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●How to Cite this Article
Advances in Applied Mathematics
应用数学进展
, 201
4
,
3
,
17-21
http://dx
.doi.org/10.12677/aam.2014.31003
Published Online
February 2014 (
http://www.han
spub.org/journal/
aam.html
)
An
Entanglement Criterion for States
in
N
⊗+∞
System
Yinzhu Wang
1,2
1
The
School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan
2
Departm ent of Mathematics, Taiyuan University of Science and
Technology
, Taiyuan
Email:
2006wang.yinzhu@163.com
Received: Dec
.
1
st
,
2013; revised:
Dec
.
28
th
,
201
3
; accepted: Jan
.
10
th
,
201
4
Copyright © 201
4
Yinzhu Wang
. This is an open
access article distributed under the Creative Co mmons Attribution Licens e, which per-
mits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. In accordance of the
Creative Commons Attribution License
all Copyrights © 201
4
are reserved for Hans and the owner of the intellectual property
Yinzhu
Wang
. All Copyright © 201
4
are guarded by l
a
w and by Hans as a guardian.
Abstract
:
In this paper,
a
ccording
to
the generators of special unitary group
( )
SU N
, t
he separability of
quantum states in infinite dimensional bipartite
quantum systems
is studied
,
and
we obtain some
necessary
entanglement criteri
a for states in
the cases of
N
⊗ +∞
(
2
N
≤< +∞
).
Keywords:
Infinite
Dimensional Quantum Systems
; The Generators
of
( )
SU N
; E
ntanglement
C
riterion
一个
N
⊗+∞
系统量子态的纠缠判据
王银珠
1,2
1
太原理工大学数学学院,太原
2
太原科技大学数学系,
太原
Email:
2006wang.yinzhu@163.com
收稿日期:
2013
年
12
月
1
日;修回日期:
201
3
年
12
月
28
日;录用日期:
201
4
年
1
月
10
日
摘
要:
本文借助特殊酉群
(
)
SU N
的生成元,研究了无限维两体量子态的可分性问题,得到了一些
N
⊗ +∞
情形量子态可分的必要性判据
(
其中
2
N
≤< +∞
)
。
关键词:
无限维量子系统;
(
)
SU N
生成元;纠缠判据
1.
引言
在迅猛发展的量子信息与量子计算理论中,量子纠缠态扮演着重要而奇特的角色
[1]
。量子纠缠态已经作为
一种必要的资源应用于量子计算的各个方面,例如量子通信、量子密钥分配、量子并行计算、量子隐形传态
[1]
等。在
20
世纪
80
年代以来,人们提出了量子计算机的理论模型。这以后,有关量子计算与量子通讯的理论和
实验迅速发展起来,而纠缠态在其中起着不可缺少的重要作用。如何探测和度量复合系统中量子态的纠缠性是
一个重要而极富挑战性的问题,也是许多物理学家、数学家等研究者高度关注的问题。目前对于有限维两体量
子态的纠缠识别已有很多判据,比如
PPT
判据、重排判据、约化判据和控制判据等
[2
-5]
。然而无限维量子系统在
量子世界中也是非常重要的,但是对于无限维量子系统量子态的纠缠性研究已有结果甚少。最近,基于特殊酉
OPEN ACCESS
17
王银珠
|
一个
N
⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
群
( )
SU N
的生成元所表示的量子态,
Zhao Hui
[6]
和
Li
Ming
[7]
等作者分别提出了一个两体或三体量子态可分的必
要性判据。本文我们考虑两体量子系统,其中子系统有且只有一个是无限维的情况。
我们得到了一个
N
⊗ +∞
情
形量子态可分的必要性判据
(
其中
2
N
≤< +∞
)
。
首先,我们固定一些常用的记号。令
,
AB
HH
是可分复
Hilbert
空间,在
AB
HH
⊗
中的全体量子态集合标记为
(
)
AB
SH H
⊗
。在
AB
HH
⊗
中的全体迹类算子所组成的集合标记为
(
)
AB
HH
Γ⊗
。在
AB
HH
⊗
中的全体有界算子
所组成的集合标记为
(
)
AB
BH H
⊗
。设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
,如果
2
ρρ
=
,则称
ρ
为纯态,否则称
ρ
为混合态。全
文使用
Dirac
记号,
用符号
|
⋅⋅
表示给定
Hilbert
空间的两元素的内积。设
AB
HH H
= ⊗
,记
(
)
SP
SH
−
表示
H
上
的可分纯态组成的集合,对于无限维复合两体系统的可分量子态
ρ
来说,文献
[8]
指出可分态
ρ
蕴含一种
Bochner
积分形式:
()
( )
d,
SP
AB AB
S
ρ ϕρρµρρ
−
=⊗⊗
∫
(1)
其中
µ
是
(
)
SP
SH
−
上的
Borel
概率测度,
( )
ABAB
SH H
ρρ
⊗∈ ⊗
,
( )( )
:
SP SP
SHSH
ϕ
−−
→
是一个可测函数。进
一步存在阶梯函数序列
n
ϕ
使得:
( ) ( )
lim ,
AB AB
n
n
ϕρρ ϕρρ
→∞
⊗= ⊗
(2)
这里的极限按迹范数拓扑收敛,其中:
() ()
1
,
n
i
k
AB ABAB
nE ii
i
ϕρρχρρρρ
=
⊗=⊗ ⊗
∑
(3)
这里
( )
i
E
χ
⋅
是
i
E
上的特征函数,
{ }
1
n
k
i
i
E
=
是可分纯态
( )
SP
SH
−
上的一个分划,记
E
表示所有的分划,我们有:
{ }
( )
lim ,
i
AB
ii i
EE
i
E
ρµ ρρ
∈
= ⊗
∑
(4 )
相对于迹范数拓扑,也相对于
Hilbert Schmidt
范数,
A AA
i ii
ρ ψψ
=
,
B BB
i ii
ρ φφ
=
分别是
,
AB
HH
上的纯态。
进一步
,由文
[9]
可知,
N
维
Hilbert
空间上的任意自伴算子都能被特殊的酉群
( )
SU N
的生成元所表示
。
( )
SU N
的生成元可如下给出:设
{ }
1
N
i
i
=
是
N
维
Hilbert
空间
H
的标准正交基,定义转移投影算子
jk
P jk
=
,
设
( )
( )
( )
11221, 1
2
,,
1
llll ljkjkkjjkjkkj
PPPlPuPPviPP
ll
χ
++
=−+++ −=+=−
+
(5)
其中
11
lN
≤≤ −
,
1
jkN
≤<≤
。设
{ }
121 12131,12 131,
,,,,, ,,,,,,
NNN NN
uu uvv v
χχ χ
−− −
∆=
(6)
易见
i
α
∀ ∈∆
,我们有
( )
0,
i
Tr
α
=
( )
2
i jij
Tr
αα δ
=
。
∆
集合中的
2
1
N
−
个自伴算子即为
( )
SU N
的生成元。为
了给出本文的主要结果,我们首先给出如下引理。
引理
1
[6]
令
H
是可分复
Hilbert
空间且
(
)
dim 2
HN N
=≤< +∞
,
(
)
SH
ρ
∈
。如果
ρ
是纯态,则
ρ
可表示为:
2
1
1
12
2
N
N jj
j
Ia
N
ρλ
−
=
= +
∑
(7)
其中
( )
2
1, 2,,1
j
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元
,
( )
jj
a Tr
ρλ
=
且
2
1
2
1
1
21
N
j
j
a
N
−
=
= −
∑
,
N
I
是
NN
×
单位矩阵
。引
理
1
的证明可参见文
[6]
,此处我们略去了证明。
2.
主要结果
下面我们给出本文的主要结果。
OPEN ACCESS
18
王银珠
|
一个
N
⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
引理
2
设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
,
dim
A
HN
=
( )
2
N
≤< +∞
,
dim
B
H
= +∞
。如果
ρ
是一个可分态,则存在
B
H
中的纯态
B BB
i ii
ρ φφ
=
,使得
ρ
能被表示为以下形式:
{ }
( )
2
1
1
12
lim
2
i
N
AAB B
iNij ijii
EE
ij
EI a
N
ρµλ φφ
−
∈
=
= +⊗
∑∑
(8)
这里极限按迹范数拓扑收敛。
µ
是
( )
SP
SH
−
上的
Borel
概率测度,
{ }
1
n
k
i
i
E
=
是可分纯态
( )
SP
SH
−
上的一个分划,
E
表示所有的分划
,
(
)
A AA
iji ij
a Tr
ρλ
=
,
这里
A AA
i ii
ρ ψψ
=
是
A
H
上的纯态,且
( )
2
1
2
1
1
21
N
A
ij
j
a
N
−
=
= −
∑
,
( )
2
1, 2,,1
A
ij
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元。进一步
ρ
可被表示为:
2
1
0
1
.
N
A
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
(9)
其中
{ }
( )
0
1
lim ,
i
BB
ii i
EE
i
ME
N
µ φφ
∈
=
∑
(10 )
{ }
(
)
1
lim .
2
i
AB B
jiij ii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
=
∑
(11)
证明:这可由
(4)(7)
式直接推得。
引理
3
设
(
)
H
Γ
是
Hilbert
空间
H
上的迹类算子所组成的集合。
( )
,
n
TT H
∈Γ
。如果
lim
n
n
TT
→ +∞
=
按迹范数收
敛,则
22
lim
n
n
TT
→ +∞
=
按迹范数收敛。
证明:注意到,对
( )
TH
∈Γ
,
我们有
Tr
TT
≤ <∞
。由于
( )
(
)
,
n
TTH BH
∈Γ ⊆
且
0
n
Tr
TT
−→
,故存在正
数
M
,使得
{ }
sup
n
Tr
TM
=< +∞
。
进而
22 22
nnn nnn
Tr Tr
Tr Tr
T TT TTTTTMTTTTT
−= − +−≤−+⋅−
所以
( )
22
0
n
Tr
TT n
−→→ +∞
。
定理
4
:设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
,
dim
A
HN
=
( )
2
N
≤< +∞
,
dim
B
H
= +∞
。如果
ρ
是一个可分态,则以下两
式成立:
①
2
1
0
1
32
0
4
N
jj
j
N
M lM
−
=
−
−≥
∑
,其中
( )
2
12
1
,, ,
N
ll l
−
=
l
满足
1
≤
l
;
②
( )
2
1
22
1
1
0
2
N
oj
j
NN
TrM M
−
=
−
−≥
∑
,其中
0
,
j
MM
定义如上。
证明:由于
ρ
是一个可分态,根据引理
1
和引理
2
,以及
(
10
)(
11
)
式,我们有
{
}
( )
{ }
( )
{ }
() (
)
( )
(
)
{ }
(
)
2
2
2
1
0
1
1
1
1
2
2
1
32
4
1 321
lim lim
42
123 21
lim
24 2
1 23232
lim
24 2
ii
i
i
N
jj
j
N
BB ABB
iii ijijii
EE EE
i ji
N
A BB
iiijji i
EE
i ji
BB
i ii
EE
i
N
M lM
N
EE la
N
N
EEa l
N
NN
E
NN
µ φφµφφ
µ µφφ
µ φφ
−
=
−
∈∈
=
−
∈
=
∈
−
−
−
= −
−
≥ −+
−−
≥−
∑
∑ ∑∑
∑ ∑∑
∑
0.
=
OPEN ACCESS
19
王银珠
|
一个
N
⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
另一方面,根据引理
1~3
,以及
(
10
)(
11
)
式,有
( )
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }{}
() ()
( )
{ }{}
( )
2
2
2
1
22
1
22
1
1
1
2
1
1
2
1
11
lim lim
24
21
1
lim lim
4
1
lim lim
4
ii
ik
ik
N
oj
j
N
BB ABB
iii iijii
EE EE
i ji
N
AABB
ikij kjii
EEEE
ik j
i
E EEE
NN
TrM M
NN
TrEE a
N
N
E Eaa
N
E
µ φφµφφ
µ µφϕ
µµ
−
=
−
∈∈
=
−
∈∈
=
∈∈
−
−
−
= −
−
= −
≥
∑
∑ ∑∑
∑∑ ∑
( )
( )
( )( )
(
)
2
1
22
1
21
1
2
0.
N
A ABB
kijkji i
ik j
N
E aa
N
φϕ
−
=
−
−+
=
∑∑ ∑
证毕。
进一步
,设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
,
dim
A
HN
=
(
)
2
N
≤< +∞
,
dim
B
H
= +∞
。
如果
ρ
可分
,则
ρ
可表示为
2
1
0
1
N
A
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
,其中
{ }
( )
0
1
lim
i
BB
ii i
EE
i
ME
N
µ φφ
∈
=
∑
,
j
M
=
{ }
( )
1
lim
2
i
AB B
jiij ii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
=
∑
,对任
意的
( )( )
22
11
NN
−× −
实矩阵
R
,满足
( )
T
2
1
0
1
I RR
N
−≥
−
,定义
( )
22
11
0
11
,,
NN
A
RNijjjjk k
jk
IMM MRM
γρ λ
−−
= =
′′
=⊗+ ⊗=
∑∑
(12)
( )
2
1, 2,,1
A
ij
jN
λ
= −
是群
( )
SU N
的生成元。我们有
定理
5
设
( )
AB
SH H
ρ
∈⊗
,
dim
A
HN
=
(
)
2
N
≤< +∞
,
dim
B
H
= +∞
。如果
ρ
可分,则
( )
0
R
γρ
≥
。
证明:如果
ρ
可分,则
ρ
可表示为
2
1
0
1
N
A
Nij j
j
IM M
ρλ
−
=
=⊗+ ⊗
∑
,这里
0
,
j
MM
如
(
10
)(
11
)
定义。注意到
{ }
( )
( )
1
lim .
2
i
A BB
ji ijii
EE
i
M Ea
µ φφ
∈
′
′
=
∑
(13)
注意到
( )
R
γρ
也可表示为
( )
{ }
( )
lim
i
BB
Ri ii
EE
i
EA
γρµφ φ
∈
= ⊗
∑
,这里
( )
2
1
1
12
2
N
AA
Nij ij
j
AIa
N
λ
−
=
′
= +
∑
,
(
14
)
记
( )()()
( )
2
2
1
12
1
, ,,
A AAAN
i ii
iN
aa a
−
−
′
′ ′′
= ∈ℜ
a
为
Block
向 量 ,记
(
)
2
1
N
B
−
ℜ
表示由组成密度矩阵的所有的
Block
向量组成的集合,也称
Block
球或
Block
向量空间。由文献
[10]
,
()()
( )
22 2
11 1
DD
NN N
lL
B
−− −
ℜ⊆ℜ⊆ℜ
,其中
() ()
22
11
D ,D
NN
lL
−−
ℜℜ
分别是
2
1
N
−
ℜ
空间中的半径为
( )
2
1
l
NN
=
−
以及
1
21
L
N
= −
的球,
注意到矩阵
A
是自
伴的且迹为
1
的,但是不一定是正的,为了保证正性,根据文献
[7
,
10]
,需要满足
( )()
( )
( )
2
2
22
12
1
2
.
1
AA A
ii
iN
aaa
NN
−
′
′′
+ ++≤
−
(
15
)
OPEN ACCESS
20
王银珠
|
一个
N
⊗ +∞
系统量子态的纠缠判据
事实上,由于
() ()
(
)
( )
22
T
T
1 212
11
,,,, ,,
A AAAAA
i iii
iN iN
aaaRaaa
−−
′
′′
=
,注意到
( )()
( )( )( )
2 22
2
22
T
T
1 21212
1 11
, ,,, ,,.
AAAAA AAAA
i iiiii
iNiN iN
aaaaa aRRaaa
− −−
′
′′
+ ++=
从而根据
( )
T
2
1
0
1
I RR
N
−≥
−
,
由引理
1
,我们有
( )
2
1
2
1
1
21
N
A
ij
j
a
N
−
=
= −
∑
,故
( )()
( )
( )
( )()
( )
( )
22
2
22
2
22
1 212
2
11
12
.
1
1
A AAAAA
i iii
iN iN
a aaaaa
NN
N
−−
′
′′
+++≤+ ++=
−
−
(16)
所以
( )
R
γρ
仍然是一个密度算子,即
(
)
0
R
γρ
≥
。证明完成。
项目基金
国家自然科学基金资助
(
11172194
)
,山西省青年科学基金资助
(
2011021002
-2)
和
(
201001100 8
)
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