Pure Mathematics
Vol.
08
No.
05
(
2018
), Article ID:
26954
,
4
pages
10.12677/PM.2018.85076
Finitely Generated Residually Finite Groups with Automorphisms of Prime Order
Zhihai Wang, Tao Xu*
College of Science, Hebei University of Engineering, Handan Hebei
Received: Sep. 4th, 2018; accepted: Sep. 19th, 2018; published: Sep. 26th, 2018
ABSTRACT
Let be an automorphism of prime order p of a finitely generated residually finite group G. If the map defined by is surjective, then G is nilpotent of class at most , where is a function depending only on p. In particular, if is of order 2, then G is abelian.
Keywords:Finitely Generated, Residually Finite Group, Fixed-Point-Free Automorphism
有限生成剩余有限群的素数阶自同构
王志海,徐涛*
河北工程大学数理学院,河北 邯郸
收稿日期:2018年9月4日;录用日期:2018年9月19日;发布日期:2018年9月26日
摘 要
设 是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构,映射 是满射,则G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
关键词 :有限生成,剩余有限群,无不动点自同构
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文采用的符号和术语都是标准的,按照 [1] 。
在群论中,如果群G的自同构 只有平凡的不动点,那么称 是无不动点自同构。
Burnside [2] 证明了:具有2阶无不动点自同构的有限群是奇阶交换群。这是有限群中的一个经典的结论。随后,Neumann [3] 考虑了任意群的3阶无不动点自同构,得到了下面的结果。
命题1.1:设 是群G的3阶无不动点自同构,如果映射 是满射,那么G是幂零类2的幂零群。
在 [4] 中,我们研究了有限秩的剩余有限可解群的素数p阶无不动点自同构,证明了下面的结论。
命题1.2:设 是有限秩的剩余有限可解群G的素数p阶无不动点自同构,如果映射 。
是满射,那么G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。
在 [5] 中,我们舍去无不动点自同构的假设,在满射的条件下,仅考虑自同构的阶数对群结构的影响,研究了有限生成无挠幂零群的素数p阶自同构,得到了下面的命题。
命题1.3:设 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构,映射 是满射,则G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。
在本文中,我们考虑更一般的有限生成剩余有限群的素数p阶自同构,得到了下面的定理,推广了命题1.3。
定理1.1:设 是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构,映射 是满射,则G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是G的2阶自同构,那么G是交换群。
2. 定理的证明及推论
引理2.1 [4] :设 是任意群G的自同构,H是群G的指数有限的特征子群,如果映射 是满射,那么 诱导了G/H的无不动点自同构。
引理2.2 [6] :设 是有限群G的素数p阶无不动点自同构,则G是幂零群。
引理2.3 [7] :设 是局部幂零群G的素数p阶无不动点自同构,则G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。
定理1.1的证明:因为G是有限生成剩余有限群,任取 ,存在 ,使得 是有限群并且 。不妨设 ,则 ,于是
。
因为 是幂指数有限的有限生成群,所以 是有限群。由引理2.1可知 诱导了 的无不动点自同构,再由引理2.2可知 是幂零群,最终由引理2.3可知 是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。记 ,则对任意的 ,有 ,从而
。
进而
。
因此G是幂零类至多为 的幂零群。如果 是G的2阶自同构,那么 诱导了 的2阶无不动点自同构。由Burnside的经典结果得到 是交换群。所以任取 ,都有 ,从而
。
进而
。
这表明G是交换群。
应用定理1.1,我们可以得到如下推论。
推论2.1:设G是有限生成剩余有限群的有限扩张且 是G的素数p阶自同构,如果映射 是满射,那么G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
证明:设G是有限生成剩余有限群N的有限扩张,则G/N是有限群且N是有限剩余有限群。不妨设G/N的幂指数为n,则 ,注意到 为幂指数有限的有限生成群,所以 为有限群。因为 为有限生成剩余有限群,由定理1.1的证明可知,任取 , 包含指数有限的正规子群 ,使得 。容易验证 为有限群。由定理1.1的证明可知,G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
推论2.2:设 是多重循环群G的素数p阶自同构,如果映射 是满射,那么G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
证明:由 [8] 可知多重循环群是有限生成的并且是剩余有限群,因此由定理1.1可得推论2.1。
推论2.3:设 是有限生成交换群被幂零群的扩张G的素数p阶自同构,如果映射 是满射,那么G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
证明:由 [9] 的定理1可知有限生成的交换群被幂零群的扩张是剩余有限的。因此由定理1.1可得推论2.3。
推论2.4:设 是有限生成线性群G的素数p阶自同构,如果映射 是满射,那么G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
证明:由 [10] 的定理 VII 和定理 VIII 可知有限生成线性群是剩余有限的,因此由定理1.1可得推论2.4。
推论2.5:设 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构,映射 是满射,则G是幂零类至多为 的幂零群,其中 是与素数p有关的函数。特别地,如果 是2阶自同构,那么G是交换群。
证明:由 [1] 的定理5.2.21可知有限生成无挠幂零群是剩余有限群,因此由定理1.1可得推论2.5。
基金项目
国家自然科学基金(11801129),河北省教育厅拔尖人才项目(BJ2018025),邯郸市科学技术研究与发展计划项目(1723208068-5)资助。
文章引用
王志海,徐 涛. 有限生成剩余有限群的素数阶自同构
Finitely Generated Residually Finite Groups with Automorphisms of Prime Order[J]. 理论数学, 2018, 08(05): 576-579. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85076
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