Pure Mathematics
Vol. 09  No. 01 ( 2019 ), Article ID: 28694 , 8 pages
10.12677/PM.2019.91014

Using the Extend (G'/G) Expansion Method to Obtain the Exact Solution of the (3 + 1)-Dimensional Potential YTSF Equation

Houxu Mo, Yanfeng Guo, Pingli Zhu, Ganjie Liao

College of Science, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou Guangxi

Received: Jan. 4th, 2019; accepted: Jan. 22nd, 2019; published: Jan. 29th, 2019

ABSTRACT

Using the extend (G'/G)-expansion method and the new auxiliary equations, the new exact solutions of (3 + 1)-dimensional potential Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF) equation are obtained on the basis of the homogeneous balance method. And some forms of exact solutions of (3 + 1)-dimensional potential (YTSF) equation are given. Furthermore, the corresponding figures are given.

Keywords:(G'/G)-Expansion Methods, YTSF Equation, Exact Solution

利用扩展的(G'/G)展开法求(3 + 1)维YSFY势方程的精确解

莫厚旭,郭艳凤,朱萍丽,廖干杰

广西科技大学,理学院,广西 柳州

收稿日期:2019年1月4日;录用日期:2019年1月22日;发布日期:2019年1月29日

摘 要

利用扩展的(G'/G)展开法和新的辅助方程,通过借助齐次平衡法确定相关次幂,求解(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解,得到了(3 + 1)维YTSF势方程的一些新的精确解的形式,并给出解的相应图形。

关键词 :扩展的(G'/G)展开法,YTSF势方程,精确解

Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 前言

随着社会的进步,科技的发展,非线性偏微分方程在物理、数学等学科上的应用越来越广泛,因此也引起了许多数学家的关注。近年来,在许多学者的努力下,提出了许多求解非线性偏微分方程的精确解的方法,例如:Fourier变换 [1] ,三波法 [2] [3] [4] ,可变分离法 [5] 等方法来求解某类非线性偏微分方程的精确解。

本文主要考虑(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解。此方程为

(1)

在1998年,Song-Ju Yu等人 [6] 将Bogoyavlenskii-Schiff方程 [7]

v t + ϕ ( v ) v z = 0 , ϕ ( v ) = x 2 + 4 v + 2 v x x 1 ,

拓展为一个新的(3 + 1)维非线性演化方程

( 4 v t + ϕ ( v ) v z ) + 3 v y y = 0 , ϕ ( v ) = x 2 + 4 v + 2 v x x 1 ,

于是它被称为(3 + 1)维的Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程,他们随后给出了该方程的行波解。为了方便研究,利用变换 v = u x 把此方程化为它的潜在形式,也就是本文将要考虑的(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程。

通过扩展的同宿测试法 [8] [9] ,可以获得(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程 [10] 的精确纽结呼吸波解,利用auto-Backland [11] 变换和广义投影的Riccati [12] 方程方法可以得到关于(3 + 1)维YTSF势方程的一些类孤立波子解和非行波解。本文将利用扩展的 ( G / G ) 展开法 [13] 和新的辅助方程 [13]

A G G B G G C ( G ) 2 E G 2 = 0 , (2)

来求解YTSF势方程的一些新精确解的形式。

2. 扩展的 ( G / G ) 展开法的概述

1) 对于一般的非线性偏微分方程

(3)

其中 L 及关于 x , y , z , t 的各阶导数的多项式。然后对(3)进行行波变换

w ( ζ ) = w ( x , y , z , t ) , ζ = a x + b y + c z + d 1 t , (4)

a , b , c , d 1 为待定常数,将(4)代入(3)中,(3)就可化为

Q ( w , w , w , w ( 4 ) , ) = 0. (5)

其中 w = d w d ξ , u = d 2 w d ξ 2 , L

2) 设方程(5)的拟解为

w ( ξ ) = g = m m e g ( d + H ) g + g = 1 m f g ( d + H ) g . (6)

其中 H ( ξ ) = ( G G ) e g , f g 中为待定常数, g 可取 0 , ± 1 , ± 2 , , ± m m 可通过齐次平衡法求出来,并且 G ( ξ ) 满足以下非线性常微分方程

A G G B G G C ( G ) 2 E G 2 = 0 , (7)

其中 A , B , C , E 为待定常数。

3) 将方程(6)和方程(7)代入方程(5)中,并将 ( d + H ) 中相同的指数幂的系数合并,令各次幂的系数为零,得到一个关于 e g , d , f g ( g = 0 , ± 1 , ± 2 , , ± m ) a , b , c , d 1 A , B , C , E 的代数方程组。

4) 利用maple软件求解代数方程组,确定待定常数之间的关系。

5) 通过文献 [13] ,得到5组关于 H ( ξ ) 的表达式

a) 当 B 0 , ϕ = A C Ω = B 2 + 4 E ϕ > 0 时,

H ( ζ ) = ( G G ) = B 2 ϕ + Ω 2 ϕ C 1 sinh ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 ϕ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 ϕ ζ ) (8)

b) 当 B 0 , ϕ = A C Ω = B 2 + 4 E ϕ < 0 时,

H ( ζ ) = ( G G ) = B 2 ϕ + Ω 2 ϕ C 1 sin ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 2 cos ( Ω 2 ϕ ζ ) C 2 sin ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 1 cos ( Ω 2 ϕ ζ ) (9)

c) 当 B 0 , ϕ = A C Ω = B 2 + 4 E ϕ = 0 时,

H ( ζ ) = ( G G ) = B 2 ϕ + C 2 C 1 + C 2 ζ (10)

d) 当 B = 0 , ϕ = A C Δ = ϕ E > 0 时,

H ( ζ ) = ( G G ) = Δ ϕ C 1 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 2 cosh ( Δ ϕ ζ ) C 2 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 1 cosh ( Δ ϕ ζ ) (11)

e) 当 B = 0 , ϕ = A C Δ = ϕ E < 0 时,

H ( ζ ) = ( G G ) = Δ ϕ C 1 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 2 cosh ( Δ ϕ ζ ) C 2 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 1 cosh ( Δ ϕ ζ ) (12)

3. Yu-Toda-Sasa-Fukuyama势方程的新精确解

对方程(1)引入变换(4) w ( ζ ) = w ( x , y , z , t ) , ζ = a x + b y + c z + d 1 t ,可将(1)化为方程

4 a d 1 w + a 3 c w ( 4 ) + 6 a 2 c w w + 3 b 2 = 0. (13)

对方程(13)两边进行一次积分得

( 4 a d 1 + 3 b 2 ) w + a 3 c w + 3 a 2 c ( w ) 2 + k = 0. (14)

其中 k 为待定常数,由(6)可知 w 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 1 w 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 3 ,由齐次平衡法得,最高阶导数线性项 w 和非线性项 ( w ) 2 进行平衡,则 m + 3 = 2 m + 2 ,解得 m = 1 。则(6)的表达式为

W ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + H ) 1 + e 1 ( d + H ) (15)

将(15)代入(14),得到3组解符合我们(3 + 1)维方程的系数关系

第一组:

a = a , b = b , c = c , d = d , k = 0 , d 1 = 1 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 , e 1 = 2 a d 2 φ + f 1 A 2 a E A , e 1 = 0 , f 1 = f 1 .

第二组:

a = a , b = b , c = c , d = 1 2 B ϕ , k = 0 , d 1 = 1 4 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 , e 1 = 1 2 2 A f 1 φ a Ω A φ , e 1 = 2 a φ A , f 1 = f 1 .

第三组:

当第一、二、三组解满足 H ( ζ ) 的条件时, w ( ζ ) 的表达式为

w 11 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) 1 ,

w 12 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( Ω 2 φ ζ ) ) 1 ,

w 13 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) 1 ,

w 14 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) 1 ,

w 15 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + Δ φ C 1 sin ( Δ φ ζ ) + C 2 cos ( Δ φ ζ ) C 2 sin ( Δ φ ζ ) + C 1 cos ( Δ φ ζ ) ) 1 .

w 21 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) 1 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 22 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( Ω 2 φ ζ ) ) 1 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 23 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) 1 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ,

w 24 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) 1 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ,

w 25 ( ζ ) = e 0 + ( e 1 + f 1 ) ( d + Δ φ C 1 sin ( Δ φ ζ ) + C 2 cos ( Δ φ ζ ) C 2 sin ( Δ φ ζ ) + C 1 cos ( Δ φ ζ ) ) 1 + e 1 ( d + Δ φ C 1 sin ( Δ φ ζ ) + C 2 cos ( Δ φ ζ ) C 2 sin ( Δ φ ζ ) + C 1 cos ( Δ φ ζ ) ) .

w 31 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 32 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 33 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ,

w 34 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ,

w 35 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + Δ φ C 1 sin ( Δ φ ζ ) + C 2 cos ( Δ φ ζ ) C 2 sin ( Δ φ ζ ) + C 1 cos ( Δ φ ζ ) ) .

r = α 1 x + α 2 y + α 3 z ( α 1 , α 2 , α 3 为不为零的常数),利用maple软件画出部分解的图像,如下:(图1~图3)

w 12 ( ζ ) : a = C = C 1 = d = 1 , b = 4 , c = 16 , d 1 = 8 , C 2 = A = B = 2 , E = f 1 = 2 , e 1 = 3 , e 1 = 0 , e 0 = 1.

Figure 1. Triangle function solution w 12 ( ζ ) schematic diagram

图1. 三角函数求解示意图

w 33 ( ζ ) : a = A = E = C 1 = e 0 = 1 , b = c = B = C 2 = 2 , d = 0 , d 1 = 3 , e 1 = 4.

Figure 2. Rational partition solution w 33 ( ζ ) schematic diagram

图2. 合理分区解示意图

w 24 ( ζ ) : a = b = c = f 1 = C 1 = d 1 = e 0 = 1 , d = 2 , A = 4 , C 2 = C = 2 , B = 0 , E = 1 2 , e 1 = 1 , e 1 = 3 4 .

Figure 3. Hyperbolic function solution w 24 ( ζ ) schematic diagram

图3. 双曲函数求解示意图

4. 结论

本文通过引用文献 [13] 中扩展的 ( G / G ) 方法求解(3 + 1)维YTSF势方程的精确解,此方法是把原来 ( G / G ) 正次幂的形式扩展成 ( d + G / G ) 展正负次幂的形式,在此基础上引入新的辅助常微分方程(2)的解的不同形式。通过maple软件确定表达式中待定参数之间的关系,即当方程(2)系数 A , B , C , E 满足(8)~(12)的关系时,得到了非线性偏微分方程的(3 + 1)维YTSF势方程的新的负幂次形式的精确解,包括双曲函数解、有理分式解和三角函数解的形式,并且此方法还可以用于求解其它非线性偏微分方程。三角函数具有周期性,三角函数解的图像如图1;有理分式的图像如图2所示,由图可以看出此图为中心对称图形;双曲函数是一种类似于三角函数的函数,具有三角函数的一些性质,双曲函数解的图像如图3,是中心对称图像。同时也希望能为大家拓宽解决此类问题的方法。

文章引用

莫厚旭,郭艳凤,朱萍丽,廖干杰. 利用扩展的(G'/G)展开法求(3 + 1)维YSFY势方程的精确解
Using the Extend (G'/G) Expansion Method to Obtain the Exact Solution of the (3 + 1)-Dimensional Potential YTSF Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 111-118. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91014

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