Advances in Applied Mathematics
Vol.
09
No.
02
(
2020
), Article ID:
34337
,
7
pages
10.12677/AAM.2020.92031
The Difference Scheme of Energy Conservation for the Third Order Linear Equation
Yu Tian, Yanfen Cui
College of Sciences, Shanghai University, Shanghai
Received: Feb. 5th, 2020; accepted: Feb. 20th, 2020; published: Feb. 27th, 2020
ABSTRACT
Based on the third-order linear conservation equation’s many conservation laws, this paper designed a conservation numerical scheme which can satisfy the first two conservation laws of the equation. The numerical examples show the scheme’s effectiveness and the good stability and structure preservation in long-term numerical simulation.
Keywords:Conservation Law, Stability, Structure Preservation
三阶线性方程满足能量守恒的差分格式
田雨，崔艳芬
上海大学理学院，上海
收稿日期：2020年2月5日；录用日期：2020年2月20日；发布日期：2020年2月27日
摘 要
三阶线性守恒型方程具有多个守恒律，本文对该方程设计了一种守恒型数值格式。该格式能满足方程的前两个守恒律。通过数值算例验证了格式有效性，数值结果表明，该格式在长时间的数值模拟中具有很好的稳定性和保结构性。
关键词 :守恒律，稳定性，保结构性
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
本文对三阶线性守恒方程
(1)
进行数值模拟，其中u是方程的解。方程(1)对应的守恒形式为
(2)
流函数记为
(3)
方程(1)在物理上，其解满足无穷多个守恒律。本文根据这一物理性质，对这个方程设计一种满足两个守恒律的数值方法。第二个守恒律为
(4)
其中记
为能量，能量流函数为
(5)
在对守恒方程进行数值模拟时，本文采用有限体积法 [1]，数值解是对精确解网格平均的逼近，但是与传统有限体积法不同的是，本文设计的数值格式能够满足两个守恒律，格式要求数值解是守恒的，同时要求数值能量也守恒。传统的守恒型数值格式 [2]，一般来说只能保持一个守恒律，即使有些格式可以保持多个守恒律，那些守恒律也是被动守恒。本文所设计的格式(见 [3] - [7] )与传统守恒格式不同，该格式同时满足两个守恒律，并且第二个守恒律中的数值实体不是被动守恒，在格式设计中参与计算，即使对线性方程而言，本文的格式也是非线性的。
本文的结构如下，第一节是引言，第二节详细描述了我们的格式，第三节是数值算例，最后是结论。
2. 格式的描述
数值解的定义
本文格式采用均匀网格剖分，网格
，
，其中
，
，
，在这儿h为空间步长，
为时间步长。
为网格步长比。
格式同时计算了两个数值实体，即数值解和数值能量。其中数值解
是对
时刻精确解
网格平均的近似
(6)
数值能量
是对
时刻精确能量
网格平均的近似
(7)
如同Godunov型格式一样(见 [1] )，格式分为重构、发展和网格平均三步进行。
第一步重构：在
层上对数值解进行重构。由于方程为三阶方程，则重构函数用三次函数重构，重构函数
为
(8)
其中
由传统插值方法可得，在这里要求重构函数的网格平均和数值解相等，
(9)
即重构函数(8)的中的系数在满足(9)式的前提下，由插值可得
(10)
(11)
(12)
(13)
与通常插值不同，在重构函数中的三次项系数
作为自由变量，要求重构函数能量的网格平均和数值能量相等，
(14)
由此可见第二个数值实体，即数值能量确实参与格式的计算，因此对于能量来说不是被动守恒。
重构函数三次项系数
由(14)式可得
(15)
其中
当
时
(16)
其中
取与
距离近的值。
当
时
(17)
第二步发展，以重构函数
作为
层的初值，求解三阶线性方程
(18)
得到精确解
。
第三步网格平均，在
时刻的数值解和数值能量分别为
(19)
(20)
对三阶线性方程在
上求二重积分，并应用Green公式可得数值格式为
(21)
(22)
其中
是网格步长比。数值流函数和数值能量流函数分别为
(23)
(24)
在格式中，数值流函数采用左矩形公式数值离散，
(25)
数值能量流函数为
(26)
3. 数值算例
算例3.1：考虑方程(1)，精确解为
(27)
在数值模拟中网格步长比
，实线表示精确解，*表示数值解，数值结果如图1所示，其中图a是初值图像，图b、图c、图d分别为计算一个周期、十个周期和五十个周期后的结果。
(a) (b)
(c) (d)
Figure 1. Numerical results at different times
图1. 不同时刻的数值结果
由此可看出，数值解在50个周期也保持了很好的数值模拟效果，这是因为我们的数值格式满足两个守恒律，所以数值结果在长时间的数值模拟中能保持很好的效果。
算例3.2：考虑方程(1)的双波解
(28)
在本算例中，考虑两个波为初值，从而可以看出波的干涉的情况，数值结果显示了两个波的干涉过程。
在数值模拟中网格步长比
，结果如图2所示，其中实线代表精确解，*代表数值解，图a表示初始图像。图b、图c、图d分别代表
，
，
时刻的数值解。可以看出，在波的干涉过程中，数值解能很好的保持解得结构。
(a) (b)
(c) (d)
Figure 2. Numerical results at different times
图2. 不同时刻的数值结果
4. 结论
对于三阶线性守恒型方程，本文设计了同时满足两个守恒律的差分格式，该格式是通过满足方程物理上的守恒性质得到的，这样的格式具有很好的保结构性质。这种守恒型格式可推广到非线性的守恒方程和高维的方程。
文章引用
田 雨,崔艳芬. 三阶线性方程满足能量守恒的差分格式
The Difference Scheme of Energy Conservation for the Third Order Linear Equation[J]. 应用数学进展, 2020, 09(02): 263-269. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.92031
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