辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连

收稿日期：2022年7月1日；录用日期：2022年7月27日；发布日期：2022年8月5日

摘要

本文主要通过Fock空间上Toeplitz算子符号函数的零点来刻画其亚正规性。首先介绍了以 $\overline{\left(z-a\right)}\left(z-b\right)$ 为符号的Toeplitz算子亚正规性的充分必要条件，其次描述了分别以 $\bar{z}{z}^2+\delta {\left|z\right|}^2$ 和 $\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ 为符号的Toeplitz算子亚正规性的必要条件。

关键词

Fock空间，Toeplitz算子，亚正规，零点

Hyponormal Toeplitz Operators on the Fock Space

Kaiyu Deng

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Jul. 1^st, 2022; accepted: Jul. 27^th, 2022; published: Aug. 5^th, 2022

ABSTRACT

In this paper, we mainly characterize the hyponormality of Toeplitz operator on Fock space in terms of the zeros of symbolic functions. Firstly, we introduce sufficient and necessary conditions for the hyponormality of Toeplitz operators with symbol $\overline{\left(z-a\right)}\left(z-b\right)$ . Next we find the necessary conditions for the hyponormality of Toeplitz operators with symbol $\bar{z}{z}^2+\delta {\left|z\right|}^2$ and $\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ .

Keywords:Fock Space, Toeplitz Operators, Hyponormal, Zero Point

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

正规算子在算子理论研究中具有十分重要的意义。随着对正规算子的研究逐渐深入，许多学者将正规性的概念推广得到亚正规性等概念。此外，Toeplitz算子在除数学外等许多领域上也扮演着十分重要的角色。本文的主要研究内容是Fock空间上亚正规Toeplitz算子符号函数的零点分布。

设 $\text{d}A$ 为复数域 $ℂ$ 上的Lebesgue面积测度，可以用极坐标表示为

$\text{d}A\left(z\right)=r\text{d}r\text{d}\theta$ Math_16#。

对于 $\alpha >0$ ，记 $L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 是 $ℂ$ 上所有满足下式的Lebesgue可测函数f构成的Hilbert空间，且

$\Vert f\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{ℂ}{\left|f\left(z\right)\right|}^2\text{d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}<\infty$ ，

其中 $\text{d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)=\frac{\alpha }{\pi }{\text{e}}^{-\alpha {\left|z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)$ 。对于 $f\text{,}g\in L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\right)$ ，其上的内积定义为

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}}\text{d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)$ 。

Fock空间 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 由 $L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 中所有整函数构成，是 $L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 的闭子空间。 ${\left\{e_n\left(z\right)\right\}}_{n\ge 0}$ 是 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间的正规正交基，其中 $e_n\left(z\right)=\sqrt{\frac{{\alpha }^n}{n\text{!}}}{z}^n$ ， $n\ge 0$ 。对于任意的 $z\text{,}w\in ℂ$ ， ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间上的再生核定义为 $K\left(z,w\right)={\text{e}}^{\alpha z\bar{w}}$ 。

令P为 $L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 到 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 的正交投影。对任意 $f\in L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 和 $z\in ℂ$ ，

$Pf\left(z\right)=\langle f,K\left(w,z\right)\rangle ={\displaystyle {\int }_{ℂ}f\left(w\right){\text{e}}^{\alpha \bar{w}z}}\text{d}{\mu }_{\alpha }\left(w\right)$ 。

记 $\mathcal{D}$ 为由 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间中所有再生核函数的有限线性组合张成的线性子空间，显然有 $\mathcal{D}$ 在 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 中稠密。假设f是 $ℂ$ 上满足

${\displaystyle {\int }_{ℂ}\left|f\left(w\right)K\left(w,z\right)\right|\text{d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)}<\infty$ Math_45#

的Lebesgue可测函数。以 $f\in L^2\left(ℂ\text{,d}{\mu }_{\alpha }\left(z\right)\right)$ 为符号的Toeplitz算子 $T_f:{\mathbb{F}}_{\alpha }^2\to {\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 可以被稠定义为

$T_f\left(\phi \right)=P\left(\phi f\right)$ Math_49#。

如果Hilbert空间上的有界线性算子S满足 $S^{*}S-S{S}^{*}\ge 0$ ，那么称算子S是亚正规的。目前，Toeplitz算子的亚正规性已经受到了许多学者的关注，人们对亚正规Toeplitz算子的研究也取得了一定的成果。在Hardy空间中有许多结果，见 [1] [2] [3] [4] 。其中，Cowen利用符号函数的性质得到了著名的Cowen定理。定理刻画了Toeplitz算子的亚正规性，见 [4] 。此外，Zhu通过Toeplitz算子符号函数的零点也描述了其亚正规性，见 [5] 。2008年，Nakazi利用符号函数零点得出了一个亚正规Toeplitz算子的充分必要条件，见 [6] 。在Bergman空间中，亚正规Toeplitz算子同样也是众多学者研究的重点问题，见 [7] - [14] 。特别的，1992年，Sadraoui根据符号函数边界条件给出了亚正规Toeplitz算子的必要条件，见 [7] 。除此之外，Ahern和Cuckovic探究并得到了以调和函数为符号函数的亚正规Toeplitz的必要条件，见 [12] 。对于Fock空间上亚正规Toeplitz算子的研究，目前也有一些成果，见 [15] [16] [17] [18] [19] 。

参考文献 [19] 中给出了在Fock空间中以

$\phi \left(z\right)=z^n+\lambda {\left|z\right|}^s\text{,}\lambda \in ℂ\text{,}n\in \mathbb{N}\text{,}s\in \left(0,\infty \right)\text{,}n<2\left[\frac{s}{2}\right]$ ，

为符号的Toeplitz算子亚正规的充分必要条件为 $\lambda =0$ 。此外还分别给出了Fock空间中以 $\psi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\delta {\left|z\right|}^2$ 和 $\varphi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ 为符号的Toeplitz算子亚正规的充分条件和必要条件。本文在此基础上进一步刻画 $\delta$ 和 $\gamma$ 的特征。

2. 一个充分必要条件

这一部分研究了Fock空间 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 上以 $\phi \left(z\right)=\overline{\left(z-a\right)}\left(z-b\right)$ 为符号的Toeplitz算子的亚正规性。以下是一些准备工作。

引理2.1 设 $p\text{,}q$ 为非负整数，则有

$P\left({\bar{z}}^q{z}^p\right)=\{\begin{array}{l}{\alpha }^{-q}\frac{p\text{!}}{\left(p-q\right)\text{!}}{z}^{p-q}\text{,}p\ge q\text{;}\\ 0\text{,}p<q.\end{array}$

证明由简单计算可得。

下面为本文的主要结果。

定理2.2 设 $\phi \left(z\right)=\overline{\left(z-a\right)}\left(z-b\right)$ ，其中。则 $T_{\phi }$ 作用在 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间上是亚正规的当且仅当 $a=b$ 。

证明：当 $a=b$ 时，则有 $\phi \left(z\right)={\left|z-a\right|}^2$ 。显然 $T_{\phi }$ 是自伴的，特别的， $T_{\phi }$ 是正规的，进而是亚正规的，充分性得证。

假设 $T_{\phi }$ 是亚正规的，运用Toeplitz算子的基本性质，直接计算得到

$T_{\phi }^{*}{T}_{\phi }-T_{\phi }{T}_{\phi }^{*}=\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)\left(T_{\bar{z}}{T}_z-T_z{T}_{\bar{z}}\right)+2\mathrm{Re}\left(b-a\right)\left(T_{\bar{z}}{T}_{{\left|z\right|}^2}-T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{\bar{z}}\right)$ (2.1)

任取 $f\in {\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ ，则f有幂级数展开式 $f={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{f}_k{z}^k}$ 。再根据引理2.1，得到以下两个等式

$\langle \left(T_{\bar{z}}{T}_z-T_z{T}_{\bar{z}}\right)f,f\rangle ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|f_k\right|}^2}\frac{k!}{{\alpha }^{k+1}}$ ，

$\langle \left(T_{\bar{z}}{T}_{{\left|z\right|}^2}-T_{{\left|z\right|}^2}{T}_{\bar{z}}\right)f,f\rangle ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{f}_{k+1}{\bar{f}}_k\frac{\left(k+1\right)!}{{\alpha }^{k+2}}}$ 。

将上面两个等式带入(2.1)式得到

$\langle \left(T_{\phi }^{*}{T}_{\phi }-T_{\phi }{T}_{\phi }^{*}\right)f,f\rangle =\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|f_k\right|}^2\frac{k!}{{\alpha }^{k+1}}+2\mathrm{Re}}\left(b-a\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\bar{f}}_k{f}_{k+1}\frac{\left(k+1\right)!}{{\alpha }^{k+2}}}$ (2.2)

由于 $T_{\phi }$ 是亚正规的，则有

$\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right){\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|f_k\right|}^2\frac{k!}{{\alpha }^{k+1}}-2\left|b-a\right|}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left|f_k{f}_{k+1}\right|\frac{\left(k+1\right)!}{{\alpha }^{k+2}}}\ge 0$ (2.3)

特别地，取 $f=z^k+\lambda z^{k+1}$ ( $\lambda$ 为任意复数，k为任意自然数)带入(2.3)式得

$\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)\left(\frac{k!}{{\alpha }^{k+1}}+{\left|\lambda \right|}^2\frac{\left(k+1\right)!}{{\alpha }^{k+2}}\right)-2\left|b-a\right|\frac{\left(k+1\right)!}{{\alpha }^{k+2}}\left|\lambda \right|\ge 0$ (2.4)

将上述不等式左端整理成关于 $\left|\lambda \right|$ 的二次函数，并化简得

$\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)\frac{k+1}{\alpha }{\left|\lambda \right|}^2-2\left|b-a\right|\frac{k+1}{\alpha }\left|\lambda \right|+\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)\ge 0$ (2.5)

若 ${\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\ge 0$ ，此二次型的对称轴为 $\frac{\left|b-a\right|}{{\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2}\ge 0$ ，可得

$\begin{array}{c}\Delta =4{\left|b-a\right|}^2{\left(\frac{k+1}{\alpha }\right)}^2-4{\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)}^2\frac{k+1}{\alpha }\\ =4\frac{k+1}{\alpha }\left[{\left|b-a\right|}^2\frac{k+1}{\alpha }-{\left({\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2\right)}^2\right]\le 0\end{array}$

对任意 $k\ge 0$ 成立。当 $k\to \infty$ 时，有 $a=b$ 。

若 ${\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2<0$ ，对称轴为 $\frac{\left|b-a\right|}{{\left|a\right|}^2-{\left|b\right|}^2}<0$ ，由 $\lambda$ 的任意性，(2.5)式左端小于0。综合以上讨论得， $a=b$ 。

3. 两个必要条件

这部分介绍了Fock空间 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 上以 $\psi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\delta {\left|z\right|}^2$ 和 $\varphi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ 为符号的亚正规Toeplitz算子的必要条件。

定理3.1 设 $\psi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\delta {\left|z\right|}^2$ ，其中 $\delta \in ℂ$ 。如果 $T_{\psi }$ 在 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间上是亚正规的，

则 $\left|\delta \right|\le \frac{731\sqrt{10}}{840\sqrt{\alpha }}\approx \frac{2.752}{\sqrt{\alpha }}$ 。

证明：由引理2.1可得，

$\begin{array}{l}\langle \left(T_{\psi }^{*}{T}_{\psi }-T_{\psi }{T}_{\psi }^{*}\right)f,f\rangle \\ ={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }^{-\left(k+3\right)}{\left|f_k\right|}^2\left(3k+1\right)\left(k+1\right)！}+2{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }^{-\left(k+3\right)}\mathrm{Re}\left(\delta {\bar{f}}_k{f}_{k+1}\right)\left(k+2\right)！}\end{array}$

其中 $f={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{f}_k{z}^k}\in {\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 。

如果 $T_{\psi }$ 是亚正规的，则

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }^{-k}{\left|f_k\right|}^2\left(3k+1\right)\left(k+1\right)！}-2\left|\delta \right|{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }^{-k}\left|f_k{f}_{k+1}\right|\left(k+2\right)！}\ge 0$ (3.1)

特别的，令 $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(\sqrt{\alpha }R\right)}^k}{k\text{!}}{z}^k}$ ，其中。代入上式化简得

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left(3k^2+7k+4\right)\frac{R^{2k}}{k!}}-2\left|\delta \right|{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{\alpha }\left(k+2\right)\frac{R^{2k+1}}{k!}\ge 0}$ (3.2)

此外，(3.2)式等价于

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left[3k\left(k-1\right)+10k+4\right]\frac{R^{2k}}{k!}}-2\left|\delta \right|{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\sqrt{\alpha }\left(k+2\right)\frac{R^{2k+1}}{k!}\ge 0}$ (3.3)

进一步可以将(3.3)式写成

$\left[3R^4+10R^2+4-2\sqrt{\alpha }\left|\delta \right|R\left(R^2+2\right)\right]{\text{e}}^{R^2}\ge 0$ ，

等价于

$\left|\delta \right|\le \frac{3R^4+10R^2+4}{\left(2R^3+4R\right)\sqrt{\alpha }}$ ，

特别地，当 $R=\frac{\sqrt{10}}{4}$ 时，计算可得 $\left|\delta \right|\le \frac{731\sqrt{10}}{840\sqrt{\alpha }}\approx \frac{2.752}{\sqrt{\alpha }}$ 。

此定理得到的必要条件比参考文献 [19] 的结果更精细。

下面将符号函数换成 $\varphi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ ，并探究Toeplitz算子 $T_{\varphi }$ 为亚正规的必要条件。

定理3.2 设 $\varphi \left(z\right)=\bar{z}{z}^2+\gamma \bar{z}$ ，其中 $\gamma \in ℂ$ 。如果 $T_{\varphi }$ 在 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间上是亚正规的，

则 $\left|\lambda \right|\le \frac{\sqrt{18-2\sqrt{51}}}{\alpha }\approx \frac{1.928}{\alpha }$ 。

证明：同定理2.2相似的计算方法，可以得到

$T_{\varphi }^{*}{T}_{\varphi }-T_{\varphi }{T}_{\varphi }^{*}=T_{\bar{z}{z}^2}^{*}{T}_{\bar{z}{z}^2}-T_{\bar{z}{z}^2}{T}_{\bar{z}{z}^2}^{*}+2\mathrm{Re}\gamma \left(T_{\bar{z}{z}^2}^{*}{T}_{\bar{z}}-T_{\bar{z}}{T}_{\bar{z}{z}^2}^{*}\right)+{\left|\gamma \right|}^2\left(T_{\bar{z}}^{*}{T}_{\bar{z}}-T_{\bar{z}}{T}_{\bar{z}}^{*}\right)$ 。

令 $a_{ij}=\langle \left(T_{\varphi }^{*}{T}_{\varphi }-T_{\varphi }{T}_{\varphi }^{*}\right)e_j\text{,}{e}_i\rangle$ ，其中 $i\text{,}j\ge 0$ 。应用引理2。1通过简单计算可以得到，当 $j<2$ 时，

$a_{00}=4{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1},a_{20}=-\bar{\gamma }{\alpha }^{-2}\sqrt{2},a_{11}=14{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1},a_{31}=-\bar{\gamma }{\alpha }^{-2}\sqrt{6}$ ；

当 $j\ge 2$ 时，

$a_{jj}={\alpha }^{-3}\left(3j^2+7j+4\right)-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}$ ，

$a_{j-2,j}=-\gamma {\alpha }^{-2}\sqrt{j\left(j-1\right)}$ ，

$a_{j,j-2}=-\bar{\gamma }{\alpha }^{-2}\sqrt{j\left(j-1\right)}$ 。

由此可以得到算子 $T_{\varphi }^{*}{T}_{\varphi }-T_{\varphi }{T}_{\varphi }^{*}$ 的矩阵表示，并将其记作A，那么有

$A=\left(\begin{array}{ccccc}4{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}& 0& -\bar{\gamma }{\alpha }^{-2}\sqrt{2}& 0& \cdot \cdot \cdot \\ 0& 14{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}& 0& -\bar{\gamma }{\alpha }^{-2}\sqrt{2}& \cdot \cdot \cdot \\ -\gamma {\alpha }^{-2}\sqrt{2}& 0& 30{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}& 0& \cdot \cdot \cdot \\ 0& -\gamma {\alpha }^{-2}\sqrt{6}& 0& 52{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}& \cdot \cdot \cdot \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right).$

如果 $T_{\varphi }$ 在 ${\mathbb{F}}_{\alpha }^2$ 空间上是亚正规的，那么矩阵A是正定矩阵。矩阵A的任意顺序主子式都是非负的。特别地，矩阵A的一阶顺序主子式和三阶顺序主子式非负，所以有

$4{\alpha }^{-3}-{\left|\gamma \right|}^2{\alpha }^{-1}\ge 0$ ，

以及

$-{\alpha }^{-3}{\left|\gamma \right|}^6+50{\alpha }^{-5}{\left|\gamma \right|}^4-624{\alpha }^{-7}{\left|\gamma \right|}^2+1680{\alpha }^{-9}\ge 0$ 。

结合两个不等式得到 $\left|\lambda \right|\le \frac{\sqrt{18-2\sqrt{51}}}{\alpha }\approx \frac{1.928}{\alpha }$ 。

相同的，这个必要条件也比参考文献 [19] 更接近于充分必要条件。定理3.1和定理3.2的充分必要条件解决起来是需要十分具有创新性的技术。

文章引用

邓开予. Fock空间亚正规的Toeplitz算子
Hyponormal Toeplitz Operators on the Fock Space[J]. 应用数学进展, 2022, 11(08): 5122-5127. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.118537

参考文献