¹上海理工大学管理学院，上海

²上海理工大学光电信息与计算机工程学院，上海

收稿日期：2024年3月27日；录用日期：2024年5月6日；发布日期：2024年5月14日

摘要

为解决电商物流网络的目的分拣节点受突发事件影响时，网络的运输能力显著下降的问题，结合现实情况，对物流网络不可开闭新线路与可开闭新线路两种情形分别建立单目标规划模型：将相关未完成运送的货物转移至其他线路，并维持线路的载荷量均衡且合理。同时，使用粒子群算法进行求解。进一步，对网络节点的重要性进行排名，改造并优化网络的架构，从而对重要节点进行保护和强化，增强了网络的鲁棒性。结果表明，该模型能较好疏散未完成包裹；优化后的网络也具有更强的鲁棒性。

关键词

物流网络，非线性规划，粒子群优化算法，熵权法，优劣解距离法，网络科学

E-Commerce Logistics Network Restoration and Structural Optimization Plan Based on Particle Swarm-Single Objective Optimization Model

JingqianYang¹, Changgui Gu^1*, Jiayan Deng², Zheng Huang², Tianbao Sun¹

¹Business School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

²School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 27^th, 2024; accepted: May. 6^th, 2024; published: May. 14^th, 2024

ABSTRACT

In order to solve the problem of significant decreases in network transportation capacity when sorting nodes of logistics network of e-commerce are affected by sudden events, this article, based on the actual situation, divides the model into two cases and builds swarm-single objective optimization model relatively: those with new routes that cannot be opened and closed and those with new routes that can be opened and closed. A single-objective programming model is established to transfer related unfinished shipments to other routes and maintain rationality as well as load balance. At the same time, the particle swarm optimization algorithm is used for the solution. Further, the importance of network nodes is ranked, the architecture of the network is transformed and optimized, and important nodes are protected and strengthened, enhancing the robustness of the network. The results show that the model can evacuate the undelivered packages better; the optimized network also has stronger robustness.

Keywords:Logistics Network, Nonlinear Programming, Particle Swarm Optimization, The Entropy Weight Method, TOPSIS, Network Science

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

随着全球电子商务的持续发展，网络购物已经成为全球居民的一种重要消费方式，近年来全球网络零售总额逐年攀升，电商市场的繁荣，促使中国电商物流市场规模不断扩大。物流网络的规划和管理对于高效的货物运输和供应链的顺畅运作至关重要。然而，随着市场需求、交通规模和供应链结构的变化，旧有的物流网络往往不能完全适应新的需求和挑战。

以2022年6月为例，疫情导致快递大面积停摆，人们购买物品的方式被打乱，线上销售首次出现负增长。2022年四月实物商品网上零售额同比增速首次出现负增长。阿里，京东，拼多多净利润增速分别为−200.3%，−183.3%，189.5%。封控使流通阻碍，干线支线取消，物流快递节点、仓库与工厂封锁等等。此次全国性突发事件导致供应链压力持续加剧甚至中断，影响物流运输 [1] 。这些因素均会影响到各条线路运输的包裹数量，以及各个物流场地处理的包裹数量。在此背景下，季铭慧 [2] 在对应急物流网络优化研究的综述中提及，当前国内外有关疫情前后时期的应急物流研究热度显著提升，因而进行物流网络重新规划变得迫切而重要。

近年来，针对上述突发事件导致物流网络节点停用的现象，对该网络进行修复与设计的问题得到了广泛的研究。为了解决这一问题，使物流网络更加精益，Yong W [3] 等人构建了一个基于时空网络的双目标混合整数规划模型，结合3D k-means和改进的非支配排序遗传算法-II的两阶段的混合启发式算法，使用Shapley值对整个应急物流网络的利润进行公平分配。在此背景下，Wang Y [4] 等人提出了一种在紧急情况下优化物流网络的方法，使用了车辆共享和时间窗分配策略，考虑运营成本、交付时间和所需车辆数，完成了对位置分配、库存和路径规划的决策。同样，Aloui A [5] 等人提出了一个双阶段随机混合整数规划模型，考虑成本、流行病干扰、碳排放与交通事故率。此外，陈坚 [6] 等人考虑区域灾害应急物流网络的可靠性、成本与运输时间，构建了双目标规划模型，实现了在不同的可靠性水平下最优或近似最优的应急物流网络配置方案。

针对物流网络本身结构机理的优化，黄英艺 [7] 根据物流网络的结构特点和级联失效的机理，构建了一个考虑节点和边失效的物流网络抗毁性模型，实现了对物流网络在不同失效模式下的抗毁性分析和评价。在上述的大多数相关研究集中在考虑需求或成本等随机参数的设施选址和配置上。王斌 [8] 基于四元组计算法构建了物流运输网络车辆路径优化模型，根据实际装载情况设置分拨中心，制定车辆分拨原则以保证每个运输车辆的利用率最大化，并验证了该物流运输网络优化方法的优化效果。安瑾 [9] 等人基于蚁群算法构建乡镇物流网络模型，并对X公司在贵州省内乡镇物流节点的运输路径进行优化，优化后的运输距离达到了比之前路径的距离减少22%的结果，有效地降低了运输成本。石褚巍 [10] 等人基于复杂网络的理论背景，通过两阶段鲁棒优化物流网络以提升其可靠性。

然而，很少有研究考虑到货物因供应链破坏性事件而无法正常流转以及随持续性灾害等因素影响，供应链持续动态调整的情况。事实上，这些干扰在今天是不可避免的。本研究重点考虑当前电商物流网络结构的动态调整、成本以及交通负荷，最小化无法正常流转货物的数量的情况以及线路的变化情况，在计算机上进行抽象与仿真，建立合理的数学优化模型，给出物流网络的修复与调整方式。

2. 模型的数据与背景

如图1所示，典型的电商物流网络主要由以下种类的节点构成：货物从接货仓发出，摆渡至始发分拣站点，由干线或支线运送至目的分拣节点，目的分拣节点的工作人员将其筛选分发至营业部。特殊地，由于存在客户退换货的需求，营业部与目的分拣节点之间会有传返的情况。其中，目的分拣站点最为重要，该节点负责了所有货物的接收以及发送。在突发事件之下，若目的分拣节点遭受破坏，对网络整体的流通性会造成较大的破坏。

图1. 电商物流网络示意图

本研究选取了2023年Mathorcup数学建模竞赛的C题的物流网络数据，该数据结合电商物流网络的结构，呈现了某物流网络在某年一月(31天)期间每天不同物流场地之间流转的货量关系，分为四列数据：日期，货物发出节点、货物接收节点以及运送的货物量。该网络存在1049条线路(边)，81个物流场地(节点)，可看作是一个带权有向图，其中每条边以其当天的货运量作为边权，且存在一个运输能力上限。

选取两天(第1天与第21天)的网络数据并可视化，如图2所示，该网络边的分布较不均匀，从右图第21天的数据可看出，右图中左下角的5号与9号节点存在大量的入度和极少的出度。说明该节点接收大量的货物，功能类似目的分拣站点。同时，从71号、50号、73号等节点可看出，此类节点仅存在出度，表明该类站点代表现实中的货仓或产地。由可视化的网络模型可得，该模拟的网络数据与架构较能反映上述物流网络的特点。

对此，以节点5与节点9为例，作为最重要的目的分拣站点遭受破坏时，需要对原网络进行修复与优化，将与该节点有关的货物与路线转移至其他节点和边，从而缓解关停该节点带来的影响。本研究将基于模拟出的一个月的物流网络数据，建立相关的目标优化模型与分流方案，对每一天的网络进行修复、优化，使得包裹尽可能正常流转。其中，考虑到存在部分节点之间在历史数据上未出现过连接的线路(如距离、交通问题无法送达)，研究分别基于将未完成包裹疏散至已有线路和可新增或关闭线路两种情形分别建立模型并分析。其中，“将未完成包裹疏散至已有线路”表示在对运货分配进行优化时，不可在历史上未连接过的节点间增加或关闭线路，只能基于历史数据中已有线路进行包裹的疏散；“可新增或关闭线路”表示不考虑历史线路是否存在，可在任意节点之间新开或关闭线路，使得未完成包裹被充分送至目的节点。

图2. 第1天(左)与第21天(右)的网络可视图

3. 将未完成包裹疏散至已有线路的模型

3.1. 模型的建立

大部分情况下，考虑到部分节点之间存在未开发的线路，现实物流网络中突发事件的应对方式主要是将与被破坏节点相关的线路功能疏散至其他已有线路，使重要的节点在遭受破坏之后，受影响的包裹可以经由其他存在的路线送至营业部。

针对上述问题，改进的方法与模型需要满足以下要求：

一、货量尽可能正常流转；二、线路变化尽量少；三、工作负荷量尽量均衡；四、被分配额外包裹的线路运转不能过载。前三者重要程度并列，且在构造目标函数时应当被考虑，以上述几点为目标，建立如下概念。

若5号节点因特殊原因关停，假设init是以5号节点为终点的节点，end为5号节点流入的节点，则流入DC5的货运线路为 $\stackrel{\to }{D_{init}{D}_5}$ ，流出DC5的货运线路为 $\stackrel{\to }{D_5{D}_{end}}$ ，要使包裹能正常流转，首先要让所有在DC5中转的货物都能到达目的地，即要使 $\stackrel{\to }{D_{init}{D}_{end}}$ (即图1中的支线路)。为了让DC5关停前后货量发生变化的线路尽可能少，因此选择已与DC5建立线路的分拣站 $D{C}_x$ ，使 $\stackrel{\to }{D_{init}{D}_5}$ 的货运经过 $D_{init}\to D_x$ ，再由 $D_x\to D_{end}$ 。具体示意图如图3所示。

图3. 已有线路优化的模型示意图

3.2. 约束条件与目标函数构建

针对上述要求，建立一个大小为 $N\times E$ 矩阵X。其中，N为重新分配线路的节点数，E为中end的节点数。因此，矩阵X可理解为init与end构成的邻接矩阵。由于每天所开设的节点都不相同，因此每一天的N与E取值都不同，需要分别对N与E重新取值。因此，修复与优化物流网络的问题可以转为对X的调整，通过改变X矩阵内的元素，可重新分配未送达的包裹，并判断所有包裹是否正常流转。

在该矩阵中，部分0元素表示未建立线路链接，为确认具体情况，构造判断矩阵CMP。将有线路连接的点记为1，没有线路连接的点记为0。将所得X与判断矩阵CMP相乘。构造出新的矩阵 $\tilde{X}$ ，从而使优化模型对已有的线路进行调整，避免构建出新线路的情况。 $\tilde{X}$ 的中每一元素的构造式如公式(1)所示。

${\tilde{X}}_{ij}=X_{ij}*CM{P}_{ij}$ (1)

其中，判断矩阵CMP的格式表示可列为下式(2)。0表示没有线路连接，1表示有线路连接。

$CMP=\left(\begin{array}{cccccccc}\text{0}& 0& 0& 0& \cdots & 1& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0& \cdots & 1\\ ⋮& 1& \ddots & 1& \cdots & 0& \cdots & ⋮\\ 0& 1& 0& 1& \cdots & 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 1& \cdots & 0\end{array}\right)$ (2)

为满足工作负荷量尽量少的要求，将工作负荷量定义为下式(3)， $P_{ij}$ 可代表每条线路的货运饱和程度。其中， ${\tilde{X}}_{ij}$ 表示新建立线路的节点的货量， $X_{Maxij}$ 表示场地的最大货运量。

$P_{ij}=\frac{{\tilde{X}}_{ij}}{X_{Maxij}}$ (3)

针对线路最大载荷量的要求，建立约束条件(4)。其中， $X_{Eij}$ 表示将未完成包裹疏散到线路 $\stackrel{\to }{D_{init}{D}_{end}}$ 后，要让此线路额外承担的DC5线路货运量， $X_{Oij}$ 表示该线路本来就有的货运量， $X_{Maxij}$ 表示该线路可容纳的最大货运量。

设 $x_{mn}$ 为 $\left(X_{Maxij}-X_{Oij}-X_{Eij}\right)$ 中的每一项元素，即使原先场地i流入场地j的货物数量与额外承担的货物量之和小于其最大可接受货物数量，则有：

$x_{mn}\ge 0,\left(1<n\le N,1<m\le E\right).$ (4)

为满足货量正常运转、线路变化少和线路载荷均衡的要求，目标函数将未正常流转的包裹数与各转移线路的标准差相乘，得到最小化的单目标优化模型(5)。

$\begin{array}{l}\min f=\left\{\left(A-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\tilde{X}}_{ij}}}\right)*\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\left(P_{ij}-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{P}_{ij}}}}{N\times E}\right)}^2}}}\right\}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{x}_{mn}\ge 0,\left(1<n\le N,1<m\le E\right).\end{array}$ (5)

其中，A表示DC5接收到的货物总量， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\tilde{X}}_{ij}}}$ 表示经CMP矩阵变换后的邻接矩阵内每一元素的累加和，函数的自变量为式中的 $\tilde{X}$ 。同时， $\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\left(P_{i,j}-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{P}_{ij}}}}{N\times E}\right)}^2}}}$ 为每一条线路载荷的标准差，表示平衡各线路的工作负荷。

3.3. 模型的求解与结果

作为经典的智能优化算法，粒子群模型能较好解决单目标规划的相关问题。针对式(5)中的规划问题，与常规的粒子群优化对象不同，该模型的自变量为一整个邻接矩阵，粒子需对矩阵中的每一个元素进行调整与优化，使目标函数达到最小值。粒子群算法的步骤见图4。

选用500个粒子。每个粒子所在位置如下式(6)表示。设该点为Point，step为迭代次数， ${\text{Point}}_i^{step}$ 为第step次迭代时第i个粒子所在的位置， $v_i^{\text{step}}$ 为第step次迭代时第i个粒子的速度，t为运动的时间。

(6)

该粒子的速度 $v_i^{\text{step}}$ 为：

$v_i^{\text{step}}=w*v_i^{\text{step}-1}+c_1*r_1*\left(p{b}^{\text{step}}-{\text{Point}}_i^{\text{step}}\right)+c_2*r_2*\left(g{b}^{\text{step}}-{\text{Point}}_i^{\text{step}}\right)$ (7)

其中， $p{b}^{\text{step}}$ 为第step次第i个迭代粒子经过的最好位置， $g{b}^{\text{step}}$ 为第step次迭代。所有粒子经过的最好的位置，w为惯性权重， $c_1$ 为个体学习因子， $c_2$ 为社会学习因子， $r_1$ ， $r_2$ 为[0, 1]上随机数。

将运动时间t置为1后，得到的式如下：

${\text{Point}}_i^{\text{step}+1}={\text{Point}}_i^{\text{step}}+v_i^{\text{step}}$ (8)

使用模型迭代后得出适应度与迭代的变换曲线。以图5所示的1月13日的收敛过程为例：

由图5可见，在粒子群迭代500次之后，各粒子群体最优值所代表的适应度在迭代过程中逐渐降低，直至寻找到最优值。对于不新开闭线路的模型结果，选取了其中具有代表性的七天数据进行展示(这七天当中物流网络原本开放的线路较其他日期多，且经模型优化后的结果较好)，其每条线路负荷量的标准差与货物异常流通量见表1。

图4. 粒子群算法流程图

图5. 适应度与迭代的变换曲线

从表1中可得出，各线路的货物负荷量较为平均，且因5号节点关停而受影响的货物经过模型优化，被合理地重新分配到其他线路当中，其中部分日期的无法流通的货物量降至了个位数(如1月12日、1月17日和1月31日)，表明该模型能够满足前文所提出的四个目标：货量尽可能正常流转、线路变化尽量少、工作负荷量尽量均衡、被分配额外包裹的线路运转不能过载。

表1. 粒子群优化后的每日每条线路负荷量的标准差与货物异常流通量

同时，本研究在计算结果中将非整数类型的货量进行向上取整，但由于模型在优化过程中存在一定误差，不存在货运量完全被分散的情况。

4. 可新增或关闭线路的优化模型

4.1. 模型的前提与假设

若政府与企业有足够能力关闭或在不存在原始线路相连的两个节点之间新增货运线路，则在同样的假设的基础上，将关停的目的分拣站点DC5换成DC9，并允许每日对物流网络结构进行动态调整，调整措施为关闭或新开线路；与上一模型不同的是，模型可以令没有联通过DC9的线路的与DC9相连。

针对该问题，改进的方法与模型需要满足以下要求：

一、可以关闭或新开线路，但不能新增物流场地及站点(节点)；二、包裹尽可能正常流转；三、使DC9关停前后货量发生变化的线路数尽可能少；四、保持各条线路的工作负荷尽可能均衡；五、被分配额外包裹的线路运转不能过载。基于此建立单目标优化模型，并结合粒子群算法优化矩阵加以求解。

4.2. 约束条件与目标函数分析

为使邻接矩阵内每一项元素都不为负数，且相关线路运货量不超过其最大载荷，构建约束条件式(6)。其中， ${X^{\prime }}_E$ 内的元素值表示使线路 $\stackrel{\to }{D_{init}{D}_{end}}$ 额外承担的DC9线路货运量， ${X^{\prime }}_O$ 表示该线路原先的场地运货量， ${X^{\prime }}_{Maxij}$ 表示该线路的最大货运量。

设 ${X^{\prime }}_{mn}$ 为 $\left({X^{\prime }}_{Maxij}-{X^{\prime }}_{Eij}-{X^{\prime }}_{Oij}\right)$ 中的每一项元素，则有：

${x^{\prime }}_{mn}\ge 0,\left(1<n\le N,1<m\le E\right).$ (9)

针对本问题的要求一，目标函数不再需要添入构造判断矩阵CMP，即不需要考虑历史中有无入度和出度。

对于要求二，可使 $\left(A^{\prime }-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{X^{\prime }}_{ij}}}\right)$ 最小化， $A^{\prime }$ 表示DC9收到的货物总量， $X^{\prime }$ 为DC9初始状态下的邻接矩阵， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{X^{\prime }}_{ij}}}$ 为邻接矩阵中各元素的和，该式的含义为使无法流通的货物量尽可能小；

对于要求三，根据原来的邻接矩阵 $X^{\prime }$ 创建矩阵 $M$ ， $M_{ij}$ 表示该矩阵第i行第j列的元素，如果 $\stackrel{\to }{D_i{D}_j}$ 线路由未开放变为开放，则记 $M_{ij}=0$ ，反之，如果线路不开放，则 $M_{ij}=1$ 。同时，根据粒子群优化后得出的新的邻接矩阵创建一个对应的矩阵 $M^{*}$ ，其第i行第j列的元素标为 $M_{ij}^{*}$ ，如果 $\stackrel{\to }{D_i{D}_j}$ 线路开放，则记 $M_{ij}^{*}=1$ ；反之，如果线路不开放，则 $M_{ij}^{*}=0$ 。将 $M$ 与 $M^{*}$ 中对应的元素相减，得到判定矩阵 $State$ ， $Stat{e}_{ij}$ 表示该矩阵第i行第j列的元素，其含义如式(10)所示：

$State=M_{ij}-M_{ij}^{*}=\{\begin{array}{l}1该线路新开\\ 0该线路原本就存在\\ -1该线路被关停\end{array}$ (10)

若将 $State$ 矩阵所有元素的绝对值相加，可得出改变线路的总数。根据要求三，要使改变线路的总数最小，即要求：

${{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}\left|Stat{e}_{ij}\right|}}}_{\min }$ (11)

针对要求四，欲使每一条线路的标准差 $\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\left({P^{\prime }}_{ij}-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{P^{\prime }}_{ij}}}}{N\times E}\right)}^2}}}$ 最小，即利用已定义的工作负荷量，平衡各线路的工作负荷。其中， $P^{\prime }$ 作为邻接矩阵中各条线路的货运饱和量，其构造方式与式(5)同理：

${P^{\prime }}_{ij}=\frac{{X^{\prime }}_{ij}}{{X^{\prime }}_{Maxij}}$ (12)

因此，可将约束方程构造为式(13)：

$\begin{array}{l}\min f=\left\{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}\left|Stat{e}_{ij}\right|}}*\left(A^{\prime }-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{X^{\prime }}_{ij}}}\right)*\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{\left(P_{ij}-\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{E}{\sum }}{P}_{ij}}}}{N\times E}\right)}^2}}}\right\}\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{x^{\prime }}_{mn}\ge 0,\left(1<n\le N,1<m\le E\right).\end{array}$ (13)

4.3. 模型的求解与结果

本问题仍基于单目标优化问题选用粒子群算法对上述式进行求解。粒子群算法的步骤如图4所示。计算出结果后，同样选取具有代表性的七天数据进行展示，并列出每天货运量之差、每日新开与关闭线路的数量、每条线路负荷量的标准差，如表2所示。

表2. 粒子群优化后的每日的开闭线路、每条线路负荷量标准差与货物异常流通量

由表2可知，经过模型优化后，每日的物流网络关闭线路均多于新开的线路，表明净关闭的线路降低，且变化的线路较少。其次，该模型在缩小网络规模、降低运营成本的同时，也让多数货物在重要节点关停后完成流通。同时，每日各线路负荷量标准差无异常值，表明包裹在各线路上整体分配较为平均。因此，式(13)所示的模型能够较好地满足前文所提出的该模型的五个目标。

5. 电商物流网络的评价，优化与验证

尽管上述建立的两个模型在一定情况下能够缓解并疏散并未完成的包裹，但在应对突发事件时，社会需要应急调动线路以及收发站点，这会造成一定的财力与人力消耗。对此，为从源头上解决突发事件造成的节点关停问题，需要对网络的健全性以及节点的重要性进行分析：通过筛选出较为重要的节点，并依此改善网络结构，从而整体提升电商物流网络的连通性与鲁棒性。

5.1. 针对网络节点的评价

依照复杂网络的特征与衡量指标，选取节点的集聚系数、介数以及核度作为评价节点重要程度的三个系数。其中，集聚系数表示节点的邻接点之间的相互连接程度，表示为 $C_i$ ：

$C_i=\frac{2E_i}{k_i\left(k_i-1\right)}$ (14)

在式(14)中， $E_i$ 代表通过该第i个节点的关系数， $k_i$ 代表第i个节点的度。

网络的介数即网络中所有最短路径中经过该节点的路径的数目占最短路径总数的比例。网络的核度用于刻画网络中一组节点的重要性。通过删除一些节点及其相连的边后，网络中出现的连通分支个数可衡量该值。

上述三类衡量指标能够测度节点在网络中作为枢纽的可能性以及中心程度，若节点的三个指标较高，其在攻击后对网络的影响也较大。对此，本研究使用基于熵权法的TOPSIS评价法(优劣解距离法)，随机抽取五日的网络节点进行指标计算与评价，得出各点的评分。

首先，为比较三项指标的重要程度，使用熵权法计算指标的信息熵并排序，对信息熵较大者取较小权重，反之亦然。假设 $x_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ ，x表示事件 $X=\left\{x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n\right\}$ 中的一种情况， $p\left(x\right)$ 表示这种情况发生的概率，取 $I\left(x\right)=-\ln \left(p\left(x\right)\right)$ ，则信息熵定义为(信息量的期望值)：

$H\left(X\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[p\left(x_i\right)I\left(x_i\right)\right]}=-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left[p\left(x_i\right)lnp\left(\left(x_i\right)\right)\right]}$ (15)

同时，将集聚系数、介数和核度作为三个极大型指标，假设有n个要评价的对象(根据天数不同，开设的节点不同n也会随之改变)。构成的正向化矩阵如下：

$X=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{12}& x_{13}\\ x_{21}& x_{22}& x_{23}\\ x_{31}& x_{32}& x_{33}\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& x_{n3}\end{array}\right]$ (16)

对其标准化的矩阵记为Z，Z中元素记为 $z_{ij}$ ，则：

$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}^2}}}$ (17)

若矩阵中存在负数，则对X进行标准化后得到 $\tilde{Z}$ 矩阵，见式(18)：

${\tilde{z}}_{ij}=\frac{x_{ij}-\min \left\{x_{1j},x_{2j},\cdots ,x_{nj}\right\}}{\max \left\{x_{1j},x_{2j},\cdots ,x_{nj}\right\}-\min \left\{x_{1j},x_{2j},\cdots ,x_{nj}\right\}}$ (18)

由此，经过处理后，得到的非负矩阵为：

$\tilde{Z}=\left[\begin{array}{ccc}{\tilde{z}}_{11}& {\tilde{z}}_{12}& {\tilde{z}}_{13}\\ {\tilde{z}}_{21}& {\tilde{z}}_{22}& {\tilde{z}}_{23}\\ {\tilde{z}}_{31}& {\tilde{z}}_{32}& {\tilde{z}}_{33}\\ ⋮& \cdots & ⋮\\ {\tilde{z}}_{n1}& {\tilde{z}}_{n2}& {\tilde{z}}_{n3}\end{array}\right]$ (19)

计算概率矩阵P，其中P中每个元素 $p_{ij}$ 的计算公式为：

$p_{ij}=\frac{{\tilde{z}}_{ij}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\tilde{z}}_{ij}}}$ (20)

针对第j个指标，信息熵公式为：

$e_j=-\frac{1}{\ln \left(n\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_{ij}\ln \left(p_{ij}\right)},\left(j=1,2,3\right)$ (21)

其中， $e_j$ 越大，第j个指标的信息熵越大，所包含的信息越少，因此构造信息效用值 $d_j=1-e_j$ ，将信息效用值归一化，得到每个指标的熵权： $W_j=\frac{d_j}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{d}_j}},j=1,2,3$ 。计算好熵权后，将TOPSIS代入熵权内计算。定义标准化矩阵Z的最大值 $Z^{+}=\left(Z_1^{+},Z_2^{+},\cdots ,Z_m^{+}\right)$ ，最小值 $Z^{-}=\left(Z_1^{-},Z_2^{-},\cdots ,Z_m^{-}\right)$ 定义第i个评价对象与最大值和最小值的距离：

$\begin{array}{l}{D}_i^{+}=\sqrt{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{w}_j{\left(Z_j^{+}-z_{ij}\right)}^2}}\\ D_i^{-}=\sqrt{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{w}_j{\left(Z_j^{-}-z_{ij}\right)}^2}}\end{array}$ (22)

计算第i个评价对象未归一化的得分：

$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$ (23)

将得分归一化：

${\tilde{S}}_i=\frac{S_i}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{S}_i}}$ (24)

经过以上步骤计算，可得出每日各节点的重要性排名。各指标中，集聚系数的权重为0.0601，介数的权重为0.9163，核度的权重为0.0235。具体数据详见表3，该表以物流网络数据中的第19日为例，给出了经Topsis评价后得到的排名前五的节点。

表3. 第19日的节点的衡量指标及重要程度排序

5.2. 对网络架构的优化

对计算得到的排名靠前的几个节点，可重点围绕其进行保护与加强。可新增节点与之产生联系，疏散重要的物流场地的功能，并减少突发事件带来的损失。该思路借鉴了复杂网络中BA无标度网络的生成方法，即新增节点连接已有节点的概率等于已有节点的某项特征值。介于已经做出的评价的模型以及指标列出评价排名，针对排名较高的，尽量创造新节点与之相连，疏散这些节点应处理的货运量。对此，新增当天开设节点10%的节点数，以归一化后的分数为概率连接每一个节点，最终得出新增的度与线路(新增线路与原节点可往返)。同时，需要考虑新增线路的运输能力。

设运输能力为 $T_i$ ，原节点i共接收的包裹数为 $N_i$ ，与节点i连接的新增节点数为 $k_{ni}$ ，则新增线路的运输能力可由式(25)表示：

$T_i=\frac{N_i}{k_{ni}}$ (25)

例如，1月1日开设76个节点，取其10%开设新节点(向下取整)，即新增7个节点。

5.3. 对改造后网络的鲁棒性验证

为探究在突发状况下，优化后的网络是否能减少货运的损失，可验证网络的鲁棒性。鲁棒性是指网络在收到外界攻击下是否能正常运转，如果能，则称网络是鲁棒的。对此使用优化后的数据进行鲁棒性验证。

蓄意攻击算法是一种便捷有效检验鲁棒性的方法，是指有目的地在网络中选取特征值较大的节点进行去除。本论文寻找出入度总和最大的节点进行攻击，对其逐个删除，并观察其最大连通子图的规模以及网络效率的变化速度。如图6所示，黄色曲线与蓝色曲线分别为未添加节点与添加节点时的情况。可以看到添加节点后，随着删除节点所占比重的增加，最大连通子图的规模与网络的效率逐渐下降。相较于原先的物流网络，改良后网络的最大连通子图规模与效率E的下降情况延后。可得出结论：新设立的网络的方案能较好增加网络的鲁棒性。

6. 结论

本文选取电商物流网络为研究对象，面对重要的目的分拣节点被破坏的问题，以“不可开闭新线路”和“可开闭新线路”两种情形分别构建单目标规划模型。其中，在优化方法上选取了基于矩阵的粒子群算法，将目的分拣站点关停后受影响的包裹分流到其他相关线路。两个模型得到的结果表明，模型能使未完成运送的包裹数最小化，同时也能满足变化线路尽量少、线路载荷均衡以及运货量不超过线路承载最大值的要求。

图6. 网络改造前后的鲁棒性对比

随后，本文创新性地构建了物流网络节点重要性的评价方法，从源头上改造和优化了网络的架构。验证结果表明，在逐个删除最大度的节点后，经改造后的网络具有更好的鲁棒性，能够保护整个电商物流网络的联通性，抵御突发事件带来的损失。

本研究从非线性规划模型和网络科学层面研究了电商物流网络的修复与结构优化方法，在一定程度上为物流网络突发事件的应急处理提供了模型方案与理论依据，具有一定的工程价值。

基金项目

2023年上海市大学生创新创业训练计划(SH2023087)。

文章引用

杨景骞,顾长贵,邓加妍,黄 正,孙天宝. 基于粒子群–单目标优化模型的电商物流网络修复与结构优化方案
E-Commerce Logistics Network Restoration and Structural Optimization Plan Based on Particle Swarm-Single Objective Optimization Model[J]. 建模与仿真, 2024, 13(03): 2120-2132. https://doi.org/10.12677/mos.2024.133195

参考文献