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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 1-4
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41001 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
OPEN ACCESS
1
Characterizations of Completely
ϑ
∗
-Simple Semigroups
Xiaoting He, Xiaojiang Guo
College of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Nanchang
Email: creekemily@sina.cn, xjguo1967@sohu.com
Received: Nov. 24th, 2013; revised: Dec. 16th, 2013; accepted: Dec. 19th, 2013
Copyright © 2014 Xiaoting He, Xiaojiang Guo. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution Li-
cense, which permits un restricted use, distribution, and rep roduction in any medium, pro vided the original work is p roperly cited. In ac-
cordance of the Creative Commons Attribution License all Copyrights © 2014 are reserved for Hans and the owner of the intellectual
property Xiaoting He, Xiaojiang Guo. All Copyright © 2014 are guarded by law and by Hans as a guardian.
Abstract: Completely
*
ϑ
-simple semigroups form an important class of abundant semigroups. In this paper,
some characteristics of completely
*
ϑ
-simple semigroups are obtained, which extends some important re-
sults on completely simple semigroups.
Keywords: Completely
*
ϑ
-Simple Semigroups; Abundant Semigroups; Completely Simple Semigroups;
Cancellative Monoid
完全
ϑ
∗
-单半群的若干特征
何晓婷，郭小江
江西师范大学数学与信息科学学院，南昌
Email: creekemily@sina.cn, xjguo1967@sohu.com
收稿日期：2013 年11 月24 日；修回日期：2013 年12 月16 日；录用日期：2013 年12 月19 日
摘 要：完全
*
ϑ
-单半群是一类重要的富足半群，本文给出了这类半群的若干特征，这些结果推广了关
于完全单半群的一些重要结果。
关键词：完全
*
ϑ
-单半群；富足半群；完全单半群；消去幺半群
1. 引言
文中将采用[1]的记号和术语。为方便计，本文总记
S
为半群，
( )
ES
为半群
S
的幂等元集。首先，回忆几
个已知的结果，这些结果后面将会多次用到。
引理 1.1[2]：令
S
为半群且
,ab S∈
，则下列命题等价：
(1)
**
ab


LR
；
(2) 对于任意的
[ ]
1
,,x ySaxaybxbyxayaxbyb∈ =⇔==⇔=
。
据引理 1.1，有
引理 1.2[2]：令
S
为半群且
2
,aeeS= ∈
，则下列命题等价：
(1)
**
ae


LR
；
(2)
[ ]
aea eaa= =
且对于任意的
[ ]
1
,,xy Sax ayex eyxayaxeye∈ =⇒==⇒=
。
何晓婷，郭小江 | 完全
ϑ
∗
-单半群的若干特征
OPEN ACCESS
2
众所周知，
*
L
是
S
上的右同余，
*
R
是
S
上的左同余。一般地，总有
*
⊆
LL
且
*
⊆
RR
，但是当
,ab
是
S
的
正则元时，
**
ab


LR
当且仅当
[ ]
ab
LR
。
令
S
为半群，若
S
的每个
*
L
-类都含有幂等元，则称
S
为右富足半群；对偶的，若
S
的每个
*
R
-类都含有幂
等元，则称
S
为左富足半群；若
S
既是右富足的又是左富足的，则称
S
为富足半群。对于富足半群我们可以参
考[2]。显然，正则半群是富足半群。
令
,IΛ
均为非空集合，
M
为幺半群，且
( )
i
Pp
λ
=
为
M
的单位群
( )
unit group
上的
IΛ×
-矩阵。记
T MI=× ×Λ
。
在
T
上，定义运算如下：
( )()
( )
,,, ,,,
i
x iyjxpy i
λ
λµ µ
=
关于上面的运算，明显可知
T
构成半群，记为
( )
;, ;MIPΛ
Μ
。称之为幺半群
M
上的关于夹心矩阵
( )
sandwich matrixP
的
Rees
矩阵半群。半群
S
称为完全
*
ϑ
-单半群
( )
completely-simple semigroup
∗
ϑ
，如果
S
同构
于某个消去幺半群
M
上的
Rees
矩阵半群
( )
;, ;MIPΛ
Μ
(见[2])。完全
*
ϑ
-单半群是完全单半群在富足半群的基础。
本文的目的是探究完全
*
ϑ
-单半群的性质。
2. 主要结果
设
S
为富足半群，
( )
e ES∈
，则局部幺半群
eSe
是以
e
为幺半群
S
的富足半群(见[3])。如果
S
的所有局部幺
半群
eSe
都是消去幺半群，则
S
称为局部消去幺半群
( )
locallycancellative monoid
。
我们可以证明下面的定理，这推广了[4] (TheoremIII.3, p. 114)。
定理 2.1：令
S
为富足半群，下列各款等价：
(1)
S
为完全
*
ϑ
-单半群；
(2)
S
为局部；消去幺半群；
(3)
S
的所有幂等元都是本原的；
(4)
S
满足弱消去律；即对于任意的
,,axy S∈
，等式
ax ay=
和
xa ya=
蕴含着
xy=
；
(5) 对于任意的
,ax S∈
，和
a axa=
，则
x xax=
。
证明：(1) ⇒ (2)设
( )
;, ;SMI P=ΜΛ
，其中
M
为消去幺半群。令
( )
,eESaS∈∈
，则存在
,iI
λ
∈ ∈Λ
，使得
( )
1
,,
i
e pi
λ
λ
−
=
。易知，
( )
{ }
,, :eSex ixM
λ
= ∈
。注意到，映射：
( )
,, i
x ixp
λ
λ

是
eSe
到
M
上的同构。故
S
为局部
消去幺半群。
(2) ⇒ (3)仅需证，对于任意的
( )
,ef ES∈
，若
ef≤
，则
ef=
，我们有
e effe= =
，以至于
,ef
是消去幺
半群
eSe
的幂等元，但消去幺半群仅有一个幂等元，因此
ef=
，即为所要证。
(3) ⇒ (1)由(3)，知
S
为不含零元的本原富足半群，再利用[2] (Corollary5.2)，
S
为完全
*
ϑ
-单半群
(1 )⇒ (4)设
( )
;, ;SMI P= Λ
Μ
，其中
M
为消去幺半群。若对于任意的
() () ()
,,,,,,, ,aix jykS
λµγ
∈
，
若
( )()( )()()( )()( )
,,, ,,,, ,,,,,,, ,,,aix jaiykx jaiykai
λ µλ γµλγλ
= =
即
( )
( )
() ()
,,,,,, ,, ,
j kii
apx iapyixpajypak
λ λµγ
µγλλ
= =
，则
, ,,
j ki i
apxapyxpayp ajk
λ λµγ
µγ
=== =
但
M
为消去幺半群，第一、二两个等式可以得到
xy=
，从而
() ()
,, ,,x jyk
µγ
=
，即
S
满足弱消去律。
(4) ⇒ (5)令
,ax S∈
，且
a axa=
则
() ()
xaxaxaxax a= =
且
( )( )
axaxa xa xax= =
，但
S
满足弱消去律，因此
x xax=
。
何晓婷，郭小江 | 完全
ϑ
∗
-单半群的若干特征
OPEN ACCESS
3
(5) ⇒ (3)假设
( )
,ef ES∈
，且
ef≤
，则有
e effeefe= = =
，由(5)，
f fef=
，进而我们就可得到
ffef eff ef e====
，故
S
的所有幂等元都是本原的。
令集合
{ }
0, 1
，关于数的普通乘法，构成一个半格，我们将记这个半格为
2
Y
。
定理 2.2：令
S
为富足半群，下列各款等价：
(1)
S
为完全
*
ϑ
-单半群；
(2) 对于任意的
( )
,ef ES∈
，eSf 为
S
的消去幺半群；
(3) 对于任意的
( )
,ef ES∈
，总有 ef efe f
=⇒=
；
(4)
S
没有同构于
2
Y
的子半群。
证明：(1)⇒(2)设
( )
;, ;SMI P= Λ
Μ
，其中
M
为消去幺半群。若
()()( )
,,,, ,exify jE S
λµ
== ∈
则
( )
{ }
,, :eSfa iaM
µ
= ∈
。容易验证，映射：
( )
,,
i
s isp
µ
µ

是eSf 到
M
上的同构。故 eSf为消去幺半群。
(2) ⇒ (3)对于任意的
( )
,ef ES∈
，若有
ef e=
，则
( )
,feE Sfef∈≤
，易知，
,fe f
均为
fSf
的幂等元，而由
条件(2)，知
fSf
是消去幺半群，因此
fSf
只有一个幂等元，故 fe f=。
(3) ⇒ (4)反设，
{ }
,ef
为
S
的同构于
2
Y
的子半群。则
( )
,,efE Seffe∈=
且
ef≤
或者
fe≤
，进而
e ef=
或
f ef=
，利用条件(3)，我们有 fe f=或
e ef=
，总之
ef=
，矛盾。从而(4)成立。
(4) ⇒ (1)对于任意的
( )
,ef ES∈
，若有
ef≤
且
ef≠
，则
{ }
,ef
为
S
的子半群，显然，同构于
2
Y
，这与条
件(4)矛盾。故
S
的所有幂等元都是本原的，再由定理 2.1，即
S
为完全
*
ϑ
-单半群。
半群
S
的左理想
J
称为左*-理想
( )
*
left -ideal
，如果
*
xJ x
JL
∈
= ∪
，其中
*
x
L
记
S
的含
x
的
*
L
-类。对偶地，定义
右*-理想。容易验证，左(右)*-理想的交仍为左(右)*-理想。记
( )()
**
La Ra


为含
a
的
S
的最小左(右)*-理想。关于
左(右)*-理想，读者可以参考[2,5]。
令
S
为半群，
I
为
S
的子集，若
I
既是左*-理想又是右 *-理想，则称
I
为
S
的*-理想
( )
*
-ideal
。若半群
S
的真
*-理想，则称
S
为
*
ϑ
-单半群
( )
*
-simplesemigroup
ϑ
。
Fountain
在[2]中， 指出 ：对于
( )
**
,,ab Sab∈
LR
当且仅当
()( )()( )
* ***
LaLbRaRb

= =

。富足半群
S
称为
IC
的
( )
idempotent-connected
，如果对于任意的
aS∈
，都存在幂等元
( )
,ef ES∈
使得
(1)
**
ea f
LR
；
(2) 对于任意的
( )
g ES∈
一旦
gf
≤，则有幂等元
( )
h ES∈
满足
ag ha=
。
众所周知，完全
*
ϑ
-单半群是
IC
富足半群。反之，我们有下面的定理。
定理 2.3：令
S
为
IC
富足半群，则
S
为完全
*
ϑ
-单半群当且仅当
(1)
S
为
*
ϑ
-单半群；
(2)
S
有极小左(右)*-理想。
证明：设
S
为完全
*
ϑ
-单半群，则由[2] (Theorem6.7)，知
S
是
*
ϑ
-单半群。令
( )
e ES∈
，则
e
是本原幂等元。
下证，
( )
*
Le
为极小左*-理想。由 [2] (Corollary1.9)前面的讨论，
( )
*
L eSe=
。若
( )
*
Le
不是极小的，则必存在
aS∈
，
使得
()( )
**
La Le⊂
。而
S
为
IC
富足半群，于是有
( )
f ES∈
满足
*
fa
L
，进而有极小左*-理想。
( )()
**
L aLfSf= =
。
这样，
Sf Se⊂
，再利用[2] (Lemma 3. 1)，
Sf Sf=
，这与
()( )
**
La Le⊂
矛盾。即证明了，
S
反之，设
S
为
*
ϑ
-单
半群，且
S
有极小左*-理想。令
I
为
S
的极小左*-理想，则存在
aS∈
使得
( )
*
I La=，从而有幂等元
e
满足
( )
*
L aSe=
。据 [6] (Corollary4.6)，仅 需证：
e
为本原幂等元。若有幂等元
f
，且
fe≤
，显然，
( )
*
L fSfSeI=⊂=
，
而
I
是极小的，因此
Sf Se=
这意味着，
e fe=
，故有 ffe e== ，即
e
为本原幂等元。证毕.
注意到，在正则半群中，总有
**
,= =
L LRR
.我们容易看出，在正则半群中，左理想(右理想)是左*-理想(右
*-理想)。事实上，正则半群都是
IC
富足半群。因此
*
ϑ
-单正则半群恰为单半群。基于此，利用定理 2.3，下面推
论显然。
推论 2.4：令
S
为正则半群，则
S
为完全单半群当且仅当
何晓婷，郭小江 | 完全
ϑ
∗
-单半群的若干特征
OPEN ACCESS
4
(1)
S
为单半群；
(2)
S
有极小左(右)理想。
现在我们利用
*
Green
-关系给出了完全
*
ϑ
-单半群的一些刻画。
定理 2.5：令
S
为富足半群，则下列各款等价：
(1)
S
为完全
*
ϑ
-单半群；
(2) 对于任意的
*
,,a bSaab∈
R
；
(3) 对于任意的
*
,,abSabb∈
L
。
证明：(1) ⇒ (2)设
( )
;, ;SMI P= Λ
Μ
，其中
M
为消去幺半群。对于
() ()
,,,,,xiy jS
λµ
∈
，由[6] (Lemma2.4)
[7] (Lemma1.6)对偶叙述，知
( )
( )
( )()
*
,,,,,,, ,
j
xixpyixiy j
λ
λµ λµ
=
R
即(2)成立。
(2) ⇒ (1)假设(2)成立，由定理 2.1，仅 需证：则
S
的所有幂等元都是本原的。为此，令
( )
,ef ES∈
，若有
ef≤
，
则
efe ef= =
利用条件(2)，有
*
fR fee=
，根据引理[1.2]知
f ef=
，从而
ef=
。这样证明了：
S
的所有幂等元
都是本原的。证毕.
下面的推论显然。
推论 2.6：令
S
为正则半群，下列各款等价：
(1)
S
为完全单半群；
(2) 对于任意的
,,a bSaab∈
R
；
(3) 对于任意的
,,a bSabb∈
L
。
项目基金
国家自然科学基金(11361027)；江西省自然科学基金(2014BAB201009)；江西省教育厅科研项目助资
(GJJ11388)。
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( )
l
D
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