Pure Mathematics
Vol.06 No.03(2016), Article ID:17657,6
pages
10.12677/PM.2016.63034
Some Notes on R-Semi Topological Space
Jian Zhong, Daofu Chen, Peiyong Zhu
School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu Sichuan
Received: May 6th, 2016; accepted: May 18th, 2016; published: May 26th, 2016
Copyright © 2016 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
ABSTRACT
Firstly, the concepts of Right-semi topology (i.e., R-semi-topological) are introduced by means of generalized topological spaces. Then, under the definition of Right-semi topology, nature that has been hereditary is explored, and nature that cannot be inherited is also illustrated combing with examples.
Keywords:Generalized Topological Space, R-Semi Topology, R-Neighbourhood, R-Net
关于R-半拓扑空间上的一些结果
钟健,陈道富,朱培勇
电子科技大学数学科学学院, 四川 成都
Email: 1027150421@qq.com, 744163393@qq.com, zpy6940@uestc.edu.cn
收稿日期:2016年5月6日;录用日期:2016年5月18日;发布日期:2016年5月26日
摘 要
类比A. Csaszar等人给出的广义拓扑空间关于一些性质的研究,引入R-半拓扑空间,在R-半拓扑的定义下,遗传了一般拓扑中的哪些性质,并且结合例子说明哪些性质不能被遗传。
关键词 :广义拓扑空间,R-半拓扑,R-领域,R-网
1. 引言与预备
广义拓扑空间概念是有匈牙利数学家A. Csaszar于2002年在文献 [1] 中提出,并且对广义拓扑空间的性质进行了研究,得出了一些很好的结果(参见文献 [1] - [6] )。由于广义拓扑实际上是一个半拓扑,最近文献 [7] 把广义拓扑空间重新命名为上半拓扑空间。进而,引入下半拓扑与下半拓扑空间的概念,并且获得了关于下半拓扑的一系列结果;文献 [8] 类比的将拓扑空间剖分成左半拓扑与右半拓扑,并得到了关于左半拓扑的一系列结果。在此,一个自然的问题是:能否类比文献 [8] ,在右半拓扑上也得到一些类似的结果呢?本文就这个问题进行了部分研究。
2. R-半拓扑空间
首先给出R-半拓扑空间的定义以及相关概念。
定义1.1 设是一个非空集合,是的一些子集构成的集族,如果下列两个条件满足:
(1);
(2) 若,则。
则称为集合上的一个R-半拓扑,并且称有序偶为一个R-半拓扑空间,集族中的每一个集合都称为R-半拓扑空间的R-开集。我们把R-半拓扑空间中只含一个元素的集合称为单元集。
定义2.1 设为R-半拓扑空间,,如果,使得,则称为点的一个R-领域。点的领域全体称为点的R-领域系,记作,并称为由拓扑导出的的R-领域系。
定理2.1 设为R-半拓扑空间,为由拓扑导出的的R-领域系,则满足下列条件:
(N1) 若则;
(N2) 若,则;
(N3) 若,则;
(N4) 若,则,使得并且对于,有。
证明 由R-领域的定义,(N1)和(N2)成立时显然的。又设,则,使得且。令,则,并且。故。因此(N3)真。
现在验证(N4)。设,则,使令故并且。另外,对于因为,使得。再由R-领域的定义,。从而(N4)真。
定义2.2 设为R-半拓扑空间,若,则称为的R-闭集。
由R-半拓扑空间的定义和公式可以直接得到:
定理2.2 设为R-半拓扑空间,F为的R-闭集的全体,则满足条件:
(F1);
(F2) 若,。
定义2.3 设为R-半拓扑空间,,若 (即使得),则称点为点集的R-内点。点集的R-内点的全体称为的R-内部,记为或。
定义2.4 设为R-半拓扑空间,,如果,有或,则称为的R-聚点。点集的R-聚点的全体称为的R-导集,记为。
根据R-内点和R-聚点的定义,显然有的R-内点不一定是的R-聚点,下面给出例子。
例1 设,显然有,即点是的R-内点,并且易知点不是的R-聚点。
其实,我们从R-聚点的定义也可以看出,点是不是集合的R-聚点,与本身并无直接联系,只需看R-半拓扑空间中有没有包含点的单元集.就如上面的例子,把改成,虽然点不在中,但点仍是的R-聚点。
由定义2.4可以直接得出:
设为R-半拓扑空间,,若,则,点是的聚点。
定义2.5 设为R-半拓扑空间,,记,则称为的R-闭包。
定理2.3 设为R-半拓扑空间,。
(1)
(2)
证明:(1) 若,则。故,使得。又因为,故。这与已知矛盾,因此。
(2) 设,则或者。若,则;若,则,由R-聚点的定义,并且,则对。从而也有。
但是,下面给出例子:
例2 设,则,,但,有。
定理2.4 设为R-半拓扑空间,则的任意子集与其R-闭包满足下列条件:
(C1);
(C2);
(C3)。
证明 (C1);
(C2) 设,不妨设,若,则;若,即。从而。
反过来,设,若,则;若,如果,则,使得,并且。所以,有。这与矛盾,即,从而。
从而。
(C3) 只要证即可。事实上,,若,则;若,则由定理2.3,,有因为是的R-领域,则存在R=开集,使得,又因,则。取,则再由定理2.3,。从而。于是。故。
推论2.2 与一般拓扑空间比较,R-半拓扑空间并不一定为空集。
例3 设,点是的R-聚点,即。
定理2.5为R-闭集。
证明 设为R-闭集,则为R-开集.为证,我们只需证。事实上,若,则,即,使得。这与矛盾。所以,故。
例4 设。显然。但不是R-闭集.即。为R-闭集。
3. R-可分拓扑空间的相关概念与简单性质
定义3.1 设为R-半拓扑空间,若则称为的稠密子集。如果中存在一个可列集,使得,则称为R-可分拓扑空间。
定义3.2 设,若,使得则称为集合的R-孤立点。
推论3.1 设为R-半拓扑空间,,,点是R-孤立点或R-聚点。
(由R-聚点和R-孤立点的定义可以直接得到)
设为R-半拓扑空间,是中的任意非空子集,记则不难验证,为上的一个R-半拓扑。
定义3.3 R-半拓扑称为上R-半拓扑的一个R-子拓扑。R-半拓扑空间称为是的R-半拓扑子空间.为了方便,常常简称为的子空间。
定理3.1 设为的子空间,为的子空间,则为的子空间。
证明 设是上拓扑并且,我们只需证。事实上,,使得。又对于,使得。从而。所以。
反过来,使得,即,使得,即。从而。因此,即是的子空间。
定理3.2 设并且是R-半拓扑空间的一个子空间,则
(1) 如果分别记和为与上的全体R-闭集构成的集族,则;
(2) 如果分别记和为与上点的领域系,则。
证明 设上的R-半拓扑为,则子空间上的R-半拓扑为。
(1),因,则,使得,故。又因。因此。
反过来,,,使得。故。
因此。从而成立。
(2) 若,显然,若,对于,令,则。接着证。因为,则,使得。又,使得,故。这是必有。这是因为对于,若,则;若,则。因此。故。
反过来,若,显然,若,使得。故有。所以,即。于是。
在一般拓扑空间中有:
设是拓扑空间的子空间,,则
(1);
(2),和分别表示点集在子空间中导集和闭包。
这两条性质在一般拓扑空间中成立,但在R-半拓扑空间并不成立。下面举例说明:
(注意:下面的符号表示采用的是拓扑空间中的符号表示)
(1) 设,。则。显然。
(2) 依然采用(1)中例子,这时。显然。
4. R-网与其收敛
定义4.1 设为半序集,若,使得且,则称为一个定向集。
定义4.2 设为一个R-半拓扑空间,为一个定向集,则映射称为是上的一个R-网(或者R-定向点列),记为或记为,其中。为书写方便,在不发生混淆时,通常把简写成。
定义4.3 设是R-半拓扑空间中点的一个R-网,。
(1) 称R-网终在内,如果,使得恒有;
(2) 称R-网收敛于或称以为极限。记为或,如果R-网终在点的每一个领域内。
例4.1 设为一个R-半拓扑空间,为中点的领域系,为一个定向集(证明略)。,取,则是一个网,其中的取法是任意的。
例4.2 上面的网收敛于。
证明,使得,当时,有。故。
定理4.1 设为一个R-半拓扑空间,,则
(1),当且仅当存在网,使得;
(2),当且仅当存在中网,使得;
(3)位R-开集当且仅当不存在中网收敛中的点。
证明 (1) 设,则,又。取定,故是中的一个网,并且。
反过来,设网,使得。则,使得,当时,有。故。因此。
(2),若,且,又(1)的必要性,网,使得。若,取常值网,则为中网并且。
反过来,设并且。则,当时,有,故。由定理2.3,有。
(3) 设为中R-开集。如果存在网,使得,则,当时,。这与矛盾。
反过来,若不为中开集,则,使得,有。即。取,则是中网,并且。则与中不存在网收敛于中的点矛盾。
5. 小结
本文类比文献 [7] 引入上、下半拓扑空间的方法,根据文献 [8] 定义的左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑)的概念。类比L-半拓扑空间,在R-半拓扑空间上建立了点集的基本概念与理论,得到其开集、闭集、导集、网与网收敛的一些基本结果。从而,使得拓扑空间的相应结论得到推广。在此基础上,通过一些反例来说明在R-半拓扑空间中一些拓扑性质的不成立。
致 谢
感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。
文章引用
钟 健,陈道富,朱培勇. 关于R-半拓扑空间上的一些结果
Some Notes on R-Semi Topological Space[J]. 理论数学, 2016, 06(03): 217-222. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2016.63034
参考文献 (References)
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