ABSTRACT

In this paper, some properties of inflations of groups are given. Moreover, a necessary and sufficient condition for an inflation of a group to be a left L-semigroup is proved. Finally, we obtain the basic conclusions of finite cyclic groups.

Keywords:Finite Cyclic Group, Inflation of Group, Commutative Group

有限循环群的膨胀

杜兰，龙品红^*

宁夏大学数学统计学院，宁夏 银川

收稿日期：2018年1月9日；录用日期：2018年1月24日；发布日期：2018年1月31日

摘 要

本文给出了群膨胀的一些性质，然后证明了群膨胀是左L-半群的一个充要条件。最后，给出了有限循环群膨胀的基本性质。

关键词 :有限循环群，群的膨胀，交换半群

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1. 引言

设S为一个半群，T为S的子半群， $\Phi$ 为S到T的映射。如果对于任意 $t\in T$ 有 $\Phi \left(t\right)=t$ ，对于任意 $x,y\in S$ 有 $xy=\Phi \left(x\right)\Phi \left(y\right)$ ，那么称S为它的子半群T的膨胀，称 $\Phi$ 为S到T的膨胀映射。如果半群S是群G的膨胀，那么S一定是拟正则半群。若拟正则半群S的幂等元集合E为S的理想，则称S为E-理想拟正则半群(见 [1] [2] )。

由对于半群S，如果 $S^{\text{2}}$ 有单位元，那么S是 $S^{\text{2}}$ 的膨胀(见 [3] )。设 $a,b$ 是半群S中的元素，如果S中的元素 $x,y$ 使得 $ax=ya=b$ ，那么称 $a|b$ (见 [4] )。设S为半群， $f\in S$ 。若对任意 $a\in S$ 有 $faf=f$ ，则称 $f$ 为S的强幂等元。设S为周期半群，若S的幂等元皆为强幂等元，则称S为强周期半群(见 [5] )。本文主要研究有限循环群膨胀的基本性质。为此，首先考虑半群的一些等价关系，然后给出了群膨胀的一些性质，并且证明群膨胀是左L-半群的一个充要条件。

设S是半群， $x\in S$ ， ${\lambda }_x$ ， ${\rho }_x$ 表示S上的二元关系( [6] )：

${\lambda }_x=\left\{\left(a,b\right)\in S\times S|xa=xb\right\};$

${\rho }_x=\left\{\left(a,b\right)\in S\times S|ax=bx\right\}.$

下面我们定义半群上的等价关系。

定义 1.1.设S是半群， $x\in S$ ，规定

${\eta }_x={\lambda }_x\cap {\rho }_x;$

${\delta }_x=\left\{\left(a,b\right)\in S\times S|xax=xbx\right\};$

${\alpha }_x=\left\{\left(a,b\right)\in S\times S|axa=bxb\right\}.$

引理 1.2.设S是半群， $x\in S$ ，则 ${\eta }_x$ ， ${\delta }_x$ 和 ${\alpha }_x$ 都是S上的等价关系，并且 ${\lambda }_x\subseteq {\delta }_x$ ， ${\rho }_x\subseteq {\delta }_x$ ， ${\eta }_x\subseteq {\delta }_x$ 。

引理 1.3.如果S是交换半群， $x\in S$ ，那么 ${\lambda }_x={\rho }_x={\eta }_x$ ，但是 ${\lambda }_x\ne {\alpha }_x$ 。

例 1.4.令半群 $S=\left\{e,g,a\right\}$ ，则由乘法运算有

则 ${\lambda }_e$ -类 $={\rho }_e$ -类 $={\eta }_e$ -类 $=\left\{\left\{a,g\right\},\left\{a\right\}\right\}$ 。并且 $a|g$ ， $e|g$ ， $g|e$ ， $a|e$ 。

命题 1.5.设S是半群， $a,b\in S$ ，如果 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_a\cap {\rho }_b$ ，那么有

$a^4=a{b}^{2}a=b{a}^{2}b={\left(ab\right)}^2={\left(ba\right)}^2=b^4.$

证明由 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_a\cap {\rho }_{\text{b}}$ 得 $a^2=ab=b^2$ 。于是

${\left(ab\right)}^2={\left(a^2\right)}^2=a^4,$

$\left(ab\right)\left(ba\right)=a{b}^{2}a=a{a}^{2}a=a^4,$

$\left(ba\right)\left(ab\right)=b{a}^{2}b=b{b}^{2}b={\left(b^2\right)}^2={\left(a^2\right)}^2=a^4,$

${\left(ba\right)}^2=b\left(ab\right)a=b{b}^{2}a=b^{2}ba=a^{2}ba=a\left(aba\right)=a{a}^{2}a=a^4.$

因此， $a^4=a{b}^{2}a=b{a}^{2}b={\left(ab\right)}^2={\left(ba\right)}^2=b^4$ 。

命题 1.6.设S是半群， $x\in S$ ， $a,b\in S$ 。如果 $\left(a,b\right)={\lambda }_x\cap {\alpha }_x$ ，那么有

${\left(ax\right)}^2=axbx=bxax={\left(bx\right)}^2.$

证明如果 $\left(a,b\right)={\lambda }_x\cap {\alpha }_x$ ，那么 $xa=xb$ ， $axa=bxb$ 。于是

$axa=axb=bxa=bxb,$

${\left(ax\right)}^2=\left(axa\right)x=\left(axb\right)x=\left(ax\right)(\; b\; x\; )$

同理， ${\left(ax\right)}^2=\left(bx\right)\left(ax\right),{\left(ax\right)}^2={\left(bx\right)}^2$ 。

命题 1.7.设S是半群，e是S的一个幂等元， $a,b\in S$ ，如果 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_e$ ，那么

${\left(ea\right)}^2=ebea=eaeb={\left(eb\right)}^2,eab=e{b}^2,eba=e{a}^2.$

证明根据 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_e$ ，则 $ea=eb$ 。于是

${\left(ea\right)}^2=ebea,{\left(eb\right)}^2=eaeb=ebea={\left(ea\right)}^2,eab=e{b}^2,eba=e{a}^2.$

命题 1.8.设半群S只有一个幂等元e， $a,b\in S$ 。如果 $ab=e$ ，那么 $bea=e$ 。

证明根据 $ab=e$ ，则

${\left(bea\right)}^2=beabea=bea.$

既然S只有一个幂等元e，则 $bea=e$ 。

命题 1.9.设半群S只有一个幂等元e， $a\in S$ 。则

$a|e\iff e\in SaS.$

证明先证必要性。如果 $a|e$ ，那么有 $x,y\in S$ 使得 $ax=ya=e$ 。则 $e\in SaS$ 。

再证明充分性。如果 $e\in SaS$ ，那么有 $s,t\in S$ 使得 $e=sat$ 。于是

${\left(ates\right)}^2=ates,{\left(tesa\right)}^2=tesa.$

既然S只有一个幂等元e，则 $e=sat$ ， $e=sat$ 。因此 $a|e$ 。

2. 群的膨胀

在本节中，将给出关于群膨胀的一些性质。

定理 2.1.设S为交换群G的膨胀， $a,b,x\in S$ 。如果 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_x$ ，那么 $a^2=ab=ba=b^2$ 。

证明由S为交换群G的膨胀， $a,b,x\in S$ 得 $x^2\in G$ 。如果 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_x$ ，那么 $xa=bx$ 。于是

$x^2{a}^2=x^{2}ab=x^{2}ba=x^2{b}^2.$

因此 $a^2=ab=ba=b^2$ 。

定理 2.2.设S为交换群G的膨胀， $a,b\in S$ 。如果 $a^4=a^2{b}^2=b^2{a}^2=b^4$ ，那么 $a^2=b^2$ 。

证明由S为交换群G的膨胀， $a,b\in S$ 得 $a^2,b^2\in G$ 。于是 $a^2\in G{a}^4$ ， $b^2\in b^{4}G$ ，故存在 $x,y\in S$ 使得 $a^2=x{a}^4$ ， $b^2=b^{4}y$ 。由 $a^4=a^2{b}^2=b^2{a}^2=b^4$ 得到 $a^2{b}^4=a^2{b}^2{b}^2=a^4{b}^2$ 。于是

$a^2=x{a}^4=x{a}^2{b}^2=\left(x{a}^2\right)b^2=x{a}^2{b}^{4}y=x{a}^4{b}^{2}y=a^2{b}^{2}y=b^{4}y=b^2.$

定理 2.3.设S为交换群G的膨胀， $a,b,x\in S$ 。则 $\left(a,b\right)\in {\delta }_x$ 的充分必要条件是 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_x\cap {\rho }_x$ 。

证明充分性显然。在此仅仅证明必要性。由S为交换群G的膨胀，得 $xax\in G$ 。如果 $\left(a,b\right)\in {\delta }_x$ ，那么 $xax=xbx$ 。于是 $ax=bx$ ， $xa=bx$ ，故 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_x\cap {\rho }_x$ 。

定理 2.4.设S为交换群G的膨胀， $a,b\in S$ 。如果 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_a$ ， $ab=ba$ ， $\left(b,c\right)\in {\lambda }_b$ ， $bc=cb$ ，那么 $\left(a,c\right)\in {\lambda }_a$ ， $ac=ca$ 。

证明由 $\left(a,b\right)\in {\lambda }_a$ ， $ab=ba$ ， $\left(b,c\right)\in {\lambda }_b$ ， $bc=cb$ 得

$a^2=ab=ba,b^2=bc=cb.$

于是 $a^4={\left(a^2\right)}^2={\left(ba\right)}^2=b^2{a}^2=cb{a}^2=cbaa=c{a}^3$ 。

由S为交换群G的膨胀知 $a^2\in G$ ，于是存在 $x\in G$ 使得 $a^{2}x=e$ ， $a^2=a^{4}x$ ，其中e为G的单位元，所以

$a^2=a^{4}x=c{a}^{3}x=ca。$

同理 $a^2=ac$ ，即 $\left(a,c\right)\in {\lambda }_a$ ，并且 $ac=ca$ 。

定理 2.5.设S为群G的膨胀，e为G的单位元。如果e为S的强幂等元，那么 $G=\left\{e\right\}$ ，并且对S中的任意元素s有 $s^2=es=se=e$ 。

证明设g是G中的任意元素由e为S的强幂等元得 $ege=e$ ，而 $ege=g$ 。故 $g=e$ ，即.

由S为群G的膨胀得，，，因此。

推论 2.6.设S为群的膨胀，那么S是强周期半群。

定理 2.7. 设S为群G的膨胀，e为G的单位元。则对S中的任意元素s有。

定理 2.8.设S为群G的膨胀，e为G的单位元。如果，那么对S中的任意元素s有，。

定理 2.9.设为群G的膨胀。则S是左半群当且仅当对于G中单位元e，是S上的同余。

证明必要性显然成立。下面证明充分性。设是S中的任意元素。若，由S为群G的膨胀得。由是S上的同余得，，。因此是同余。

3. 循环群膨胀的性质

如果S是群G的膨胀，e是G的单位元，那么e是S的中心幂等元。交换群的膨胀是交换半群。特别地，循环群是交换群，循环群的膨胀也是交换半群，但是循环群的交并不一定是交换半群。

例3.1. 令半群为矩阵半群，其，， (表示第i行第j列的元素1，其余元素全部为零的矩阵)。则由乘法运算有S的乘法表。

则S不是交换半群。。是循环群的膨胀。

定理 3.2.设n为正整数，半群，并且。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元，S是G的膨胀。则对任意，有，。

证明因为，所以由命题1.9得。由为群G的膨胀得。于是有使得，从而，。故。

定理 3.3.设n为正整数，半群，并且。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元。则下列条件等价：

i) S是G的膨胀；

ii)，；

iii)，。

证明 i) ii) 因为S为循环群G的膨胀，所以存在是S到G的膨胀映射。由，得，，，。于是。同理。因此。

ii) iii) 显然。

iii) i) 由于，所以。任取，令，则知是S到G的膨胀映射，即S是G的膨胀。

定理 3.4.设n为正整数，半群，并且。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元。如果有非负整数使得，，那么S是G的膨胀，并且对于任意有，，其中，。

证明由得

因此，即S为交换半群。由定理3.3得S是G的膨胀。由于，，所以，从而，。

定理 3.5.设n为正整数，半群，并且。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元，S是G的膨胀。则是S上的同余。

证明显然是S上的右同余。设为S中元素，并且，d是S中任意元素。则，。由S是G的膨胀得，故，即是S上的左同余。因此，是S上的同余。

设n为正整数，半群，并且。S是n阶循环群G的膨胀。下面给出时G的乘法表(表1~6)。

表1.，和时的乘法表

表2.，，时半群的乘法表

表3.，和时半群的乘法表

表4.，和时半群的乘法表

表5.，和时半群的乘法表

表6.，和时半群的乘法表

设半群，G是由g生成的n阶循环群，S是G的膨胀。下面给出S的乘法表(表7)。

表7.的乘法表

设半群，G是由g生成的n阶循环群，S是G的膨胀。下面给出时l和k的取值表(表8)。

表8. n，l和k的取值表

基金项目

本文由宁夏高等学校科研项目(NGY2017011)资助。

文章引用

杜 兰,龙品红. 有限循环群的膨胀
The Inflations of Finite Cyclic Groups[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 113-119. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81014

参考文献 (References)