无限维系统正迹类算子上保持Bregman f-散度映射 Maps Preserving Bregman f-Divergence on the Set of Positive Definite Trace Operators of Infinite Dimensional Systems

doi:10.12677/AAM.2022.113107

Advances in Applied Mathematics
Vol. 11 No. 03 ( 2022 ), Article ID: 49285 , 7 pages
10.12677/AAM.2022.113107

无限维系统正迹类算子上保持Bregman f-散度映射

李田，张艳芳，贺衎

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太原理工大学，数学学院，山西太原

收稿日期：2022年2月11日；录用日期：2022年3月7日；发布日期：2022年3月14日

摘要

设H为无限维的可分Hilbert空间，令PTr(H)表示H上所有的正定的迹类算子组成的集合。该文主要研究了无限维的可分Hilbert空间H上正迹类算子的保持问题，给出了PTr(H)上保持满足某些条件的可微凸函数对应的Bregman f-散度和Umegaki相对熵(函数 $x \mapsto x l o g x$ 对应的Bregman散度)的双射的完全刻画。

关键词

正迹类算子，Bregman f-散度，Umegaki相对熵，保持

Maps Preserving Bregman f-Divergence on the Set of Positive Definite Trace Operators of Infinite Dimensional Systems

Tian Li, Yanfang Zhang, Kan He

School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi

Received: Feb. 11^th, 2022; accepted: Mar. 7^th, 2022; published: Mar. 14^th, 2022

ABSTRACT

Let H be an infinite separable Hilbert space and PTr(H) represent the set of all positive trace operators on H. In this paper, we characterize the bijective maps on PTr(H) preserving Bregman f-divergence where f is a differentiable convex function satisfying certain conditions and Umegaki relative entropy (Bregman divergence corresponding to function $x \mapsto x l o g x$ ); then we show that these maps are unitary transformations or anti-unitary transformations.

Keywords:Positive Definite Trace Operators, Bregman f-Divergence, Umegaki Relative Entropy, Preservers

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

算子代数理论产生世纪年代。现在这一理论已成为现代数学中一个热门分支，它与量子力学量子信息等重要学科都有着深刻的联系。算子代数上的保持问题在算子理论中备受关注，已经得到了许多有意义的成果，如保持量子f-散度的映射，保持Bregman f-散度的映射等。

在数学及其应用的大部分领域中，研究两个对象之间的某些差异度量是一项重要且普遍的任务。一些广泛研究的度量是距离函数，但是有许多重要的度量不能满足距离的性质，如Bregman散度，Jensen散度等，但这些度量在数学应用的几个领域也有着广泛的应用并且也取得了一系列丰富的研究成果。

2008年Molnár给出了有限维Hilbert空间的密度算子集上保持Umegaki相对熵的双射的一般形式，证明了该类映射为空间上的酉变换或反酉变换(见 [1])。后来在2010年Molnár将文献 [1] 中映射是双射的假设去掉，证明了密度算子集上保持Umegaki相对熵的一般映射具有与文献 [1] 同样的结构，即也是空间上的酉变换或反酉变换(见 [2])。Umegaki相对熵(或von Neumann散度)是重要的Bregman散度之一，对应于函数 $x \mapsto x \log x - x$ ， $x > 0$ 。此外，2016年Molnár和Nagy刻画了正定锥上的保持Bregman散度和Jensen散度的所有双射映射的结构(见 [3])。同年，文献 [4] 对态空间上保持同样的Bregman散度和Jensen散度的双射变换也进行了类似的研究，得到了同样的结论，这类双射映射都是酉或反酉同余变换。而对于有限维Hilbert空间密度算子集上其他类型的量子相对熵(如Belavkin-Staszewskif熵，Tsallis熵，二次相对熵，Jensen-Shannon散度等)和量子f-散度(是量子相对熵概念的一种推广)的保持问题，可参阅文献 [5] [6] [7]。

在已有研究的基础上，我们发现对于无限维空间的算子集上保持 Bregman散度的映射研究较少。因此，本文我们主要考虑无限维的可分Hilbert空间的正迹类算子集上保持满足某些条件的可微凸函数对应的Bregman f-散度和Umegaki相对熵(函数 $x \mapsto x \log x - x$ 对应的Bregman散度)双射的完全刻画。在给出主要结果之前，我们需要对一些符号和基本概念做一个简短的介绍。

2. 预备知识

在本文中，令H为无限维的可分Hilbert空间，用 $B (H)$ 表示H上的有界线性算子全体组成的Banach代数。令 $P (H)$ 表示H上的所有正定、有界线性算子组成的集合， $T r (H)$ 表示H上所有的迹类算子组成的集合， $P T r (H)$ 表示正迹类算子，显然 $P T r (H) = P (H) \cap T r (H)$ 。

定义1.1 令f是区间上的任意可微凸函数， $P T r (H)$ 上的Bregman f-散度的定义为

$H_{f} (A, B) = t r (f (A) - f (B) - f^{'} (B) (A - B)) .$

特别地，若f对应于函数，得到Umegaki相对熵的定义为

$S (A | | B) = t r (A (\log A - \log B) - (A - B)) .$

此处 $t r (.)$ 表示算子的迹， $\log$ 表示以2为底的对数(见文献 [8]， [9])。如果 $\lim_{x \to \infty} f (x)$ 和 $\lim_{x \to \infty} f^{'} (x)$ 存在，那么f， $f^{'}$ 可以连续扩展到 $[0, \infty)$ ，故对于任何一对正迹类算子，Bregman f-散度定义明确并且是有限的。

由上述定义易得，酉变换或反酉变换保持Bregman f-散度和Umegaki相对熵不变。本文的主要结果说明反之也成立。

3. 主要结果及证明

定理2.1 设f是区间 $(0, \infty)$ 上的可微凸函数，且f’有下界无上界。 $ϕ : P T r (H) \to P T r (H)$ 是一个双射且满足

$H_{f} (ϕ (A), ϕ (B)) = H_{f} (A, B) .$

那么存在H上的酉或反酉算子 $U : H \to H$ 使得 $ϕ$ 的形式为

$ϕ (A) = U A U^{*}, A \in P T r (H) .$

定理2.2 令 $ϕ : P T r (H) \to P T r (H)$ 是一个双射且满足

$S (A | | B) = S (ϕ (A) | | ϕ (B)) .$

即

$t r (ϕ (A) [\log ϕ (A) - \log ϕ (B)] - [ϕ (A) - ϕ (B)]) = t r (A [\log A - \log B] - (A - B))$

那么存在H上的酉或反酉算子 $U : H \to H$ 使得 $ϕ$ 的形式为

$ϕ (A) = U A U^{*}, A \in P T r (H) .$

在这部分，我们主要完成定理2.1和定理2.2的证明。首先介绍如下的定义。

定义2.1 设 $I \subset R$ 是一个区间，f是定义在I上的函数。对于算子 $A \in P (H)$ ，若谱集 $δ (A) \subseteq I$ ，则其对应的标准算子函数如下

$A = \sum_{a \in δ (A)} a P_{a} \mapsto f (A) : = \sum_{a \in δ (A)} f (a) P_{a}$

其中 $P_{a}$ 是特征值a对应的谱投影(见文献 [4])。

接着给出如下引理，它对定理的证明是至关重要的。

引理2.1 令f是区间 $(0, \infty)$ 上的可微凸函数，对于任意取定的 $B, C \in P T r (H)$ ，下列断言是正确的。

断言A：当 $f^{'}$ 有下界无上界且 $f^{'} \geq 0$ 时，集合

${H_{f} (B, A) - H_{f} (C, A) | A \in P T r (H)},$ (1)

有下界当且仅当 $B \leq C$ 。

断言B：当 $f^{'}$ 无下界无上界时，集合

${H_{f} (A, B) - H_{f} (A, C) | A \in P T r (H)},$ (2)

有下界当且仅当 $f^{'} (B) \leq f^{'} (C)$ 。

证明：1) 首先计算

$H_{f} (B, A) - H_{f} (C, A) = t r f (B) - t r f (C) + t r f^{'} (A) (C - B) .$

假设 $B < C$ 。令k表示 $f^{'}$ 的下界， ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}, \dots}$ 是H的一组规范正交基， $E_{i i}$ 表示 ${e_{i}}$ 生成子空间的正交投影，则有

$f^{'} (A) \geq k \sum_{i} \frac{E_{i i}}{2^{i}}, A \in P T r ( H )$

故

$t r (f^{'} (A) (C - B)) \geq k t r (\sum_{i} \frac{E_{i i}}{2^{i}} (C - B)), A \in P T r ( H )$

令 $λ_{i}$ 表示 $B - C$ 的特征值，

$t r (\sum_{i} \frac{E_{i i}}{2^{i}} (C - B)) = \sum_{i} \frac{E_{i i}}{2^{i}} t r (C - B) = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{2^{i}} < \infty,$

对任意的 $A \in P T r (H)$ 成立。因此集合(1)是有下界的。

反之，如果 $B ≰ C$ ，则存在单位向量 $x \in H$ ，满足 $〈 B x, x 〉 > 〈 C x, x 〉$ 。可以找到H的一组规范正交基 ${x, e_{2}, \dots, e_{n}, \dots}$ ，用 $P_{x}$ 表示由x生成的一维子空间的正交投影， $E_{i i}$ 表示 ${e_{i}}$ 生成的子空间上的正交投影 $(i = 2, 3, \dots)$ 。对于任意的 $t > 0$ ，有

$t r [f^{'} (t P_{x} + (\frac{E_{i i}}{2^{i}} - \frac{P_{x}}{2^{i}})) (C - B)] = f^{'} (t) 〈 (C - B) x, x 〉 + \sum_{i = 2} f^{'} (\frac{1}{2^{i}}) 〈 (C - B) x_{i}, x_{i} 〉 \to - \infty .$

其中上式右端第一项无下界，第二项和小于0，故此时集合(1)无下界。从而证明了集合(1)有下界 $\Leftrightarrow B < C$ ，断言A证明完成。

证明：2) 计算可得

$\begin{array}{l} H_{f} (A, B) - H_{f} (A, B) \\ = t r (f (A) - f (B) - f^{'} (A - B)) - t r (f (A) - f (C - f^{'} (C) (A - C))) \\ = t r ([f^{'} (C) - f^{'} (B)] A) + t r (f (C) - f (B) - [f^{'} (C) C - f^{'} (B) B]) . \end{array}$

一方面，若 $f^{'} (B) \leq f^{'} (C)$ 。记 $M = f^{'} (B) - f^{'} (C)$ ，由谱分解可设 $A = \sum_{i} a_{i} P_{i}$ ， $M = \sum_{j} m_{j} Q_{j}$ ，其中 $P_{i}$ 是A的特征值 $a_{i}$ 对应的谱投影， $Q_{j}$ 是M的特征值 $m_{j}$ 对应的谱投影。从而有

$\begin{matrix} | t r (M A + A M) | = t r (\sum_{i, j} a_{i} m_{j} (P_{i} Q_{j} + Q_{j} P_{i})) \\ = | \sum_{i, j} a_{i} m_{j} t r (P_{i} Q_{j} + Q_{j} P_{i}) | \\ \leq \sum_{i, j} | a_{i} m_{j} | | t r (P_{i} Q_{j} + Q_{j} P_{i}) | \end{matrix}$

由于 $A, M$ 都是正定迹类算子，所以存在 $δ > 0$ ，使得

$| t r (P_{i} Q_{j} + Q_{j} P_{i}) | \leq | t r (P_{i} Q_{j}) | + | t r (Q_{j} P_{i}) | < δ$

对所有的 $i, j$ 都成立。因此

$| t r (M A + A M) | < δ \sum_{i, j} | a_{i} m_{j} | \leq δ (\sum_{i} {| a_{i} |}^{2} + \sum_{j} {| m_{j} |}^{2}) < \infty$

而 $B, C$ 是都是任意取定的，可知

$t r ((f^{'} (C) - f^{'} (B)) A) + t r (f (C) - f (B) - (f^{'} (C) C - f^{'} (B) B)) < \infty .$

从而集合(2)是有下界的。

反之， $f^{'} (B) ≰ f^{'} (C)$ ，则存在单位向量 $x \in H$ ，满足 $〈 (f^{'} (C) - f^{'} (B)) x, x 〉 < 0$ 。如果对任意的 $A \in P T r (H)$ 令 $A_{1} = f^{'} (A)$ ，则 $A_{1} \in T r (H)$ 且 $〈 (f^{'} (C) - f^{'} (B)) x, x 〉 < 0 \Leftrightarrow 〈 (C_{1} - B_{1}) x, x 〉 < 0$ 。可以找到H的一组规范正交基 ${x, e_{2}, \dots, e_{n}, \dots}$ ， $P_{x}$ 表示由x生成的一维子空间的正交投影， $E_{i i}$ 表示 ${e_{i}}$ 生成的子空间上的正交投影 $(i = 2, 3, \dots)$ 。对于任意的 $t \in R$ ，构造 $f^{'} (A) = A_{1} = t P_{x} + \sum_{i} \frac{E_{i i}}{2^{i}}$ ，则

$\begin{array}{l} t r [(f^{'} (C) - f^{'} (B)) A] \\ = t r [(f^{'} (C) - f^{'} (B)) {f^{'}}^{- 1} f^{'} (A)] = t r [(f^{'} (C) - f^{'} (B)) {f^{'}}^{- 1} (A_{1})] \\ = {f^{'}}^{- 1} (t + \frac{1}{2}) 〈 (f^{'} (C) - f^{'} (B)) x, x 〉 + \sum_{i} {f^{'}}^{- 1} (\frac{1}{2^{i}}) t r ((f^{'} (C) - f^{'} (B)) E_{i i}) \end{array}$

已知 ${{f^{'}}^{- 1} (t) | t \in R}$ 无上界，所以上式右端第一项无下界，此时集合(2)无下界。从而证明了集合(2)有下界 $\Leftrightarrow f^{'} (B) \leq f^{'} (C)$ 。

接下来开始定理2.1和2.2的证明。

证明：1) 由于f是凸的且处处可微，所以 $f^{'}$ 是连续且单调递增。又 $f^{'}$ 有下界且 $f^{'} \geq 0$ ，故 $f^{'}$ 可以连续扩展到 $[0, + \infty)$ 。利用上述引理2.1中断言A对序的刻画，我们得到 $ϕ$ 是保持序同构的，即对任意的 $B, C \in P T r (H)$ ，有

$B \leq C \Leftrightarrow ϕ (B) \leq φ (C) .$ (3)

由文献 [10] 中定理1知， $ϕ$ 的形式为

$ϕ (A) = T A T^{*}, A \in P T r (H) .$

其中T是H上的可逆有界线性或有界共轭线性算子。

我们假设T是线性的，共轭线性情况类似。接下来证明T是酉的。反证法，假设T不是酉的，考虑T的极分解 $T = U P$ ，其中 $P = \sqrt{T^{*} T}$ 是正定的且U是酉的。由于双射映射 $ϕ : P T r (H) \to P T r (H)$ 在酉同余变换下保持Bregman f-散度不变，因此

$H_{f} (A, B) = H_{f} (T A T^{*}, T B T^{*}) = H_{f} (P A P, P B P) .$ (4)

对任意的 $A, B \in P T r (H)$ 成立。由假设T不是酉的，得 $P \neq I$ 且P的特征值不大于1。假设P有大于1特征值 $λ$ ，v是特征值 $λ$ 对应的单位特征向量，因为映射 $A \to P A P$ 是 $P T r (H)$ 上的保持Bregman f-散度的双射映射，因此逆变换 $A \to P^{- 1} A P^{- 1}$ 也保持Bregmanf-散度，如果P没有任何大于1的特征值， $P^{- 1}$ 一定有。假设 $P v = λ v$ 对一些 $λ > 1$ 和单位向量 $v \in C$ 成立，令 $Q_{v}$ 表示由v生成一维子空间上的正交投影。由等式(4)，变换 $A \to P A P$ 保持Bregman f-散度，故变换 $A \to P^{n} A P^{n}$ 也保持Bregman f-散度。因此，

$H_{f} (λ^{2} Q_{v}, Q_{v}) = H_{f} (P^{n} λ^{2} Q_{v} P^{n}, P^{n} Q_{v} P^{n}) = H_{f} (λ^{2 (n + 1)} Q_{v}, λ^{2 n} Q_{v}) .$ (5)

又且

$\begin{array}{l} H_{f} (A, B) + H_{f} (B, A) \\ = t r f (A) - t r f (B) - t r f^{'} (B) (A - B) + t r f (B) - t r f (A) - t r f^{'} (A) (B - A) \\ = t r (f^{'} (A) - f^{'} (B)) (A - B) . \end{array}$

结合式(5)，得出

$\begin{matrix} H_{f} (λ^{2} Q_{v}, Q_{v}) + H_{f} (Q_{v}, λ^{2} Q_{v}) = H_{f} (λ^{2 (n + 1)} Q_{v}, λ^{2 n} Q_{v}) + H_{f} (λ^{2 n} Q_{v}, λ^{2 (n + 1)} Q_{v}) \\ = t r ((f^{'} λ^{2 (n + 1)} Q_{v}) - f^{'} (λ^{2 n} Q_{v})) (λ^{2 (n + 1)} Q_{v} - λ^{2 n} Q_{v}) \\ = (f^{'} (λ^{2 (n + 1)}) - f^{'} (λ^{2 n})) λ^{2 n} (λ^{2} - 1) . \end{matrix}$

对任意的 $n \in N$ 成立。这意味着 $(f^{'} (λ^{2 (n + 1)}) - f^{'} (λ^{2 n})) λ^{2 n}$ 与n无关，即

$(f^{'} (λ^{2 (n + 1)}) - f^{'} (λ^{2 n})) λ^{2 n} = \frac{c}{{(λ^{2})}^{n}}$

对一些常数c成立。因此，

$\lim_{x \to \infty} f^{'} (x) = \lim_{n \to \infty} f^{'} (λ^{2 (n + 1)}) = f^{'} (1) + \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{c}{{(λ^{2})}^{n}} = f^{'} (1) + c \sum_{k = 0}^{n} {(λ^{- 2})}^{n} < \infty .$

这与 $f^{'}$ 无上界矛盾，故证得T是酉的。定理2.1 证明完成。

证明：2) 在定义(1.1)中取 $f = x \log x - x$ ，则集合(2)形式为

${S (A | | B) - S (A | | C) | A \in P T r (H)} .$ (6)

故由引理2.1中的断言B知，集合(6)有下界当且仅当 $\log (B) \leq \log (C)$ 。由于定理中双射 $ϕ : P T r (H) \to P T r (H)$ 保持Umegaki相对熵，利用上述对序的刻画，我们得到 $ϕ$ 是保持序同构的，即对任意的 $B, C \in P T r (H)$ ，有

$\log B \leq \log C \Leftrightarrow \log ϕ (B) \leq \log ϕ (C) .$

由文献 [10] 中定理2知，存在可逆的有界线性或有界共轭线性算子 $T : H \to H$ 和自伴算子 $X : H \to H$ 使得

$ϕ (A) = e^{T (\log A) T^{*} + X}, A \in P T r (H) .$ (7)

接下来我们将证明，若T是线性的，则T是一个酉算子；若T是共轭线性的，则T是共轭酉算子。首先假设T是线性的，考虑T的极分解， $T = U P$ ，其中 $P = \sqrt{T T^{*}}$ 是正定的，U是酉的。由于酉相似变换保持Umegaki相对熵不变，因此有

$ϕ (A) = e^{U P (\log A) U P^{*} + X} = U e^{P (\log A) P^{*} + U X U^{*}} U^{*}, A \in P T r (H) .$ (8)

即我们总可以假设式(7)中T是正算子。对于任意的 $A, B \in P T r (H)$ ，由下式

$\begin{array}{l} t r [A (\log A - \log B) - (A - B)] \\ = t r [ϕ (A) (\log ϕ (A) - \log ϕ (B)) - (ϕ (A) - ϕ (B))] \end{array}$

知

$\begin{array}{l} t r [e^{T (\log A) T + X} (T (\log A) T - T (\log B) T) - (e^{T (\log A) T + X} - e^{T (\log B) T + X})] \\ = t r [A (\log A - \log B) - (A - B)] . \end{array}$ (9)

固定A，用tB代替B，其中 $t > 0$ 。从而由等式(9)得

$a \log t + t r e^{(\log t) T^{2} + T (\log B) T + X} + b = c \log t + d t + e,$ (10)

对某些常数 $a, b, c, d$ 和e成立。事实上，T只能是单位算子。假设T有一个大于1的特征值 $λ$ ，其对应的一个对应的特征向量为x用 $Q_{x}$ 表示由x生成子空间上的正交投影。任意选取实数 $μ$ ，总会存在单位向量y，使得 $μ (y \otimes y) \leq T (\log B) T + X$ 成立。此时 $λ^{2} Q_{x} \leq T^{2}$ 。所以当 $t > 1$ 时，有

$(\log t) λ^{2} Q_{x} + μ (y \otimes y) \leq (\log t) T^{2} + T (\log B) T + X .$

由迹函数的单调性(见[ [11]，定理2.10])知

$t r e^{(\log t) λ^{2} Q_{x} + μ (y \otimes y)} \leq t r e^{(\log t) T^{2} + T (\log B) T + X}, t > 1.$

因此函数 $t \to t r e^{(\log t) T^{2} + T (\log B) T + X} (t > 1)$ 可以被函数 $α t^{λ^{2}} + β$ 最小化，其中 $α > 0$ ， $β$ 是实数。由于 $λ^{2} > 1$ ，考虑等式(10)并让t趋于无穷大，很容易得到矛盾。所以T的特征值不大于1。此外 $ϕ^{- 1}$ 也保持了Umegaki相对熵不变且

$ϕ^{- 1} (A) = e^{T^{- 1} (\log A) T^{- 1} - T^{- 1} (X) T^{- 1}}, A \in P T r (H) .$

所以 $T^{- 1}$ 的特征值也不大于1 从而有 $T = I$ 。

最后证明 $X = 0$ 。在式(9)中，令 $A = I$ ，B是 $P T r (H)$ 中与X可交换的任意元。由式(8)得到

$t r e^{X} (- \log B + B - I) = t r (- \log B + B - I)$

由函数 $x \mapsto - \log x + x - 1$ 的性质( $x \geq 1$ ，函数严格递增；且 $x = 1$ 时函数值为0)，很容易看出与X可交换的任意正算子D可写成 $D = - \log B + B - I$ 。因此有

$t r e^{X} D = t r D$

对H上任意正算子D成立。所以 $e^{X} = I$ ，即 $X = 0$ 。定理2.2证明完成。

文章引用

李田,张艳芳,贺衎. 无限维系统正迹类算子上保持Bregman f-散度映射
Maps Preserving Bregman f-Divergence on the Set of Positive Definite Trace Operators of Infinite Dimensional Systems[J]. 应用数学进展, 2022, 11(03): 996-1002. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.113107

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