Pure Mathematics
Vol. 08  No. 05 ( 2018 ), Article ID: 27044 , 5 pages
10.12677/PM.2018.85078

Study on the Product of Two Hyperbolic Iterated Function Systems

Yu Zhao

School of Math and Computer, Guangdong Ocean University, Zhanjiang Guangdong

Received: Sep. 8th, 2018; accepted: Sep. 23rd, 2018; published: Sep. 30th, 2018

ABSTRACT

By using the two known iterated function systems: { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } and { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } , this paper constructs the new iterated function system on product space X × Y , which has some similar properties to the lifting dynamic systems and has lots of relations with the two known systems.

Keywords:Hyperbolic Iterated Function Systems, Product Space, Attractor

关于两个双曲迭代函数系的乘积的研究

赵 瑜

广东海洋大学数学与计算机学院,广东 湛江

收稿日期:2018年9月8日;录用日期:2018年9月23日;发布日期:2018年9月30日

摘 要

本文利用两个已知的双曲迭代函数系: { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } ,构造积空间 X × Y 上的迭代函数系,使这个新的双曲迭代函数系具有与升腾动力系统相类似的性质,并且与原来的两个迭代函数系有密切的联系。

关键词 :双曲迭代函数系,积空间,吸引子

Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

对于两个已知的双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } [1] ,能否像乘积拓扑空间(见 [2] [3] )一样,以自然的方式构造出在 X × Y 上的双曲迭代函数系,使得所构造出的双曲迭代函数系不能太平凡,并应与原来两个迭代函数系有很多内在的联系(见 [2] [3] ),因乘积拓扑和有很多联系,却比它们的结构复杂,所以, X × Y 上的双曲迭代函数系一定比X上的双曲迭代函数系和上的双曲迭代函数系复杂,对此问题的研究至此未见讨论。

度量空间 ( X , ρ ) 与定义在其上的一有限个压缩映射族 w n : X X , n = 1 , 2 , , N ,组成一个双曲迭代函数系,用IFS表示它,记为 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } ;如果 w n 的压缩比为 c n , n = 1 , 2 , , N ,则称 c = max { c n , n = 1 , 2 , , N } 为此IFS的压缩比(见 [1] [4] [5] [6] )。

{ X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } 是完备度量空间 ( X , ρ ) 上的双曲迭代函数系,其压缩比为c,变换 W : F ( X ) F ( X ) ,由下式定义: W ( B ) = n = 1 N w n ( B ) , B F ( X ) ,则W是分形空间 ( F ( X ) , h p ) 上压缩比为c的压缩映射,且存在唯一的不动点(不变集) A F ( X ) ,满足: A W ( A ) = n = 1 N w n ( A ) 且对 B F ( X ) ,都有 A = lim n W n ( B ) (见 [1] [3] [4] [5] [6] )。

不动点 A F ( X ) 称为此IFS的吸引子(见 [1] [3] [4] [5] [6] )。

2. 若干引理

引理2.1(见 [2] [3] )设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是度量空间,则它们的度量积空间 ( X × Y , ρ ) 是把 X , Y 作为拓扑空间时的积空间,其中: ρ ( x , y ) = ρ 1 2 ( x 1 , y 1 ) + ρ 2 2 ( x 2 , y 2 ) , x = ( x 1 , x 2 ) X × Y , y = ( y 1 , y 2 ) X × Y

引理2.2(见 [2] [3] )设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个度量空间,定义:

d ( x , y ) = max { ρ ( x 1 , y 1 ) , ρ ( x 2 , y 2 ) } ,其中 x = ( x 1 , x 2 ) X × Y , y = ( y 1 , y 2 ) X × Y

则d与 ρ 是等价的度量。

引理2.3 [2] 若集合上的两个度量 ρ 1 ρ 2 是等价的,则X的子集A是度量空间 ( X , ρ 1 ) 中的开集当且仅当A是度量空间 ( X , ρ 2 ) 中的开集。

以上三个引理的证明极易,故从略。

引理2.4 [2] 设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间,则 ( X × Y , d ) 也是完备度量空间,其中d是按引理2的方式来定义。

证明:由引理2.1知 ( X × Y , d ) 是度量空间,设有一柯西序列 { ( x n , y n ) | n = 1 , 2 , } ,则对 ε > 0 ,总存在自然数N,使得当 n , m > N 时,有 ρ 1 ( x n , x m ) < ε , ρ 2 ( y n , y m ) < ε

所以 { x n } 是X中的柯西序列, { y n } 是Y中的柯西序列,有X和Y的完备性知, lim n x n lim n y n 均存在,记 lim n x n = x , lim n y n = y ,因此 lim n ( x n , y n ) = ( x , y )

3. 主要结果

定理3.1:设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是两个双曲迭代函数系, w i 压缩比为 c i , i = 1 , 2 , , N 1 w n 的压缩比为 d j , j = 1 , 2 , , N 2 ,令 w i × w j ( x , y ) = ( w i ( x ) , w j ( y ) ) , ( x , y ) X × Y ,则 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 是完备度量空间 ( X × Y , d ) 上的双曲迭代函数系。

证明:由于

d ( w i × w j ( x , y ) , w i × w j ( x , y ) ) = d { ( w i ( x ) , w j ( y ) ) , ( w i ( x ) , w j ( y ) ) } = max { ρ 1 ( w i ( x ) , w i ( x ) ) , ρ 2 ( w j ( y ) , w j ( y ) ) } max { c i ρ 1 ( x , x ) , d j ρ 2 ( y , y ) | 1 i N 1 , 1 j N 2 } max { c i , d j | 1 i N 1 , 1 j N 2 } max { ρ 1 ( x , x ) , ρ 2 ( y , y ) | 1 i N 1 , 1 j N 2 } = max { c i , d j | 1 i N 1 , 1 j N 2 } d ( ( x , y ) , ( x , y ) )

所以 w i × w j 是压缩映射, i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 。由引理4知 ( X × Y , d ) 是完备的,因此定理得证。

称定理3.1中的双曲迭代函数系

{ X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 为双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 的乘积。

关于两个迭代函数系的乘积,有以下的性质:

定理3.2:(影象定理),设A是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } 的吸引子,B是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 的吸引子,则 A × B 是这两个IFS的乘积的吸引子;反之,C是这两个IFS乘积的吸引子,则 P 1 ( C ) { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } 的吸引子, P 2 ( C ) { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 的吸引子,其中 P 1 : X × Y Y , P 2 : X × Y X 为自然投影。

证明:1) W ( A ) = i = 1 N 1 w i ( A ) , A F ( X ) W ( B ) = j = 1 N 2 w j ( B ) , B F ( Y ) ,则 W × W ( A × B ) = W ( A ) × W ( B ) = A × B 。于是定理的前半部分得证。

2) W = W × W ,其中 W W 同(1)中的定义,则 W ( C ) = W × W ( C ) = C ,从而 P 1 ( W ( C ) ) = P 1 ( C ) , P 2 ( W ( C ) ) = P 2 ( C ) ,又由于 C = ( x , y ) C { ( x , y ) } ,所以 W ( C ) = ( x , y ) C W { ( x , y ) } = ( x , y ) C W ( { x } ) × W ( { y } )

因而有: P 1 ( W ( C ) ) = ( x , y ) C W ( { x } ) = ( x , y ) C i = 1 N 1 { w i ( x ) } = W ( P 1 ( C ) ) = P 1 ( C ) ,同理可证得: P 2 ( W ( C ) ) = W ( P 2 ( C ) ) = P 2 ( C ) 。由于吸引子是唯一的不动点,所以有 A = P 1 ( C ) , B = P 2 ( C )

注记3.1:定理3.2的证明,用到以下的结果: F ( X × Y ) = F ( X ) × F ( Y ) 。事实上,设 C F ( X × Y ) ,则 P 1 ( C ) F ( X ) , P 2 ( C ) F ( Y ) ;反之,若 A F ( X ) , B F ( Y ) ,则有 A × B X × Y 的紧子集且非空,即 A × B F ( X × Y )

注记3.2: { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 的乘积的压缩比是两IFS的压缩比的最大值。

注记3.3:以上的定理及定义,可推广到任意有限多个的情形。

定理3.3设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是两个双曲迭代函数系,他们的乘积为: { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 则有:

1) { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 是全不连通的当且仅当 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 都是全不连通的。

2)若 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 是刚触及的,则在两个曲线迭代函数系 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 中,至少有一个也是刚触及的。

3) { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 均是刚触及的,则 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 也是刚触及的。

证明:设A是 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } 的吸引子,B是 { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 的吸引子,则 A × B 是完备度量空间 ( X × Y , d ) 上的

IFS: { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 的吸引子,于是有:

Φ ( σ , n , ( x , y ) ) = w ¯ σ 1 w ¯ σ 2 w ¯ σ n ( x , y ) ,其中 Σ = { x : x = x 1 x 2 x i , i N , x i { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , , ( N 1 , N 2 ) } } ,同时要求 { ( i , j ) : i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 以字典顺序关系作为此集合的偏序关系, w ¯ σ 1 = w p 1 ( σ 1 ) × w p 2 ( σ 1 ) p 1 , p 2 为自然投射,所以有:

w ¯ σ 1 w ¯ σ 2 = ( w p 1 ( σ 1 ) w p 1 ( σ 2 ) ) × ( w p 2 ( σ 1 ) w p 2 ( σ 2 ) ) ,由引理5知: Φ ( σ ) = lim n Φ ( σ , n , ( x , y ) ) 存在,且 Φ ( σ ) ( x , y ) 的选择无关以及 Φ : Σ A 是连续满射。

1) 若 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 }

全不连通的,则 ( a , b ) A × B , Φ 1 ( a , b ) = { σ } 是单点集,由于 Φ ( σ , n , ( x , y ) ) = Φ 1 ( σ , n , x ) × Φ 2 ( σ , n , y ) ,其中

σ = σ 1 σ 2 σ i , σ i = p 1 ( σ i ) , i = 1 , 2 , σ = σ 1 σ 2 σ j , σ j = p 2 ( σ j ) , j = 1 , 2 ,

所以 Φ ( σ ) = lim n [ Φ 1 ( σ , n , x ) × Φ 2 ( σ , n , x ) ] = Φ 1 ( σ ) × Φ 2 ( σ ) ,其中:

Φ 1 ( σ 1 ) = lim n Φ 1 ( σ , n , x ) , Φ 2 ( σ 2 ) = lim n Φ 2 ( σ , n , y ) , Φ 1 ( σ , n , x ) = w σ 1 w σ 2 w σ n ( x ) , Φ 2 ( σ , n , y ) = w σ 1 w σ 2 w σ n ( y ) ,

( a , b ) A × B , { σ } = Φ 1 ( a , b ) 是单点集当且仅当 { σ } = Φ 1 1 ( a ) { σ } = Φ 2 1 ( b ) 也是单点集,因此结论(1)得证。

2) 由1)知

{ X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 不是全不连通的当且仅当 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 不是全不连通的。若 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 是刚触及的,则存在非空开集 V X × Y ,使得:

w i 1 × w j 1 ( V ) w i 2 × w j 2 ( V ) = , i 1 , i 2 { 1 , 2 , , N 1 } , j 1 , j 2 { 1 , 2 , , N 2 }

j = 1 N 2 i = 1 N 1 w i × w j ( V ) V

由①有 [ w i 1 ( p 1 ( V ) ) × w j 1 ( p 2 ( V ) ) ] [ w i 2 ( p 1 ( V ) ) × w j 2 ( p 2 ( V ) ) ] = ,所以 w i 1 ( p 1 ( V ) ) w i 2 ( p 1 ( V ) ) = 或者 w j 1 ( p 2 ( V ) ) w j 2 ( p 2 ( V ) ) = ,又 ( i 1 , j 1 ) ( i 2 , j 2 ) ,若 j 1 = j 2 ,则 i 1 , i 2 { 1 , 2 , , N 1 } ,有 w i 1 ( p 1 ( V ) ) w i 2 ( p 1 ( V ) ) = ,而 p 1 ( V ) 是X中的非空开集,同理可证得 w j 1 ( p 2 ( V ) ) w j 2 ( p 2 ( V ) ) = j 1 , j 2 { 1 , 2 , , N 2 } j 1 j 2 ,且 p 1 ( V ) 为中的非空开集。

由②有 j = 1 N 2 i = 1 N 1 [ w i ( p 1 ( V ) ) × w j ( p 2 ( V ) ) ] V ,所以有 i = 1 N 1 w i ( p 1 ( V ) ) p 1 ( V ) ,并且也有 j = 1 N 2 w j ( p 2 ( V ) ) p 2 ( V ) ,因此 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是刚触及的。

3) { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是刚触及的,由1)可知:

{ X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 不是全不连通的,且存在一个非空开集 V 1 X ,使得:

i 1 , i 2 { 1 , 2 , , N 1 } i 1 i 2 ,有 w i 1 ( V 1 ) w i 2 ( V 1 ) =

i = 1 N 1 w i ( V 1 ) V 1 ,从而

w i 1 × w j 1 ( V 1 × V 2 ) w i 2 × w j 2 ( V 1 × V 2 ) = [ w i 1 ( V 1 ) w i 2 ( V 1 ) ] × [ w j 1 ( V 2 ) w j 2 ( V 2 ) ] = ( i 1 , j 1 ) ( i 2 , j 2 ) (因为也存在非空开集 V 2 Y ,使得:③ j 1 , j 2 { 1 , 2 , , N 2 } j 1 j 2 ,有 w j 1 ( V 2 ) w j 2 ( V 2 ) = ;④ j = 1 N 2 w j ( V 2 ) V 2 ),显然 j = 1 N 2 i = 1 N 1 w i × w j ( V 1 × V 2 ) V 1 × V 2 V 1 × V 2 X × Y 中的非空开集,因此结论得证。

推论3.1 设 ( X , ρ 1 ) , ( Y , ρ 2 ) 是两个完备度量空间, { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是两个双曲迭代函数系,则有

1) 若 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是重叠的,则它们的乘积也是重叠的。

2) 若 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 是重叠的,则 { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } 是重叠的,或者 { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 是重叠的。

证明:1) 由定理3.3中的1)可知

{ X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 不是全不连通的,再由定理3.3中的2)知 { X × Y : w i × w j , i = 1 , 2 , , N 1 , j = 1 , 2 , , N 2 } 不是刚触及的,因此结论得证。

2) 由定理3.3中的1)可知, { X : w n , n = 1 , 2 , , N 1 } { Y : w n , n = 1 , 2 , , N 2 } 都不是全不连通的,再由定理3.3中的3)知结论成立。

文章引用

赵 瑜. 关于两个双曲迭代函数系的乘积的研究
Study on the Product of Two Hyperbolic Iterated Function Systems[J]. 理论数学, 2018, 08(05): 584-588. https://doi.org/10.12677/PM.2018.85078

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