ABSTRACT

Using the Ekeland’s variantional principle and a variant version mountain pass lemma, two positive solutions are obtained for a class of nonlinear elliptic boundary value problem.

Keywords:Ekeland’s Variantional Principle, Variant Version Mountain Pass Lemma, Positive Solutions

一类非线性椭圆型边界值问题的正解

曲广军

陕西理工大学，数学与计算机科学学院，陕西 汉中

收稿日期：2018年6月24日；录用日期：2018年7月13日；发布日期：2018年7月20日

摘 要

利用欧拉变分原理以及一个变形的山路引理，证明了一类非线性椭圆型边界值问题至少存在两个正解。

关键词 :欧拉变分原理，变形的山路引理，正解

Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

考虑以下非线性椭圆型边界值问题

$\{\begin{array}{ll}-{\Delta }_{p}u=\lambda f\left(x,u\right),\hfill & x\in \Omega .\hfill \\ u=0,\hfill & x\in \partial \Omega .\hfill \end{array}$ (1)

其中， ${\Delta }_{p}u$ 是p-拉普拉斯算子且 $p>1$ ， $\Omega$ 是 $R^n\left(n\ge 1\right)$ 中带有光滑边界的有界区域， $\lambda >0$ 是参数，函数 $f\left(x,t\right)\in C\left(\bar{\Omega }\times R,R\right)$ 满足以下条件：

f1) $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}=+\infty$ a.e. $x\in \bar{\Omega }$ ；

f2) $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}=+\infty$ a.e. $x\in \bar{\Omega }$ ；

f3) 存在常数 $\theta \ge 1,{\theta }_0>0$ 使得 $\theta G\left(x,s\right)\ge G\left(x,t\right)-{\theta }_0$ $\forall x\in \bar{\Omega }$ ， $0\le t\le s$ 都成立。其中， $G\left(x,t\right)=f\left(x,t\right)t-pF\left(x,t\right)$ 且 $F\left(x,t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x,s\right)\text{d}s}$ ；

f4) 当 $n>p$ 时， $\exists q\in \left(p,\frac{np}{n-p}\right)$ ；当 $n\le p$ 时， $\exists q\in \left(p,+\infty \right)$ ，s. t. $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x,t\right)}{t^{q-1}}=0$ a.e. $x\in \bar{\Omega }$ ；

f5) 当 $t\ge 0$ ， $x\in \bar{\Omega }$ 时， $f\left(x,t\right)\ge 0$ ；当 $t\le 0$ ， $x\in \bar{\Omega }$ 时， $f\left(x,t\right)\equiv 0$ 。

方程(1)是一类重要的非线性椭圆问题，因此被广泛研究，如文献 [1] - [6] 。文献 [1] 在以下条件下讨论了方程(1)解的存在性；

f2') $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}=l$ a.e. $x\in \bar{\Omega }$ ，其中l是常数。

若 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f2')，则称 $f\left(x,t\right)$ 在无穷远处是渐近线性的；若 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f2)，则称 $f\left(x,t\right)$ 在无穷远处是超线性的；很明显(f2)和(f2')是不相容的。

文献 [2] [3] 在 $p=2$ ， $f\left(x,t\right)$ 在无穷远处是超线性的情况下讨论了方程(1)的非平凡解。文献 [4] [5] [6] 针对一般的 $p>1$ 以及超线性条件证明了方程(1)的正解的存在性。其中文献 [6] 给出了以下条件：

f1') $b_0\le \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\inf \frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}\le \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\sup \frac{f\left(x,t\right)}{t^{p-1}}\le a\left(x\right)$ a. e. $x\in \bar{\Omega }$ ，其中 $b_0$ 为常数， $a\left(x\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 满足

$\forall x\in \bar{\Omega }$ ，都有 $a\left(x\right)\le {\lambda }_1$ ，且存在某正测集 ${\Omega }_1\subset \Omega$ 使得 $a\left(x\right)\le {\lambda }_1$ a. e. $x\in \bar{\Omega }$ ， ${\lambda }_1$ 是 $-{\Delta }_p$ 的第一个特征值。

明显地，条件(f1)和(f1')是矛盾的。本文将在(f1)~(f5)的条件下，证明方程(1)至少存在两个正解。

2. 预备知识

定义：设E为实Banach空间， $I\in C^1\left(E,R\right)$ 。如果使得 $\left\{I\left(u_k\right)\right\}$ 有界，且

$\left(1+\Vert u_k\Vert \right)I^{\prime }\left(u_k\right)\to 0\left(k\to \infty \right)$

的任一序列 $\left\{u_k\right\}\left(u_k\in E\right)$ 都有一个收敛子列，则称泛函I满足(C)条件。

以下是本文将要用到的一个变形的山路引理，其证明见文献 [7] 。

山路引理：设E为实Banach空间，其对偶空间为 $E^{\ast }$ ， $I\in C^1\left(E,R\right)$ ，且存在 $\alpha <\beta ,\rho >0$ 及 $e\in E\left(\Vert e\Vert >\rho \right)$ ，使得

$\max \left\{I\left(0\right),I\left(e\right)\right\}\le \alpha <\beta \le \underset{\Vert u\Vert =\rho }{\inf }I\left(u\right)$ 。

记 $c=\underset{\gamma \in \Gamma }{\inf }\underset{0\le t\le 1}{\max }I\left(\gamma \left(t\right)\right)$ ，其中 $\Gamma =\left\{\gamma \in C\left(\left[0,1\right],E\right):\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=e\right\}$ 为连结0与e的道路的集合。则存

在序列 $\left\{u_n\right\}\subset E$ ，使得

$I\left(u_n\right)\to c\ge \beta$ ，且 $\left(1+\Vert u_n\Vert \right){\Vert I^{\prime }\left(u_n\right)\Vert }_{E^{\ast }}\to 0\left(n\to \infty \right)$ 。

3. 主要结果及其证明

定义如下的 $C^1$ 泛函：

$J_{\lambda }\left(u\right)=\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^p\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u\right)\text{d}x}$ ， $\forall u\in W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ 。

则 $J_{\lambda }\in C^1\left(W_0^{1,p}\left(\Omega \right),R\right)$ ，且寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函 $J_{\lambda }$ 的非零临界点。

命题1：设函数 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f4)，(f5)，则 $\exists \beta ,\rho >0$ ， s. t. $\forall u\in W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)\left(\Vert u\Vert =\rho \right)$ ，有 $J_{\lambda }\left(u\right)\ge \beta >0$ 。

证：由 $f\left(x,t\right)\in C\left(\bar{\Omega }\times R,R\right)$ 及条件(f4)，(f5)成立，则存在常数 $c_1>0$ ，使得

$f\left(x,t\right)\le c_1{\left|t\right|}^{q-1},\forall \left(x,t\right)\in \bar{\Omega }\times R$ 。

则

$F\left(x,t\right)\le \frac{c_1}{q}{\left|t\right|}^q,\forall \left(x,t\right)\in \bar{\Omega }\times R$ 。 (2)

所以由(2)式及Sobolev不等式，有

$J_{\lambda }\left(u\right)=\frac{1}{p}{\Vert u\Vert }^p-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,u\right)\text{d}x}\ge \frac{1}{p}{\Vert u\Vert }^p-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{c_1}{q}{\left|u\right|}^q\text{d}x}\ge \frac{1}{p}{\Vert u\Vert }^p-\lambda c_2{\Vert u\Vert }^q$ (3)

其中 $c_2>0$ 为常数。因为 $p<q,\lambda >0$ ，令 $\rho >0$ 足够小，使

$\beta =\frac{1}{p}{\rho }^p-\lambda c_2{\rho }^q>0$ 。

则由(3)式， $J_{\lambda }\left(u\right)|{}_{\partial B_{\rho }\left(0\right)}\ge \beta >0$ 。

命题2：设函数 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f2)，(f5)，则存在 $e_{\lambda }\in W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)$ 且 $\Vert e_{\lambda }\Vert >\rho$ ，使得 $J_{\lambda }\left(e_{\lambda }\right)<0$ 。

证：由条件(f2)，(f5)，则 $\forall \epsilon >0,\exists m=m\left(\epsilon \right)>0$ ，s. t.

$f\left(x,t\right)\ge \frac{t^{p-1}}{\epsilon }-m$ ， $\forall \left(x,t\right)\in \bar{\Omega }\times R$ 。

则

$F\left(x,t\right)\ge \frac{1}{p\epsilon }{t}^p-mt$ ， $\forall \left(x,t\right)\in \bar{\Omega }\times R$ 。

设 ${\varphi }_1>0\left(\Vert {\varphi }_1\Vert =1\right)$ 是 ${\lambda }_1$ 对应的正则特征函数，则

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,t{\varphi }_1\right)}{t^p}\text{d}x}\ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{1}{p\epsilon }{\varphi }_1^p-\frac{m{\varphi }_1}{t^{p-1}}\right)\text{d}x}$ . (4)

在(4)式中令 $t\to +\infty$ ，则

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\inf {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,t{\varphi }_1\right)}{t^p}\text{d}x}\ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{1}{p\epsilon }{\varphi }_1^p\text{d}x}$ ，

由 $\epsilon >0$ 是任意的，故当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时，可得

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,t{\varphi }_1\right)}{t^p}\text{d}x}=+\infty$ 。

从而，

$\frac{J_{\lambda }\left(t{\varphi }_1\right)}{t^p}=\frac{1}{p}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,t{\varphi }_1\right)}{t^p}\text{d}x}\to -\infty \left(t\to +\infty \right)$ 。

所以当 $t_0>0$ 充分大时， $\exists e_{\lambda }=t_0{\varphi }_1\in W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)$ 且 $\Vert e_{\lambda }\Vert >\rho$ ，s. t. $J_{\lambda }\left(e_{\lambda }\right)<0$

命题3：设函数 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f2)，(f3)，(f5)，则 $J_{\lambda }\left(u\right)$ 满足(C)条件。

证：令 $\left\{u_n\right\}\subset W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)$ 满足

$J_{\lambda }\left(u_n\right)\to c$ ，且 $\left(1+\Vert u_n\Vert \right)\Vert {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right)\Vert \to 0\left(n\to \infty \right)$ . (5)

则 $\frac{1}{p}\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right),u_n\rangle =o\left(1\right)$ ，从而

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\lambda }{p}f\left(x,u_n\right)u_n-\lambda F\left(x,u_n\right)\right)\text{d}x}=c+o\left(1\right)$ . (6)

下证 $\left\{u_n\right\}$ 有界。若不然，假设存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子序列(仍记为 $\left\{u_n\right\}$ )，使得当 $n\to \infty$ 时， $\Vert u_n\Vert \to \infty$ 。令 $W_n=\frac{u_n}{\Vert u_n\Vert }$ ，则 $\Vert W_n\Vert =1$ 。从而存在 $W\in W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)$ 及 $\left\{W_n\right\}$ 的子序列(仍记为 $\left\{W_n\right\}$ )，使得当 $n\to \infty$ 时，有

$W_n\stackrel{弱}{\to }W$ 在 $W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right)$ 中；有 $W_n\stackrel{强}{\to }W$ 在 $L^q\left(\Omega \right)$ 中； $W_n\left(x\right)\to W\left(x\right)$ a.e. $x\in \Omega$ . (7)

易见， $W^{+}$ 和 $W^{-}$ 有类似于(7)的收敛性，其中 $W^{\pm }=\max \left\{\pm W,0\right\}$ 。

若 $W^{+}\equiv 0$ 。选取一个实数序列 $\left\{t_n\right\}$ ，使得 $J_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)=\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{J}_{\lambda }\left(t{u}_n\right)$ 。对任意的正整数k，定义 $V_n={\left(2pk\right)}^{\frac{1}{p}}{W}_n{}^{+}$ ，因为 $W^{+}\equiv 0$ ，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,V_n\right)\text{d}x}=0$ 。 (8)

因为 $c\Vert u_n\Vert \to +\infty \left(n\to \infty \right)$ ，则当n充分大时， $\frac{{\left(2pk\right)}^{\frac{1}{p}}}{\Vert u_n\Vert }\in \left[0,1\right]$ 。由 $t_n$ 的定义及(8)式，得

$J_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)\ge J_{\lambda }\left(\frac{{\left(2pk\right)}^{\frac{1}{p}}}{\Vert u_n\Vert }{u}_n^{+}\right)=J_{\lambda }\left({\left(2pk\right)}^{\frac{1}{p}}{W}_n^{+}\right)=J_{\lambda }\left(V_n\right)\ge 2K-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }F\left(x,V_n\right)\text{d}x}\ge K$ 。

故

$J_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)\to +\infty \left(n\to \infty \right)$ 。 (9)

由条件(f5)知， $f\left(x,0\right)=0$ ，则 $J_{\lambda }\left(0\right)=0$ 。又因为 $J_{\lambda }\left(u_n\right)\to c\left(n\to \infty \right)$ ，则当n充分大时， $0<t_n<1$ 。因此

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla \left(t_n{u}_n\right)\right|}^p\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,t_n{u}_n\right)t_n{u}_n\text{d}x}=\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right),t_n{u}_n\rangle =t_n{\frac{\text{d}{J}_{\lambda }\left(t{u}_n\right)}{\text{d}t}|}_{t=t_n}=0$ (10)

但由 $0\le t_n\le 1$ ，则 $\left|t_n{u}_n\right|\le \left|u_n\right|$ 。从而由(9)，(10)式及条件(f3)，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\lambda }{p}f\left(x,u_n\right)u_n-\lambda F\left(x,u_n\right)\right)\text{d}x}=\frac{\lambda }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(f\left(x,u_n\right)u_n-pF\left(x,u_n\right)\right)\text{d}x}\\ =\frac{\lambda }{p}{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(x,u_n\right)\text{d}x}\ge \frac{\lambda }{p\theta }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(G\left(x,t_n{u}_n\right)-{\theta }_0\right)\text{d}x}\\ =\frac{1}{\theta }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\lambda }{p}f\left(x,t_n{u}_n\right)t_n{u}_n-\lambda F\left(x,t_n{u}_n\right)\right)\text{d}x}-\frac{\lambda {\theta }_0}{p\theta }\left|\Omega \right|\\ =\frac{1}{\theta }{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{\text{1}}{p}{\left|\nabla \left(t_n{u}_n\right)\right|}^p-\lambda F\left(x,t_n{u}_n\right)\right)\text{d}x}-\frac{\lambda {\theta }_0}{p\theta }\left|\Omega \right|\\ =\frac{1}{\theta }{J}_{\lambda }\left(t_n{u}_n\right)-\frac{\lambda {\theta }_0}{p\theta }\left|\Omega \right|\to +\infty \left(n\to \infty \right)\end{array}$

这与(6)矛盾。

若 $W^{+}>0$ ，由 $\Vert u_n\Vert \to +\infty \left(n\to \infty \right)$ ，则当 $n\to \infty$ 时， $u_n^{+}\to +\infty$ a.e. $x\in {\Omega }^{+}=\left\{x\in \Omega :W^{+}>0\right\}$ 。由条件(f2)，则

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x,u_n^{+}\right)}{{\left(u_n^{+}\right)}^{p-1}}{\left(W_n^{+}\right)}^p=+\infty$ a.e. $x\in {\Omega }^{+}$ 。 (11)

由条件(f5)及(5)式，有

$\begin{array}{c}o\left(1\right)=\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_n\right),u_n\rangle ={\Vert u_n\Vert }^p-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,u_n\right)u_n\text{d}x}\\ \le {\Vert u_n\Vert }^p-\lambda {\displaystyle {\int }_{{\Omega }^{+}}f\left(x,u_n^{+}\right)u_n^{+}\text{d}x}={\Vert u_n\Vert }^p\left(1-\lambda {\displaystyle {\int }_{{\Omega }^{+}}\frac{f\left(x,u_n^{+}\right)}{{\left(u_n^{+}\right)}^{p-1}}{\left(W_n^{+}\right)}^p\text{d}x}\right)\end{array}$ ，

则

$o\left(1\right)\le 1-\lambda {\displaystyle {\int }_{{\Omega }^{+}}\frac{f\left(x,u_n^{+}\right)}{{\left(u_n^{+}\right)}^{p-1}}{\left(W_n^{+}\right)}^p\text{d}x}$ 。

由 $\lambda >0$ ，Fatou引理及(11)式，有

$1\ge \lambda \underset{n\to \infty }{\lim }\inf {\displaystyle {\int }_{{\Omega }^{+}}\frac{f\left(x,u_n^{+}\right)}{{\left(u_n^{+}\right)}^{p-1}}{\left(W_n^{+}\right)}^p\text{d}x}=+\infty$ 。

这显然是一个矛盾。

综上， $\left\{u_n\right\}$ 有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法，可知 $\left\{u_n\right\}$ 存在一个收敛子列，即 $J_{\lambda }\left(u\right)$ 满足(C)条件。

定理4：设函数 $f\left(x,t\right)$ 满足条件(f1)~(f5)，则对每一个 $\lambda >0$ ，方程(1)至少存在两个正解。

证：由命题1~3及变形的山路引理，可知 $J_{\lambda }$ 有一个临界点 $u_0^{\lambda }$ 满足 $J_{\lambda }\left(u_0^{\lambda }\right)\ge \beta >0$ 。

由 $J_{\lambda }\left(0\right)=0$ ，则 $u_0^{\lambda }\ne 0$ 。又因为

$0=\langle {J^{\prime }}_{\lambda }\left(u_0^{\lambda }\right),{\left(u_0^{\lambda }\right)}^{-}\rangle ={\Vert {\left(u_0^{\lambda }\right)}^{-}\Vert }^p-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }f\left(x,u_0^{\lambda }\right){\left(u_0^{\lambda }\right)}^{-}\text{d}x}={\Vert {\left(u_0^{\lambda }\right)}^{-}\Vert }^p\ge 0$ ，

则 $\Vert {\left(u_0^{\lambda }\right)}^{-}\Vert =0$ ，故 $u_0^{\lambda }\ge 0$ 。从而由强极大值原理知 $u_0^{\lambda }>0$ a.e. $x\in \Omega$ 。由命题1，s. t. $\exists \beta ,\rho >0$ ， $\underset{\partial B_{\rho }\left(0\right)}{\inf }{J}_{\lambda }\ge \beta >0$ 。

下证 $-\infty <\underset{\overline{B_{\rho }\left(0\right)}}{\inf }{J}_{\lambda }<0$ 。事实上，由条件(f1)及 $\lambda >0$ 知，当 $t\in \left(0,\rho \right)$ 足够小时，有

$\frac{J_{\lambda }\left(t{\varphi }_1\right)}{t^p}=\frac{1}{p}-\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{F\left(x,t{\varphi }_1\right)}{t^p}\text{d}x<0}$ 。

故

$-\infty <\underset{\overline{B_{\rho }\left(0\right)}}{\inf }{J}_{\lambda }<0<\underset{\partial B_{\rho }\left(0\right)}{\inf }{J}_{\lambda }$ .

从而由欧拉变分原理，

$\exists \left\{V_n^{\lambda }\right\}\subset B_{\rho }\left(0\right)\subset W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ ，

$s.t.\Vert {J^{\prime }}_{\lambda }\left(V_n^{\lambda }\right)\Vert \to 0,J_{\lambda }\left(V_n^{\lambda }\right)\to \underset{u\in \overline{B_{\rho }\left(0\right)}}{\inf }{J}_{\lambda }\left(u\right)$ 。

所以 $\exists V_0^{\lambda }\in \overline{B_{\rho }\left(0\right)}\subset W_0{}^{1,p}\left(\Omega \right),st:V_n^{\lambda }\to V_0^{\lambda }$ 且 $J_{\lambda }\left(V_0^{\lambda }\right)=\underset{u\in \overline{B_{\rho }\left(0\right)}}{\inf }{J}_{\lambda }\left(u\right),{J^{\prime }}_{\lambda }\left(V_0^{\lambda }\right)=0$ 。

因此， $V_0^{\lambda }$ 是 $J_{\lambda }$ 在 $\overline{B_{\rho }\left(0\right)}$ 上的一个局部极小值，从而是方程(1)的解。由于

$J_{\lambda }\left(V_0^{\lambda }\right)=\underset{u\in \overline{B_{\rho }\left(0\right)}}{\inf }{J}_{\lambda }\left(u\right)<0=J_{\lambda }\left(0\right)<\beta \le J_{\lambda }\left(u_0^{\lambda }\right)$ .

故 $V_0^{\lambda }\ne u_0^{\lambda }$ 且 $V_0^{\lambda }\ne 0$ 。由条件(f5)及极大值原理知， $V_0^{\lambda }>0$ a. e. $x\in \Omega$ 。故方程(1)至少有两个正解 $u_0^{\lambda }$ 和 $V_0^{\lambda }$ 。

基金项目

国家自然科学基金项目(11401357)；陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145)。

文章引用

曲广军. 一类非线性椭圆型边界值问题的正解
Positive Solutions for a Class of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problem[J]. 应用数学进展, 2018, 07(07): 857-862. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.77103

参考文献