Advances in Applied Mathematics
Vol.
08
No.
05
(
2019
), Article ID:
30417
,
7
pages
10.12677/AAM.2019.85109
The John Theorem for Triangles in 2-Dimension Euclidean Space
Tongyi Ma1, Tian Xiao2
1College of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye Gansu
2Class 1 of Grade 2016 of Information and Computation Science, Department of Mathematics, Hainan University, Haikou Hainan
Received: May 5th, 2019; accepted: May 20th, 2019; published: May 27th, 2019
ABSTRACT
In this paper, a description of the John contact points of a regular triangle was given. It was proved that the John ellipse of any triangle is circle if and only if this triangle is regular and that the John ellipse of a regular triangle is its inscribed circle.
Keywords:Triangle, John Theorem, John Ellipse, Barycentric Coordinates
关于欧氏平面 中三角形的John定理
马统一1,肖添2
1河西学院数学与统计学院,甘肃 张掖
2海南大学数学系信息与计算科学2016级1班,海南 海口
收稿日期:2019年5月5日;录用日期:2019年5月20日;发布日期:2019年5月27日
摘 要
本文利用著名的John定理研究三角形的极值性质,刻画了正三角形的John接触点的特征,证明了任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。
关键词 :三角形,Hohn椭圆,John定理,重心坐标
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
早在1948年,F. John证明了n维欧氏空间 中的每一个凸体都包含一个唯一的体积最大的椭球,现在我们把这个椭球称为该凸体的John椭球,当这个John椭球是欧氏单位球B的时候,F. John给出了一组充分必要条件,从而把这个单位球刻画了出来。这就是下面著名的John定理(参见 [1] - [6] )。
定理A:n-维欧氏空间 中的每一个凸体K都包含一个唯一的体积最大的椭球。这个椭球是球当且仅当 并且对于某个正整数 ,存在一列正实数 ,同时在K的边界上存在一列单位向量 满足:
,(1.1)
和
, (1.2)
这里,算子 定义为对于任意 , ,而 表示 上的单位算子。
条件(1.1)表明 类似 中的一组正交基,它的一种等价表示是,对于任意的 ,都有下面的等式成立:
, (1.3)
或者
, (1.4)
其中, 表示欧氏空间 中通常的内积。关于上述等价关系的详细论述可参考K. Ball的文章 [2] 。
我们把凸体K的边界上满足(1.1)和(1.2)的点称为接触点。 中最简单的凸体就是立方体 ,显然它的接触点就是 中的标准基向量 以及 。
本文的主要目的是利用John定理对2维欧氏平面 中三角形的一些性质做些描述,并得到如下两个结论。
定理1:正三角形的John椭圆就是它的内切圆。
定理2:任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。
2. 准备知识
在定理的证明中,我们需要用到重心坐标的概念。众所周知,重心坐标是距离几何中的一个常用概念,在三角形中它的定义如下(见 [5] [7] ):
设A是2维欧氏平面 中以 为顶点的一个三角形,且M是 中任意一点,记以 , 和 为顶点的三角形的面积分别为和 ,则我们称面积比
为点M关于三角形A的重心坐标,记为 。
从上述定义可知,对于某个点M的重心坐标可记为 ,也可记为 ,即其记法并非唯一,是可以相差一个非零的常数因子k的。
对于M点的重心坐标 ,若令 ,则 ,则我们称 为点M的规范重心坐标,这就是有限元法中的面积坐标。
假设 是某一个正三角形的顶点,且标准单位圆B是它的内切圆,我们记B与顶点 所对的边 和 上的切点分别为 和 ,边 和 上过点 和 的单位外法向量分别为 。根据重心坐标定义,通过简单的计算可得 和 的重心坐标分别为:
。
因此,对任意一个正三角形,它的接触点的重心坐标具有如下的形式:
, (2.1)
其中矩阵的每一行向量代表一个接触点的重心坐标。
3. 定理1的证明
根据John定理,我们只要证明正三角形的内切圆的切点满足John定理即可。首先约定2维欧氏平面 中的正三角形及相关元素的记号同第2节。在此规定下,由重心坐标的定义不难求得坐标原点的重心坐标为 。令 ,则
。
于是,我们验证了John定理中的(1.2)式。
下面我们将验证向量 满足John定理中的(1,1)式。事实上我们只需证明与(1.1)式等价的式子如下,即对任意 ,都有下面的等式成立:
, (3.1)
其中, 。
由于我们所考虑的凸体是 中三角形 ,所以它的3个边 , 和 上的单位法向量 所形成的空间必为 ,也即
。
因此,对任意的向量 ,一定存在实数 ,使得
。
分别以 与上式的两端作内积,我们可得
若记 , ,且向量 的Gram矩阵为
。
因此,上面的方程可改写为
, (3.2)
其中 , 分别表示 和 的转置。
考虑到G的任一元素 是三角形的两个边 与 对应的单位外法向量 与 的夹角的余弦,又由于法向量 与 的夹角与三角形的边 , 所形成的夹角 是互补的,所以
。
我们仍然用 分别表示三角形的边 的边长。对于 ,我们有
,
其中 表示边 沿 方向向边 作垂直投影所得到的投影的长度。
为了得到Gram矩阵G的值,我们只需计算 的值即可。由于我们所考虑的是正三角形,所以对于 i ≠ j 所有的 ,对于 所有的 。这样就得到了矩阵G,即
。
由此,把(1.2)和(3.2)式联立可得
将 代入上面的方程组可知 是该方程组的一组解。因此 中的任意一点可以表示成(3.1)式的形式,定理1证毕。
4. 定理2的证明
首先,我们介绍H. J. Brascamp和E. H. Lieb 建立的一个著名不等式作为引理(参见 [3] [4] ),它可以被看作卷积不等式的推广,被称为Brascamp-Lieb不等式。
引理4.1:设 是 中的一列单位向量, 是一列正实数,使得它们满足下面的等式:
。
如果 是一列可积函数,那么
。(4.1)
F. Barthe在文 [3] 中给出了引理4.1等式成立的一组必要条件,即下面的引理。
引理4.2:设 是 中的一列单位向量, 是一列正实数,使得它们满足下面的等式:
。
如果 是 中不全为零的函数,并且 不都是高斯分布的密度函数,那么(4.1)式取等式的必要条件是
,
并且 是 的一组正交基。
现在我们给出定理2的证明。
由定理1立即可得定理2的充分性。下面我们证明定理2的必要性,即如果三角形A的John椭圆是欧氏单位圆B,那么三角形A是正三角形。
首先我们注意到如果三角形A的John椭圆是单位圆B,那么这个圆一定是该三角形的内切圆。如若不然,那么不妨设B与三角形的某个边 不相切,设边 的外法向量是 ,那么一定存在一个正实数 ,使得单位圆B沿方向 平行移动 后,单位圆B不在与三角形A的任何边相切。这时一定存在另一个正实数 ,如果我们对单位圆B沿方向 平行移动 后,再令单位圆B做一个膨胀r,使得膨胀后得到的圆rB成为三角形P的内切圆。这与我们的条件——单位圆B是John椭圆相矛盾。
因为三角形A的内切圆是其John椭圆,由John定理,存在一组正实数 以及在A的边界上存在一组单位向量 ,使得
, (4.2)
和
。 (4.3)
设 ,则K也是 中的三角形。由于 是A和B的接触点,所以
。
注意到B也是三角形A的内切圆且K,A与B有相同的切点 ,所以我们有
。
现在问题转化为只需要证明K是正三角形即可。在下面的讨论中,我们把 视为 ,令
。
。
容易验证 是单位向量,并且结合(4.2)和(4.3),我们有
。
定义函数列 如下:
对于任意的 ,令
,
由引理4.1,我们得到
。 (4.4)
现在,假设 ,对于每一个i,我们有
。
因为 ,则存在j (仅依赖于y)使得 。因此,如果 ,则 。另一方面,如果 ,则对于每一个i,当 时, 。从而我们可得
因此对于每一个 ,我们可得F在平面 上的积分为:
,
其中 表示三角形K的面积。因此由(4.4)式可得
,
即
。 (4.5)
注意到(4.5)式的右端正是以单位圆B为内切圆的正三角形的面积。
考虑到函数 的构造,并对(4.4)式应用引理4.2,可得(4.4)式等式成立的条件是 是 的一组正交基。任取这组正交基中的两个向量
和
,
我们有
,
所以
是一个常数。由于 是三角形 的三个边上的单位外法向量,因此, 是正三角形。定理2证毕。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No: 11561020)。
文章引用
马统一,肖 添. 关于欧氏平面ℝ²中三角形的John定理
The John Theorem for Triangles in 2-Dimension Euclidean Space ℝ²[J]. 应用数学进展, 2019, 08(05): 958-964. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.85109
参考文献
- 1. Ball, K. (1992) Ellipsoids of Maximal Volume in Convex Bodies. Geometriae Dedicata, 41, 241-250. https://doi.org/10.1007/BF00182424
- 2. Ball, K. (1997) An Elementary Introduction to Modern Convex Geom-etry. In: Levy, S., Ed., Flavors of Geometry, Cambridge University Press, New York, 1-58.
- 3. Barthe, F. (1998) On a Reverse Form of the Brascamp-Lieb Inequality. Inventiones Mathematicae, 134, 335-361. https://doi.org/10.1007/s002220050267
- 4. Brascamp, H.J. and Lieb, E.H. (1976) Best Contants in Young’s In-equality, Its Converse, and Its Generalization to More than Three Functions. Advances in Mathematics, 20, 151-173. https://doi.org/10.1016/0001-8708(76)90184-5
- 5. Coxeter, H.S.M. (1969) Barycentric Coordinates. §13.7 in Introduction to Geometry, 2nd Edition, Wiley, New York, 216-221.
- 6. John, F. (1948) Extremum Problems with Inequatlities as Subsidiary Conditions. Courant Anniversary Volume, Interscience, New York, 187-204.
- 7. Lin, S., Ge, X. and Leng, G.-S. (2006) The John Theorem for Simplex. Journal of Shanghai University (English Edition), 10, 487-490. https://doi.org/10.1007/s11741-006-0043-4