ABSTRACT

A new model is proposed for sparse signal reconstruction. We smooth our model by smoothing absolute value function. Then we use a new tri-term conjugate gradient method to restore sparse signal. The effect of different parameters on sparse signal recovery is tested. The numerical results show that our algorithm is efficient.

Keywords:Sparse Signal Recovery, Conjugate Gradient Method, $l_p+l_2$ Norm, Global Convergence

求解基于 $l_p+l_2$ 范数问题的共轭梯度法

詹佳明，乌彩英^*

内蒙古大学数学科学学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2019年2月28日；录用日期：2019年3月13日；发布日期：2019年3月20日

摘 要

本文针对稀疏信号的重构问题提出新的函数模型，通过光滑化绝对值函数光滑我们的模型，基于三项共轭梯度法对稀疏信号进行恢复，并试验了不同参数值对稀疏信号恢复效果的影响，数值实验表明本文算法的数值有效性。

关键词 :稀疏信号恢复，三项共轭梯度法， $l_p+l_2$ 范数，全局收敛性

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1. 引言

压缩感知技术在信号重构问题中有着广泛的应用，而稀疏性是压缩感知中的重要问题。2006年，E. Candes，J. Romberg和T. Tao在文献 [1] 中提出，若矩阵A满足RIP条件，则可以通过下述模型(1)精确恢复信号：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\Vert x\Vert }_0,\text{s}\text{.t}.Ax=b.$ (1)

其中 $A\in R^{m\times n}\left(m<n\right)$ 为观测矩阵， $b\in R^m$ 为原始信号， ${\Vert x\Vert }_0$ 表示0范数，即稀疏信号x中非零元素的个

数。但该问题是NP-hard问题 [2] ，因此学者们考虑了如下的凸优化问题：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\Vert x\Vert }_1,\text{s}\text{.t}.Ax=b.$ (2)

(2)称作1范数模型，在适当的假设下，由文献 [3] 的定理1.3可知，模型(2)可以较精确地恢复原始信号。

由于问题(2)的凸性，有许多有效算法可求解之，如基追踪法 [4] ，迭代阈值方法 [5] 。近年来，p ( $0<p<1$ )拟范数模型受到学者们的青睐，因p范数较1范数更能得到稀疏解，尤其是徐宗本提出p = 0.5时具有较好的计算效果 [6] 。p范数模型为：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\Vert x\Vert }_{\text{p}},\text{s}\text{.t}.Ax=b.$ (3)

由于 $0<p<1$ ，故问题(3)为非凸问题，且与0范数同样是NP-hard问题。文献 [1] 中作者利用光滑逼近 $\left|\cdot \right|$ 函数进而光滑逼近p范数。受到该文的启发，本文利用文献 [7] [8] 中的光滑逼近 $\left|\cdot \right|$ 函数技术光滑逼近p范数，且结合p范数与2范数各自的优点，利用p范数与2范数加权的方法弥补由于p过小而引起的数值不稳定，从而应用共轭梯度法进行信号恢复，并在适当的假设下，证明了算法的全局收敛性，同时进行了数值测试，测试结果证明我们的方法是有效的。

2. 模型及其性质

我们考虑如下模型：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2,\text{s}\text{.t}.Ax=b.$

其中 ${\lambda }_{\text{1}},{\lambda }_{\text{2}}\in R$ 。该问题的正则化问题为：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2+\frac{1}{2}{\Vert Ax-b\Vert }_2^2.$ (4)

其模型较p范数模型(3)，加入了一项2范数项进行调节p过小时目标函数的非凸程度，以p = 0.3时为例，依次做 $R={\lambda }_2/{\lambda }_1=0,1,10,100$ 时的范数图像，如图1至图4所示：

图1. R = 0范数图像

图2. R = 1范数图像

图3. R = 10范数图像

图4. R = 100范数图像

可见通过适当调整 ${\lambda }_{\text{1}},{\lambda }_{\text{2}}$ 取值在保证产生稀疏解的同时可以增强问题的凸性。由p范数的定义 ${\Vert x\Vert }_p={\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left|x_i\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}$ 可知，由于 $\left|x\right|$ 的非光滑性，导致 ${\Vert x\Vert }_p$ 是非光滑的，因而我们通过光滑绝对值函数 $\left|x\right|$ 对 ${\Vert x\Vert }_p$ 进行光滑逼近。文献 [8] 中对绝对值函数提出如下两个光滑函数：

${\phi }_{\text{1}}\left(\epsilon ,t\right)=\{\begin{array}{l}t,t\ge \frac{\epsilon }{2},\\ \frac{t^2}{\epsilon }+\frac{\epsilon }{4},-\frac{\epsilon }{2}<t<\\ -t,t\le -\frac{\epsilon }{2}.\end{array}\frac{\epsilon }{2}$ 及 ${\phi }_{\text{2}}\left(\epsilon ,t\right)=\{\begin{array}{l}\frac{t^2}{2\epsilon },\left|t\right|\le \epsilon ,\\ \left|t\right|-\frac{\epsilon }{2},\left|t\right|>\epsilon .\end{array}$ (5)

利用 ${\phi }_i\left(i=1,2\right)$ ，我们得到的模型为：

$\min {\lambda }_1{\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_{2,\mu }+\frac{1}{2}{\Vert Ax-b\Vert }_2^2.$ (6)

其中，

${\varphi }_i\left(x\right)={\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i{\left(\epsilon ,x_j\right)}^p}\right]}^{\frac{1}{p}},i=1,2,$ (7)

${\Vert x\Vert }_{2,\mu }=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2+{\mu }^2},\mu >0.$

为叙述方便，令：

$G_i\left(x\right)={\lambda }_1{\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_{2,\mu }+\frac{1}{2}{\Vert Ax-b\Vert }_2^2,\left(i=1,2\right).$ (8)

计算函数 $G_i\left(x\right)$ 的梯度：

$\nabla G_i\left(x\right)={\lambda }_1\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)+{\lambda }_2\nabla {\Vert x\Vert }_{2,\mu }+A^{\text{T}}\left(Ax-b\right).$ (9)

引理1 设D为 $R^n$ 中的紧集，若 $h:D\to R$ 是D上的光滑函数，则h在D上满足Lipschitz条件，即：

$\Vert h\left(x\right)-h\left(y\right)\Vert \le L\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in D.$

其中 $L>0$ 称为Lipschitz常数。

证明：对 $\forall x,y\in D$ ，由 $h\left(x\right)$ 的光滑性及Lagrange中值定理可知：

$\left|h\left(x\right)-h\left(y\right)\right|=\left|\nabla h^{\text{T}}\left(\xi \right)\left(x-y\right)\right|\le \Vert \nabla h\left(\xi \right)\Vert \cdot \Vert x-y\Vert$ ，其中 $\xi$ 位于 $x,y$ 之间。

因D为紧集，则 $\exists L>0$ ， $\Vert \nabla h\left(\xi \right)\Vert \le L$ ，从而 $\Vert h\left(x\right)-h\left(y\right)\Vert \le L\Vert x-y\Vert$ 。

引理2设 $D\subset R^n$ 为紧集， $f,g:D\to R$ 在D上Lipschitz连续，则 $f\cdot g$ 在D上Lipschitz连续。

证明：因D紧且f和g均在D上Lipschitz连续，则 $\exists M>0,\forall L_1>0,L_2>0$ ，满足：

$\left|f\left(x\right)\right|\le M,\left|g\left(x\right)\right|\le M,\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le L_1\Vert x-y\Vert ,\left|g\left(x\right)-g\left(y\right)\right|\le L_2\Vert x-y\Vert ,\forall x,y\in D.$

对 $\forall x,y\in D$ ，有：

$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(y\right)g\left(y\right)\right|\\ =\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(y\right)g\left(x\right)+f\left(y\right)g\left(x\right)-f\left(y\right)g\left(y\right)\right|\\ \le \left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|+\left|f\left(y\right)\right|\left|g\left(x\right)-g\left(y\right)\right|\\ \le M{L}_1\Vert x-y\Vert +M{L}_2\Vert x-y\Vert \\ =M\left(L_1+L_2\right)\Vert x-y\Vert .\end{array}$

引理3 若 ${\phi }_i\left(i=1,2\right)$ 由(5)定义，则 ${{\phi }^{\prime }}_i\left(\epsilon ,t\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续。

证明：对于 $i=1$ 的情况，我们有：

${{\phi }^{\prime }}_i\left(\epsilon ,t\right)=\{\begin{array}{l}\mathrm{sgn}\left(t\right),\left|t\right|\ge \frac{\epsilon }{2},\\ \frac{2t}{\epsilon },\left|t\right|<\frac{\epsilon }{2}.\end{array}$

当 $\frac{\epsilon }{2}>t_1>t_2>-\frac{\epsilon }{2}$ 时，有：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_2\right)\right|\le \left|\frac{2t_1}{\epsilon }-\frac{2t_2}{\epsilon }\right|=\frac{2}{\epsilon }\left|t_1-t_2\right|.$

当 $t_1>\frac{\epsilon }{2}>t_2>-\frac{\epsilon }{2}$ 时，有：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_2\right)\right|=\left|1-\frac{2t_2}{\epsilon }\right|<\left|\frac{2t_1}{\epsilon }-\frac{2t_2}{\epsilon }\right|=\frac{2}{\epsilon }\left|t_1-t_2\right|.$

当 $\frac{\epsilon }{2}>t_1>-\frac{\epsilon }{2}>t_2$ 时，有：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_2\right)\right|=\left|\frac{2t_1}{\epsilon }+1\right|<\left|\frac{2t_1}{\epsilon }-\frac{2t_2}{\epsilon }\right|=\frac{2}{\epsilon }\left|t_1-t_2\right|.$

当 $t_1>\frac{\epsilon }{2}>-\frac{\epsilon }{2}>t_2$ 时，有：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_2\right)\right|=2=\frac{2}{\epsilon }\epsilon \le \frac{2}{\epsilon }\left|t_1-t_2\right|.$

当 $t_1>t_2>\frac{\epsilon }{2}$ 或 $-\frac{\epsilon }{2}>t_1>t_2$ 时，有：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_1\left(\epsilon ,t_2\right)\right|=0\le \frac{2}{\epsilon }\left|t_1-t_2\right|.$

令 $L_1=\frac{2}{\epsilon }$ ，同理可证存在常数 $L_2$ 使得 ${{\phi }^{\prime }}_2\left(t\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续。

最终令 $L_m=\max \left\{L_1,L_2\right\}$ ，我们得到：

$\left|{{\phi }^{\prime }}_i\left(\epsilon ,t_1\right)-{{\phi }^{\prime }}_i\left(\epsilon ,t_2\right)\right|\le L_m\left|t_1-t_2\right|,\forall t_1,t_2\in D,i=1,2.$

引理4 函数 ${\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)$ 由(7)所定义，则 $\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续。

证明：计算得：

${\left[\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)\right]}_j={\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i^p\left(\epsilon ,x_j\right)}\right)}^{\frac{1-p}{p}}{\phi }_i^{p-1}\left(\epsilon ,x_j\right){\phi }^{\prime }\left(\epsilon ,x_j\right).$

因 ${\phi }_i$ 连续可微，且 $\epsilon \ne 0,{\phi }_i\ne 0$ ，我们有 ${\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i^p\left(\epsilon ,x_j\right)}\right)}^{\frac{1-p}{p}}$ 和 ${\phi }_i^{p-1}$ 均连续可微。假设集合D有界，则D为紧集，由引理1知 ${\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i^p\left(\epsilon ,x_j\right)}\right)}^{\frac{1-p}{p}}$ 及 ${\phi }_i^{p-1}$ 在紧集D上Lipschitz连续。

同时由引理3可知 ${\phi }^{\prime }\left(\epsilon ,x_j\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续，则由引理2可知：

${\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\phi }_i^p\left(\epsilon ,x_j\right)}\right)}^{\frac{1-p}{p}}\cdot {\phi }_i^{p-1}\left(\epsilon ,x_j\right)\cdot {\phi }^{\prime }\left(\epsilon ,x_j\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续，记Lipschitz常数为 $L_D$ ，那么有：

$\Vert \nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)-\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,y\right)\Vert \le {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Vert {\left[\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)\right]}_j-{\left[\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,y\right)\right]}_j\Vert }\le n{L}_D\Vert x-y\Vert .$

即 $\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续。

引理5 $\nabla {\Vert x\Vert }_2$ 在紧集D上Lipschitz连续。

证明：计算得 $\nabla {\Vert x\Vert }_2=\left[\frac{x_1}{{\Vert x\Vert }_2},\frac{x_2}{{\Vert x\Vert }_2},\cdots ,\frac{x_n}{{\Vert x\Vert }_2}\right]$ ，由引理1可知 $\frac{x_j}{\Vert x\Vert }$ 在水平集上光滑，则 $\frac{x_j}{\Vert x\Vert }$ 在紧集D上Lipschitz连续，记Lipschitz常数为 $L_c$ ，则：

$\Vert \nabla {\Vert x\Vert }_2-\nabla {\Vert y\Vert }_2\Vert \le n{L}_c\Vert x-y\Vert .$

引理6 目标函数梯度 $\nabla G_i\left(x\right)$ 由(9)所定义，则 $\nabla G_i\left(x\right)$ 在紧集D上Lipschitz连续。

证明：计算得 $\nabla G_i\left(x\right)={\lambda }_1\nabla {\phi }_i\left(\epsilon ,x\right)+{\lambda }_2\nabla {\Vert x\Vert }_{2,\mu }+A^{\text{T}}\left(Ax-b\right)$ ，则：

$\begin{array}{l}\Vert \nabla G_i(x)-\nabla G_i(y)\Vert \\ =\Vert {\lambda }_1\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,x\right)+{\lambda }_2\nabla {\Vert x\Vert }_{2,\mu }+A^{\text{T}}\left(Ax-b\right)-{\lambda }_1\nabla {\varphi }_i\left(\epsilon ,y\right)-{\lambda }_2\nabla {\Vert y\Vert }_{2,\mu }-A^{\text{T}}\left(Ay-b\right)\Vert \\ \le {\lambda }_{1}n{L}_D\Vert x-y\Vert +{\lambda }_{2}n{L}_C\Vert x-y\Vert +{\Vert A\Vert }_2^2\Vert x-y\Vert \\ =\left({\lambda }_{1}n{L}_D+{\lambda }_{2}n{L}_C+{\Vert A\Vert }_2^2\right)\Vert x-y\Vert .\end{array}$

3. 基于非精确线搜索的三项共轭梯度法

求问题 $\underset{x\in R^n}{\text{min}}f\left(x\right)$ 的共轭梯度法的具体迭代过程如下：

$\begin{array}{l}{x}_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{d}_k,\\ d_k=\{\begin{array}{l}-g_k,k=0,\\ -g_k+{\beta }_{k-1}{d}_{k-1},k>0.\end{array}\end{array}$

其中 $x_k$ 代表当前迭代点， $d_k$ 代表当前搜索方向， ${\alpha }_k$ 代表搜索步长， $g_k=\nabla G\left(x_k\right)$ ，不同的 ${\beta }_k$ 代表不同

的共轭梯度算法。Shouqiang Du和Miao Chen在文献 [9] 中提出了一种新型三项共轭梯度法。具体迭代过程如下：

$d_k=\{\begin{array}{l}-g_k,k=0,\\ -g_k+{\beta }_{k-1}{d}_{k-1}-{\theta }_{k-1}{y}_{k-1},k>0.\end{array}$

其中新加入项 $-{\theta }_{k-1}{y}_{k-1}$ 可以每步迭代确保目标函数值严格下降，使计算效率更高.本文将利用该共轭梯度法解决信号恢复问题。

算法1 (基于非精确线搜索的共轭梯度法)

步0给出初始参数 $\mu ,\epsilon ,\eta ,\delta ,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\rho ,\sigma ,x_0,{\mu }_0,\gamma$ ，置 $k:=0$ 。

步1若满足终止准则 $\Vert \nabla G_i\left(x\right)\Vert <\epsilon$ ，停止计算，输出结果 $x_k\approx x^{*}$ ；否则，转步2。

步2计算搜索方向：

$d_k=\{\begin{array}{l}-g_k,k=0,\\ -g_k+{\beta }_{k-1}{d}_{k-1}-{\theta }_{k-1}{y}_{k-1},k>0.\end{array}$

其中，

$y_k=g_k-g_{k-1},{\beta }_k=\frac{g_k^{\text{T}}{y}_{k-1}}{-\eta g_{k-1}^{\text{T}}{d}_{k-1}+\mu \left|g_k^{\text{T}}{y}_{k-1}\right|},{\theta }_k=\frac{g_k^{\text{T}}{d}_{k-1}}{-\eta g_{k-1}^{\text{T}}{d}_{k-1}+\mu \left|g_k^{\text{T}}{y}_{k-1}\right|}.$

步3令 ${\alpha }_k=\text{max}\left\{{\rho }^m:m=0,1,2,\cdots \right\}$ ，同时满足：

$G\left(x_k+{\alpha }_k{d}_k\right)>G\left(x_k\right)-2\sigma \left(1-\gamma {\mu }_0\right){\alpha }_{k}G\left(x_k\right).$

步4令 $x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{d}_k$ ，计算 $g_{k+1}=\nabla G\left(x_{k+1}\right)$ 。

步5令 $k:=k+1$ ，转步1。

假设1令 $c>0$ 为常数，假设水平集 $L_c=\left\{x_k|G\left(x_k\right)\le c\right\}$ 是紧集。

定理1 若 $\left\{x_k\right\}$ 是由算法1产生的序列，则：

$\underset{k\to 0}{\text{lim}}\Vert \nabla G\left(x_k\right)\Vert =0.$

证明：由文献 [9] 中定理6，本文引理6及假设1可得。

4. 数值实验

本节实验在Intel Core i7-6500U 2.50GHz CPU，8G RAM，Windows10 64位操作系统，MATLAB R2016a环境下进行，所有数值实验结果为测试十次取平均值。

我们对两个不同的绝对值近似函数 ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$ 分别在信号维数n取2048，4096，8192三种情况下，测试随机信号在无噪声和存在噪声干扰时的恢复效果.通过对比信号恢复时间t，相对误差e和迭代步数k来比较范数p和R对算法对信号恢复效果的影响。参数取值如下：A为 $m\times n$ 的随机高斯矩阵，x为n维随机初始信号， $x0=zeros\left(n,1\right)$ 为初始点， $gs=normnd\left(0,0.01,n/2,1\right)$ 是一个平均值是0，标准差是0.01的对观测向量b的噪声干扰，p取0.3，0.4，0.5，0.6，R取0，1，10，100 (当R = 0时代表2范数项为0，即目标函数为p范数模型)，其他参数取值如下：

$\mu =1e-5,\epsilon =1e-5,\eta =1,\delta =2,\lambda =1e-6\ast {\Vert A^{\text{T}}b\Vert }_{\infty },\rho =0.5,\sigma =0.002,\gamma =\mathrm{0.2.}$

1) 我们先对绝对值近似函数 ${\phi }_1$ 的信号恢复问题进行数值实验，结果如表1至表6所示：

表1. 信号维数n = 2048，无噪声干扰

表2. 信号维数n = 2048，高斯噪声干扰

表3. 信号维数n = 4096，无噪声干扰

表4. 信号维数n = 4096，高斯噪声干扰

表5. 信号维数n = 8192，无噪声干扰

表6. 信号维数n = 8192，高斯噪声干扰

2) 我们再对绝对值近似函数 ${\phi }_2$ 的信号恢复问题进行数值实验，结果如表7至表12所示：

表7. 信号维数n = 2048，无噪声干扰

表8. 信号维数n = 2048，高斯噪声干扰

表9. 信号维数n = 4096，外界无噪声干扰

表10. 信号维数n = 4096，高斯噪声干扰

表11. 信号维数n = 8192，无噪声干扰

表12. 信号维数n = 8192，高斯噪声干扰

5. 主要结论

通过在不同维度n = 2048，4096，8192下做信号恢复效果分析，我们主要得出以下结论：

1) 相对于p范数模型， $l_p+l_2$ 范数模型具有更好的恢复效果，二者在时间和迭代步数相近的情况下， $l_p+l_2$ 范数模型对初始信号的精度更高。

2) 做 ${\lambda }_{\text{2}}/{\lambda }_{\text{1}}$ 的值对信号恢复效果影响的横向对比， ${\lambda }_{\text{2}}/{\lambda }_{\text{1}}$ 的取值对信号恢复的时间和迭代步数影响并不明显；但是 ${\lambda }_{\text{2}}/{\lambda }_{\text{1}}=1$ 或 ${\lambda }_{\text{2}}/{\lambda }_{\text{1}}=10$ 时信号的恢复具有更高精度，这是由于当 ${\lambda }_{\text{2}}/{\lambda }_{\text{1}}$ 取值为1~10时2范

数项对p范数的调节使得函数模型的非凸性程度降低，因而提高信号恢复的精度。

3) 做p的值对信号恢复效果影响的纵向对比，显然范数p = 0.6时信号恢复的精度最高，p = 0.3时精度最低。

注：1) 文献 [10] 中提出的模型为

$\begin{array}{l}\underset{x\in R^n}{\min }\lambda {\Vert x\Vert }_1-\tau {\Vert x\Vert }_2,\\ \text{s}\text{.t}\text{.}Ax=b.\end{array}$

即利用 $l_1-l_2$ 范数加权从而产生稀疏阶，而本文考虑p范数比1范数更易得到稀疏解，从而利用 $l_p+l_2$ 范数加权进行信号恢复。

2) 文献 [10] 中的光滑化绝对值函数是文献 [8] 中 ${\phi }_3$ 。

3) 文献 [11] 中的模型为：

$\underset{x\in R^n}{\min }{\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p^p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2^2+\frac{1}{2}{\Vert Ax-b\Vert }_2^2.$

而 ${\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p^2+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2^2$ 较 ${\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2$ 不易产生稀疏解。取p = 0.3，R = 100对比图形如图5和图6所示：

图5. ${\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p^p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2^2$ 范数图像

图6. ${\lambda }_1{\Vert x\Vert }_p+{\lambda }_2{\Vert x\Vert }_2$ 范数图像

基金项目

内蒙古自然科学基金(2018MS01016)。

文章引用

詹佳明,乌彩英. 求解基于l_p+l₂范数问题的共轭梯度法
Conjugate Gradient Method for l_p+l₂ Norm Problems[J]. 应用数学进展, 2019, 08(03): 512-523. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.83057

参考文献