吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首

收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日

摘要

利用G-函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。同时，利用该判定方法给出了分块矩阵特征值新的包含域。最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性。

关键词

块H-矩阵，G-函数，特征值，广义S-α₁型块对角占优矩阵

The Determination and Spectrum of Generalized S-α₁ Block Diagonally Dominant Matrices

Kaixin Zhu, Qing Tuo^*, Qi Hung

College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou Hunan

Received: Jul. 18^th, 2023; accepted: Aug. 8^th, 2023; published: Aug. 17^th, 2023

ABSTRACT

A new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are studied by using the properties of G-function. At the same time, a new bound for eigenvalues of block matrices was given and some examples are given to show the advantages of this new result.

Keywords:Block H-Matrix, G-Function, Eigenvalue, Generalized S-α₁ Block Diagonally Dominant Matrix

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在矩阵理论的研究中，矩阵分块技术有着广泛的应用。1962年，Feingold和Varga [1] 首次提出了分块矩阵的对角占优性，吸引众多学者对此进行了颇有价值的推广与改进。文献 [2] - [9] ，主要利用了G-函数的性质研究了I-型块对角占优矩阵和II-型块对角占优矩阵的对角占优性，并对块H-矩阵的特征值包含域进行了分析，说明了分块矩阵与原矩阵之间联系密切，通过矩阵分块对原矩阵进行降阶处理，降低计算的难度。文献 [10] - [14] ，研究了块H-矩阵的多种等价条件，对块H-矩阵的判定作了更进一步的改进和推广。其中文献 [10] [11] [12] ，给出了严格α-型块对角占优矩阵的等价条件，文献 [13] 和 [14] 更是给出了严格α-双块对角占优矩阵的等价条件，从而得到了块H-矩阵新的判据。

文献 [2] 改进了文献 [3] 的主要结论，并给出了S-型块对角占优矩阵的特征值包含域。通过数值算例说明了S-型块对角占优矩阵比双块对角占优矩阵的特征值包含域更小。文献 [6] 叙述了多种H-矩阵与其等价的特征值包集合的等价关系，并且说明了H-矩阵的判定范围越广，与其等价的特征值包含范围越小。同样，这种关系也普遍存在于块H-矩阵与其特征值包含域之间。本文在文献 [2] 的基础上，结合文献 [6] 和 [15] 中描述的等价关系，讨论了一类块H-矩阵新的判定方法以及等价的特征值包含域。最后，通过数值算例说明了新判定条件的有效性和广泛性。

2. 记号与相关定理定义

为叙述方便，引入记号：设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ ，且分块如下

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{m1}& A_{m2}& \cdots & A_{mm}\end{array}\right)$ . (1)

其中 $A_{ij}\in M_{n_i}\left(C\right)$ 且非奇异， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{n}_i=n}$ ， $i\in M=\left\{1,2,\cdots ,m\right\}$ 。对 $\forall i,j\in M$ 给出定义 $R_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\Vert A_{ij}\Vert }=R_i$ 和 $C_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\Vert A_{ij}\Vert }=C_i$ ，记 $\sigma \left(A\right)$ 为矩阵A的谱， $\Vert \cdot \Vert$ 为任意的矩阵诱导范数。定义分块矩阵A的块比较矩阵 $T\left(A\right)={\left(t_{ij}\right)}_{m\times m}\in R^{m\times m}$ ，其中

$t_{ij}=\{\begin{array}{l}{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1},i=j\hfill \\ -\Vert A_{ij}\Vert ,i\ne j\hfill \end{array},\forall i,j\in M$ .

故可定义其范数矩阵为

$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{12}\Vert & \cdots & \Vert A_{1m}\Vert \\ \Vert A_{21}\Vert & {\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}& \cdots & \Vert A_{2m}\Vert \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \Vert A_{m1}\Vert & \Vert A_{m2}\Vert & \cdots & {\Vert A_{mm}^{-1}\Vert }^{-1}\end{array}\right)$ .

记S是M的任意非空子集， $\bar{S}$ 是M中S的补集，即 $S,\bar{S}\subset M$ ， $S\cap \bar{S}=\varnothing$ ， $S\cup \bar{S}=M$ 。对 $\forall i\in S$ ，设 $R_i^S\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in S,t\ne i}{\sum }\Vert A_{it}\Vert }=R_i^S$ ， $R_i^{\bar{S}}\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in \bar{S}}{\sum }\Vert A_{it}\Vert }=R_i^{\bar{S}}$ ， $C_i^S\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in S,t\ne i}{\sum }\Vert A_{ti}\Vert }=C_i^S$ ， $C_i^{\bar{S}}\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in \bar{S}}{\sum }\Vert A_{ti}\Vert }=C_i^{\bar{S}}$ ，故有 $R_i=R_i^S+R_i^{\bar{S}}$ ， $C_i=C_i^S+C_i^{\bar{S}}$ 。另设 $r_i^S\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in S,t\ne i}{\sum }\left|a_{it}\right|}$ ， $r_i^{\bar{S}}\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in \bar{S}}{\sum }\left|a_{it}\right|}$ ， $c_i^S\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in S,t\ne i}{\sum }\left|a_{ti}\right|}$ ， $c_i^{\bar{S}}\left(A\right)={\displaystyle \underset{t\in \bar{S}}{\sum }\left|a_{ti}\right|}$ ，同样有 $r_i\left(A\right)=r_i^S\left(A\right)+r_i^{\bar{S}}\left(A\right)$ ， $c_i\left(A\right)=c_i^S\left(A\right)+c_i^{\bar{S}}\left(A\right)$ 。

定义1 [1] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若有

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}\ge (>)R_i$ ,

则称A为(严格)块对角占优矩阵，记为 $A\in BD\left(BSD\right)$ 。如果存在一个m阶正对角矩阵X使得 $AX\in BSD$ ，即若存在 $X=diag\left(x_1,x_2,\cdots ,x_m\right)$ ， $\forall i\in M$ ， $x_i>0$ 使得

$x_i{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\displaystyle \underset{j}{\sum }{x}_j}\Vert A_{ij}\Vert ,\forall i,j\in M$ ,

则称A为块H-矩阵，记为 $A\in BH$ 。

定义2 [5] 记 $f=\left(f_1,f_2,\cdots ,f_n\right)$ 为n维实函数集，其中 $f_i\left(A\right):M_n\left(C\right)\to R^{+}$ (其中 $R^{+}$ 为非负实数集)且仅依赖于矩阵A的非对角元的模。若任意满足 $\left|a_{ii}\right|>f_i\left(A\right)$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 的 $A\in M_n\left(C\right)$ 非奇异，则称f是一个G-函数，记为 $f\in g_n$ 。

显然，若 $f_i\left(A\right)$ 为下列之一，则 $f=\left(f_1,f_2,\cdots ,f_n\right)\in g_n$ ：

$f_i\left(A\right)={\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|}$ ;

$f_i\left(A\right)=\frac{x_j}{x_i}{\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|}$ , $x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$ ;

$f_i\left(A\right)=\alpha {\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|}+\left(1-\alpha \right){\displaystyle \underset{i\ne j}{\sum }\left|a_{ji}\right|}$ , $\alpha \in \left[0,1\right]$ ;

$f_i\left(A\right)={\left({\displaystyle \underset{j\ne i}{\sum }\left|a_{ij}\right|}\right)}^{\alpha }{\left({\displaystyle \underset{i\ne j}{\sum }\left|a_{ji}\right|}\right)}^{1-\alpha }$ , $\alpha \in \left[0,1\right]$ .

定义3 [7] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在 $f\in g_n$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>f_i\left(T\left(A\right)\right),\forall i\in M$ ,

则称 $A\in BGD$ ；若存在 $f\in g_n$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}>f_i\left(T\left(A\right)\right)f_j\left(T\left(A\right)\right),\forall i,j\in M$ ,

则称 $A\in BLGD$ 。

定义4 [8] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在 $\alpha \in \left[0,1\right]$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>\alpha R_i+\left(1-\alpha \right)C_i,\forall i\in M$ ,

则称A为严格 ${\alpha }_1$ 型块对角占优矩阵，记为 $A\in {\alpha }_1\text{-}BSD$ 。

定义5 [8] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在 $\alpha \in \left[0,1\right]$ ，使得

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>{\left(R_i\right)}^{\alpha }{\left(C_i\right)}^{\left(1-\alpha \right)},\forall i\in M$ ,

则称A为严格 ${\alpha }_2$ 型块对角占优矩阵，记为 $A\in {\alpha }_2\text{-}BSD$ 。

引理1 [8] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若矩阵A满足 $A\in {\alpha }_1\text{-}BSD$ 或 $A\in {\alpha }_2\text{-}BSD$ ，则A是一个块H-矩阵。

引理2 [2] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若 $S,\bar{S}\subset M$ ， $S\cap \bar{S}=\varnothing$ ， $S\cup \bar{S}=M$ ， $\exists i\in S$ 有 ${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>R_i^S$ 成立(或 $\exists j\in \bar{S}$ ，有 ${\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}>R_j^{\bar{S}}$ 成立)，使得

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]>R_i^{\bar{S}}{R}_j^S,\forall i\in S,\forall j\in \bar{S},$

则称矩阵A为严格S-型块对角占优矩阵，记为 $A\in S\text{-}BSD$ 。

引理3 [2] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若矩阵A为满足 $A\in S\text{-}BSD$ ，则A是一个块H-矩阵。

引理4 [2] 设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若 $S,\bar{S}\subset M$ ， $S\cap \bar{S}=\varnothing$ ， $S\cup \bar{S}=M$ ，则A的所有特征值均位于如下区域之中：

$G^{\left(3\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}\cup G_S\cup G_{\bar{S}}\cup G_{S\bar{S}}$ ,

其中

$G_S={\displaystyle \underset{i\in S}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_i^S\right\}}$ ,

$G_{\bar{S}}={\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_j^{\bar{S}}\right\}}$ ,

$G_{S\bar{S}}={\displaystyle \underset{i\in S,j\in \bar{S}}{\cup }\left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\le R_i^{\bar{S}}{R}_j^S\right\}}$ .

引理3至引理5为文献 [2] 的主要结果，本文在此基础上，利用不等式的放缩技巧使得块H-矩阵的可判定范围进一步扩大，相反的，与其对应的矩阵特征值所在区域会更加精确。从而对文献 [2] 的主要结果进行了推广和改进。

3. 主要结果

3.1. 定理1

设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在 $S,\bar{S}\subset M$ ， $S\cap \bar{S}=\varnothing$ ， $S\cup \bar{S}=M$ 。 $\exists i\in S$ ，有 ${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}>R_i^S$ (或 $\exists j\in \bar{S}$ ，有 ${\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}>R_j^{\bar{S}}$ )且 $\exists \alpha \in \left[0,1\right]$ ，对 $\forall i\in S$ ， $\forall j\in \bar{S}$ 有

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]>\left[\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\left[\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}\right]$ , (2)

则称矩阵A为严格 $S\text{-}{\alpha }_1$ 型块对角占优矩阵，记为 $A\in S\text{-}{\alpha }_1\text{-}BSD$ ，且 $A\in BH$ 。

证明 当 $\alpha =1$ 时，显然有

$\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]>R_i^{\bar{S}}{R}_j^S$ ,

即为引理3。

当 $\alpha \ne 1$ 时，假设定理成立，即存在 $i_0\in S$ 有

${\Vert A_{i_0{i}_0}^{-1}\Vert }^{-1}>R_{i_0}^S$ ,

则对 $\forall j\in \bar{S}$ ，由式(2)不难得出

$\begin{array}{l}\left[{\Vert A_{i_0{i}_0}^{-1}\Vert }^{-1}-R_{i_0}^S\right]\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\\ >\left[\alpha R_{i_0}^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\left[\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_{i_0}^{\bar{S}}\right]\\ \ge 0,\end{array}$

即有

${\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}>0,\forall j\in \bar{S},$ (3)

则对 $\forall i\in S$ ， $\forall j\in \bar{S}$ ，有

$\begin{array}{l}\left[{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\\ >\left[\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\left[\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}\right]\\ \ge 0,\end{array}$

由式(2)可知，以下结论成立

${\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S>0,\forall i\in S.$ (4)

同理，若存在 $\exists j_0\in \bar{S}$ 有 ${\Vert A_{j_0{j}_0}^{-1}\Vert }^{-1}>R_{j_0}^{\bar{S}}$ ，同样可证得式(3)和式(4)成立。

取d满足

$+\infty \ge Q\ge \underset{i\in S}{\min }\frac{{\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S}{\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S}>d>\underset{j\in \bar{S}}{\max }\frac{\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}}{{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}}\ge 0$ , (5)

故 $d\ne +\infty$ ，构造 $D=diag\left\{d_1,d_2,\cdots ,d_m\right\}$ ，其中

$d_i=\{\begin{array}{cc}1,& \forall i\in S\\ d,& \forall i\in \bar{S}\end{array}$

且由式(3)~(5)可知D为正对角矩阵，则令 $B=T\left(A\right)D={\left(b_{ij}\right)}_{m\times m}$ 。

当 $\forall i\in S$ 时，有

$\begin{array}{c}\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)={\Vert A_{ii}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\left(A\right)\\ >d\left[\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\\ =\alpha d{R}_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)d{C}_j^S\\ =\alpha r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\text{+}\left(1-\alpha \right)c_j^S\left(B\right)\\ \ge 0,\end{array}$

对于矩阵B满足对 $\forall i\in S$ ，且 $\left|b_{ii}\right|>r_i^S\left(B\right)$ 有

$\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)>\alpha r_i^{\bar{S}}\left(B\right)+\left(1-\alpha \right)c_j^S\left(B\right)$ . (6)

假设矩阵B是奇异矩阵，即存在非零向量 $x\in C^m$ ，使得 $Bx=0$ 或满足

$-b_{ii}{x}_i={\displaystyle \underset{t\in M/\left\{i\right\}}{\sum }{b}_{it}{x}_t},\forall i\in M$ ,

显然 $\exists S\subset M$ ，有

$\left|x_i\right|\ge \max \left|x_t\right|,\forall i\in S,\forall t\in M$ ,

即有

$\left|b_{ii}\right|\left|x_i\right|\le {\displaystyle \underset{t\in S,t\ne i}{\sum }\left|b_{it}\right|}\left|x_t\right|+{\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|}\left|x_j\right|,\forall i\in S,\forall j\in \bar{S}$ ,

对 $\forall i\in S$ ，可变形为

$\left|b_{ii}\right|\left|x_i\right|\le r_i^S\left(B\right)\left|x_i\right|+{\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|}\left|x_j\right|$ ,

$\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)\left|x_i\right|\le {\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|}\left|x_j\right|$ ,

利用Holder不等式，可以得到

$\begin{array}{c}\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)\left|x_i\right|\le {\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }{\left|b_{ij}\right|}^{\alpha }}{\left(\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}\right)}^{1-\alpha }\\ \le {\left({\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|}\right)}^{\alpha }{\left({\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}\right)}^{1-\alpha }\\ ={\left(r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\alpha }{\left({\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}\right)}^{1-\alpha }.\end{array}$ (7)

(i) 假设 $\exists i\in S$ ，使得 $r_i^{\bar{S}}\left(B\right)=0$ ，则式(7)恒有

$\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)\left|x_i\right|\le 0$ ,

成立，这与式(6)相矛盾。故在此情况下，矩阵B是非奇异的。

(ii) 对 $\forall i\in S$ ， $r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\ne 0$ ，均有

$\frac{\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)\left|x_i\right|}{{\left(r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\alpha }}\le {\left({\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}\right)}^{1-\alpha }$ ,

等价地有

$\frac{{\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}}{{\left(r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}}{\left|x_i\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}\le {\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}$ ,

不等式两边对所有的 $i\in S$ 求和，得到

${\displaystyle \underset{i\in S}{\sum }\frac{{\left(\left|b_{ii}\right|-r_i^S\left(B\right)\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}}{{\left(r_i^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}}{\left|x_i\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}\le {\displaystyle \underset{i\in S}{\sum }{\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }\left|b_{ij}\right|{\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}}={\displaystyle \underset{j\in \bar{S}}{\sum }{c}_j^S\left(B\right){\left|x_j\right|}^{\frac{1}{1-\alpha }}}$ ,

因此，至少存在一个 $i_0\in S$ 使得

$\frac{{\left(\left|b_{i_0{i}_0}\right|-r_{i_0}^S\left(B\right)\right)}^{\frac{1}{1-\alpha }}}{{\left(r_{i_0}^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}}\le c_j^S\left(B\right)$ ,

成立。再由Young不等式可以得出

$\left|b_{i_0{i}_0}\right|-r_{i_0}^S\left(B\right)\le {\left(r_{i_0}^{\bar{S}}\left(B\right)\right)}^{\alpha }{\left(c_j^S\left(B\right)\right)}^{\left(1-\alpha \right)}\le \alpha r_{i_0}^{\bar{S}}\left(B\right)+\left(1-\alpha \right)c_j^S\left(B\right)$ ,

但这与式(6)相矛盾，因此矩阵B是非奇异的。

为了证明矩阵B为H-矩阵，设 $\langle B\rangle =D_1-B_1$ ，其中 $D_1=diag\left\{\left|b_{11}\right|,\left|b_{22}\right|,\cdots ,\left|b_{mm}\right|\right\}$ ，现只需证 $\rho \left(D_1^{-1}{B}_1\right)<1$ 。不妨设矩阵 $D_1^{-1}{B}_1$ 存在一个特征值λ，满足 $\left|\lambda \right|\ge 1$ ，那么矩阵 $D_1\left(\lambda I-D_1^{-1}{B}_1\right)=\lambda D_1-B_1$ 将满足式(6)，因此B为非奇异矩阵。但是这与λ是矩阵 $D_1^{-1}{B}_1$ 的一个特征值相矛盾。由 $\rho \left(D_1^{-1}{B}_1\right)<1$ ，可以得出

${\langle B\rangle }^{-1}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(D_1^{-1}{B}_1\right)}^k}{D}_1^{-1}$ ,

以上可证得对 $\forall i\in S$ ，矩阵B是非奇异H-矩阵。

当 $\forall j\in \bar{S}$ 时，有

$\left|b_{jj}\right|-r_j^{\bar{S}}\left(B\right)=d{\Vert A_{jj}^{-1}\Vert }^{-1}-d{R}_j^{\bar{S}}\left(A\right)>\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}=\alpha r_j^S\left(B\right)+\left(1-\alpha \right)c_i^{\bar{S}}\left(B\right)\ge 0.$

同理可证得对 $\forall j\in \bar{S}$ ，矩阵B是非奇异H-矩阵。

综上， $B=T\left(A\right)D$ 为广义 $S\text{-}{\alpha }_1$ 型对角占优矩阵，且为非奇异H-矩阵，故存在一个正对角矩阵 $D^{\prime }=diag\left\{{d^{\prime }}_1,{d^{\prime }}_2,\cdots ,{d^{\prime }}_m\right\}$ ，使得 $B{D}^{\prime }$ 为严格对角占优矩阵。

令 $I=diag\left\{I_{r_1},I_{r_2},\cdots ,I_{r_m}\right\}$ ， $D^{″}=D{D}^{\prime }I=diag\left\{d_1{d^{\prime }}_1{I}_{r_1},d_2{d^{\prime }}_2{I}_{r_2},\cdots ,d_m{d^{\prime }}_m{I}_{r_m}\right\}$ ，则 $A{D}^{″}$ 为严格块对角占优矩阵，从而 $A\in BH$ 。

3.2. 定理2

设 $A=\left(a_{ij}\right)\in M_n\left(C\right)$ 且分块如式(1)，若存在 $S,\bar{S}\subset M$ ， $S\cap \bar{S}=\varnothing$ ， $S\cup \bar{S}=M$ 。满足 $A\in S\text{-}{\alpha }_1\text{-}BSD$ ，则矩阵A中所有特征值包含域可以用以下集合表示

$G\left(A\right)={\displaystyle \underset{0\le \alpha \le 1}{\cap }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}}\cup G_S\cup G_{\bar{S}}\cup G_M$ ,

其中

$G_S=\underset{i\in S}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_i^S\left(A\right)\right\}$ ,

$G_{\bar{S}}=\underset{j\in \bar{S}}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_j^{\bar{S}}\left(A\right)\right\}$ ,

$\begin{array}{c}{G}_M=\underset{i\in S,j\in \bar{S}}{\cup }\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\left(A\right)\right]\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\left(A\right)\right]\\ \le \left[\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\left[\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}\right]\}.\end{array}$

证明 假设A的特征值 $\lambda \notin G\left(A\right)$ ，则 $\forall i\in S$ ， $\forall j\in \bar{S}$ ，有

${\Vert {\left(A_{ii}-\lambda I_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}>R_i^S$ ,

${\Vert {\left(A_{jj}-\lambda I_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}>R_j^{\bar{S}}$ ,

且有

$\begin{array}{l}\left[{\Vert {\left(A_{ii}-\lambda I_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert {\left(A_{jj}-\lambda I_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\\ >\left[\alpha R_i^{\bar{S}}\text{+}\left(1-\alpha \right)C_j^S\right]\left[\alpha R_j^S+\left(1-\alpha \right)C_i^{\bar{S}}\right].\end{array}$

由定理1知 $A-\lambda I_n\in BH$ ，又由文献 [1] 的引理1可知 $A-\lambda I_n$ 是非奇异的，即λ不是A的特征值，与假设矛盾。故定理2成立。

4. 数值算例

4.1. 算例1

考虑矩阵A

$A=\left(\begin{array}{cccccccccc}15& 1& 1& 1& 2& -1& 1& 1& 2& 3\\ 2& 14& -1& 1& 4& 2& -1& 1& 5& 2\\ 1& -1& 20& 5& 1& -2& 1& 1& 1& -1\\ 1& 1& 7& 19& 4& 1& 1& 2& 3& 2\\ 5& 1& 1& 2& 25& 3& -1& 2& 1& 1\\ 1& 2& 3& 4& 9& 23& 2& 1& -1& 1\\ 1& -1& 2& 1& 4& 3& 17& 1& 2& 3\\ 2& 1& 2& 2& 1& 3& 2& 19& 1& 4\\ 1& 2& 2& 1& 1& 1& -1& 5& 25& 8\\ -1& 3& 1& 1& 2& 3& 4& 1& 2& 21\end{array}\right)$ .

将矩阵A作如下分块，并得其范数矩阵

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}& A_{15}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}& A_{25}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}& A_{35}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}& A_{45}\\ A_{51}& A_{52}& A_{53}& A_{54}& A_{55}\end{array}\right)$ , $A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccccc}{\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{12}\Vert & \Vert A_{13}\Vert & \Vert A_{14}\Vert & \Vert A_{15}\Vert \\ \Vert A_{21}\Vert & {\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{23}\Vert & \Vert A_{24}\Vert & \Vert A_{25}\Vert \\ \Vert A_{31}\Vert & \Vert A_{32}\Vert & {\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{34}\Vert & \Vert A_{35}\Vert \\ \Vert A_{41}\Vert & \Vert A_{42}\Vert & \Vert A_{43}\Vert & {\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}& \Vert A_{45}\Vert \\ \Vert A_{51}\Vert & \Vert A_{52}\Vert & \Vert A_{53}\Vert & \Vert A_{54}\Vert & {\Vert A_{55}^{-1}\Vert }^{-1}\end{array}\right)$ .

即将矩阵A划分成每个子块均为 $2\times 2$ 阶的分块矩阵。令 $f_i\left(T\left(A\right)\right)=R_i^S+\alpha R_i^{\bar{S}}+\left(1-\alpha \right)C_j^S$ ， $i,j\in M=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ 。令 $S=\left\{1,2,4\right\}$ ， $\bar{S}=\left\{3,5\right\}$ ，取范数为矩阵的2-范数。

通过计算可以得

$\sigma \left(A_{11}\right)=\left\{16,13\right\}$ , $\sigma \left(A_{22}\right)=\left\{25.4372,13.5628\right\}$ , $\sigma \left(A_{33}\right)=\left\{29.2915,18.7085\right\}$ ,

$\sigma \left(A_{44}\right)=\left\{16.2679,19.7321\right\}$ , $\sigma \left(A_{55}\right)=\left\{27.4721,18.5279\right\}$ .

${\Vert A_{11}^{-1}\Vert }^{-1}=\text{12}\text{.9275}$ , $\Vert A_{12}\Vert =1.4142$ , $\Vert A_{13}\Vert =4.7016$ , $\Vert A_{14}\Vert =1.4142$ , $\Vert A_{15}\Vert =6.2361$ ;

$\Vert A_{21}\Vert =1.4142$ , ${\Vert A_{22}^{-1}\Vert }^{-1}=13.5048$ , $\Vert A_{23}\Vert =4.1623$ , $\Vert A_{24}\Vert =2.6180$ , $\Vert A_{25}\Vert =3.6180$ ;

$\Vert A_{31}\Vert =5.3028$ , $\Vert A_{32}\Vert =5.4650$ , ${\Vert A_{33}^{-1}\Vert }^{-1}=1\text{5}\text{.9586}$ , $\Vert A_{34}\Vert =2.2361$ , $\Vert A_{35}\Vert =1.4142$ ;

$\Vert A_{41}\Vert =2.3028$ , $\Vert A_{42}\Vert =3.5616$ , $\Vert A_{43}\Vert =5.7016$ , ${\Vert A_{44}^{-1}\Vert }^{-1}=16.2042$ , $\Vert A_{45}\Vert =5.3983$ ;

$\Vert A_{51}\Vert =3.6180$ , $\Vert A_{52}\Vert =\text{3}\text{.4142}$ , $\Vert A_{53}\Vert =3.8643$ , $\Vert A_{54}\Vert =5.1098$ , ${\Vert A_{55}^{-1}\Vert }^{-1}=17.8097$ .

由此可得，矩阵A满足引理2，且在 $\left[0.3,1\right]$ 的区间内任取一个α都满足定理1为非奇异块H-矩阵。通过引理4与定理2分别计算其特征值包含域可得：

当 $\alpha =1$ 时，矩阵A同时满足引理2和定理1，通过引理4和定理2可求得

$\begin{array}{c}{G}^{\left(3\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}\cup G_S\cup G_{\bar{S}}\cup G_{S\bar{S}}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}\cup \left\{{\displaystyle \underset{i=1,2,4}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_i^S\right\}}\right\}\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=3,5}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le R_j^{\bar{S}}\right\}}\right\}\\ \cup \left\{{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i=1,2,4;\\ j=3,5\end{array}}{\cup }\left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\le R_i^{\bar{S}}{R}_j^S\right\}}\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{5}{\cup }}\sigma \left(A_{ii}\right)}\cup \left\{{\displaystyle \underset{i=1,2,4}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le 5.8644\right\}}\right\}\cup \left\{{\displaystyle \underset{j=3,5}{\cup }\left\{z\in C|{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}\le 3.8643\right\}}\right\}\\ \cup \left\{{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i=1,2,4;\\ j=3,5\end{array}}{\cup }\left\{z\in C|\left[{\Vert {\left(A_{ii}-z{I}_{n_i}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_i^S\right]\left[{\Vert {\left(A_{jj}-z{I}_{n_j}\right)}^{-1}\Vert }^{-1}-R_j^{\bar{S}}\right]\le 144.3420\right\}}\right\},\end{array}$