Pure Mathematics
Vol.08 No.04(2018), Article ID:25971,5
pages
10.12677/PM.2018.84056
On the Krasnoselskii-Type Fixed Point of Set-Valued Mapping
Guangjun Qu
School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong Shaanxi
Received: Jun. 27th, 2018; accepted: Jul. 12th, 2018; published: Jul. 19th, 2018
ABSTRACT
Using E. Zeidler fixed point theorem, the fixed point of the operator A + B has been obtained, where A is from a single value mapping to a set-valued mapping.
Keywords:Set-Valued Mapping, Fixed Point
集值映射的Krasnoselskii型不动点
曲广军
陕西理工大学数学与计算机科学学院,陕西 汉中
收稿日期:2018年6月27日;录用日期:2018年7月12日;发布日期:2018年7月19日
摘 要
利用E. Zeidler不动点定理,证明了将Krasnoselskii不动点定理中的单值映射A推广到集值映射的情况下算子A + B的不动点的存在性。
关键词 :集值映射,不动点
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
Krasnoselskii不动点定理:
若M是Banach空间X的一个非空闭凸子集, ,且满足:
1) A连续且是紧的;
2) B是压缩映射;
3) 。
则存在 ,使得 。
此定理主要用于研究带扰动的方程的不动点的存在性,还用于求解非线性积分方程,其结果在非线性领域有很广泛的应用。
对此定理的改进主要是在确保前提的条件下,改进条件(1),(2)和(3),具体的改进可见文献 [1] [2] [3] [4] 。在文献 [4] 中印度学者Dhage用以下条件取代了条件(1):在E上,A是一个有界非线性算子,且 是一个非线性压缩算子, 。在文献 [5] 中,作者用A是半压缩和非扩张算子替代条件(1),并将B的紧性进一步放宽,得到了一系列新的结果,很大程度上推广了Krasnoselskii不动点定理。
本文在上述定理的基础上将A改进为集值映射,给出了算子 的不动点。
2. 预备知识
定义1 [6] :设 是两个集合,T是一种对应法则,如果每一个 ,通过T有Y的一个子集与之对应,则称T是X到Y的一个集值映射。
定义2 [1] :如果 是相对紧的(关于Y而言),则称T是紧的。如果对任意 ,有 是闭的,则称T是闭值的。
定义3 [1] :设X是Banach空间,对任意的 , , 。若对任意的闭集 , 是M中的闭集,则称 上半连续;。若对任意的闭集 , 是M中的闭集,则称 下半连续。
定义4 [6] :对任意的拓扑空间X,集合 表示X的所有紧子集。
定义5 [6] :设 是一个集值映射,那么称集合
为集值映射F的图。如果 是 中的闭集,则称集值映射F是闭的。由此定义,对 , ,必有 ,即 ,必有 。
3. 主要结果及其证明
定理1 [6] :如果集值映射 是闭的,则 是闭的。
定理2 [6] :设 是Housdorff拓扑空间, 和 是两个集值映射,如果F在X上是上半连续的,G在Y上是上半连续的,则复合映射 在X上是上半连续的。
定理3 [1] :设M是一Banach空间,M是X的一个非空闭凸子集。 是一个集值映射。假设F满足以下条件:
(f1) 是一相对紧集;
(f2) F在M是上半连续的;
(f3) 集合 是非空闭凸集。
那么,存在 ,使得 。
定理4 若M是Banach空间,X是非空有界闭凸集, 是一个集值映射, 是单值映射。若满足以下条件:
(i) 是一个相对紧集;
(ii) A在M上是上半连续的;
(iii) B是一个压缩映射,且 , ;
(iv) 集合 是非空闭集,且 , 是一个凸集。
则存在 ,使得 。
证明:任取 ,考虑 。由于B是压缩映射,则 是压缩映射。由Banach压缩映像原理,T在M中存在唯一的不动点 ,使得 , 。
即 ,所以 是可逆的。
下证 是连续的。
令 , ,即证明 。
由
,
因为 , ,可得 是连续的。
构造复合映射: :
由(i)可得, 是一个相对紧集。
由(ii)可知,A是上半连续的,上证 是连续的,所以由定理2可知F是上半连续的。
由(iv),对任意的 , 是非空闭凸的。
所以由定理3,存在 ,使得 ,即 。
定理5 若M是Banacha空间,X是非空有界闭凸集, 是一个集值映射且是闭值的, 是连续单值映射。若满足以下条件:
(a) ;
(b) 包含在M的一个紧子集里面;
(c) 如果 ,那么存在 的一个收敛子列 ;
(d) 是一个凸集。
那么,存在 ,使得 。
证明:若 是可逆的:
由(c)可得, 是连续的,下面给出证明。
要证明 是连续的,只要证明当 时, 。
令 , ,则有 。
任取 ,只要证明存在 就可以了。
因为 ,即 , ,由(c),存在 。
下证 ,由于 ,又 ,所以 ,即证 是连续的。
对任意 ,构造复合映射: :
由(a)可知, 。由定理1可知,存在 ,使得 。
若 不是可逆的。
下面验证满足定理3的条件。
① 是凸集(由(d)可得)。
② 验证F是图闭的。
即证明当 , , 时, 。
因为 ,即 ,那么一定存在 ,使得 。
由(b)可得, 存在收敛子列 ,所以存在 ,使得 。
两边同时取极限可得
且 ,
即 (因为A是闭值的),所以F在M上是图闭的。
③ 验证 是闭值的。
由(b)知F是图闭的,由定理1可知, , 是闭值的。
④ 验证 是相对紧集。
要验证 是相对紧集,即验证 ,都有收敛子列。
对 ,存在 ,使得 ,那么一定存在 ,使得 。因为 包含在M的一个紧子集里面,所以存在收敛子列 , ,即存在 ,使得
由(c)可知, 有收敛子列 。
⑤ 验证F是上半连续的。
即对任意的闭集 , 是M中的闭集。
任选 , ,验证 就可以了。
对 ,存在:
( 是相对紧集)。
此时 有收敛子列 ( 是闭集)。
所以必存在 ,使得 ,即 。
两边同时取极限,即 。
所以 ,即 ,所以F是上半连续的。
由定理3可知,存在 ,使得 。
基金项目
陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145);校级科研项目(SLGKY16-02)。
文章引用
曲广军. 集值映射的Krasnoselskii型不动点
On the Krasnoselskii-Type Fixed Point of Set-Valued Mapping[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 426-430. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84056
参考文献
- 1. Liu, Y.C. and Li, Z.X. (2008) Kraasnolelskii Fixed Point Theorems and Applications. Proceedings of the American Mathematical Society, 136, 1213-1220. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-07-09190-3
- 2. Burton, T. (1998) A Fixed-Point Theorem of Kraasnolelskii. Applied Mathematics Letters, 11, 85-88. https://doi.org/10.1016/S0893-9659(97)00138-9
- 3. Ok, E.A. (2009) Fixed Set Theorems of Kraasnolelskii Type. Proceedings of the American Mathematical Society, 137, 511-518. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09332-5
- 4. Dhage, B.C. (2003) Remarks on Two Fixed-Point Theorems Involving the Sum and the Product of Two Operators. Computers & Mathematics with Applications, 46, 1779-1785. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(03)90236-7
- 5. Henry, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Springer-Verlag, Berlin-New York. https://doi.org/10.1007/BFb0089647
- 6. 俞建. 博弈论与非线性分析[M]. 北京: 科学出版社, 2007.