上海理工大学能源与动力工程学院，上海

收稿日期：2022年3月30日；录用日期：2022年5月9日；发布日期：2022年5月16日

摘要

针对目前热门的固着双液滴蒸发的实验研究，采用有限元方法建立了二维固着双液滴蒸发模型，并将模拟结果与实验进行比较，模拟了不同液滴分离度及液滴接触角情况下的固着双液滴蒸发过程。结果表明：双液滴的初始间距越小，对液滴之间的蒸发抑制越强烈，且单侧液滴呈现非对称状态，其靠近对称中心的一侧受蒸发抑制明显，而另一侧影响较小，并且随着蒸发的进行，液滴间的抑制作用逐渐下降；不同接触角对固着双液滴蒸发也有影响，接触角越大，对固着双液滴的蒸发抑制越明显。

关键词

液滴，蒸发，屏蔽效应

Two-Dimensional Numerical Simulation of Internal Flow of Sessile Double Droplets under Natural Evaporation

Haodong Chang, Yanguang Shan

School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 30^th, 2022; accepted: May 9^th, 2022; published: May 16^th, 2022

ABSTRACT

Aiming at the current popular experimental research on sessile double-droplet evaporation, a two-dimensional sessile double-droplet evaporation model was established by finite element method, and the simulation results were compared with experiments to simulate the sessile double droplets evaporation process under different droplet separation degrees and droplet contact angles. The results show that the smaller the initial distance between the double droplets, the stronger the inhibition of the evaporation of the droplets between the droplets, and the one-sided droplets are asymmetrical. The side close to the center of symmetry is significantly inhibited by evaporation, while the other side has little influence, and the inhibition between droplets decreases gradually with the progress of evaporation. Different contact angles also affect the evaporation of sessile double droplets; the larger the contact angle is, the more obvious the inhibition of evaporation is.

Keywords:Droplet, Evaporation, Shielding Effect

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

由于液滴蒸发在工业生产和生活中的广泛性，这一课题在实验及数值模拟方面已展开大量的研究工作。

Maxwell [1] 是第一个研究液滴蒸发数学描述方程的科学家。1877年，他建立了一个液滴蒸发的理想模型，该模型将一个液滴置于相同蒸汽浓度的空间中，液滴以静止状态，在蒸发过程中始终保持球冠蒸发。他认为液滴在空气蒸发的过程液滴表面的蒸发J可以与电场E进行类比，同时他通过假设液滴表面的蒸汽浓度只与液滴表面温度有关，并且表面蒸发速率只和液滴的扩散速率决定，分析得到了球形液滴的蒸发速率与液滴半径成正比，而不是其半径的平方。Sreznevsky [2] 利用Maxwell的研究结论分析了在基板上半球冠形的液滴蒸发过程，发现液滴的蒸发速率与液滴表面的蒸汽压大致成正比。Morse研究了球冠形的碘液滴的蒸发，并得出其蒸发速率与液滴球冠半径成正比，而不是与1910年所考虑的液滴表面积成正比。Langmuir [3] 分析了Morse的结果，并通过类比扩散和传导传热，认为蒸发速率实际上应与球形半径成正比。并且他通过蒸发速率计算出空气中碘蒸汽的扩散系数，并指出扩散系数很可能是因为放置在平面上的球体阻碍了各个方向的自由扩散气体。之后，Topley与Whytlaw-Gray [4] 根据之前研究的液滴蒸发速率结果计算了悬浮碘液滴的扩散系数。他们使用Stefan扩散方程来计算饱和蒸汽压不超过约1 mm汞柱的液滴蒸发，并推导了蒸发过程中球冠形液滴自然冷却的校正方程。1962年，Mangel和Baer [5] 研究了疏水性材料聚四氟乙烯聚合物表面上水滴的蒸发。通过实验研究发现，液滴在蒸发初期的接触角随蒸发时间逐渐减小到一定的恒定值。在这一阶段，液滴接触半径保持不变。然而，随着蒸发的继续，液滴接触半径逐渐减小。在剩下的蒸发过程中，接触角基本上保持不变。1977年，Picknett和Bexon [6] 发表了有关于在基板上的液滴蒸发行为的划时代研究成果。作为最早对固定液滴进行研究和分析的研究学者，他们结合了Mangel的研究成果并将蒸发模式总结为三种类型，即CCR、CCA与MIX。Shanahan和Bourgès [7] [8] 在饱和蒸汽和露天环境中对聚乙烯，环氧树脂和聚四氟乙烯表面上的大水滴和正癸烷的蒸发进行了实验和分析。得到了处于不同阶段的蒸发模式，环境蒸气浓度和液滴形状变化规律，推导并计算了CCR阶段球形冠几何扩散扩散模型。McHale等 [9] 进一步研究了Picknett模型并定量分析了由SU-8微柱组成的在规则纹理表面上的液体蒸发模型。当初始接触角超过150˚时，他推测液滴蒸发会有两种模式：一种是液滴随着接触半径而继续减小并且接触角固定；另一种是在液滴突然进入柱状结构后，接触半径为半径的液滴保持恒定。但是，当液滴处于具有较大接触角或者较小接触面积的超疏水状态时，此时重力对液滴的影响较大，液滴通常会变形。另外，接触角滞后或三相接触线的张力也会在蒸发过程中影响液滴的形状。Erbil等 [10] 使用视频显微镜和数字图像分析技术研究了不同有机液滴的蒸发过程。他们通过试验发现液滴蒸发过程中蒸发模式的确实存在变化，并分析了液滴的接触半径和高度随时间的变化关系，总结了接触半径和高度的平方均随蒸发时间而呈线性减小。对于亲水性表面，在接触区域区分了两个主曲率半径，并开发了三参数椭圆冠模型和两参数伪球冠模型。数值模拟的液滴接触角和高度与实验相匹配，均与蒸发时间呈线性减小，并且对比球冠模型与椭圆冠模型，发现椭圆冠模型更加符合真实情况。在此基础上，饶玲等人 [11] 在椭球冠模型的基础上，进一步开发了椭球冠的极坐标表示，对比球冠模型和极坐标下的椭球冠模型发现，椭球冠模型更加符合液滴蒸发时的真实情况。

然而，在许多实际工程应用中，液滴的分布需要有序的排列方式。目前，对单液滴蒸发的实验和模拟研究较多，但对多液滴阵列蒸发过程的研究还很少。这是因为在多液滴蒸发过程中，当相邻液滴间的蒸汽浓度达到饱和时，水蒸汽浓度梯度的变化变得更为复杂。事实上，水蒸气在相邻液滴间的相互作用程度受到液滴间相对距离的限制。最近，多液滴蒸发行为的研究也取得了一些成果。传统的研究方法一般是实验、模拟和总结。Lagrezza等人 [12] 比较了中心液滴在单液滴和周围有分散液滴条件下的蒸发寿命。他们发现，在考虑蒸汽扩散效应时，中心液滴的蒸发寿命可提高60%左右。Shaikeea等人 [13] 通过实验总结了两种液滴蒸发寿命的增加与液滴间距离的关系。Bansal等人 [14] 与Hatte等人 [15] 研究了矩形明渠中单个固着液滴的蒸发行为。由于蒸汽在通道内壁的扩散受到抑制，模拟预测了相较于开阔空间，其在受限空间中蒸发寿命的增加。Carrier等人 [16] 通过实验和理论研究了单个和多个固着液滴的蒸发速率。他们发现液滴的蒸发速率与液滴的接触半径成正比，而当接触半径大于20 mm的液滴的蒸发速率与其表面积成正比。当蒸发速率增大时，如果是多个相同大小的液滴，由于液滴之间的蒸汽压力趋于饱和蒸汽压，液滴的蒸发受到抑制，整个系统中的蒸发不均匀，边界处的液滴首先蒸发完毕。Wray等人 [17] 针对一对相同液滴和多边形液滴阵列推导出了多个薄固着液滴的蒸汽扩散受限蒸发的渐近模型。他们研究了液滴之间的屏蔽效应，并使用该模型研究了这种屏蔽对液滴寿命以及咖啡环效应的影响，并将该模型的理论预测与最近对七个间距相对较近的液滴的实验结果作对比 [18]，发现其模拟与实验的结果高度一致。

虽然目前对于固着液滴蒸发已经有了大量的研究成果，但是对于固着多液滴蒸发过程中的接触角和接触线行为变化仍然集中于实验以及分析研究，而对于能够完整描述双液滴蒸发模式的研究却还未有深入研究。本文模拟了双液滴在基板上的自然蒸发，并与实验相互验证，讨论液滴间初始距离对双液滴蒸发造成的影响，同时研究了双液滴蒸发过程中相互靠近的趋势，并根据液滴的温度、流场、外部蒸汽浓度解释此现象产生的机理。

2. 数学模型

2.1. 几何模型

几何模型如图1所示，其中 $L_0$ 代表双液滴初始距离， $D_0$ 代表单个液滴初始直径，基底的底部及侧壁的温度为T_w，周围环境的温度为T_∞，液滴的左、右接触角分别为θ_L和θ_R。网格划分采用自由三角形网格，并对液–气、液–固界面进行了加密处理，如图2所示。

2.2. 控制方程

本文模拟了平直基板上固着双液滴的蒸发，因此需要考虑基底、液滴以及空气这三个区域。通过在直角坐标系中建立流场u、蒸汽浓度场c以及温度场T来描述固着双液滴的蒸发过程。

在液滴以及空起域中，流体的连续性方程、动量方程及能量方程(N-S方程)按如下表示：

$\nabla u=0$ (1)

$\rho \left(u\cdot \nabla \right)u=-\nabla P+\mu {\nabla }^{2}u+\rho g$ (2)

$\rho C_p\left(\frac{\partial T}{\partial t}+u\cdot \nabla T\right)=\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)$ (3)

图1. 固着双液滴建模示意图

图2. 局部计算域网格划分

其中u = (u,v)，u和v分别为流体横向与纵向的速度分量，P为压力，μ为流体的动力粘度，ρ为流体的密度，C_p为材料的定压热容，k为材料的导热系数，t为时间。

采用Boussinesq假设来模拟流体的自然对流效应，流体的密度变为：

$\rho ={\rho }_0\left(1-\alpha \left(T-T_0\right)\right)$ (4)

其中，ρ₀为当流体温度为T₀时的流体密度，α为流体的热膨胀系数。

蒸汽在空气域中的扩散可以描述为：

$\frac{\partial c}{\partial t}=\nabla \cdot \left(D\nabla T\right)$ (5)

其中，D为蒸汽的扩散系数。

计算域中的导热方程为：

$\rho C_p\left(\frac{\partial T}{\partial t}\right)=\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)$ (6)

2.3. 边界条件

空气域的外部设置为开放边界条件，远场的温度和蒸汽浓度分别为T_∞和c_∞。基底的底部和侧面采用恒定温度边界条件。液–气界面的温度和热通量是连续的，液滴表面的蒸汽浓度为饱和状态，液滴在界面的蒸发通量为： $J=-D\nabla c\cdot n_{l,a}$，其中， $n_{l,a}$ 为液–气界面的单位法向量。可以根据理想气体状态方程得到饱和水蒸气浓度： $c_{sat}\left(T\right)=P_s/R_{g}T$，其中， $R_g$ 为气体常数， $P_s$ 为蒸汽的饱和压力：

$\ln \frac{P_{sat}}{P_{\infty }}=-\frac{h_v}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\infty }}\right)$ (7)

其中，P_∞为无穷远处饱和蒸汽浓度，T_∞为无穷远处温度。

液滴在蒸发的过程中会在表面吸收蒸发潜热： $q^{\prime }=J{h}_v$，其中， $h_v$ 为蒸发潜热。液–气界面由于温度的不均匀会产生Marangoni效应，其应力为： $n_{l,a}\cdot {\tau }_l\cdot t_{l,a}=d\sigma /dT\left(\nabla T\cdot t_{l,a}\right)$，其中， ${\tau }_l$ 为液体的粘性应力张量， $\sigma$ 为液体的表面张力。

图3. 双液滴蒸发过程中液滴体积随无量纲时间变化图

3. 模拟方法及有效性验证

3.1. 模拟模型及参数

使用有限元方法并结合ALE动网格技术模拟液滴轮廓的演变。为与试验进行对比，设置液滴接触角为120˚，基板和环境温度为298.15 k，空气湿度为0.43。为了研究 $L_0$ 对双液滴蒸发过程造成的影响，通过改变 $L_0$ 分析双液滴蒸发时，温度、流场、蒸发速率和蒸汽浓度的演变。为了研究双液滴蒸发的一般特性，本文使用无量纲时间，定义 $L_0/D_0=\infty$ 时的蒸发时间为 $t_0$，单液滴初始体积为 $V_0$，无量纲时间与体积分别为 $V/V_0$ 及 $t/t_0$。

图4. 双液滴蒸发过程中左液滴两侧接触半径变化实验与模拟对比图

3.2. 模型验证

根据Shaikeea [19] 对固着双液滴的实验已有相当多的研究成果，根据其研究对比了接触角为120˚的固着双液滴在 $L_0/D_0=\infty$ 、 $L_0/D_0=1.6$ 和 $L_0/D_0=1.2$ 的蒸发情况，以验证本模型的可靠性。图3代表的是接触角120˚双液滴无量纲蒸发剩余体积与无量纲时间的关系图，其中实心部分代表试验结果，空心部分代表模拟结果。如图所示，当 $L_0/D_0=\infty$ 时，代表液滴间相距极远，此时液滴相互之间不会造成影响，故可视为单液滴蒸发的对照组。当 $L_0/D_0=\infty$ 时，液滴蒸发的无量纲时间为 $t/t_0=1$ ；当 $L_0/D_0=1.6$，即双液滴间距较大时，液滴蒸发的无量纲时间为 $t/t_0=1.5$ ；当 $L_0/D_0=1.2$，即双液滴间距较小时，液滴蒸发的无量纲时间为 $t/t_0=2.0$。对比试验与模拟结果，发现在液滴蒸发末期有一定误差，在蒸发前半部分基本符合，这是由于模拟模型只考虑了固定接触角模型，而在模拟中液滴在蒸发末期处于混合蒸发模式，但总体上模拟与试验结果吻合良好，验证了模型的可靠性。由图可知，液滴无量纲体积变化率随时间随无量纲蒸发时间呈线性减小。对比不同 $L_0/D_0$ 可以发现，随着双液滴间距的减小，液滴蒸发的时间逐渐增加，此现象产生的原因将在下文具体分析。

此外Shaikeea等人 [13] 还研究了固着双液滴蒸发时的接触半径变化，并发现当双液滴间距较近时，单个液滴中心左右的接触半径并不保持对称，根据其试验结果，本文也进行了相关验证，以进一步证明模型的有效性。根据试验条件，模拟了液滴接触角为120˚、 $L_0/D_0=1.2$ 的固着双液滴的蒸发过程。如图4所示，其中柱图代表试验中固着双液滴左侧液滴的接触半径变化情况，点线图则代表模拟结果。图中横坐标代表液滴蒸发的无量纲时间，纵坐标代表左侧液滴两侧接触半径与上一时刻的差值与初始接触半径的比值，实心部分代表液滴左侧接触半径变化，空心则代表右侧。由柱状图可知，液滴初期左右变化相似，而随着蒸发的进行，液滴左侧减小更快，该现象发生的原因也将在下文进行分析解释。对比点线图与柱状图可以发现，液滴两侧的接触半径变化趋势一致，故也证明了次模型的有效性。

3.3. 模型结果与分析讨论

3.3.1. 双液滴初始间距对液滴蒸发过程的影响

为了研究不同初始间距对固着双液滴蒸发带来的影响，本章节将通过模拟接触角为120˚，同时改变 $L_0$ 以模拟不同初始间距液滴蒸发过程中的行为变化。双液滴初始间距 $L_0$ 分别取1.2 mm、1.6 mm及2 mm。

固着双液滴蒸发趋势演化如图5所示。图6蒸发时刻为10 s时的左侧液滴两侧接触角示意图。可以发现液滴左侧接触角为110˚，而右侧接触角为120˚。结合图5和图6可以发现尽管液滴之间呈现左右对称，但是单个液滴本身左右却呈现非对称状态。随着液滴蒸发的进行，单个液滴逐渐恢复至左右对称状态。图7是初始间距分别是1.2 mm、1.6 mm和2 mm的单个液滴蒸发剩余体积与时间的关系。液滴初期蒸发速率较快，并逐渐减小，并且初始间距越大，液滴蒸发越快，即较近的液滴之间相互抑制蒸发。这是由于液滴具有较小初始间距时，液滴越靠近对称中心，液滴间的蒸汽更易达到饱和状态，从而抑制了液滴蒸发。

图5. L₀ = 1.6 mm的固着双液滴蒸发演示图

图6. 左侧液滴两侧接触角示意图

图7. 不同初始间距单液滴剩余体积与时间关系图

图8. t = 10 s；1000 s时双液滴周围浓度及流线分布图

图8为液滴周围浓度分布，双液滴之间浓度部分远大于双液滴两侧部分浓度，因此液滴靠近对称中心一侧的蒸发受到抑制，而远离对称中心一侧受影响较小。图9为液滴温度分布和内部流线分布，与单液滴蒸发不同的是，单个液滴内部呈现的是一对对称的涡流，即Marangoni对流，而双液滴蒸发时内部涡流呈现非对称状态，且远离对称中心一侧的涡流大于靠近对称中心一侧的涡流。根据其温度分布可以发现，液滴靠近对称中心一侧的温度高于另一侧，这是由于靠近中心一侧的蒸发被抑制，导致其蒸发冷却效应减弱，使得其靠近对称中心一侧的温度较高。由于Marangoni对流是由表面温度梯度所驱动的，温度梯度越大，Marangoni对流越显著，故靠近对称中心一侧的涡流小于另一侧涡流。这也解释了前文提到的液滴两侧接触半径变化不一致及两侧接触角不同的原因。对比不同时刻的固着双液滴蒸发可以发现，随着蒸发的进行，液滴接触线逐渐后退，使液滴间的蒸汽浓度不再维持在较高浓度，抑制蒸发的作用也随之下降，表面温度分布逐渐对称，最终单侧液滴逐渐恢复到对称状态。

图9. t = 10 s；1000 s时固着双液滴蒸发时温度及内部流线分布图

3.3.2. 接触角对固着双液滴蒸发的影响

据试验表明，不同的基板材质对固着双液滴蒸发的影响较大，而基板主要决定的液滴的润湿程度，直观表现就是液滴的接触角，固本章节将讨论不同接触角对固着双液滴蒸发造成的影响。分别取接触角为60˚、90˚及120˚，初始间距 $L_0=2.0\text{mm}$，其余参数与上个小节一致。

图10是不同接触角单侧液滴蒸发剩余体积随时间的变化，由图可知，在初始间距相同的情况下，接触角越大，液滴剩余体积变化越小，即较大接触角抑制了固着双液滴的蒸发。图11是接触角分别为60˚、90˚及120˚的液滴外部浓度及流线分布，图12则是不同接触角的温度及液滴内部流线分布。据不同接触角的液滴外部蒸汽浓度可知，当接触角越大，双液滴之间蒸汽浓度越大，这是由于当接触角较大时，液滴与液滴之间形成一个三角形区域将蒸汽锁在这部分区域导致此区域的液滴表面蒸发被强烈抑制。对比图11和图12可发现，当接触角120˚时，由于液滴间蒸汽浓度较大导致靠近对称中心一侧的液滴蒸发受到强烈抑制，此时单侧液滴内部涡胞呈明显非对称结构，而接触角为90˚及60˚的液滴间浓度与远离对称中心一侧的浓度相差不大，因此靠近中心侧的液滴蒸发受到的抑制较小，单侧液滴内部呈现较为对称的涡流结构。除此以外由于液滴在相同体积时，接触角越小，其与基板的接触半径就越大，导致其吸收更多热量使蒸发更快。

图10. 不同接触角单侧液滴蒸发剩余体积随时间的变化图

图11. 接触角分别为60˚、90˚和120˚时液滴外部蒸汽浓度与流线分布图

图12. 接触角分别为60˚、90˚和120˚时液滴温度与内部流线分布图

4. 结论

本文建立了固着液滴蒸发的有限元综合模型，并在此基础上模拟固着双液滴的蒸发过程，分析讨论了加热基板上双液滴蒸发过程的热力学行为，对比分析了基板润湿性及液滴分离尺度对双液滴蒸发过程的影响，得出了以下结论：

1) 固着双液滴蒸发模型符合当前的实验研究结果，可以有效地模拟低接触角滞后情况下，固体基板上双液滴的蒸发过程。

2) 双液滴初始间距对固着双液滴蒸发有影响，初始间距越小，对固着双液滴的蒸发抑制越强烈，且单侧液滴呈现非对称状态，其靠近对称中心的一侧受蒸发抑制明显，而另一侧影响较小，并且随着蒸发的进行，液滴间的抑制作用逐渐下降。

3) 不同接触角对固着双液滴蒸发也有影响，接触角越大，对固着双液滴的蒸发抑制越明显。

文章引用

常浩东,单彦广. 自然蒸发下固着双液滴内部流动的二维数值模拟
Two-Dimensional Numerical Simulation of Internal Flow of Sessile Double Droplets under Natural Evaporation[J]. 建模与仿真, 2022, 11(03): 616-627. https://doi.org/10.12677/MOS.2022.113058

参考文献