随机变量特征函数的求法研究 A Method Study of Characteristic Function of Random Variable

doi:10.12677/PM.2014.41008

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Pure Mathematics 理论数学, 2014, 4, 47-56

http://dx.doi.org/10.12677/pm.2014.41008 Published Online January 2014 (http://www.hanspub.org/journal/pm.html )

A Method Study of Characteristic Function of

Random Variable

Tongbin Jiang

School of Mathematics and Physics, Huaiyin Institute of Technology, Huaian

Email: jiangtongbin2006@163.com

Received: Jul. 22nd, 2013; revised: Aug. 4th, 2013; accepted: Aug. 8th, 2013

permits unrestricted use, dis tribution, and rep roduction in any medium, pro vided the o riginal work is pro perly cited. In a ccordance of th e

Abstract: Distillation function is regulated by its eigenfunction, whose basic requirement, types, and defini-

tion will help to illustra te the solution approaches resorting to integral transform and integral method so as to

solve practical problems by analyzin g its practical application.

Keywords: Eigenfunction; Approach; Practical Application

随机变量特征函数的求法研究

蒋同斌

淮阴工学院数理学院，淮安

Email: jiangtongbin2006@163.com

收稿日期：2013 年7月22 日；修回日期：2013 年8月4日；录用日期：2013 年8月8日

摘要：分布函数由其特征函数唯一决定，特征函数的基本要求、类型及其确定，利用积分变换和积

分方法说明特征函数的求解方法，及其在实际当中的应用，解决实际问题。

关键词：特征函数；方法；实际应用

1. 绪论

概率论中，随机变量的数学期望和方差只能粗略地反映其分布函数的性质，而分布函数由其特征函数唯一

决定[1]。关于特征函数，众多学者都对它的概念、性质、应用等进行了研究。

随机变量的分布主要分为离散型、连续型。离散随机变量

的特征函数可以表示成：

( )

tx k

ftp t

+∞

=−∞ << +∞

∑

，连续随机变量

的特征函数可以表示成：

( )()

e d,

ftpx xt

+∞

−∞

=−∞ << +∞

∫

。从以下方面进行讨论研究。

2. 判断函数为特征函数的条件与实例

下面说明函数成为特征函数应具备的条件，并举例说明。

OPEN ACCESS 47

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

2.1. 判断函数为特征函数的条件

辛钦一渡赫纳尔定理[2]：函数

( )

是特征函数的充要条件是：

1) 函数

( )

是非负定性的；2)

( )

连续；3)

( )

01f=

。

问题的关键是判定

( )

是否具有非负定性。即对于任意正整数

nN∈

，任意实数

tR∈

，任意复数

( )

,1, 2,

Ci n

∈=

均有

( )

ij ij

ft t

λλ

−≥

∑

成立，由于

( )

是实变量的复值函数，

( )

,ij ij

ft t

λλ

−

∑

类似于高等代数酉空间部分的Hermite 二次型。若 Hermite 矩阵

为非负定的，则对应的 Hermite

二次型具有非负定性。至此把特征函数

( )

的非负定性转化为 Hermite 矩阵的非负定性。

2.2. Hermite 二次型[2]

1) 任何一个

Hermite

矩阵对应一个二次型，是二次型的矩阵表示。

2) 二次型定义：设

是一数域，一个系数在数域

中的

,,,

xx x

的二次齐次多项式

( )

2 22

1211 112121122222

,,, 222

nnnnnnn n

fxxxa xaxxaxxaxaxxax

= ++++++++ 

称为数域

上的一个

元二次型，或称二次型。

3) 二次型的矩阵都是对称的。

4) 实二次型

( )

12 11

,,,

nij ij

fxxxax xX AX

= =

′

= =

∑∑



是正定的充分必要条件为矩阵

的顺序主子式全大于

零。

2.3. 实例

如判定

( )

ft t

是否为特征函数？

解：由辛钦一渡赫纳尔定理可知

( )

连续并且

( )

01f=

，验证

()

的非负定性。即证明任意的

tt R∈

，

任意的正整数

，均有

( )

ij ij

ft tt

λλ

= ≥

+−

∑

成立，

转化为

Hermite

二次型。取

1, 2,,

tn=

，此二次型对应的

Hermite

阵

()( )()

( )()()

22 2

2 22

222

11 1

1112 11311

1 11

12112312

111 1

1 11213

nn n





+− +−+−



+−+− +−

=



+− +−+−





 



它的各阶顺序主子式都大于0，所以

( )

是正定的，即

( )

ft t

是特征函数。

3. 特征函数的求解方法

下面说明不同函数的特征函数的求解方法。

3.1. 根据特征函数的定义求解

例题 1：设随机变量

的分布如下(表1)，试求

的特征函数。

OPEN ACCESS

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

Table 1. The distribution of a random variable X

表1. 随机变量 X的分布表

0 1 2 3

0.4 0.3 0.2 0.1

解：已知

的分布列为

( )

, 0,1,2,3

pPXx k= ==

，所以

的特征函数为：

( )

ii0 ii2 i3

ii2 i3

e0.4e0.3e 0.2e0.1e

0.4 0.3e0.2e0.1e

tx tttt

t tt

ft p

+∞

==++ +

=++ +

∑

例题 2：设离散随机变量

服从几何分布

() ()

1,1, 2,,

P Xkppk

−

==−=

求

的特征函数。

解：已知

的分布列为

() ()

1,1, 2,.

P Xkppk

−

==−=

所以

的特征函数为

()( )( )()

() ( )

()

ii i i1

11 1 1

ii i

i02i 1i1

ee1e1 e1

e1 ee

lim eeelim1e 1e

tx tktktk k

kk k k

tt t

tttkk

ftppp pppqqp

p qqqpqq

+∞ +∞+∞+∞

−−

−

= ===

−

→+∞ →+∞

==−=−==−

−

=+ ++==

−−

∑∑ ∑ ∑



,其中

3.2. 已知分布函数求解特征函数

例题 3：求分布函数

( )()

ed 0

xat

Fx ta

−

−∞

= >

∫

的特征函数。

解：

( )( )

pxF x

−

′

= =

，

( )( )

i iii

edeed eded

2i i

txtxtxaxtx ax

f xpxxxxx

ta taat

+∞ +∞+∞

−+−

−∞ −∞−∞



=== +







= −=



+− +



∫ ∫∫∫

3.3. 常用分布的密度函数求解特征函数

1) 求均匀分布的特征函数

已知均匀分布

( )

,U ab

的密度函数为

( )

1, ;

0 , .

axb

px <<

−

=



其他

所以特征函数为

( )( )

i ii

e ee

txbt at

ft x

batba

−

= =

−−

∫

。

2) 求指数分布的特征函数

已知指数分布

( )

exp

的密度函数为

( )

e, 0 ;

0 , 0 .

px x

−

>

=≤



所以特征函数为

( )()( )

{}

00 0

22 22

eedcosed isined

tx xxx

f txtxxtxx

λ λλ

λλ

+∞ +∞+∞

− −−

−

= =+

 

= +=−





 

∫∫ ∫

3) 求标准正态分布的特征函数

已知标准正态分布

( )

0,1N

的密度函数为

( )

1e,

2π

px x

−

=−∞ << +∞

，所以特征函数为

OPEN ACCESS 49

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

( )

2 22

i22 2

2 22

e deed

2π2π

i eede

2π

t tt

ft xx

zxt z

−

−− −

+∞ +∞

−∞ −∞

− −−

+∞+

−∞−

= =

=−=

∫∫

∫

其中

ed 2π

+∞ −

−∞

∫

是利用复变函数中的围道积分或广义积分求得的。

3.4. 利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积来求解和的特征函数

例题 4：设

( )

~,YGa n

，则

12 n

YXXX= +++

，其中

独立同分布，且

( )

~ exp

，由指数分布的特

征函数

( )

−



= −





，及独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，得

( )()

( )

ftft

−



==−





。

3.5. 用高效积分法求解特征函数[3]

用

FFT

可靠性分析方法，及新的坐标平移方法处理负值随机变量问题；并用高效直接积分法求解特征函数。

说明如下：

FFT

的含义

FFT

是离散傅里叶变换的快速算法，可将一个信号变换到频域。一些信号在时域上很难看出什么特征，若

变换到频域之后，就很容易看出特征了；另外，

FFT

可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面是常

用的。一个模拟信号，经过

ADC

采样之后，就变成了数字信号，从而就可以做

FFT

变换了。

2) 概率特征函数的定义及相关性质

随机变量的概率密度函数与特征函数可以表示为一个

Fourier

变换对，定义为

()( )

( )()

1ed

2π

FfY Y

fY F

ωω

+∞ −

−∞

+∞

−∞

=





=



∫

(1)

其中

( )

和

( )

分别表示随机变量

的概率密度函数与特征函数，

为变换参数，

i1= −

。特征函数的引进

本质上是对分布函数作

Fourier

变换，它与分布函数存在一一对应关系，因而特征函数也是刻画随机变量分布的

一种方式，随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。

3) 利用高效积分法求特征函数

利用

Fourier

的位移性质求(1)中的

( )

有

()( )

( )

{ }

( )

{ }

edecosisin

FfYY EEYEY

ωω

ω ωω

+∞ −−

−∞

===−

∫

(2)

对

( )

进行坐标平移

，

( )

fYfY t→−

，于是式(2)变为：

( )

edeed

fY tYfYY

ωω

+∞ +∞

−

−−

−∞ −∞

−=

∫∫

(3)

为了求式(3)先求式(2)，而式 (2)表明

( )

是另一函数

−

′=

的均值。因为

( )( )

YYVYY V

′′

= ⇒=

，所以

式(2)又可写作

( )( )

{ }

( )( )

dFEYVYVfV V

Ω

′′

= =

∫

(4)

Ω

是积分区域，而式(4 )的积分可以完全利用高效数值积分法来完成。另外假设随机变量

,,,

xx x

服从正

态分布且相互独立。那么由于

,,,

xx x

是

个相互独立的正态分布随机变量，因此，它们的联合概率密度函

数可以表示为

OPEN ACCESS

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

( )

1exp 2

2π

nix

iix



−



= −





∏

( )

于是式(4)的积分可以写为

( )

12 12

,,,expddd

2π

nix

Yn n

Y xxxxxx

µσ

+∞ +∞

−∞ −∞=



−



′

= ⋅−





∏

∫∫

 

( )

综上所述，求特征函数的具体时效性分以下四步：

1) 高效积分法求解响应函数

( )

Y YV=

的均差与方差

。

2) 根据傅里叶变换的位移性质，对特征函数进行平移。

3) 在频域进行离散采样。

首先将

进行离散，

( )( )

( )

12π1, 2,,21,,8

j ppY

jTjNT kk

ωσ

=− =+=≥

；

为采样点总数，为了高效的

执行

FFT

，一般取

，

为整数。然后利用式(4)用高效积分法求解。

4) 根据

Fourier

变换的对称性进行操作，实部正对称，虚部反对称，生成另外一半频率采样点，最后生成

完整的频率采样向量。

4. 特征函数单调性与迭代数列收敛性之间的关系[4]

利用特征函数单调性判断迭代数列收敛性并求其极限。

设数列

{ }

满足迭代关系

( )

sin1,2,;01

xcxnc

== <≤

，证明：对任意的初值

，

lim

→∞

存在并求此

极限。

证明：对于任意的

，有

( )

11 2,3,

xn−≤ ≤=

，因此

( )( )

sinFxxfxxc x= −= −⋅

是

{ }

在区间

[ ]

1,1−

上

的特征函数。又当

[ ]

1,1x∈−

时，

( )

1cos 0Fxcx

′=−⋅ ≥

（其中等号仅当

1, 0cx= =

时成立），故

( )

和

( )

在

[ ]

1,1−

单调增加，且

( )

00F=

。故由定理2知

{ }

的极限存在且等于0。

同理可以证明

{}

：

( )

cos1, 2,; 01

xc xnc

=−⋅=<≤

的极限存在且

lim

→∞

，其中

( )

1, 0x∈−

是

( )

cos 0Fxx cx= +⋅=

的根。

5. 二维随机变量的特征函数

二维随机变量特征函数的求法

设

( )

112 2

, ~,;,;

Nm mr

ξξσ σ

，它的密度函数为

( )( )()

1 122

112 2

12 2112 2

,exp 2

2π1

xmxm

xm xm

fxx r

σσσ σ

σσ





−−



−−





= −+







−







求特征函数。

解：它的特征函数为

( )

1122

22 22

111 2 1222

1122

121 21 2

i212

,e, dd

e edd

tx tx

trt tt

tm tm

fttfxxxx

σ σσσ

+∞ +∞+

−∞ −∞

−+ +

+∞ +∞+

−∞ −∞

∫∫

特别，当

12 12

0, 1mm

σσ

=== =

时，即

()()

,~0,1; 0,1;Nr

ξξ

，则

( )

112 2

trt tt

ftt

−+ +

OPEN ACCESS 51

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

当

η αξβξ

=++

，

( )

αβγ

为实常数

时，

的特征函数为

( )()

( )

2 22222

112 2

2 22222

112 2

e, eee

trtt t

m tmt

tr rt

trtt t

mtmt t

ftf tt

σασσαβσα

αβ

σασσαβσα

αβ

−+ +

=⋅=

故：

( )

22 22

121 122

~ ,2Nm mrr

ηαβασσ σαββσ

++ ++

。

6. 特征函数的应用

下面主要说明特征函数在各方面的具体应用。

6.1. 在数学方面的应用

用特征函数求解某些积分与级数的和

1) 在求积分中的应用

求

()( )()( )

cosd ,sindaxf xxaxf xx

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅

∫∫

的积分，其中

( )

可化成某随机变量的密度函数。

解：因为

( )( )

e cosisin

ax ax= +

，

及

( )()

ii ii

ee ee

cos ,sin

at atat at

ax ax

−−

+−

= =

，

所以

( )

( )()

( )

( )()

ii ii

ee ee

cos, sin

at atat at

EE EE

EaxE ax

−−

+−

= =

 

 

。

因此，若

()

是某随机变量

的密度函数，

()

是其特征函数时，

( )( )()

()

( )( )

cosd cos2

fafa

axf xxEaX

+∞

−∞

+−

⋅= =

∫

2) 求伽玛分布

( )

,Ga

αλ

的数学期望和方差。

解：因为伽玛分布

( )

,Ga

αλ

的特征函数及其一、二阶导数为

( )()()()( )

i iiii

1 ,10,1,

tt t

ftf tfft

αα α

αα

λ λλλλ

− −−−−

 

′′ ′′

=−=−==−

 

 

，

( )( )

αα

′′ = −

，有

()( )

0fa

EX i

′

= =

，

()()( )( )( )

22 22

00Var Xff

αα αα

α αα

λλ λλ



′′ ′

=−+=+=−=

 

 

3) 证明正态分布的可加性。

解：设

( )()

112 2

~,,~,XN YN

µσ µσ

，且

与

独立。因为：

( )( )

22 22

e, e

ft ft

σσ

µµ

−−

= =

由性质独立随机变量和的特征函数为特征函数的积得

( )( )( )

( )

XYX Y

ftftft

σσ

µµ

+−

= =

这正是

( )

1 212

µ µσσ

的特征函数，再由特征函数的唯一性定理，即知

( )

1 212

~,XY N

µ µσσ

+ ++

4) 求解

+∞ −

∫

。(可用递推法)

OPEN ACCESS

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

解：现在用特征函数法来解决。

设

0, 2



∼



，其密度函数为

( )

−

则其特征函数为

( )

eed e4!

tx x

ft xi

+∞

−

+∞ −

−∞ =



===−





∑

∫

，

故

( )()()

( )

22!21 3

4 !41!

k kt

ft kk



=− +−+

  +





所以

( )( )( )

021 !!

4! 2

 

=− =−−

 

 

由特征函数的性质得

( )

()()( )

21 !!

EX f −

=−=

，

由

阶矩定义有

( )

k kx

EXx x

+∞ −

∫

，

故

( )

21 !!

ed 2

+∞ −

−∞

−

∫

，即

( )

21 !!

ed 2

+∞ −

−

∫

。

5) 求解

()

1ed !

kxxk

+∞ −

Γ+= =

∫

。

解：用特征函数来求伽玛函数。设随机变量

服从参数为 1的指数分布，其密度函数为

( )

e 0

0 0

px x

−

>

=≤



，

则其特征函数为

( )( )

ftt

−

= −

。

所以

( )()()()()()

( )

23 1

i1i,2i1i,,!i1i

XX X

fttfttft kt

− −−+

′ ′′

=−=− =−

，

故

( )( )( )

0i,02i ,,0!

XX X

fff ki

′ ′′

= ==

。

于是

()( )

( )

()( )

( )

()( )

i0 1,i02!,i0!

XX X

EX fEXfEXf k

′ ′′

=−⋅= =−⋅==−⋅=

。

由

阶矩的定义知：

( )

k kx

EXxx

+∞ −

∫

，故

ed !

x xk

+∞ −

∫

，即

( )

1!kkΓ+=

。

6) 求级数

+∞







∑

和级数

+∞







∑

。

解：设

服从几何分布：

( )()

,1,2,,1, 01

P Xmpqmqpp

−

= ===−<<

，则有

( )

i1 i

tm mt

f tpqq

+∞ +∞

−

= =

===−

∑∑

，

( )

()

()( )

i i iii

ie 1eieeie

1e 1e

t t ttt

pq pqp

ft qq

−+

′= =

−−

( )

i 2i

i1e

ftpq

′′ =−

；

( )

()

i2i2 3i

e 4ee

i1e

t tt

ft pq

′′′ =−

。于是

( )

()( )()()( )( )

22 3

2 42

i01i 111EXfpqqpq

−−

′′

=−=−+−= +

( )

()( )

( )( )

3342 32

i0i i1414EXfppqq pqq

−−

′′′

=−=++ =++

又因为

()( )

221 331

E XmpqE Xmpq

+∞ +∞

−−

= =

∑∑

，

所以：

( )

2123132

1 ,14

mpqpqm pqpqq

+∞ +∞

−− −−

= =

= += ++

∑∑

，取

,1qp

== −

，

整理得：

( )

+∞





 −

∑

。取

,1qp

== −

，

OPEN ACCESS 53

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

整理得：

( )

36 3

kk k

+∞





 −

∑

。

7) 设随机变量

服从几何分布，参数

。证明

依分布收敛于

，其中

服从指数分布。

证明：先计算

的特征函数

( )

e 1e

11 e

tY tk

ft Enn

λλ

−

∞



==−=

 

 −−





∑

，

的特征函数为

( )( )

ii i

eee

i1 i1

11 1

11 e

tt t

nn n

nnn

ft tt

tnn n

n nn

λλ λ

λλο

λο

==== −+



 

 −+

−− ++

−− 

 



 

 

 

当

n→∞

时，上式收敛于

( )

0eed e

tx xtZ

λλ

∞−

= =

−∫

，由连续性定理，

依分布收敛于

，其中

服

从参数为

的指数分布。

6.2. 在生产实际中的应用

用特征函数的方法解决实际问题成为一种趋势，如无线通信、保险系统、交通运输、信息查询等都有一定

的应用。

6.2.1. 在无线通信环境中的应用

通信信号的调制识别技术在信号确认、干扰识别、频谱管理、电子对抗等多个领域具有广泛的应用。如通

过分析

噪声的性质[4]，利用特征函数相位作为分类特征，实现调制类型识别，通过推导各种调制类型特征函

数相位理论值，形成各类特征向量，经过分析和仿真测试表明该算法适合在各种

噪声和高斯噪声下进行分类。

6.2.2. 在检测图片隐藏信息中的应用

引入特征函数来描述图片的统计规则性，并将图片小波子带系数及其线性预测误差的特征函数的高阶统计

量作为图片的特征向量来建立分类模型能有效检测出含隐藏信息的图片。

6.2.3. 在保险系统中的应用

在保险系统中，

个投保人的平均损失费服从指数分布的参数全相同和各不相同的情况下导出被保险人总

损失费的分布密度函数，并对

个投保人的平均损失费服从的指数分布的参数不全相同情况下导出被保险人总

损失费的特征函数，为保险精算研究提供了基础[5]。

设在一定范围、时间内，投保人数为服从某一离散分布的随机变量

，不妨设

的分布列为：if the distri-

bution of r is set

0123

PPPP









，设第

个投保人的损失费为

，

间相互独立，且

服从参数为

的指数分布，

e, 0

~0, 0

−

>



≤





，其中

( )

01, 2,,

>=

。若

相互独立同分布服从参数为

的指数分布，

即

( )

1, 2,,

λλ

== 

，则

个投保人的总损失费

∑

的分布密度为

( )( )

( )

e ,0

0, 0

yPy

fy k

−

∞−

>



=−



≤



∑

，其期望为

( )()

( )

12 12

1 11

rr kk

k kk

EYEX XXEX XXrkPrkPkP

λλ

∞ ∞∞

== =

=+++=+++====

∑ ∑∑



OPEN ACCESS

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

可以根据

取值的不同得到不同的总损失费。因为保险公司在保险费定价时需要知道被保险人总损失的分布及

期望，此项研究具有现实意义。

6.2.4. 在交通运输方面的应用[6]

由于交通运输中的随机问题很多。如牵引机车台数问题，用例子说明：

设铁路货物列车由

辆车组成，每辆车的重量为随机变量

(单位：

)，其数学期望值为

和均方差

，

车辆数

可以看作一个比较大的数，机车牵引重量不超过

吨。如果列车重量超过

吨需要双机牵引，试求一

台机车不能牵引列车的概率？如果列车编挂

辆敞车，

辆平板，

辆罐车，各种车辆重量的数学期望为

( )

1,2, 3

mi=

和方差

( )

1,2, 3

Di=

。

设列车重量

∑

，

是一个比较大的数，随机变量

近似于正态分布，参数

m nm=

，

qq xx

Dn n

σ σσ

=== ⋅

，

{ }()

( )

1 0.5

P Qqqmnn

ϕσ



>=−+− ⋅



因为

q ii

m nm

=∑

，

q ii

D nD

=∑

，

因此一台机车拉不动列车重量的概率为

{ }

( )

0.5

PQqq m



>≈ −−



。

6.2.5. 在数据库查询方面的应用

特征函数在数据库的查询方面也有着一定的作用[7]。利用特征函数来改善系统效率，提高查询速度。从结

构上讲，利用

SQL

内部的基本数符和函数，特征函数可编写成数量表达式，具体的编码依赖于各种语言的内部

特性以及涉及到的变量的数据类型。目前已开发了处理各种数据类型的技术，在此简单介绍将特征函数限于数

字类型的实例。

特征函数一般的编码形式为

( )

1abs signAB−−

，

()

sign

和

( )

abs

是内部

Sybase

函数。

( )

abs

返回变量的

绝对值；当变量为负数、零和正数时

()

sign

分别返回−1，0，+1。

以下是特征函数的编码(不考虑空值情况)：

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

()

[]

( )

[]

( )

ABabs signAB

ABsignsign AB

==−−

<=− +−

<= =−−

>=− −−

>= =+−

例如对于表

( )

student name,status,parincome,selfincome

，它包括学生姓名、独立状况(1代表独立，0代表非独

立)和两种收入(来自父母和自己的)。假设要生成表格

( )

name,income

，分别包括非独立学生和独立学生来自父母

和自己的收入，传统的

SQL

方法如式(1)：

( )

name,incomeparincome statusselfincome1status

students

SELECT

FROM

=∗ +∗−

(1)

而利用上述讨论的特征函数查询，语句如式(2)：

[ ][ ]

name,

incomeparincomestatus1selfincomestatus0

students

SELECT

FROM

δδ

= ∗=+∗=

(2)

OPEN ACCESS 55

蒋同斌 | 随机变量特征函数的求法研究

传统的查询方法，如式(1)，一旦问题复杂化，即状态不仅是0或者1时，用公式不能直接表达出问题。例如条件

不只一个时，如考虑属性“年龄”，我们利用特征函数编码的方法得到式(3)的查询语句：

[] [][][]

( )

[ ]

( )

[] []

( )

[ ]

( )

name,

incomeparincomestatus1age19 selfincomesignstatus0age23

parincomeselfincome2.01status1age19signstatus 0age 23

students

SELECT

FROM

δδδ δ

=∗= ∗<=+∗=+>

++∗ −=∗<=−=∗>

(3)

此查询过程是：学生在 19岁或19 岁以下且非独立的，结果返回

parincome

；学生独立或大于 23岁的，结

果返回

self inc ome

；其它情况则返回算术平均值。传统的

SQL

解决条件查询问题需要多个

SQL

语句[7]，对每个

条件进行一次数据访问，最后通过

UNION

合成结果。而现在只用一个

SQL

语句，做一次数据访问，这种方法不

仅节约了查询所需访问数据表的次数，节省时间，减轻计算机工作量。

7. 结论

随机变量特征函数的求法及应用，对于初学者来说是有难度的。傅里叶变换是一个有效工具，特征函数能

够决定分布函数，并且具有好的性质，是研究概率分布的最好的方法，特别是研究随机变量序列的概率分布的

极限问题起关键作用，论文的目的是利用积分变换和积分方法，结合具体实例进行分析说明，有利于我们更好

地认识特征函数[8]。

论文首先用辛钦一渡赫纳尔定理给出了判断函数是否为特征函数，并运用几种不同的方法求解特征函数，

使其在数学领域和实际生活中得到广泛的运用。

参考文献 (References)

[1] 程依明, 濮晓龙 (2005) 概率论与数理统计教程. 高等教育出版社, 北京, 206 页.

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, 4, 19-20.

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, 3, 319-324.

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