Pure Mathematics
Vol.
12
No.
05
(
2022
), Article ID:
51597
,
8
pages
10.12677/PM.2022.125090
R0-代数的几类反犹豫模糊滤子
郑苗苗
兰州理工大学理学院,甘肃 兰州
收稿日期:2022年4月16日;录用日期:2022年5月17日;发布日期:2022年5月24日
摘要
本文的创新点是提出了R0-代数的几类反犹豫模糊滤子,主要将犹豫模糊集理论应用在R0-代数上,首先介绍了反犹豫模糊MP滤子、反犹豫模糊素MP滤子以及反犹豫模糊蕴含滤子的基本概念,其次讨论了R0-代数上这几类反犹豫模糊滤子的性质,最后证明了R0-代数的几类反犹豫模糊滤子的等价刻画。
关键词
犹豫模糊集,R0-代数,反犹豫模糊MP滤子,反犹豫模糊素MP滤子,反犹豫蕴含滤子
Several Types of Anti-Hesitation Fuzzy Filters for R0-Algebras
Miaomiao Zheng
School of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou Gansu
Received: Apr. 16th, 2022; accepted: May 17th, 2022; published: May 24th, 2022
ABSTRACT
The innovation of this paper is to propose several classes of anti-hesitation fuzzy filters of R0-algebra. The hesitation fuzzy set theory is mainly applied to R0-algebra. First, the basic concepts of the filter anti-hesitation fuzzy MP filters, anti-hesitation fuzzy prime MP filters and anti-hesitation fuzzy implication filters are introduced. Secondly, the properties of these types of anti-hesitation fuzzy filters on R0-algebra are discussed, and finally, we prove the equivalent characterization of several classes of anti-hesitation fuzzy filters of R0-algebra.
Keywords:Hesitant Fuzzy Set, R0-Algebra, Anti-Hesitant Fuzzy MP Filter, Anti-Hesitant Fuzzy Prime MP Filter, Anti-Hesitant Implication Filter
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
作为模糊集的一种新拓展,犹豫模糊集的基本组成元素为犹豫模糊元素,每个犹豫模糊元素是由若干个可能的数值构成的集合,这一理论的提出丰富了模糊集理论。把犹豫模糊集应用到不同的代数结构中,已经得到了一些研究成果,例如:刘春辉、傅小波、张建忠等分别在BL-代数、FI-代数、布尔代数以及Fuzzy蕴含代数给出了犹豫模糊滤子、犹豫模糊同余、犹豫模糊滤子格、犹豫模糊理想等概念,并且取得了许多的研究成果 [1] - [6]。
本文主要是把犹豫模糊集理论应用在R0-代数上,表达了反犹豫模糊MP滤子、反犹豫模糊素MP滤子以及反犹豫蕴含滤子的基本概念,并得出了这几类反犹豫模糊滤子的性质以及一些等价刻画。首先介绍了R0-代数的反犹豫模糊MP滤子,其次介绍了R0-代数的反犹豫模糊素MP滤子,最后介绍了R0-代数的反犹豫模糊蕴含滤子。
2. 基础知识
定义2.1 [7] 设X是任一集合,f为 的映射,若对 ,有 ,则称f为对合映射。很容易看出,若f是对合的,那么f是一一对应的。
定义2.2 [7] 设L是一个完备格,f为 的映射,若对 ,当 时有 ,则称f为逆序映射。
定义2.3 [7] 若f既是逆序映射,又是对合映射,则称f为逆序对合对应。
定义2.4 [8] 令 是一个 型代数,满足下列条件:
(1) 是有界分配格;
(2) 是R上的逆序对合对应, 是R上的二元运算,如果R满足以下条件:
(T1) ;
(T2) , ;
(T3) ;
(T4) ;
(T5) , ;
(T6) 。
则R称为R0-代数。本文中出现的 我们均用 表示。
性质2.5 [9] 令R是R0代数, ,则下列结论成立:
(P1) 当且仅当 ;
(P2) 当且仅当 ;
(P3) , ;
(P4) 若 ,则 ;若 ,则 ;
(P5) ;
(P6) ;
(P7) ;
(P8) ;
(P9) ;
(P10) ;
(P11) , ;
(P12) 。
性质2.6 [9] 令R是R0代数, , 则
(P13) 是以1为单位的交换半群;
(P14) 若 ,则 ;
(P15) ;
(P16) 当且仅当 ;
(P17) ;
(P18) , ;
(P19) 。
引理2.7 [10] 令R是R0代数, 则
(P20) ;
(P21) , ;
(P22) ;
(P23) 。
定义2.8 [9] 令R是R0-代数, 是R到R0单位区间上的映射,则称 为R0-代数R上的模糊集,用 表示R0-代数R上的模糊集全体。
定义2.9 [10] 令R是R0-代数, , 若
(1) ;
(2) ,。
因此我们称A为R上的MP滤子。
定义2.10 [10] 令R是R0-代数,若 ,当 时, 或 ,则称A为R上的素MP滤子。
定义2.11 [11] 令R是R0-代数, ,若
(1) ;
(2)若 , 那么 。
则称A为R上的蕴含滤子。
定义2.12 [12] 令R是非空集合,R上的犹豫模糊集 定义如下:
其中 是由区间 上若干个不同值构成的集合,表示R中的元素x属于集合 的若干种可能隶属度。
3. R0-代数的几类反犹豫模糊滤子
3.1. R0-代数的反犹豫模糊MP滤子
定义3.1.1令 是R上的犹豫模糊集,若满足下列条件
(F1) , ;
(F2) ,。
则称 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
定理3.1.2令R是R0-代数, 是R上的反犹豫模糊MP滤子,那么
(F3) 是单调不增。
证明:设 是R上的反犹豫模糊MP滤子,则(F1) (F2)成立,设 ,,则由(P1)可得, 。
因此由定义3.1.1可知 。
综上所述,(F3)成立。
定理3.1.3设 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F1)与(F4)成立,其中
(F4) 。
证明:我们需证明,当成立时(F2)与(F4)等价,接下来我们假设(F2)成立。
首先证(F2) (F1);
因为(F1)和(F2)成立,所以可知(F3)成立;
由(P22)可知, ,再由(F3)可得
;
由(F3)得, ;
于是,我们有 ;
因此(F4)成立;
再证(F4) (F5);
由(F4)可得 ;
由(T2)有 ;
所以(F2)成立,综上所述,定理得证。
定理3.1.4设 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F3)和(F5)成立,其中
(F5) 。
证明:设 是R上的反犹豫模糊MP滤子;
则由定理3.1.2直接可以得出(F3)成立;
由(F2)可得 ;
又由(P21): ,因此由(F3)可得 ;
从而 即(F5)成立。
反之,假设(F3)和(F5)成立,现在证明(F1)和(F2)成立,从而 是R上的反犹豫模糊MP滤子;
因为 ,由(F3)有 ,因此(F1)成立;
由(F5)可得, ;
由(P20): 和(F3)可得 ;
因此 ,即(F2)成立;
综上所述,定理得证。
定理3.1.5设 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F6)和(F7)成立,其中
(F6) ;
(F7) ;
证明:设 是R上的反犹豫模糊MP滤子;
由(F5)可得 ;
由(P15): 可得, ;
因此由(F3)可得, ;
从而 ;
故 即(F6)成立;
由(F3)容易得到 ;
再由(P15): 和(F3)及(F6)得
;
从而 即(F7)成立。
反之,若(F6)和(F7)成立,则容易证明(F3)和(F5)成立,从而由定理3.1.4可知, 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.6设 是R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当(F8)成立,其中
(F8) 。
证明:设 是R上的反犹豫模糊MP滤子, 。
若 ,则由(P16): 当且仅当 知, ,所以由(F3)和(F5)可得, ,故(F8)成立。
反之,假设(F8)成立,由(P21): 和(F8)可得 ,即(F5)成立;
又由(P23): 和(F8)可得 ,由此可知 时 ,即(F3)成立。
因此由定理3.1.4可知, 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.7令 是R上的犹豫模糊集,则 为R上的反犹豫模糊MP滤子当且仅当 ,若 ,则 是R的MP滤子。
证明:设 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
且 ,现在我们证明 是R的MP滤子。
由 可知, 使得 ,再由(F1)可知, ,故 ;
设 ,,因此我们可以得到 ,,接着由(F2)可知, 。
从而 ,故 是R的MP滤子。
反之,证明 为R上的反犹豫模糊MP滤子。
,令 ,则有 ,即 ,由 是R的MP滤子,则 ,从而 ,故(F1)成立;
,令 ,则 ,,即 ;由 是R的MP滤子,因此可得 ,从而 ,故(F2)成立。因此, 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.1.8令 是R上的犹豫模糊集,则 为R上的反犹豫模糊MP滤子,则有 , 是MP滤子,这里 。
证明:由 知, ,因此由定理3.1.7可知 是MP滤子。
3.2. R0-代数的反犹豫模糊素MP滤子
定义3.2.1设 是R上的反犹豫模糊MP滤子,若 满足下列条件:
(F9) 。
则称 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
定理3.2.2设 是R上的反犹豫模糊MP滤子,则 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F10)成立,其中(F10) 。
证明:设 是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则(F9)成立,又由(F3)可知 单调不增,从而可知 ,因此(F10)成立。
反之,设 是R上的反犹豫模糊MP滤子且满足(F10),则(F9)显然成立,故由定义3.2.1可知, 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.2.3设 是R上的反犹豫模糊MP滤子,则 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当(F11)成立,其中(F11) 。
证明:若 是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则由(F10)可知, ,根据(P6)可知 ,从而 ,因此(F11)成立;
反之,设 是R上的反犹豫模糊MP滤子且(F11)成立, 则由(P10): 及(F3)可得 从而 ,,由(F2)可得 ,,所以 ,
因此,
(由(F11)可知
即(F9)成立,故 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.2.4设 是R上的犹豫模糊集,则 是R上的反犹豫模糊素MP滤子当且仅当 ,若 ,则 是R的素MP滤子。
证明:设 是R上的反犹豫模糊素MP滤子,则 是R上的反犹豫模糊MP滤子,因此由定理3.1.7可知,当 时, 是R的MP滤子。假设 ,则 ,,由(F10)可知, ,故 ,从而 是R的素MP滤子;
反之,当 时,则 是R的素MP滤子,则 是R的MP滤子,因此由定理3.1.7可知, 为R上的反犹豫模糊MP滤子。假设 ,令 ,即 ,而 ,从而有 为素MP滤子,即而可知 或 ,即有 或 ,因此 ,故 是R上的反犹豫模糊素MP滤子。
综上所述,定理得证。
3.3. R0-代数的反犹豫模糊蕴含滤子
定义3.3.1设R是R0代数,若 ,满足以下条件:
(F11) ;
(F12) 。
则称 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
定理3.3.2设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,则 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
证明:设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,在(F12)中,令 ,则有
因此由定义3.1.1可知, 是R上的反犹豫模糊MP滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.3.3设 是R上的反犹豫模糊MP滤子,则 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当 , 成立。
证明:假设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子, ,我们有:
反之,我们假设 是R上的反犹豫模糊MP滤子且有 ,,从而我们可以得到:
因此, 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
综上所述,定理得证。
定理3.3.4设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子, ,则有(F13)成立,其中(F13) 。
证明:假设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,则由定理3.3.3可知:
又由于 与(F3)可知, ,因此我们有 ,即(F13)成立。
综上所述,定理得证。
定理3.3.5令 是R上的犹豫模糊集,则 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子当且仅当 ,若 ,则 是R的蕴涵滤子。
证明:假设 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子, ,,我们由定理3.3.2和定理3.1.7可知, 是R的MP滤子。现在我们要得到 是R的蕴涵滤子,如果 且 ,从而得到 且 ,因为 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子,我们可以得到 ,继而得到 ,因此 是R的蕴涵滤子;
反之,假设 ,若 ,则有 是R的蕴涵滤子,由定理3.1.7可知 为R上的反犹豫模糊MP滤子。现在我们需要证明 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。令 ,因此 且 ,又因为 是R的蕴涵滤子,所以可以得到 ,即 ,由定义3.3.1可知, 是R上的反犹豫模糊蕴含滤子。
综上所述,定理得证。
文章引用
郑苗苗. R0-代数的几类反犹豫模糊滤子
Several Types of Anti-Hesitation Fuzzy Filters for R0-Algebras[J]. 理论数学, 2022, 12(05): 795-802. https://doi.org/10.12677/PM.2022.125090
参考文献
- 1. 刘春辉, 何涛. FI代数的犹豫模糊滤子与犹豫模糊同余关系[J]. 数学的实践与认识, 2018, 48(7): 266-272.
- 2. 傅小波, 张建忠, 王兰. 布尔代数的犹豫模糊理想[J]. 模糊系统与数学, 2020, 34(4): 44-56.
- 3. 刘春辉. Fuzzy蕴涵代数的犹豫模糊滤子格[J]. 模糊系统与数学, 2021, 35(4): 30-39.
- 4. 傅小波, 张建忠. 格蕴涵代数的犹豫模糊LI-理想[J]. 模糊系统与数学, 2019, 33(2): 36-44.
- 5. 姜曼. 布尔代数的犹豫模糊点子代数[J]. 湖北大学学报: 自然科学版, 2022, 44(1): 46-50.
- 6. 彭家寅. 伪BL-代数的犹豫模糊滤子[J]. 计算机工程与应用, 2019, 55(13): 42-50.
- 7. 赵东升. 逆序对合对应的构造[J]. 陕西师范大学学报: 自然科学版, 1989, 17(2): 1-4.
- 8. 姜曼. R0-代数的几类犹豫模糊滤子[J]. 模糊系统与数学, 2021, 35(1): 46-52.
- 9. 苏恩锁, 王国俊. R0-代数的Fuzzy MP滤子[J]. 模糊系统与数学, 2004, 18(2): 15-23.
- 10. 王国俊. 数理逻辑引论与归结原理[M]. 北京: 科学出版社, 2004.
- 11. Liu, L.Z. and Li, K.T. (2005) Fuzzy Implicative and Boolean Filters of R0 Algebras. Information Sciences, 2005, 171, 61-71. https://doi.org/10.1016/j.ins.2004.03.017
- 12. Torra, V. (2010) Hesitant Fuzzy Sets. Interna-tional Journal of Intelligent Systmes, 25, 529-539. https://doi.org/10.1002/int.20418