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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 14-20
http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41003 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html)
OPEN ACCESS
14
Application of a Four Quadratic Rational Interpolation
Spline Curve
Lin Fu
Anhui University of Science & Technology, Huainan
Email: fulin07211208@163.com
Received: Dec. 16th, 2013; revised: Dec. 27th, 2013; accepted: Dec. 29th, 2013
Copyright © 2014 Lin Fu. This is an open access article d istributed und er the Creative Common s Attribution Li cense, which permits un-
restricted use, distribu tion, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. In accordance of the Creativ e
Commons Attribution Licen se all Copyrights © 2014 are reserved for Hans and the owner of the intellectual pr operty Lin Fu. All Copy-
right © 2014 are guarded by law and by Hans as a guardian.
Abstract: A four quadratic rational spline interpolation for non closed curves was well described. This paper
presents an approach of four quadratic rational interpolation spline and explores the interpolation function
monotonicity and continuity. Error estimates confirm the conformality and numerical practical examples illu-
strate the effectiveness of the method.
Keywords: C u rve ; Shape P reservi ng; Effective
一元四次有理插值样条曲线的应用
符 琳
安徽理工大学，淮南
Email: fulin07211208@163.com
收稿日期：2013 年12 月16 日；修回日期：2013 年12 月27 日；录用日期：2013 年12 月29 日
摘 要：一元四次有理插值样条对于非封闭曲线进行了很好地数学描述。本文提出了一元四次有理插
值样条的方法，探究了这种插值函数的单调性，连续性，误差估计证实其保形性，最后用实际的数值
实例来说明该方法的有效性。
关键词：曲线；保形；有效
1. 引言
随着航空、造船、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展，计算机辅助几何设计，简称 CAGD (Computer
Aided Geometric Design)，逐步成为的一门新兴的交叉学科与边缘学科。作为 CAGD 系统基本几何元素，自由曲
线、曲面的表示、设计、显示、分析以及规格、处理(包括数据结构、数据库、图形的信息形式和调整方式等)
问题，是 CAGD 的主要研究对象和内容，而用插值与逼近方法解决曲线、曲面造型问题是 CAGD 最基础的研究
课题。所谓插值问题就是从给定的离散点的值，去构造一个连续定义的(简单)函数，使得它与被逼近的函数在给
定点的值完全一致。插值法是数值逼近的一种最简单的重要方法，利用插值法可以通过函数在有限个点处的取
值情况估算出函数在其它点处的值。插值法是整个数值逼近的基础。它被广泛应用于方程求根、函数逼近、数
值微分、数值积分、积分和微分方程数值解等。有理样条由于其极好的保形性，光滑性已经成为一种广泛应用
的曲线曲面设计方法。
符琳 | 一元四次有理插值样条曲线的应用
OPEN ACCESS
15
近些年来，不少学者在有理二次，三次有理样条以及他们的性质和应用上做了研究[1-8]。如：Gregory，
Delbourgo 在文献[1]构造了2/2 型有理插值样条，探究了它的保单调问题。王强在文献[7]构造了双参数 3/1 型的
有理插值样条，探究了其光滑性。Delbourgo 在文献[2]构造了2/1 型有理插值样条，并探究了它的保凸问题。王
仁宏，吴顺唐在文献[3]从实际的课题着手，构造了几种具有线性结构的有理插值样条并讨论了它们的解析。王
强，段奇、Hussain 等在文献[4-7]也是用含参数的分段三次有理函数构造了满足约束条件插值样条。
本文构造四次分段有理插值曲线即分子、分母分别为四次、一次多项式的插值函数，并讨论了该函数的一
阶、二阶连续性和保单调的条件。该函数含有二族参数 α，β可自由调节以改变曲线的形状，并可通过导数 d赋
值，无需求解线性方程组使得插值函数二阶连续。从理论上证实插值样条函数的保形性。
它具有以下优点：1) 局部性，每个区间的函数表达式只与相邻的若干节点取值有关；2) 保形性，无需增加
中间节点，通过参数选取可实现保形要求；3) 具有显式表达式，便于计算分析；4) 含有参数，便于交互式修改，
可以通过参数的改变而不是点的变动来修改插值函数。
本文结构如下：第一部分的引言介绍了该插值方法存在的背景，目前的研究领域以及本方法的优点之处。
第二部分具体讲述了这种方法。第三部分从单调性，连续性和误差估计三方面探究了其的保形性。第四部分用
数值例子证实了这种方法的可行性。第五部分是对文章的小结。
2. 一元四次有理插值样条曲线的构造
给定数据
( )
,,1, 2,,,
ii
xf in=
其中 i
f为被插函数在分划点 i
x上的函数值，此处
12 n
xx x<<<
。记
1ii i
hx x
+
= −
，
( )
1ii i
ff
+
∆= −
，当
[ ]
1
,
ii
x xx
+
∈
时，
[ ]
0,1 ,t∈
1, 2,,1in= −
，定义：
( )
( )
( )
( )( )
if 0
if 0
ii i
ii
ii
Qt Pt
wxwx htWtf
∆≠


= +≡=
∆=

 (1)
()( )( )( )( )
43 2
2 34
12 31
11 11
i iiii
Q tftZttZttZttft
αβ
+
=−+ −+−+−+
( )()
1
ii i
Pttt
αβ
= −+
且
( )
( )
1
21
3 11
3
33
3
ii iiii
ii ii
iiiii i
Zf dh
Zf f
Zf dh
αβ α
αβ
αβ β
+
++
=++
= +
=+−
i
α
，i
β
称为形状参数都取正数，
i
d
表示函数在点i
x处的导数值，对(1)定义的函数求导可得：
( )
( )
( )
( )( )
( )
44
0
11
1
2
1
1
jj
ij
j
i
ii
A tt
w x Wthtt
αβ
−
=
−
−
== −+


∑
(2)
其中
( )
( )
( )
2
0
2
1
21
2
31
2
41
23
34
23
i ii
ii ii
iii iii
ii ii
i ii
Ad
Ad
A dd
Ad
Ad
α
α
αβ
β
β
+
+
+
=
= ∆−
=∆− −
= ∆−
=
由(1)、(2)容易验证函数满足下列插值性质：
符琳 | 一元四次有理插值样条曲线的应用
OPEN ACCESS
16
( )
ii
wx f=
，
( )
11ii
wx f
++
=
；
( )
( )
1
ii
wx d
=，
( )
( )
1
11ii
wx d
++
=
因此，函数
( )
[ ]
11
,
n
wxCx x∈
是在 i
x
和
1i
x+
处的 Hermite 插值。
3. 一元四次有理插值曲线的保形性
下面从插值函数单调性、插值函数二阶连续性和插值函数误差估计来说明其保形性。
3.1. 插值函数单调性
下面我们讨论(1)式定义的一元四次有理样条插值函数的单调性。假设
( )
fx
在区间
[ ]
,ab
单调递增，因此设
12 n
ff f≤≤≤，或0
i
∆≥ 。
选取导数值 i
d满足：
0,1,2, ,
i
di n≥=
在区间
[ ]
1
,
ii
xx
+
，
( )
wx
单调递增的充要条件为：
( )
( )
10wx≥
注意到由(1)式给出的插值函数，
( )
wx
的导数
( )
( )
1
wx
的分母恒正，因此只需
( )
( )
1
wx
的分子大于零。当 0
i
d
≥
时，如果 10
i
A≥，20
i
A≥，30
i
A≥成立，则
( )
( )
1
0wx≥
，因此，我们得到插值函数
( )
wx
单调的充分条件为：
0, 1,2,3
ij
Aj≥=
即
3
ii
d≤∆
(3)
13
ii
d+
≤∆
(4)
14
ii i
dd
+
+ ≤∆
(5)
因此，我们就得到下述定理：
定理 1：已知数据
( )
12 n
ff f≤≤≤
单调递增，导数值 0
i
d≥，当
i
d
满足(3)、(4)、(5)时，则存在二族含有参
数i
α
，i
β
的四次有理插值函数
( )
[ ]
1
,w xCab∈
并且是单调递增的。
3.2. 插值函数二阶连续性
对任意
[ ]
1
,
ii
x xx
+
∈
，由(1)式定义的一元四次有理样条插值函数
( )
wx
求二阶导数可得：
( )
( )( )
( )
44
0
2
3
1
,
1
jj
ij
j
ii i
B tt
wxh tt
αβ
−
=
−
=−+


∑
其中
3 32
0
642
i iiiiiii
B dd
αα αβ
= ∆−−
232 23
11
186 862
iiiiiiiii iiiii
Bd dd
αβααβ αβα
+
=∆− ∆−−+
22 22
21
18186 6
iiiiiiii iiiii
B dd
αβαβα βαβ
+
=∆− ∆+−
3 2223
31 1
6 86182
iiiii iii iiiiii
B ddd
β αβαβαββ
++
= ∆++−∆−
符琳 | 一元四次有理插值样条曲线的应用
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17
3 23
41 1
426
ii iii iii
Bd d
β αββ
++
= +−∆
因此有
( )
( )
3 23
2111 11
3
11
1 1 11
11
42 6
426
iiiiii i
iii
iiiii i
ii
dd
wx h
dd
h
β αββ
β
βαβ
β
−−− −−
−
−−
−− −−
−−
+ −∆
=
+ −∆
=
及
( )
( )
332
2
3
642
642
.
iiiiiii
iii
i iiiii
ii
dd
wx h
dd
h
αα αβ
α
ααβ
α
+
∆− −
=
∆− −
=
由函数
( )
wx
在点 i
x二阶连续，可得
( )
11
1
11
1
21
33
iii i
i
ii
iiii
ii
hh
d
hhhh
βα
αβ
−−
−
−−
−
∆+ ∆
=

++ +


(6)
由以上推导可得下述定理
定理 2：当
i
d
满足(6)式时，含有参数 i
α
，i
β
的四次有理插值函数族
( )
,,
ii
wx
αβ
在区间
[ ]
,ab
上二阶连续。
3.3. 插值函数误差估计
对于分片函数(1)只需考虑在区间
[ ]
1
,
ii
xx
+
上的情形。
定理 3：假设
( )
[ ]
4,f xCab∈，
( )
wx
是由(1)式定义的在区间
[ ]
1,n
xx
上的分片有理插值样条函数，则对任意
[ ]
1
,
ii
xx
+
下式成立：
( )( )
( )
44
3844 16
iii iii
i
hkh ch
wxf xf
λ
µ
− ≤++
其中
{ }
max ,
i ii
λ αβ
=
，
{ }
min ,
i ii
µ αβ
=
( )( )
{ }
11
11
max ,
i iiii
k fdfd
++
= −−
，
1i ii
cdd
+
= +
证明：对于
[ ]
1
,
ii
x xx
+
∈
，令
( )
ii
txx h= −
，
( )( )
( )
ii
Ft fxt=，记
( )( )
( )
ii
W twx t=
，其中
( )
i ii
x txht= +
。
将由(1)式定义的函数
( )
i
Wt
改写成下列形式：
( )( )( )
i ii
WtHt Kt=+
其中
( )()
( )
( )
( )
( )
32 23
111
13131
iiiiiii ii
Htft fdhttfdhttft
++ +
=−++−+ −−+
令
( )()
( )
( )
( )
( )
( )
( )
32
11
* 23
11 1
131 31
iii iiiiii
Htftffh ttffh ttft
++ +
=−++−+ −−+
( )()( )
22
1
1
1
ii iiii
iii
d hdh
Kttt
tt
αβ
αβ
+
−
= −
−+
符琳 | 一元四次有理插值样条曲线的应用
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则有
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )
**
iii iiiiiii
FtQtPtFtHtKtFtHt HtHt Kt−=−−≤−+−+
(7)
因为函数
( )
*
i
Ht
是关于
( )
i
Ft
在
[ ]
1
,
ii
xx
+
上的两点 Hermite 插值，所以有：
( )( )
[ ]
( )
( )
4
44
*0,1 4
1d
Max
384 384
d
i
ii i
t
h
FtH tFtf
t
∈
−≤≤ (8)
由函数
( )
*
i
Ht
，
( )
Ht
，
( )
i
Kt
的定义并将其带入化简可得：
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
11
*11
11 4
ii
i iiiiii
kh
HtHhttfd tfdt
++
− =−−−−−≤
(9)
及
( )( )( )
22
1
1 16
i iiiii ii
iii i
hd dhc
Kttt
tt
αβ λ
αβ µ
−
= −≤
−+
(10)
将(8)式，(9)式和(10)式带入(7)式，即可得定理的结论。
4. 数值实例
下面通过一个例子来验证本文所述的方法。
表1、表 2的数据分别取自 Akima (1970)和Sarfraz (2000)。
Table 1. Akima data
表1. Akima 数据
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i
x 0 2 3 5 6 8 9 11 12 14 15
i
y 10 10 10 10 10 10 10.5 15 30 60 85
Table 2. Sarfraz data
表2. Sarfraz数据
i
1 2 3 4 5
i
x 0 6 10 29.5 30
i
y 1 15 15 25 30
导数值
{ }
i
d
通过已知数据
( )
,,1,2,,
ii
xf in=
，由下式确定：
( )
11
1
11
1
,2,3, ,
21
33
iii i
iii
iii i
i
i
hh
d in
hhh h
βα
β
α
−−
−
−−
−
∆+ ∆
= =

++ +



() ()
1
11121 12
0if 0
otherwise
dhh h
∆=


=∆+∆−∆ +


用(1)定义的保形样条可绘制出相应的插值曲线，形状参数 i
α
，i
β
可根据需要交互式选取，以调整曲线的形
状。图 1和图 2为取1
i
α
=，2
i
β
=的插值曲线，曲线保持了被插数据的单调性且具有较好的视觉效果。
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Figure 1. Shape preserving interpolat ion curves of Akima data
图1. Akima 数据的保形插值曲线
Figure 2. Shape preserving interpolation curves of Sarfraz data
图2. Sarfraz数据的保形插值曲线
5. 小结
本文构造了四次分段有理插值曲线即分子、分母分别为四次、一次多项式的插值函数，并讨论了该函数的
一阶、二阶连续性和保单调的条件。该函数含有二族参数αi，βi可自由调节以改变曲线的形状，并可通过导数
di赋值，无需求解线性方程组使得插值函数二阶连续。
致谢
本课题在选题和研究过程得到了王强老师的亲切关怀和悉心指导。在此向王老师致以诚挚的谢意和崇高的
敬意。同时感谢编者对文章提出宝贵意见，使文章更加的完整。
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IMA Journal of Numerical Analysis, 9, 123-136.
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