, 103-116. https://doi.org/10.1007/s00025-009-0371-3

  5. 5. Kong, Q. and Zettl, A. (2012) Inverse Sturm-Liouville Problems with Finite Spectrum. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, 1-9. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.06.083

  6. 6. Xu, S.F. (1998) An Introduction to Inverse Algebraic Eigenvalue Problems. Peking University Press, Beijing.

  7. 7. 阎军. 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质[D]: [博士学位论文]. 天津: 天津大学, 2015.

  8. 8. 唐松林. 具有分布势函数和转移条件的Sturm-Liouville问题的谱性质[D]: [博士学位论文]. 曲阜: 曲阜师范大学, 2016.

  9. 9. Hryniv, R.O. and Mykytyuk, Ya.V. (2003) Inverse Spectral Problems for Sturm-Liouville Operators with Singular Potentials. Part III: Reconstruction by Three Spectra. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 284, 626-646. https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00370-6

  10. 10. Savchuk, A.M. and Shkalikov, A.A. (2005) Inverse Prob-lem for Sturm-Liouville Operators with Distribution Potentials: Reconstruction from Two Spectra. Russian Journal of Mathematical Physics, 12, 507-514.

  11. 11. Savchuk, A.M. and Shkalikov, A.A. (2003) Sturm-Liouville Operators with Distribution Potentials. Transactions of the Moscow Mathematical Society, 64, 143-192.

  12. 12. Savchuk, A.M. and Shkalikov, A.A. (2006) On the Eigenvalues of the Sturm-Liouville Operator with Potentials from Sobolev Spaces. Mathematical Notes, 80, 814-832. https://doi.org/10.1007/s11006-006-0204-6

期刊菜单