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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 5-13
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41002 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html )
Relation between Meromorphic Solutions of a Class of
Higher Order Linear Differential Equations and
Functions of Small Growth
Minfeng Chen, Zongxuan Chen
School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou
Email: chenminfeng198710@126.com, chzx@vip.sina.com
Received: Oct. 16th, 2013; revised: Oct. 29th, 2013; accepted: Nov. 5th, 2013
Copyright © 2014 Minfeng Chen, Zongxuan Chen. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution
License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. In
accordance of the C reative Commons Attribution Lic ense all Copyrights © 2 014 are reserved f or Hans and the owner o f the intellectual
property Minfeng Chen, Zongxuan Chen. All Copyright © 2014 are guarded by law and by Hans as a guardian.
Abstract: In this paper, we consider the growth of the meromorphic solutions of a class of higher order ho-
mogeneous and non-homogeneous linear differential equations with meromorphic coefficients, and further
consider the relation between their meromorphic solutions and functions of small growth, where one of these
coefficients has a finite deficient value or satisfies some conditions, others satisfy corresponding conditions.
Keywords: Deficient Value; Complex Differential Equations; Meromorph ic Fu nction;
Functions of Small Growth
一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
陈敏风，陈宗煊
华南师范大学数学科学学院，广州
Email: chenminfeng198710@126.com, chzx@vip.sina.com
收稿日期：2013 年10 月16 日；修回日期：2013 年10 月29 日；录用日期：2013 年11 月5日
摘 要：本文研究了一类亚纯函数系数高阶齐次和非齐次线性微分方程的亚纯解的增长性，并进一步
研究了它们的亚纯解与小函数的关系。其中某一个系数具有有限亏值或满足一定条件，其余系数也满
足相应的条件。
关键词：亏值；复域微分方程；亚纯函数；小函数
1. 引言
本文使用值分布论的标准记号[1]，特别地，对亚纯函数
( )
fz
，用
( )
f
σ
和
( )
f
µ
表示
( )
fz
的级与下级；用
( )
f
λ
和
( )
1f
λ
分别表示
( )
fz
的零点和极点收敛指数；
( )
f
λ
表示
( )
fz
的不同零点收敛指数；
( )
f
λϕ
−
表示
( )
fz
取小函数的收敛指数。
定义 1[2]：假设
( )
fz
为开平面上的亚纯函数，
( )
fz
的超级
( )
2
f
σ
定义
( )
log ,Trf
的级，即
( )( )
2
loglog ,
lim lo g
r
T rf
fr
σ
→∞
=
OPEN ACCESS 5
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
考虑二阶线性微分方程
( )()
0
fAzf Bzf
′′ ′
+ +=
(1)
其中 A(z)，B(z)(不恒为零)都是亚纯数。众所周知，如果 A(z)，B(z)是整函数，至少有一个是超越的，并且
1
f
，
2
f
是方程的两个线性无关的解，那么
1
f
，
2
f
至少有一个必是无穷级。然而，它们也可能具有非零有穷级的解，
例如
( )
e
z
fz=
满足方程
( )
ee1 0
zz
ff f
−−
′′ ′
+ −+=
，因此，我们考虑在 A(z)，B(z)上赋予什么条件时，可以确保
方程(1)的每一个非零解具有无穷级.针对这一问题，已有很多结果，如[3-5]。
伍鹏程和朱军在文献[5]中证明了
定理 A：假设 A(z)是一个具有有穷亏值的亚纯函数。如果 B(z)是一个超越亚纯函数，满足如下三个条件之
一：
1)
()( )
1
1;
2
BB
λσ
<<
2)
()()
1
1;
2
BB
λµ
<<
3)
( )
0B
σ
=
且B(z)仅有有限多个极点。
则方程(1)的每一个非零解具有无穷级。
对于高阶齐次和非齐次线性微分方程：
( )()
1
10
0
kk
k
fA fAf
−
−
+++ =
(2)
和
( )()
1
10
kk
k
fA fAfF
−
−
+++ =
(3)
陈宗煊在文献[6]中证明了
定理 B：假设
01 1
,,,
k
AA A
−

是亚纯函数，且存在某个
()
01
s
A sk≤≤−
，满足：
( )
( )
( )
{ }
( )( )
1
max, 12
js ss
bA jsAAA
σλ µσ
=≠ <≤<
如果微分方程(2)有亚纯解，那么每个超越亚纯解
f
满足：
( )
()
2s
fA
σσ
=
；而每个非超越亚纯解
f
为多项
式且
deg 1
fs
≤−
。
肖丽鹏和陈宗煊在文献[7]中证明了
定理 C：假设
01 1
,,, ,
k
AAA F
−

是亚纯函数，存在某个
( )
01
s
A sk≤≤−
，满足：
()
()
( )
( )
{}
()( )
1
max,, 1.
2
js ss
bFA jsAAA
σσλµσ
=≠<≤<
则微分方程(3)的每一个超越亚纯解
f
满足：
( )
()
2s
fA
σσ
=
。
本文主要考虑微分方程(2)，(3)亚纯解的增长性，~并研究了它们的亚纯解和小函数的关系，得到了以下结
论：
定理 1：假设
01 1
,,,
k
AA A
−

是有限级亚纯函数，存在某个 s满足：
s
A
具有有限亏值，
( )()
0s
AA
σσ
≠
，且
()
( )
()
{}
( )
( )
0 00
1
max0, ,1.
2
j
bAj sAAA
σλ µσ
= ≠<≤<
如果
( )()
0z
ϕ
≡
/
为有限级亚纯函数，那么方程(2)的每个亚纯解
( )()
0f z≡
/
满足
()( )( )
f ff
λ ϕλσ
−= ==∞
。
定理 2：假设
01 1
,,, ,0
k
AAA F
−
≡
/

是有限级亚纯函数，存在某个 s满足：
()( )( )( )(
)( )
( )
0
1
1, ,,
2
sss ss
AAA AAAF
λ µσσσσσ
< ≤ < ≠ ≠
且
OPEN ACCESS
6
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
( )
( )
( )
( )
{ }
( )( )
0 00
1
max,0, ,1.
2
j
bFAj sAAA
σσλµσ
= ≠<≤<
假设
f
为(3) 的亚纯 解，且极点阶数有限，则
( )
f
σ
= ∞
。如果
()( )
0z
ϕ
≡
/
为有限级亚纯函数，那么方程(3)
的每个亚纯解
( )()
0f z≡
/
满足
()( )( )
f ff
λ ϕλσ
−= ==∞
。
2. 引理和注
引理 1[8]：假设
f
是超越亚纯函数，
( )
f
σσ
= <∞
。设
()
( )
{ }
11
, ,,,
mm
kjkj
Γ= 
表示一个整函数对的集合，
满足
( )
01,,
ii
kj im>≥ =
。假定
0
ε
>
是任给常数,那么存在子集
( )
1
1,E⊂∞
具有有穷对数测
1
lmE < +∞
，满足：
对满足
[ ]
1
0, 1zr E= ∉
的所有 z和
( )
,kj∈Γ
，我们有
( )
( )
( )
( )
( )()
1
.
kkj
j
fzr
fz
σε
− −+
≤
(4)
在介绍下面引理之前，需要一些记号。对集合
( )
1,E⊂∞
，
( )
d
lE
t
mE t
=
∫
表示 E的对数测度，
(
]
( )
0,
logsup l
lim og
l
r
mE r
densE r
→∞
=
和
(
]
( )
liminf 0,
log log
l
r
mE r
densE r
→∞
=
分别称为集合 E的上对数密度和下对数密度。
引理 2[9]：假设 g(z)是超越整函数，满足
( )
01g
µ
≤<
，则对每一个
( )
( )
,1g
αµ
∈
存在集合
( )
2
0,E⊂∞
，使得
( )
2
log1 g
densE
µ
α
≥−
，其中
[
)( )()
{ }
20,:cos πErmrMr
α
=∈∞>
，
( )( )( )( )
inf log,suplog
zr zr
mrgz Mrgz
==
= =
。
注1：在引理 2中，若 g(z)的级
( )
1g
σ
<
，则对每一个
()
()
,1
g
ασ
∈
，存在集合
( )
2
0,E⊂∞
，使得
( )
2
log1 g
densE
σ
α
≥−
，
其中
[
)( )( )
{ }
20,:cos π
ErmrMr
α
=∈∞>
。
引理 3[5]：假设g(z)是
( )
1
02
g
µ
<<
的整函数，A(z)为级
( )
A
σ
<∞
的亚纯函数，如果A(z)有一个有限亏值 a，
亏量
( )
,0aA
δδ
= >
，则对任给
0
ε
>
存在实数序列
{ }
n
R
，当
n→∞
时，
n
R→∞
，使得下面两个不等式对充分
大的 n成立：
( )
()
{ }
[
)
i
e exp,0,2π;
g
nn
gR R
µε
ϕ
ϕ
−
>∈
(5 )
( )
[
)
( )
( )
i
: 0,2π: loge,0,
4
n nn
mFmARaTRAd
θ
δ
θ

=∈−<−≥ >


(6)
其中 d是仅依赖于
()( )
,Ag
σµ
和
δ
的常数。
引理 4[10]：假设 g(z)是亚纯函数，级
( )
g
σβ
=< +∞
，那么对任意给定的
0
ε
>
，存在一个线测度和对数测度
OPEN ACCESS 7
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
均为有限的集合
( )
3
1,E⊂ +∞
，使得当
[ ]
3
z0,1, +r Er=∉ →∞
时
( )
{ }
exp .gz r
βε
+
≤
(7 )
引理 5[6]：假设
( )
fz
是亚纯函数。满足
()( )()
1
12
fff
λ µσσ
<≤=<
，那么对任给
0
ε
>
，存在子集
( )
1,H⊂ +∞
具有上对数密度
log 0densH >
，满足对
z rH= ∈
的所有 z有
()( )
( )
{ }
exp 11.fzo r
σε
−
≥+
(8)
引理 6[6]：假设 s为一正整数，
( )( )
( )
gz
fz dz
=
为超越亚纯函数，其中 g(z)，d(z)为整函数，满足
( )()( )()( )()()
, 1.gfgfdd f
µµµσσλσλβµ
==≤=≤+∞ ===<
那么存在子集
( )
4
1,E⊂ +∞
具有有穷对数测度，取 z满足
[ ]
( )()
4
0,1 ,,zrEgzM rg=∉ =
时，
( )
( )
( )
2.
s
s
fz r
fz
≤
(9)
引理 7[11]：假设
01 1
,,, ,0
k
AAA F
−
≡
/

是有限级亚纯函数，如果
( )
fz
是
( )()
1
10
kk
k
fA fAfF
−
−
+++ =
的亚纯解，并且
( )
f
σ
= ∞
，则有
( )()()
.fff
λλσ
=== ∞
定理 1的证明
假设
( )()
0fz≡
/
为(2)的有理函数解，由于
( )()
0
s
AA
σσ
≠
，如果
()
fz
为在
( )
00
zz<∞
有
1n≥
阶极点的有理
函数或
( )
fz
为次数
deg 1
fs
≥−
的多项式，那么
()( )
( )
00
ks
s
fAf Af
σ
++++ >
，矛盾。如果
( )
fz
为次数
deg 1fs
<−
的多项式，那么
()( )
()
( )
00
0
ks
s
fAfAf A
σσ
++++ =>
，矛盾。
故
( )()
0fz≡
/
为(2)的超越亚纯解。
下面假设
( )()
0fz≡
/
为(2)的超越亚纯解，
( )
f
σσ
= <∞
，并设 a为
( )
s
Az
的有限亏值，亏量
( )
,0
s
aA
δδ
= >
。
由方程(2)得：
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )()
( )
( )
( )
( )( )( )
( )( )
1
01
1
11
.
ks s
ss
s
s
fzf zfz
AzAzAza a
fz fzfz
f zfz
A zAz
fz fz
+
+
−
−
≤+ ++−+
′
+ ++


( 10 )
由引理 1存在集合
( )
11,E⊂∞
具有有穷对数测度，则对于满足
[ ]
100
0, ,1z rErr∉ =>
的所有 z我们有
( )
( )
( )
( )
( )
1
1, 2,,.
jj
fzr jk
fz
σε
−+
≤=
(11)
设
( )( )
( )
0
gz
Az hz
=
，其中 g(z)是整函数，h(z)是由
( )
0
Az
的极点构成的典型乘积，且
()( )
hh
λσ
=
，
OPEN ACCESS
8
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
显然有
( )
( )()
( )
00
1A hhA
λ λσσ
= =<
。因此
( )
( )
0
gA
σσ
=
。
取
( )
( )
00
1
4Ab
εσ
= −
，由引理 2注1知，存在集合
( )
21,E⊂∞
满足
( )
2
log1 ,
g
densE
σ
α
≥−
其中
( )
[
)( )( )
{ }
( )( )( )( )
2
1
2,0,:cos π,
2
inf log,suplog.
zr zr
gErmrMr
mrgzMrgz
σ
αα
==
+
==∈∞ >
= =
由于存在
()
0
1R>
，使得对所有满足
[ ]
20
\ 0,z rER= ∈
的z有
( )
( )
{ }
0
2
exp
g
gzr
σε
−
≥
且对所有满足
0
zrR=>
的z有
( )
( )
{ }
0
exp
h
hz r
σε
+
≤
。因此对满足
[ ]
20
\ 0,z rER= ∈
的所有 z有
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
0
0
0
2
0
exp exp
exp
g
g
h
r
Az r
r
σε
σε
σε
−
−
+
≥>
(12)
由于
( )
( )
( )
{ }
0
max0,,1
j
bAj sA
σλ
= ≠
，由引理 4，可知对上述的
0
ε
存在集合
( )
3
1,E⊂∞
，其线测度和对数
测度均有限，当
[ ]
3
0, 1zr E= ∉
且r充分大时，有
( )
{ }
( )
0
exp 0,
b
j
Azrj s
ε
+
≤ ≠
(13)
由引理 3，可知，存在序列
{}
n
R
满足
( )
[
)
( )
( )
i
: 0,2π: loge,0
4
a
ns nns
mFmA RaTR Ad
θ
δ
θ
−

=∈− <−≥ >


(14)
对充分大的 n取
nn
F
θ
∈
，由(10)，(11)，(13)，(14)得
()
()
{ }
( )
()
{}
( )
( )
0
0
i
0
e12 expexp,
4
2exp1 1
n
b
k
n nnns
b
k
nn
A RRkRTRAa
kR Ro
θε
σ
ε
σ
δ
+
+


≤+−+ −+




≤− +
(15)
再由(12)，(15)得
( )
{ }
( )
{ }
( )
( )
00
exp2exp1 1
gb
k
n nn
RkR Ro
σε ε
σ
−+
≤− +
(1
由于
( )
00
gb
σε ε
− >+
，可知(16)式显然矛盾。故
( )
f
σ
= ∞
。
令
( )( )( )
gz fzz
ϕ
= −
，那么
( )()
gf
σσ
== ∞
和
( )()
gf
λ λϕ
= −
。将
fg
ϕ
= +
代入(2)，得到
( )()( )()
{ }
11
10 10
kk kk
kk
gA gAgAA
ϕϕ ϕ
−−
−−
+++=−+++
(17)
注意到方程(17)可能具有有限级解，但这里可以仅讨论满足
( )( )( )
gz fzz
ϕ
= −
为无穷级的解。所以仅需对
方程(17)的无穷级亚纯解g证明
( )
g
λ
= ∞
成立。由方程(2)的所有非零亚纯解有无穷级及
( )()
0z
ϕ
≡
/
为有限级亚
纯解，可知
( )()
1
10
0
kk
k
AA
ϕϕ ϕ
−
−
+++ ≡
/

(18)
对方程(17)由引理 5和(18)可知，
()()( )
gff
λλσ
===∞
。因此
()( )( )
f ff
λ ϕλσ
−= ==∞
。
OPEN ACCESS 9
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
定理 2的证明
假设
( )()
0fz≡
/
为(3)的有理函数解，由于
( )()( )
( )
0
,
ss
AAA F
σσσσ
≠ ≠
，如果
( )
fz
为在
( )
00
zz<∞
有
1n≥
阶极点的有理函数或
( )
fz
为次数
deg 1fs≥−
的多项式，那么
()( )
( )
( )
0
ks
s
fAfAf F
σσ
++++ ≠
，矛盾。如
果
( )
fz
为次数
deg 1fs<−
的多项式，那么
()( )
()
()
()
00
ks
s
fAfAf A F
σ σσ
++++ =>

，矛盾。故
( )()
0fz≡
/
为(3)的超越亚纯解。
下面假设
( )()
0fz≡
/
为(3)的超越亚纯解，
( )
f
σσ
=< +∞
。由引理 1，存在集合
( )
1
1,E⊂∞
具有有穷对数测
度，则对于满足
[ ]
1
0, 1zr E= ∉
的所有 z我们有
( )
( )
( )
( )
( )()
( )
1
0
iij
j
fz r jik
fz
σε
− −+
≤≤ <≤
(19)
由于
( )
( )
( )
( )
{ }
0
max,0, ,1
j
bFAj sA
σσ λ
= ≠
，由引理 4，对任给
1
0
ε
>
，存在一个线测度和对数测度均有
限的集合
( )
31,E⊂∞
，使得当
[ ]
3
0, 1zr E= ∉
且r充分大时，有
( )
{ }
() ( )
{ }
11
exp0, ,exp.
bb
j
AzrjsFzr
εε
++
≤ ≠≤
(20)
设
0
z
为
f
的n阶极点，但
0
z
不是
01 1
,,, ,
k
AAA F
−

的极点，在(3)中仅有一项即
( )
k
f
有最高阶的极点，其阶数
为n + k，显然矛盾。所以
f
的极点仅发生在
01 1
,,, ,
k
AAA F
−

的极点处。由于的
f
极点阶数是有限的，所以
( )
1.
fb
λ
≤
由Hadamard 分解定理([12]，定理 7.6)知，
( )
fz
可表示为
( )()
( )
pz
fz qz
=
，其中 p(z)为整数，q(z)是由
( )
fz
的极点构成的典型乘积，并满足
( )( )()( )( )
1,qqfb pf
λσ λσσσ
==≤==
比较(3)各项的增长性，可知
( )()
.f pb
µµ
= >
故有
( )()()()( )( )()
1.qqffppf
λσ λµµσσσ
== <=≤==
(2 1)
对于整函数 p(z)，q(z)，取z满足
[ ]
()( )
0,1 ,,z rpzMrp=∉ =
，对任意
( )( )
22 1
0min ,2
pq
σσ
εε ε

−


<<






，
存在
( )
1
1R>
，当
1
rR>
时有
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
22
, exp,exp
pq
Mrprqzr
σε σε
−+
≥≤
( 22)
取z满足
[ ]
34
0, 1zr EE= ∉
，
( )( )
,pz Mrp=
，由(20)，(22)得
( )
( )
( )( )
( )
{}
1
exp .
,
b
Fz Fzqzr
f zMrp
ε
+
= ≤
(23)
以下分两种情况进行讨论.
1)
()( )
0
1;
2
s
AA
σσ
<<
2)
()( )
01.
2
s
AA
σσ
<<
OPEN ACCESS
10
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
对于情况 1)，当
( )()
0
1
2
s
AA
σσ
<<
时，
由方程(3)得
( )()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )()()
( )( )
01
ks
s
Fzfzfzf z
AzAz Az
fz fzfzfz
′
≤ +++++
(24 )
设
( )( )
( )
0
gz
Az hz
=
，其中g(z)是整函数，
( )
hz
是由
( )
0
Az
极点构成的典型乘积，且
( )()
hh
λσ
=
，显然有
( )
( )()
( )
00
1A hhA
λ λσσ
= =<
。因此
()
( )
0
gA
σσ
=
。取
( )
( )
10
1
4Ab
εσ
= −
，由引理 2注1知，存在集合
[
)
20,E⊂∞
满足
( )
2
log1g
densE
σ
α
≥−
，其中
( )
[
)( )( )
{ }
( )( )( )
2
1
2,0,:cos π,
2
inflog,()suplog.
zr zr
gErmrMr
mrgzMrgz
σ
αα
==
+
==∈∞ >
= =
由于存在
( )
0
1R>
，使得对所有满足
[ ]
20
\ 0,z rER= ∈
的z有
( )
( )
{ }
1
2
exp
g
gzr
σε
−
≥
且对所有满足
0
zrR=>
的z有
( )
( )
{ }
1
exp h
hz r
σε
+
≤
。因此对满足
[ ]
20
\ 0,z rER= ∈
的所有 z有
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
1
1
1
2
0
exp exp
exp
g
g
h
r
Az r
r
σε
σε
σε
−
−
+
≥>
(25)
由引理 4，对任意
( )( )
0
331
0min,2
s
AA
σσ
εε ε


−

<<






，存在一个线测度和对数测度均为有限的集合
( )
3
1,E⊂ +∞
，使得当
[ ]
3
0, 1zr E= ∉
且r充分大时，
( )
( )
{ }
3
exp
s
A
s
Azr
σε
+
≤
(26)
当
[ ]
( )
2 134
\ 0,1
z rEEEE= ∈
且z满足
( )()
,pz Mrp=
时，(19)，(20)，(23)~(26)得
( )
{ }
()
{ }
()
{ }
()
3
11
exp11 expexps
A
gb
k
rrk rr
σε
σε ε
σ
+
−+
≤ +−+
(27)
由于
( )
11
gb
σε ε
− >+
且
( )
( )
13s
gA
σ εσε
−> +
，可知(27)式矛盾。
对于情况 2)，当
()( )
0
1
2
s
AA
σσ
<<
时，
由方程(3)得
( )()
( )
()
( )
( )
( )
( )
( )
()
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )()( )
( )( )( )( )
( )
()
1
1
1
1 10
.
ks
ss
ss s
s
ss
Fz fzfzfz
AzA z
fz fz fzfz
fzfzfz
A zAzAz
fz fzfz
+
+
−
−
≤+ ++

′

+++ +




(28)
由引理 4，对任意
( )()
0
44 1
0min ,2
s
AA
σσ
εε ε


−

<<






，存在一个线测度和对数测度均为有限的集合
( )
3
1,E⊂ +∞
，使得当
[ ]
3
0, 1zr E= ∉
且r充分大时，
OPEN ACCESS 11
陈敏风，陈宗煊 | 一类高阶线性微分方程亚纯解与小函数的关系
( )
( )
{ }
04
0
exp .
A
Azr
σε
+
≤
(29)
由已知
()( )( )
1
12
sss
AAA
λ µσ
<≤<
，由引理 5，对上述
1
ε
，存在子集
( )
1,
H⊂ +∞
具有上对数密度
log 0densH >
，满足对
z rH= ∈
的所有 z有
( )()
()
( )
{ }
1
exp 11.
s
A
s
Azo r
σε
−
≥+
(30)
由引理 6，存在子集
( )
4
1,E⊂ +∞
具有有穷对数测度，取 z 满足
[ ]
4
0, 1
zr E= ∉
，
( )( )
,pz Mrp=
时，
( )
( )
( )
2
s
s
fz r
fz
≤
(31)
当
[ ]
( )
134
\ 0,1z rHEEE
= ∈
，且 z,满足
( )()
,pz Mrp=
时，由(19)，(20)，(23)，(28)-(31)得
( )
{ }
{ }
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
{ }
( )
{ }
()
111
04
1
04
1
2
22
2
expexp1 exp
1 expexp
exp exp
gbb
skk
A
b
ks s
A
b
ks
rrrrksrr
srrrr
r krr
σε εε
σσ
σε
ε
σ
σε
ε
σ
−++
+
+
+
+
+
+
≤++ −−
+− +
≤+
(32)
由于
( )( )
101 1s
A Ab
σεσε ε
−>− >+
且
( )( )
104
s
AA
σ εσ ε
−> +
，可知(32)式矛盾。综上所述，
( )
f
σ
= +∞
。
令
( )()( )
gz fzz
ϕ
= −
，那么
( )()
gf
σσ
== ∞
和
( )( )
gf
λ λϕ
= −
。将
fg
ϕ
= +
代入(3)，得到
( )()( )()
{ }
11
10 10
kk kk
kk
gA gAgFAA
ϕϕ ϕ
−−
−−
+++=−+++
(33)
注意到方程(33)可能具有有限级解，但这里可以仅讨论满足
( )( )( )
gz fzz
ϕ
= −
为无穷级的解。所以仅需对
方程(33)的无穷级亚纯解 g证明
( )
g
λ
= ∞
成立。
由方程(3)的所有非零亚纯解有无穷级及
( )()
0z
ϕ
≡
/
为有限级亚纯解，可知
( )()
1
10
0.
kk
k
FA A
ϕϕ ϕ
−
−
−++ ≡
/
+
(34)
对方程(33)由引理 5和(34)可知，
( )( )( )
gff
λλσ
===∞
。
因此
()( )( )
f ff
λ ϕλσ
−= ==∞
。
参考文献 (References)
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0fgf hf
′′ ′
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