上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2021年1月23日；录用日期：2021年2月17日；发布日期：2021年2月25日

摘要

本文主要研究了一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程：

$\begin{array}{l}\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}dxdy}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}dx}\right)}^{\frac{s}{3-2s}}\right]\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}\right]\\ ={\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2}u+\lambda f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u,\end{array}$

其中 $a,b>0,\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$ 为常数，且 $2_s^{\ast }=\frac{6}{3-2s}$ 为 ${ℝ}^3$ 上的Hardy-Sobolev指数。对 $f\left(x\right)$ 提供合适的假设后，利用Nehari流形和纤维映射法证明方程多重解的存在性。

关键词

Hardy-Sobolev指数，Kirchhoff型，多重解，Nehari流形

Existence of Multiple Solutions for Fractional Kirchhoff Equations with Hardy-Sobolev Critical Exponents

Shiyu Li, Gongming Wei

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Jan. 23^rd, 2021; accepted: Feb. 17^th, 2021; published: Feb. 25^th, 2021

ABSTRACT

In this paper, we study a class of critical fractional elliptic problems of Kirchhoff type：

$\begin{array}{l}\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}dxdy}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}dx}\right)}^{\frac{s}{3-2s}}\right]\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}\right]\\ ={\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2}u+\lambda f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u,\end{array}$

where $a,b>0,\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ and $q\in \left(1,2\right)$ are constants, and $2_s^{\ast }=\frac{6}{3-2s}$ is the Hardy-Sobolev exponent in ${ℝ}^3$. For a suitable function $f\left(x\right)$, we use Nehari manifold and fibering maps to prove the existence of multiple solutions.

Keywords:Hardy-Sobolev Exponent, Kirchhoff, Multiple Solutions, Nehari Manifold

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

分数阶Laplace算子最早由Liouville在1832年提出，但是之后的近百年里，关于分数阶Laplace算子的研究几乎一直处于停滞状态。直到二十世纪七十年代，关于它的研究现状才得以改善，在理论和应用上都取得了长足的发展，作为一类非局部算子，分数阶Laplace算子与整数阶Laplace算子相比不仅有本质区别也有共同之处，例如：基本解、Possion核、Harnack不等式、极值原理等。其中，含有Hardy项类型的问题也受到许多学者的重视，并得到了大量重要的结论，见文献 [1] [2] [3]。

文 [2] 研究了如下带有Hardy项的临界分数阶Laplace方程：

${\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}=u^{2_s^{*}-1},u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^N\right),$

其中 $N>2s$，$0<s<1$，$2_s^{*}=\frac{2N}{N-2s}$，$0<\mu <{\Lambda }_{N,s}$ 且 ${\Lambda }_{N,s}$ 是Hardy-Sobolev不等式的最佳嵌入常数。文 [2] 运用了约束极小方法和Lagrange乘子技巧得到了该方程正解的存在性。

文 [3] 研究了如下带有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程：

$\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla u\right|}^2-\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^2}\text{d}x}\right)}^{\frac{2-\alpha }{2}}\right]\left(-\Delta u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^2}\right)=\frac{{\left|u\right|}^{2^{*}\left(\alpha \right)-2}u}{{\left|x\right|}^{\alpha }}+\lambda \frac{f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u}{{\left|x\right|}^{\beta }},$

其中 $a,b>0,\mu \in \left[0,1/4\right),\alpha ,\beta \in \left[0,2\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$ 是常数，且 $2^{*}\left(\alpha \right)=6-2\alpha$ 为 ${ℝ}^3$ 上的Hardy-Sobolev指数。文 [3] 运用了Nehari流形和纤维映射方法证明方程多重解的存在性。

结合 [2] 中带Hardy项的临界分数阶Laplace方程的结果与 [3] 中带Kirchhoff项整数阶Laplace方程的结果，我们运用了Nehari流形、集中紧性原理和纤维映射方法证明了一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆该方程正解的存在性和多重解的存在性。

本文主要研究的一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程为：

$\begin{array}{l}\left[a+b{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\right)}^{\frac{s}{3-2s}}\right]\left[{\left(-\Delta \right)}^{s}u-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2s}}\right]\\ ={\left|u\right|}^{2_s^{*}-2}u+\lambda f\left(x\right){\left|u\right|}^{q-2}u,\end{array}$ (1.1)

其中 $a,b>0,\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$ 为常数，且 $2_s^{*}=\frac{6}{3-2s}$ 为 ${ℝ}^3$ 上的Hardy-Sobolev指数。

本文的主要创新点和难点在于临界指标下 ${\left(PS\right)}_c$ 序列的紧性证明，为此我们需要运用集中紧性原理并且精细估计收敛的泛函能量水平的阈值。据我们所知很少有文章提及问题(1.1)，因此本文的结果是对Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程已有结论的扩展和补充。

假设 $f\left(x\right)$ 满足下列条件：

(F) $0\lneqq f\left(x\right)\in L^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 且存在 $R_0>0$ 使得 $suppf\in B_{R_0}\left(0\right)$。

本文主要结论如下：

定理1.1：假设(F)成立，且 $\frac{3}{4}<s<1,\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$，$q\in \left(1,2\right)$，则对任意 $a,b>0$，我们有

1) 当 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$ 时，问题(1.1)存在至少一个正解；

2) 当 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{**}\right)$ 时，问题(1.1)存在至少两个正解；

其中 ${\Lambda }_{*}$ 和 ${\Lambda }_{**}$ 在第二部分给出。

2. Nehari流形和纤维映射

2.1. 预备知识和一些记号

定义 $L^P\left({ℝ}^3\right)\left(1\le p\le +\infty \right)$ 是具有标准范数 ${\left|u\right|}_p$ 的一般Lebesgue空间，记 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $C_c^{\infty }\left({ℝ}^3\right)$ 关于 ${\Vert \cdot \Vert }_{\stackrel{\dot{}}{H}\left({ℝ}^3\right)}$ 范数的完备化空间，其中：

$\begin{array}{l}{\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)}={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{\frac{1}{2}},\\ {\left(u,v\right)}_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(v\left(x\right)-v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}.\end{array}$

通过分数阶Hardy不等式 [4]：

${\Lambda }_{N,S}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{u^2\left(x\right)}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\le \frac{C_{N,s}}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}}$，其中 ${\Lambda }_{N,S}=2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{N+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{N-2s}{4}\right)$,

我们推出对任意 $\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$，${\stackrel{\dot{}}{H}}^S\left({ℝ}^3\right)$ 中内积和范数为：

$\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)\left(v\left(x\right)-v\left(y\right)\right)}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{uv}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x},$

$\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

对任意 $\mu \in \left[0,2^{2s}{\Gamma }^2\left(\frac{3+2s}{4}\right)/{\Gamma }^2\left(\frac{3-2s}{4}\right)\right)$ 和 $\frac{3}{4}<s<1$，我们可以定义

$S_{\mu ,s}=\inf \left\{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}:u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)和{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}=1\right\},$ (2.1)

且存在正函数 $U\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 取到 $S_{\mu ,S}$，并且满足：

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left(U\left(x\right)-U\left(y\right)\right)}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}x\text{d}y}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\mu \frac{U^2}{{\left|x\right|}^{2s}}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{U}^{2_S^{*}}\text{d}x}=S_{\mu ,S}^{\frac{3}{2s}}.$ (2.2)

因此，本文主要研究问题(1.1)多重解的存在性，且(1.1)的对应泛函为：

$J\left(u\right)=\frac{a}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{3-2s}{6-2s}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{1}{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{u}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$

相似于 [5] 中的证明，我们得到 $J\left(u\right)$ 被定义在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上并且 $J\left(u\right)$ 是 $C^1$ 泛函。更进一步，因为(1.1)的任何解都是 $J\left(u\right)$ 的临界点。因此，我们通过求泛函 $J\left(u\right)$ 的临界点来找(1.1)的解。

因为 $suppf\in B_{R_0}\left(0\right)$，通过Hölder不等式和(2.1)，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\le {\left|f\right|}_{\infty }{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}1\text{d}x}\right)}^{\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}}}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\\ \triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{\left|B_{R_0}\left(0\right)\right|}^{\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}}}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\\ \triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{\left({\displaystyle {\int }_{B_{R_0}\left(0\right)}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\right)}^{\frac{q}{2_s^{*}}}\triangleq {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q.\end{array}$ (2.3)

为了方便，我们令

${\lambda }_1\triangleq \frac{4s\sqrt{2ab}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}{\left(3-2s\right)\left(2_s^{*}-q\right){\left|f^{+}\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}\left(\frac{6-3s}{3-2s}-q\right)}>0,$

${\lambda }_2\triangleq \frac{a\left(2_s^{*}-2\right)S_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}{\left(2_s^{*}-q\right){\left|f^{+}\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}\left(2-q\right)}>0,$

${\lambda }_3\triangleq \frac{1}{2}{\left(a{S}_{\mu ,s}\right)}^{\frac{3\left(2-q\right)}{4s}}{\left(\frac{s}{3C_0}\right)}^{\frac{2-q}{2}}>0,{\lambda }_4\triangleq {\left(\frac{t_1{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_3}f\left(x\right){\left|U\right|}^q\text{d}x}}{C_{0}q}\right)}^{\frac{2-q}{q}}>0,$

${\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\},{\Lambda }_2\triangleq \max \left\{q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}},\frac{q{\lambda }_2}{2}\right\},$

${\Lambda }_{*}\triangleq \max \left\{{\Lambda }_1,{\lambda }_3,{\lambda }_4\right\},{\Lambda }_{**}\triangleq \max \left\{{\Lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4\right\}.$

2.2. 预备引理

因为 $J\left(u\right)$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上没有下界，所以我们首先研究Nehari流形。定义：

$\mathcal{N}=\left\{u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}:\langle J^{\prime }\left(u\right),u\rangle =0\right\},$

则(1.1)的任何非平凡解都属于 $\mathcal{N}$。明显地， $u\in \mathcal{N}$，当且仅当下式成立，

$a{\Vert u\Vert }^2+b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}=0且u\ne 0.$

引理2.1泛函 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上是强制的并且有下界。

证明：对任意 $u\in \mathcal{N}$，因为 $s\in \left(\frac{3}{4},1\right)$ 和 $q\in \left(1,2\right)$，我们得到

$J\left(u\right)=J\left(u\right)-\frac{1}{2_s^{*}}\langle J^{\prime }\left(u\right),u\rangle \ge \frac{as}{3}{\Vert u\Vert }^2-\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{2_s^{*}}\right){\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,$

这就得出 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上是强制的并且有下界。证毕！

对于任意 $t>0$，Nehari流形 $\mathcal{N}$ 与纤维映射 ${\phi }_u\left(t\right)=J\left(tu\right)$ 密切相关。众所周知，上述映射是由Drabek和Pohozaev [6] 提出，并且被Brown和Zhang [7] (或Chen等 [8] )进一步讨论了。对于任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 我们有

${\phi }_u\left(t\right)=\frac{a}{2}{t}^2{\Vert u\Vert }^2+\frac{3-2s}{6-2s}b{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{t^{2_s^{*}}}{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\frac{\lambda }{q}{t}^q{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

${{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=at{\Vert u\Vert }^2+b{t}^{\frac{3}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-t^{2_s^{*}-1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda t^{q-1}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

${{\phi }^{″}}_u\left(t\right)=a{\Vert u\Vert }^2+\frac{3b}{3-2s}{t}^{\frac{2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-1\right)t^{2_s^{*}-2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda \left(q-1\right)t^{q-2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$

对于任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}$ 和 $t>0$，可得

$t{{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=a{t}^2{\Vert u\Vert }^2+b{t}^{\frac{6-2s}{3-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-t^{2_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda t^q{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x},$

即当且仅当 $tu\in \mathcal{N}$，有 ${{\phi }^{\prime }}_u\left(t\right)=0$。特别地，当且仅当 $u\in \mathcal{N}$ 时，有 ${{\phi }^{\prime }}_u\left(1\right)=0$

相似于Brown和Zhang [7] 的方法，我们将 $\mathcal{N}$ 分为三个部分：

$\begin{array}{l}{\mathcal{N}}^{+}=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)>0\right\},\\ {\mathcal{N}}^0=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)=0\right\},\\ {\mathcal{N}}^{-}=\left\{u\in \mathcal{N}:{{\phi }^{″}}_u\left(t\right)<0\right\}.\end{array}$

因此，对于任意 $u\in \mathcal{N}$，可得

${{\phi }^{″}}_u\left(1\right)=a{\Vert u\Vert }^2+\frac{3b}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-1\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}-\lambda \left(q-1\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}$

$=a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}$ (2.4)

$=\frac{4as}{2s-3}{\Vert u\Vert }^2+\frac{2bs}{2s-3}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}+\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}.$ (2.5)

这与Brow和Zhang ( [7]，定理2.3)的论证相似，我们可以得到以下引理。

引理2.2假设 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $J\left(u\right)$ 在 $\mathcal{N}$ 上的局部极小点且 $u\notin {\mathcal{N}}^0$，则在 ${\left({\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\right)}^{*}$ 内有 $J^{\prime }\left(u\right)=0$。

受上述引理启发，我们将在 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$ 成立下进行研究。

引理2.3假设 $0<\lambda <{\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，则 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$。

证明：对任意 $u\in {\mathcal{N}}^0$，由(2.4)和(2.5)可知

$\begin{array}{c}2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}}\le a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)S_{\mu ,s}^{-\frac{2_s^{*}}{2}}{\Vert u\Vert }^{2_s^{*}},\end{array}$

且由(2.3)可知

$\begin{array}{c}\frac{4s}{3-2s}\sqrt{2ab}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}}\le \frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2+b\frac{2bs}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,\end{array}$

这意味着

${\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}}\le \Vert u\Vert \le {\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{\frac{4s}{3-2s}\sqrt{2ab}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{3-2s}{6-3s-q\left(3-2s\right)}}.$ (2.6)

另一方面，由(2.4)和(2.5)还可以得到

$\begin{array}{c}a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2\le a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)S_{\mu ,s}^{-\frac{2_s^{*}}{2}}{\Vert u\Vert }^{2_s^{*}},\end{array}$

且由(2.3)还可知

$\begin{array}{c}\frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2\le \frac{4as}{3-2s}{\Vert u\Vert }^2+\frac{2bs}{3-2s}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}\\ =\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \le \left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u\Vert }^q,\end{array}$

这意味着

${\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}}\le \Vert u\Vert \le {\left[\frac{\left(2_s^{*}-q\right)\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}}{a\frac{4s}{3-2s}{S}_{\mu ,s}^{\frac{q}{2}}}\right]}^{\frac{1}{2-q}}.$ (2.7)

结合(2.6)和(2.7)，得到 $\lambda >{\Lambda }_1\triangleq \max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，显然矛盾。因此对任意 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，都有 ${\mathcal{N}}^0=\varnothing$。

为了寻找(1.1)的解，我们还需要证明 ${\mathcal{N}}^{\pm }$ 非空。

引理2.4：假设(F)成立且 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，那么对任意 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)\backslash \left\{0\right\}$，存在 $t_0>0$ 和唯一的 $t^{+}$ 和 $t^{-}$ ( $0<t^{+}<t_0<t^{-}$ )使得 $t^{\pm }u\in {\mathcal{N}}^{\pm }$，$J\left(t^{+}u\right)=\underset{0\le t\le t_0}{\inf }J\left(tu\right)$ 和 $J\left(t^{-}u\right)=\underset{t\ge t_0}{\sup }J\left(tu\right)$。

证明：证明过程与( [8] Lemma 4.2]类似，故这里省略。

从引理2.3可知对任意 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，都有 $\mathcal{N}={\mathcal{N}}^{+}\cup {\mathcal{N}}^{-}$。由引理2.4可得 ${\mathcal{N}}^{\pm }\ne \varnothing$ 且由引理2.1我们可以定义 $m=\underset{u\in \mathcal{N}}{\inf }J\left(u\right)$，$m^{+}=\underset{u\in {\mathcal{N}}^{+}}{\inf }J\left(u\right)$，$m^{-}=\underset{u\in {\mathcal{N}}^{-}}{\inf }J\left(u\right)$。

引理2.5：在定理1.1的假设下，我们有

1) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_1=\max \left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2\right\}$，则 $m^{+}<0$ ；

2) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_2\triangleq \max \left\{q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}},\frac{q{\lambda }_2}{2}\right\}$，则存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。特别地， $m^{+}=m<0<m^{-}$。

证明：1) 对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{+}$，由(2.4)可得

$a\left(2-q\right){\Vert u\Vert }^2+b\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right){\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}>\left(2_s^{*}-q\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}$,

我们可以得到

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=-\frac{a\left(2-q\right)}{2q}{\Vert u\Vert }^2-\frac{b\left[6-2s-q\left(3-2s\right)\right]}{q\left(6-2s\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}+\frac{2_s^{*}-q}{2_s^{*}q}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}{\left|u\right|}^{2_s^{*}}\text{d}x}\\ <\frac{a\left(2-q\right)\left(2-2_s^{*}\right)}{2q{2}_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2-\frac{2bs\left[6-2s-q\left(3-2s\right)\right]}{q{2}_s^{*}\left(6-2s\right)\left(3-2s\right)}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}<0,\end{array}$

所以 $m^{+}<0$。

2) 我们分两种情形进行讨论。

情形1： $0<\lambda <q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}}$

由(2.6)可知，对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}$，我们有

$\Vert u\Vert >{\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2-q\right)\left(\frac{6-2s}{3-2s}-q\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3s}{3-2s}}.$ (2.8)

则对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}\subset \mathcal{N}$ 和(2.3)可得

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2+\frac{s}{\left(3-s\right)2_s^{*}}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \ge {\Vert u\Vert }^q\left[\frac{2\sqrt{ab\left(2_s^{*}-2\right)s}}{2_s^{*}\sqrt{6-2s}}{\Vert u\Vert }^{\frac{6-3s}{3-2s}-q}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}\right].\end{array}$ (2.9)

结合(2.8)和(2.9)，可得若 $0<\lambda <q{\lambda }_1/\sqrt{2\frac{6-2s}{3-2s}}$，存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。

情形2： $0<\lambda <q{\lambda }_2/2$

由(2.7)可知，对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}$，我们有

$\Vert u\Vert >{\left[\frac{a\left(2-q\right)S_{\mu ,s}^{\frac{2_s^{*}}{2}}}{2_s^{*}-q}\right]}^{\frac{3-2s}{4s}}.$ (2.10)

则对任意 $u\in {\mathcal{N}}^{-}\subset \mathcal{N}$ 和(2.3)可得

$\begin{array}{c}J\left(u\right)=\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^2+\frac{s}{\left(3-s\right)2_s^{*}}b{\Vert u\Vert }^{\frac{6-2s}{3-2s}}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}f\left(x\right){\left|u\right|}^q\text{d}x}\\ \ge {\Vert u\Vert }^q\left[\frac{a\left(2_s^{*}-2\right)}{2\cdot 2_s^{*}}{\Vert u\Vert }^{2-q}-\frac{\lambda \left(2_s^{*}-q\right)}{q{2}_s^{*}}{\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}\right].\end{array}$ (2.11)

结合(2.10)和(2.11)，可得若 $0<\lambda <q{\lambda }_2/2$，存在与b无关的 $d_0$ 使得 $m^{-}>d_0$。

3. 定理1.1的证明

利用Ekeland变分原理 [9] 和( [8]，引理5.2)，我们得到如下结果。

引理3.1：在定理1.1的假设下，我们有

1) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_1$，则 $J\left(u\right)$ 有 ${\left(PS\right)}_m$ 序列 $\left\{u_n\right\}\subset \mathcal{N}$ ；

2) 若 $0<\lambda <{\Lambda }_2$，则 $J\left(u\right)$ 有 ${\left(PS\right)}_{m^{-}}$ 序列 $\left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{N}}^{-}$。

下面引理给出了 $J\left(u\right)$ 的 ${\left(PS\right)}_c$ 条件成立的区间。

引理3.2：若 $\lambda \in \left(0,{\Lambda }_{*}\right)$，当 $c<c_{\mu ,s}^{*}-C_0{\lambda }^{2/\left(2-q\right)}$，$J\left(u\right)$ 的任何 ${\left(PS\right)}_c$ 序列都包含一个强收敛的子序列，其中

$\begin{array}{l}{c}_{\mu ,s}^{*}=\frac{as}{3}{S}_{\mu ,s}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-2s}{s}}\\ +\frac{bs\left(3-2s\right)}{3\left(6-2s\right)}{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}{\left(\frac{b{S}_{\mu ,s}^{\frac{3-s}{3-2s}}+\sqrt{b^2{S}_{\mu ,s}^{\frac{6-2s}{3-2s}}+4a{S}_{\mu ,s}}}{2}\right)}^{\frac{3-s}{s}},\end{array}$ (3.1)

$C_0$ 由引理3.3给出的正常数。

证明：设 $\left\{u_n\right\}\subset {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 是 $J\left(u\right)$ 的一个 ${\left(PS\right)}_c$ 序列。因为 $q\in \left(1,2\right)$ 和

$\begin{array}{c}c+1+o\left(1\right)\Vert u_n\Vert \ge J\left(u_n\right)-\frac{3-2s}{6-2s}\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle \\ \ge \frac{as}{6-2s}{\Vert u_n\Vert }^2-\frac{6-2s-q\left(3-2s\right)}{\left(6-2s\right)q}\lambda {\left|f\right|}_{\infty }{C}_{R_0,s,q}{S}_{\mu ,s}^{-\frac{q}{2}}{\Vert u_n\Vert }^q,\end{array}$

因此 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 上有界。因此存在子序列仍记为 $\left\{u_n\right\}$ 和 $u\in {\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$，使得当 $r\in \left[1,2_s^{*}\right)$ 时在 ${\stackrel{\dot{}}{H}}^s\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\rightharpoonup u$，在 $L_{loc}^r\left({ℝ}^3\right)$ 内 $u_n\to u$，在 ${ℝ}^3$ 内 $u_n$ 几乎处处收敛到u，且

${\left|D_s{u}_n\left(x\right)\right|}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}\frac{{\left|u_n\left(x\right)-u_n\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{3+2s}}\text{d}y.}$