西华大学理学院，四川 成都

收稿日期：2024年3月1日；录用日期：2024年3月22日；发布日期：2024年4月23日

摘要

本文首先给出模糊Riesz代数的定义，并且研究了模糊Riesz代数中 $\left|fg\right|$ 与 $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ 与 $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ 及 ${\left(fg\right)}^{-}$ 与 $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 等关系式。接下来介绍了模糊f代数，并且给出了模糊f代数中 $\left|fg\right|$ 与 $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ 与 $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ 及 ${\left(fg\right)}^{-}$ 与 $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 等关系式。最后给出了模糊Riesz代数是模糊f代数和半素模糊f代数的充要条件。

关键词

模糊Riesz空间，模糊Riesz代数，模糊f代数

The Study of Elementary Property of Fuzzy Riesz Algebra

Hengyuan Zhou

School of Science, Xihua University, Chengdu Sichuan

Received: Mar. 1^st, 2024; accepted: Mar. 22^nd, 2024; published: Apr. 23^rd, 2024

ABSTRACT

At first, the paper defined the fuzzy Riesz algebra and studied the relation of $\left|fg\right|$ & $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ & $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ and ${\left(fg\right)}^{-}$ & $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ . Moreover, the paper introduced the fuzzy f-algebra, then discussed the relation of $\left|fg\right|$ & $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ & $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ and ${\left(fg\right)}^{-}$ & $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ . Last, the paper gave the equivalent condition that fuzzy Riesz algebra is fuzzy f-algebra and semiprime fuzzy f-algebra.

Keywords:Fuzzy Riesz Space, Fuzzy Riesz Algebra, Fuzzy f-Algebra

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

二十世纪六十年代，L. A. Zadeh教授在文章《Fuzzy Set》 [1] 中首次提出模糊集的概念，由此创立了模糊数学。模糊数学在能源、环保、教育等领域有着广泛的应用。1994年，BEG I首次提出了模糊Riesz空间的概念，并在 [2] 中讨论了模糊Riesz分解性质等。2015年，HONG L在 [3] 中研究了在模糊Riesz子空间中，模糊理想、模糊带以及模糊投影带等的性质。2020年，MOBASHIR I和ZIA B在 [4] 中讨论了阿基米德模糊Riesz空间的模糊Dedekind完备的存在性。2021年，GUI R等人在 [5] 中研究了模糊Riesz空间中的模糊正算子、模糊序连续算子以及模糊序有界线性算子等的性质。此外还有大量学者对模糊Riesz空间中的各种性质进行了研究，但对模糊Riesz代数的研究仍是空白。

所以本文的主要目的是探讨模糊Riesz代数的基本性质。模糊Riesz代数的基本性质丰富了模糊Riesz空间的理论知识，将有助于解决模糊Riesz空间理论在动力系统、流体力学等领域中应用所遇到的问题。本文的第二部分将回顾模糊Riesz空间中的相关定义和性质；第三部分将提出模糊Riesz代数定义，并且研究模糊Riesz代数中 $\left|fg\right|$ 与 $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ 与 $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ 及 ${\left(fg\right)}^{-}$ 与 $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 等关系式；第四部分将介绍模糊f代数，并且给出模糊f代数中 $\left|fg\right|$ 与 $\left|f\right|\left|g\right|$ 、 ${\left(fg\right)}^{+}$ 与 $f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ 及 ${\left(fg\right)}^{-}$ 与 $f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 等关系式，最后给出模糊Riesz代数是模糊f代数和半素模糊f代数的充要条件。

2. 预备知识

本节将回顾文献 [2] [3] [6] [7] 中的一些概念和性质，以便应用其得到本文主要结果。其中R代表全体实数， $\underset{\_}{0}$ 代表零向量。

定义1.1 [1] [6] 假设X是论域，模糊关系 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ ，如果满足以下条件：

1) 假设 $x\in X$ ，则 $\mu \left(x,x\right)=1$ (自反性)

2) 假设 $x,y\in X$ ，如果 $\mu \left(x,y\right)>0$ ， $\mu \left(y,x\right)>0$ ，则 $x=y$ (反对称性)

3) 假设 $x,z\in X$ ，则 $\mu \left(x,y\right)\ge \underset{y\in X}{\vee }\left[\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right]$ (传递性)

则称 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 是模糊偏序关系。其中 $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 是 $X\times X$ 中模糊子集的隶属函数。

定义1.2 [1] [6] 假设X是一个集合。如果在X中，存在模糊偏序关系 $\mu$ ，则称X是模糊偏序集，记为 $\left(X,\mu \right)$

定义1.3 [6] 假设A是模糊偏序集X的子集。如果

$U\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\left(\uparrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},x\in A\\ \left({\cap }_{x\in A}\uparrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$ ，

则称 $U\left(A\right)$ 是A在X上的上界。同理，如果

$L\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\left(\downarrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},x\in A\\ \left({\cap }_{x\in A}\downarrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$

则称 $L\left(A\right)$ 是A在X上的下界。

对于 $x\in X$ ，如果 $U\left(A\right)\left(x\right)>0$ ，则称 $x\in U\left(A\right)$ 。此时，称A是有上界的且x是A的一个上界。类似地，对于 $x\in X$ ，如果 $L\left(A\right)\left(x\right)>0$ ，则称 $x\in L\left(A\right)$ 。此时，称A是有下界的且x是A的一个下界。如果A既有上界又有下界，则称A是有界的。

假设 $z\in X$ ，如果z满足以下两个条件：

1) $z\in U\left(A\right)$ ，

2) 如果 $y\in U\left(A\right)$ ，则 $y\in U\left(z\right)$ ，

则称z是A的上确界。

假设 $z\in X$ ，如果z满足以下两个条件：

1) $z\in L\left(A\right)$ ，

2) 如果 $y\in L\left(A\right)$ ，则 $y\in L\left(z\right)$ ，

则称z是A的下确界。

注1.4 [6] $x\vee y=\sup \left\{x,y\right\}$ ， $x\wedge y=\inf \left\{x,y\right\}$

定义1.5 [6] 假设X是模糊偏序集。如果X的任何有限子集都有上确界和下确界，则称X是模糊格。

定理1.6 [2] 假设X是模糊格。对于 $x\in X$ ， $y_j\in X\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 且n是任意正整数，有

$x\wedge \left(\underset{j=1}{\overset{n}{\vee }}{y}_j\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\vee }}\left(x\wedge y_j\right)$

$x\vee \left(\underset{j=1}{\overset{n}{\wedge }}{y}_j\right)=\underset{j=1}{\overset{n}{\wedge }}\left(x\vee y_j\right)$

这两个等式称为有限分配律。在模糊格中，有限分配律不一定成立。

对于 $x,y,z\in X$ ，有

$\left(x\vee y\right)\vee z=x\vee \left(y\vee z\right)$

$\left(x\wedge y\right)\wedge z=x\wedge \left(y\wedge z\right)$

这两个等式称为结合律。

定义1.7 [7] 假设E是实向量空间。如果E中存在模糊偏序关系 $\mu$ ，使得向量结构和模糊序结构兼容，即：

1) 如果任意 $x\in E$ ，假设 $x_1,x_2\in E$ ，使得 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$

2) 如果任意非负实数 $\alpha$ ，假设 $x_1,x_2\in E$ ，使得 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$

则称E是模糊序向量空间。

定理1.8 [7] 假设X是模糊序向量空间， $x,y,z\in X$ ， $\alpha ,\beta \in R$ 。则下述条件成立

1) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},x\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},y\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},x+y\right)>\frac{1}{2}$

2) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},x\right)>\frac{1}{2}$ ， $\alpha \ge 0$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},\alpha x\right)>\frac{1}{2}$

3) 如果 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\alpha \le 0$ ，则 $\mu \left(\alpha x_2,\alpha x_1\right)>\frac{1}{2}$

定义1.9 [2] 假设E是模糊序向量空间。如果E也是模糊格，则称E是模糊Riesz空间

定义1.10 [2] 假设E是模糊Riesz空间， $x\in E$ 。如果 $x^{+}=x\vee 0$ ，则称 $x^{+}$ 是x的正部；如果 $x^{-}=\left(-x\right)\vee 0$ ，则称 $x^{-}$ 是x的负部；如果 $\left|x\right|=x\vee \left(-x\right)$ ，则称 $\left|x\right|$ 是x的绝对值

定理1.11 [2] 假设E是模糊Riesz空间， $x\in E$ ，则 $x^{+}$ ， $x^{-}$ ， $\left|x\right|$ 是正的，且下述等式成立：

1) $x=x^{+}-x^{-}$

2) $\left|x\right|=x^{+}+x^{-}$

定理1.12 [2] 假设E是模糊Riesz空间。对于任意 $x,y\in E$ ，下述不等式成立。

1) $\mu \left({\left(x+y\right)}^{+},x^{+}+y^{+}\right)>\frac{1}{2}$

2) $\mu \left({\left(x+y\right)}^{-},x^{-}+y^{-}\right)>\frac{1}{2}$

定义1.13 [2] 假设E是模糊Riesz空间， $x_1,x_2\in E$ ，A是E的子集。如果

$\left|x_1\right|\wedge \left|x_2\right|=\underset{\_}{0}$

则称 $x_1$ 与 $x_2$ 是不交的或正交的，记为 $x_1\perp x_2$ 。

定义1.14 [3] 假设E是模糊Riesz空间，A是E的子集。如果有集合

$A^d=\left\{x\in E|x\perp y,\forall y\in A\right\}$

则称 $A^d$ 为A的不交补。 $A^{dd}$ 是 $A^d$ 的不交补，即 $A^{dd}={\left(A^d\right)}^d$

定理1.15 [2] 假设E是模糊Riesz空间，对于任意的 $x\in E$ ，有 $x=x_1-x_2$ 且 $x_1\wedge x_2=\underset{\_}{0}$ 当且仅当 $x_1=x^{+}$ ， $x_2=x^{-}$

定理1.16 [2] 假设E是模糊Riesz空间。对于任意的 $x,x_1,x_2\in E$ ，则不等式

$\mu \left(x\wedge \left(x_1+x_2\right),x\wedge x_1+x\wedge x_2\right)>\frac{1}{2}$

成立。

3. 模糊Riesz代数

本节给出了模糊Riesz代数的定义，以及模糊Riesz代数中的一些关系式。

定义2.1 假设E是具有通常代数性质的模糊Riesz空间，并且对于乘法满足结合律，及对任意 $f,g\in E$ ，并且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，有 $\mu \left(\underset{\_}{0},fg\right)>\frac{1}{2}$ ，则称E为模糊Riesz代数(又可以称模糊格序代数)。

例2.2 假设 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是 $\left[0,1\right]$ 上所有连续实函数构成的集合，并且在 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 上定义如下：

令 $f,g\in C\left(\left[0,1\right]\right)$ ， $\forall x\in \left[0,1\right]$ ，

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ ， $fg\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g(\; x\; )$

$\left(f\wedge g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\wedge g(\; x\; )$

假设 $\mu$ 是 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 中的一个模糊偏序关系，定义如下：

$\mu \left(f,g\right)=\{\begin{array}{l}1,f=g\\ \frac{2}{3},f\le g当且仅当f\left(x\right)\le g\left(x\right),\forall x\in E,且f\ne g\\ 0,其他\end{array}$

其中 $f,g\in C\left(\left[0,1\right]\right)$

易证 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是模糊Riesz空间。接下来证明 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是模糊Riesz代数

假设 $f,g\in C\left(\left[0,1\right]\right)$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，易得 $\mu \left(\underset{\_}{0},fg\right)>\frac{1}{2}$

$C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是模糊Riesz代数得证。

定理2.3 假设E是模糊Riesz代数，则下述结论成立：

1) 如果 $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ ， $w\in A$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(wf,wg\right)>\frac{1}{2}$ 且 $\mu \left(fw,gw\right)>\frac{1}{2}$ 。特别地， $\mu \left(\underset{\_}{0},w^2\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ；

2) 如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},p\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(p,q\right)>\frac{1}{2}$ ， $f,g,p,q\in E$ ，则 $\mu \left(fp,gq\right)>\frac{1}{2}$ ；

3) 如果 $w\in A$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$\mu \left(\left(wf\right)\vee \left(wg\right),w\left(f\vee g\right)\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left(\left(fw\right)\vee \left(gw\right),\left(f\vee g\right)w\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left(w\left(f\wedge g\right),\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left(\left(f\wedge g\right)w,\left(fw\right)\wedge \left(gw\right)\right)>\frac{1}{2}$ ；

4) 对于任意 $f,g\in E$ ，有

$\mu \left(\left|fg\right|,\left|f\right|\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left({\left(fg\right)}^{+},f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left({\left(fg\right)}^{-},f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ 。

证：1) 如果 $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},g-f\right)>\frac{1}{2}$ 。根据定义3.1得 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\left(g-f\right)\right)>\frac{1}{2}$ ，即

$\mu \left(\underset{\_}{0},wg-wf\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此 $\mu \left(wf,wg\right)>\frac{1}{2}$ 。同理可得 $\mu \left(fw,gw\right)>\frac{1}{2}$

2) 由(1)可知， $\mu \left(fp,gp\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(gp,gq\right)>\frac{1}{2}$ 。从而得到 $\mu \left(fp,gq\right)>\frac{1}{2}$

3) 由 $\mu \left(f,f\vee g\right)>\frac{1}{2}$ 且根据(1)得到 $\mu \left(wf,w\left(f\vee g\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。同理可得

$\mu \left(wg,w\left(f\vee g\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

故得 $\mu \left(\left(wf\right)\vee \left(wg\right),w\left(f\vee g\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

类似可证 $\mu \left(\left(fw\right)\vee \left(gw\right),\left(f\vee g\right)w\right)>\frac{1}{2}$ 。

又由 $\mu \left(f\wedge g,f\right)>\frac{1}{2}$ 且根据(1)得 $\mu \left(w\left(f\wedge g\right),wf\right)>\frac{1}{2}$ ，同理可得

$\mu \left(w\left(f\wedge g\right),wg\right)>\frac{1}{2}$ 。

因此可得 $\mu \left(w\left(f\wedge g\right),\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

类似可证 $\mu \left(\left(f\wedge g\right)w,\left(fw\right)\wedge \left(gw\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

4) 对于任意 $f,g\in E$ ，有

$fg=\left(f^{+}-f^{-}\right)\left(g^{+}-g^{-}\right)=\left(f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)-\left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)$ ，

可知 $\mu \left(fg,f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ，并且由 $\mu \left(\underset{\_}{0},f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ，可得

$\mu \left(fg\vee \underset{\_}{0},f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ，

故 $\mu \left({\left(fg\right)}^{+},f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ 。

同理可证 $\mu \left({\left(fg\right)}^{-},f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ 。

又由 $\left|fg\right|={\left(fg\right)}^{+}+{\left(fg\right)}^{-}$ ， $\mu \left({\left(fg\right)}^{+}+{\left(fg\right)}^{-},\left(f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)+\left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)\right)>\frac{1}{2}$ 且 $\left(f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)+\left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)=\left(f^{+}+f^{-}\right)\left(g^{+}+g^{-}\right)=\left|f\right|\left|g\right|$ ，可知

$\mu \left({\left(fg\right)}^{+}+{\left(fg\right)}^{-},\left|f\right|\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ ，

因此 $\mu \left(\left|fg\right|,\left|f\right|\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ 。

4. 模糊f代数

本节首先给出模糊f代数的定义及例子，其次讨论模糊f代数的一些基本性质，最后给出模糊Riesz代数是模糊f代数或半素模糊f代数的条件。

定义3.1 假设E是模糊Riesz代数。当对任给的 $f,g\in E$ ，有 $f\wedge g=\underset{\_}{0}$ 时，对于任意 $w\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，有

$\left(fw\right)\wedge g=\left(wf\right)\wedge g=\underset{\_}{0}$ ，

此时称E为模糊f代数。

例3.2 假设 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是 $\left[0,1\right]$ 上所有连续实函数构成的集合，并且在 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 上定义如下：

令 $f,g\in C\left(\left[0,1\right]\right)$ ， $\forall x\in \left[0,1\right]$ ，

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ ， $fg\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g(\; x\; )$

$\left(f\wedge g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)\wedge g(\; x\; )$

假设 $\mu$ 是 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 中的一个模糊偏序关系，定义如下：

$\mu \left(f,g\right)=\{\begin{array}{l}1,f=g\\ \frac{2}{3},f\le g当且仅当f\left(x\right)\le g\left(x\right),\forall x\in E,且f\ne g\\ 0,其他\end{array}$

其中 $f,g\in C\left(\left[0,1\right]\right)$

由例2.2知 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 是模糊Riesz代数。如果在 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 中有 $f\wedge g=\underset{\_}{0}$ ，那么对于任意 $w\in C\left(\left[0,1\right]\right)$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，易得 $\left(fw\right)\wedge g=\left(wf\right)\wedge g=\underset{\_}{0}$ 。

故可得 $C\left(\left[0,1\right]\right)$ 也是模糊f代数。

定理3.3 假设E是模糊f代数，A是E的子集。若A是模糊Riesz代数，则A是模糊f代数。

因为这是显而易见的，所以在此不做证明。

根据定理2.3 (3)、(4)得到了 $w\left(f\vee g\right)$ 与 $\left(wf\right)\vee \left(wg\right)$ ， $w\left(f\wedge g\right)$ 与 $\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)$ ， $\left|fg\right|$ 与 $\left|f\right|\left|g\right|$ 等之间的关系。那么这些关系式在模糊f代数中会发生变化吗？如果会，会发生怎样的变化，从而变成什么样的关系式？接下来的定理3.4 (1)、(2)将给出这些关系式的一些性质。

定理3.4 假设E是模糊f代数，则下述结论成立：

1) 若 $w\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ， $f,g\in E$ ，有

$w\left(f\vee g\right)=\left(wf\right)\vee \left(wg\right)$ ；

$\left(f\vee g\right)w=\left(fw\right)\vee \left(gw\right)$ ；

$w\left(f\wedge g\right)=\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)$ ；

$\left(f\wedge g\right)w=\left(fw\right)\wedge \left(gw\right)$ ；

2) 若 $f,g\in E$ ， $\left|fg\right|=\left|f\right|\left|g\right|$ ， ${\left(fg\right)}^{+}=f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ ， ${\left(fg\right)}^{-}=f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ ；

3) 若在E中有 $f\perp g$ 且 $h\in E$ ，则 $fh\perp g$ ， $hf\perp g$ ；

4) 若在E中 $f\perp g$ ，则 $fg=\underset{\_}{0}$ ；

5) 若 $f\in E$ ，则 $\mu \left(\underset{\_}{0},f^2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f{f}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ ；

6) 若 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，则有

$\mu \left(\left(fg\right)\vee \left(gf\right),f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ ；

$\mu \left(f^2\wedge g^2,\left(fg\right)\wedge \left(gf\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

证：1) 令 $w\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ， $f,g\in E$ 。根据 $\left(f-f\wedge g\right)\wedge \left(g-f\wedge g\right)=\underset{\_}{0}$ 且由定义3.1可知

$\left[wf-w\left(f\wedge g\right)\right]\wedge \left[wg-w\left(f\wedge g\right)\right]=\underset{\_}{0}$ ，

可得 $\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)-w\left(f\wedge g\right)=\underset{\_}{0}$ 。即 $\left(wf\right)\wedge \left(wg\right)=w\left(f\wedge g\right)$ 。利用 $f+g=f\vee g+f\wedge g$ ，可得 $w\left(f+g\right)=w\left(f\vee g\right)+w\left(f\wedge g\right)$ 。由此得

$w\left(f\vee g\right)=wf+wg-w\left(f\wedge g\right)=wf+wg-\left(wf\wedge wg\right)=wf\vee wg$

右乘的证明类似。

2) 给定 $f,g\in E$ 。由 $g^{+}\wedge g^{-}=\underset{\_}{0}$ 且根据模糊f代数的定义，可知 $f^{+}{g}^{+}\wedge f^{+}{g}^{-}=\underset{\_}{0}$ 。即 $f^{+}{g}^{+}\perp f^{+}{g}^{-}$ 。同理可证 $f^{+}{g}^{+}\perp f^{-}{g}^{+}$ ， $f^{-}{g}^{+}\perp f^{-}{g}^{-}$ ， $f^{+}{g}^{-}\perp f^{-}{g}^{-}$ 。因此有

$\begin{array}{l}{f}^{+}{g}^{+}\perp \left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)\\ f^{-}{g}^{-}\perp \left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)\end{array}$ ，

故可得 $\left(f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)\perp \left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)$

利用 $fg=\left(f^{+}-f^{-}\right)\left(g^{+}-g^{-}\right)=\left(f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)-\left(f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)$ 且根据模糊Riesz分解性质知 ${\left(fg\right)}^{+}=f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ ， ${\left(fg\right)}^{-}=f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 。最后得

$\begin{array}{c}\left|fg\right|={\left(fg\right)}^{+}+{\left(fg\right)}^{-}=f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}+f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\\ =\left(f^{+}+f^{-}\right)\left(g^{+}+g^{-}\right)=\left|f\right|\left|g\right|\end{array}$

3) 对于任意 $f,g\in E$ ，使得 $f\perp g$ 。令 $h\in E$ 。

由 $\left|f\right|\wedge \left|g\right|=\underset{\_}{0}$ ，可得 $\left|h\right|\left|f\right|\wedge \left|g\right|=\underset{\_}{0}$ 。又根据2)可知 $\left|hf\right|\wedge \left|g\right|=\underset{\_}{0}$ ，即 $hf\perp g$ 。

类似可证 $fh\perp g$ 。

4) 对于任意 $f,g\in E$ ，使得 $f\perp g$ 。由3)可知 $fg\perp g$ ， $fg\perp fg$ 。因此 $fg=\underset{\_}{0}$ 。

5) 对于任意 $f\in E$ ，有

$\begin{array}{c}{f}^2={\left(f^{+}-f^{-}\right)}^2\\ ={\left(f^{+}\right)}^2-f^{+}{f}^{-}-f^{-}{f}^{+}+{\left(f^{-}\right)}^2\\ ={\left(f^{+}\right)}^2+{\left(f^{-}\right)}^2\end{array}$

且由 $\mu \left(\underset{\_}{0},{\left(f^{+}\right)}^2+{\left(f^{-}\right)}^2\right)>\frac{1}{2}$ ，可知 $\mu \left(\underset{\_}{0},f^2\right)>\frac{1}{2}$ 。又利用 $f{f}^{+}=\left(f^{+}-f^{-}\right)f^{+}={\left(f^{+}\right)}^2$ 且根据 $\mu \left(\underset{\_}{0},{\left(f^{+}\right)}^2\right)>\frac{1}{2}$ ，故得

$\mu \left(\underset{\_}{0},f{f}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ 。

6) 对于任意 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ 。因知 ${\left(f-g\right)}^{+}\wedge {\left(f-g\right)}^{-}=\underset{\_}{0}$ 等价于 ${\left(f-g\right)}^{+}\wedge {\left(g-f\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$ ，且根据模糊f代数的定义，故有

$\left[{\left(f-g\right)}^{+}g\right]\wedge {\left(g-f\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$

$\left[{\left(f-g\right)}^{+}g\right]\wedge \left[f{\left(g-f\right)}^{+}\right]=\underset{\_}{0}$

${\left(fg-g^2\right)}^{+}\wedge {\left(fg-f^2\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$ ，

可知 ${\left[\left(fg-g^2\right)\wedge \left(fg-f^2\right)\right]}^{+}=\underset{\_}{0}$ ，即

$\mu \left(\left(fg-g^2\right)\wedge \left(fg-f^2\right),\underset{\_}{0}\right)>\frac{1}{2}$

由此可得 $\mu \left(fg,g^2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(fg,f^2\right)>\frac{1}{2}$ ，即 $\mu \left(fg,g^2\vee f^2\right)>\frac{1}{2}$ 。又利用 ${\left(f-g\right)}^{+}\wedge {\left(g-f\right)}^{+}=\underset{\_}{0}$ 且根据定义3.1可知 $\left[f{\left(f-g\right)}^{+}\right]\wedge \left[{\left(g-f\right)}^{+}g\right]=\underset{\_}{0}$ ，即得

$\mu \left(f^2\wedge g^2,fg\right)>\frac{1}{2}$

交换 $f,g$ ，得到 $\mu \left(gf,g^2\vee f^2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(f^2\wedge g^2,gf\right)>\frac{1}{2}$ 。此时可知

$f^2\vee g^2\in U\left(fg,gf\right)$ ， $f^2\wedge g^2\in L\left(fg,gf\right)$

故得

$\mu \left(\left(fg\right)\vee \left(gf\right),f^2\vee g^2\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(f^2\wedge g^2,\left(fg\right)\wedge \left(gf\right)\right)>\frac{1}{2}$ 。

定义3.5 假设E是模糊f代数，对任意 $f\in E$ ，若 $f^2=0$ ，有 $f=0$ ，则称E为半素模糊f代数。

在定理3.4中，如果E是模糊f代数并且对任意的 $f,g\in E$ ，若 $f\perp g$ ，则 $fg=0$ 。下面我们将证明若E是半素模糊f代数，则反之成立。

定理3.6 假设E是半素模糊f代数，下述结论成立：

1) $f\perp g$ 当且仅当 $fg=0$ ；

2) 如果 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $\mu \left(f^2,g^2\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当 $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ ；

3) 如果 $fg=\underset{\_}{0}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，则 $f^2=g^2$ 当且仅当 $f=g$ 。

证：1) 充分性

根据定理3.4 4) 可知，如果有 $f\perp g$ ，则 $fg=\underset{\_}{0}$ 。

必要性

假设 $fg=\underset{\_}{0}$ 。则有

$\mu \left({\left(\left|f\right|\wedge \left|g\right|\right)}^2,\left|f\right|\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$

$\mu \left({\left(\left|f\right|\wedge \left|g\right|\right)}^2,\left|fg\right|\right)>\frac{1}{2}$

$\mu \left({\left(\left|f\right|\wedge \left|g\right|\right)}^2,\underset{\_}{0}\right)>\frac{1}{2}$

故可知 ${\left(\left|f\right|\wedge \left|g\right|\right)}^2=\underset{\_}{0}$ ，又由条件知E是半素的，可得 $\left|f\right|\wedge \left|g\right|=\underset{\_}{0}$ 。即得 $f\perp g$ 。

2) 必要性

根据定理2.3 2)可知，如果 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ 且 $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ ，则

$\mu \left(f^2,g^2\right)>\frac{1}{2}$ 。

充分性

假设 $\mu \left(f^2,g^2\right)>\frac{1}{2}$ 成立，但 $\mu \left(f,g\right)>\frac{1}{2}$ 不成立，即有 $\mu \left(f\wedge g,f\right)>\frac{1}{2}$ ，所以可知

$\mu \left({\left(f\wedge g\right)}^2,f^2\right)>\frac{1}{2}$ 。

又因为存在 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，使得 $f=f\wedge g+w$ ，可知

$\mu \left({\left(f\wedge g\right)}^2+w^2,f^2\right)>\frac{1}{2}$ 。

又由条件E是半素的且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w^2\right)>\frac{1}{2}$ ，可得 $f^2=f^2\wedge g^2={\left(f\wedge g\right)}^2$ ，矛盾。

3)的证明与2)类似。

定理3.7 假设E是模糊Riesz代数并且E中结合律成立，则下列结论成立：

1) E是模糊f代数当且仅当如果 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ， ${\left(fg\right)}^{dd}\subset {\left(f\right)}^{dd}\cap {\left(g\right)}^{dd}$ ；

2) E是半素模糊f代数当且仅当如果 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ， ${\left(fg\right)}^{dd}={\left(f\right)}^{dd}\cap {\left(g\right)}^{dd}$ 。

证：可知 ${\left(fg\right)}^{dd}\subset {\left(f\right)}^{dd}\cap {\left(g\right)}^{dd}$ 当且仅当 ${\left(f\cap g\right)}^d\subset {\left(fg\right)}^d$

1) 充分性：

假设E是模糊f代数，需要证明 ${\left(f\cap g\right)}^d\subset {\left(fg\right)}^d$ 。对于任意的 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ，取 $w\in {\left(f\wedge g\right)}^d$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，即 $w\wedge \left(f\wedge g\right)=\underset{\_}{0}$ 。因为在E中结合律成立，可知 $\left(w\wedge f\right)\wedge g=\underset{\_}{0}$ 。根据模糊f代数的定义，可知 $\left(w\wedge fg\right)\wedge fg=\underset{\_}{0}$ 。因此得 $w\wedge fg=\underset{\_}{0}$ 。故有 $w\in {\left(fg\right)}^d$ ，即 ${\left(f\wedge g\right)}^d\subset {\left(fg\right)}^d$ 。得证 ${\left(fg\right)}^{dd}\subset {\left(f\right)}^{dd}\cap {\left(g\right)}^{dd}$ 。

必要性：

对任意的 $f,g\in E$ ，有 $f\wedge g=\underset{\_}{0}$ ；对任意的 $w\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ ，可得

$w\wedge \left(f\wedge g\right)=\underset{\_}{0}$ 。

由此可知 $w\in {\left(f\wedge g\right)}^d$ ， $g\in {\left(w\wedge f\right)}^d\subset {\left(wf\right)}^d$ ，即 $g\wedge wf=\underset{\_}{0}$ 。同理可得 $g\wedge fw=\underset{\_}{0}$ 。根据定义3.1可得E是模糊f代数

2) 充分性：

假设E是半素模糊f代数。取 $f,g\in E$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ 。需要证明

${\left(f\wedge g\right)}^d={\left(fg\right)}^d$ 。

由1)可知 ${\left(f\cap g\right)}^d\subset {\left(fg\right)}^d$ ，取 $\mu \left(\underset{\_}{0},w\right)>\frac{1}{2}$ 且 $w\in {\left(fg\right)}^d$ 。即

$w\wedge fg=\underset{\_}{0}$ 。

根据定理3.4 4)可知 $wfg=\underset{\_}{0}$ 。又利用

$\mu \left({\left(w\wedge f\wedge g\right)}^3,wfg\right)>\frac{1}{2}$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},{\left(w\wedge f\wedge g\right)}^3\right)>\frac{1}{2}$ ，

故得 ${\left(w\wedge f\wedge g\right)}^3=\underset{\_}{0}$ 。由条件知E是半素的，可得 $w\wedge f\wedge g=\underset{\_}{0}$ 。即 $w\in {\left(f\wedge g\right)}^d$ 。因此有

${\left(fg\right)}^d\subset {\left(f\wedge g\right)}^d$ 。

故得 ${\left(f\wedge g\right)}^d={\left(fg\right)}^d$ 。

必要性：

假设对于任意 $f,g\in E$ 且 $\mu \left(\underset{\_}{0},f\right)>\frac{1}{2}$ ， $\mu \left(\underset{\_}{0},g\right)>\frac{1}{2}$ ， ${\left(fg\right)}^{dd}={\left(f\right)}^{dd}\cap {\left(g\right)}^{dd}$ 成立。由1)可知E是模糊f代数。

如果在E中，有 $h^2=\underset{\_}{0}$ ，则

${\left(h\right)}^{dd}={\left(\left|h\right|\right)}^{dd}={\left({\left|h\right|}^2\right)}^{dd}={\left(h^2\right)}^{dd}={\left(\underset{\_}{0}\right)}^{dd}$

故得 $h=\underset{\_}{0}$ 。

5. 结论

本文给出了模糊Riesz代数的定义，并且研究了模糊Riesz代数中 $\mu \left(\left|fg\right|,\left|f\right|\left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$ ； $\mu \left({\left(fg\right)}^{+},f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}\right)>\frac{1}{2}$ ； $\mu \left({\left(fg\right)}^{-},f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}\right)>\frac{1}{2}$ 等关系式。还介绍了模糊f代数，并且探讨了模糊f代数中 $\left|fg\right|=\left|f\right|\left|g\right|$ ， ${\left(fg\right)}^{+}=f^{+}{g}^{+}+f^{-}{g}^{-}$ ， ${\left(fg\right)}^{-}=f^{+}{g}^{-}+f^{-}{g}^{+}$ 等关系式。最后给出了模糊Riesz代数是模糊f代数和半素模糊f代数的等价命题。由于个人理论水平有限，关于模糊Riesz代数中的性质还有许多未讨论到，在以后还可以对模糊Riesz代数中更多关系式和乘法运算的交换性等进行研究。

文章引用

周姮媛. 模糊Riesz代数的基本性质研究
The Study of Elementary Property of Fuzzy Riesz Algebra[J]. 理论数学, 2024, 14(04): 126-136. https://doi.org/10.12677/pm.2024.144119

参考文献