¹华北理工大学理学院，河北 唐山

²河北省数据科学与应用重点实验室，河北 唐山

³河北师范大学数学科学学院，河北 石家庄

收稿日期：2023年4月18日；录用日期：2023年5月22日；发布日期：2023年5月29日

摘要

本文主要研究结合方案上Sylow p-子集(p是素数)的若干性质，并利用Sylow p-子集的存在性判断结合方案是非本原的。此外，利用Sylow定理分析价为6和200的结合方案的数学结构，给出价为6的结合方案至少存在一个价为2和3的闭子集，价为200的结合方案至少存在一个价为2、4、5、8和25的闭子集。

关键词

结合方案，Sylow定理，本原结合方案，Sylow p-子集

Research on Some Properties of Sylow p-Subsets on Association Schemes

Xiaoting Zhang^1,2, Yan Yan^1,2,3*, Yi Yan¹, Yue Wang¹

¹College of Science, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei

²Hebei Key Laboratory of Data Science and Application, Tangshan Hebei

³School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei

Received: Apr. 18^th, 2023; accepted: May 22^nd, 2023; published: May 29^th, 2023

ABSTRACT

In this paper, we study some properties of Sylow p-subset (p is a prime number) on association schemes, and the existence of Sylow p-subset is used to judge that the association scheme is imprimitive. Sylow theorem is used to analyze the mathematical structure of the association schemes with valency 6 and 200. The association scheme of valency 6 has at least one closed subset with valency 2 and 3. And the association scheme of valency 200 has at least one closed subset with valency 2, 4, 5, 8 and 25.

Keywords:Association Scheme, Sylow Theorem, Primitive Association Scheme, Sylow p-Subset

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

结合方案是与部分平衡不完全区组设计相伴的一个代数结构，在1952年首次由R. C. Bose和T. Shimamoto给出明确定义，被用于描述具有多个结合类的处理之间的不平衡性 [1] 。1959年，R. C. Bose和D. M. Mesner引入代数方法，结合方案成为了代数学的重要研究对象 [2] 。1984年，E. Bannai撰写并出版了代数组合的第一本专著，利用代数方法系统的介绍了结合方案的理论，总结规划了这个分支的研究方向 [3] 。20世纪90年代，P. H. Zieschang建立了结合方案的公理化理论，推广了有限群论 [4] [5] 。结合方案是代数组合的核心概念之一，源自可迁置换群性质的公理化，与群有着某种天然的联系 [6] 。

近年来，结合方案引起了许多人的研究兴趣。事实上，关于有限群的许多重要结果已经推广到了结合方案上 [7] - [12] 。例如，在 [7] 中，针对结合方案推广并证明了有限群上的同态定理、同构定理和Jordan-Hölder定理；在 [8] 中，将有限群上的Sylow定理推广到结合方案上；在 [9] 中，将有限群上的Sylow定理推广至table代数，这一结果包含了结合方案上的Sylow定理；在 [11] 中，将有限群中的Schur-Zassenhaus定理自然推广到了结合方案上。

2002年，P. H. Zieschang等将有限群上的Sylow定理推广到结合方案上，其中Sylow子群适当的推广为Sylow闭子集 [8] 。结合方案理论中每个定义或结论在有限群论中都有相应的定义和结论。有限群中给出了许多关于Sylow子群的结论 [13] [14] ，例如，利用Sylow定理判断群是否是单群和幂零群。本文的主要目的就是将这些结论适当的推广到结合方案上，例如，利用Sylow定理判断结合方案是否是本原结合方案。

此外，Sylow定理同拉格朗日定理一样，是有限群论中最基本的定理之一，描述了有限群与它的某些子群之间的一些重要联系，这种联系为理解有限群的结构提供了有力依据 [13] 。利用Sylow定理可以了解给定阶群的数学结构，在本文最后给出了几个利用Sylow定理了解给定价结合方案数学结构的例子。

2. 结合方案上的Sylow定理

2.1. 结合方案的基本概念

下面结合方案的基本概念来源于文献 [4] 和 [5] 。

定义1 [5] 设X是一个有限集合。定义 $1_X=\left\{\left(x,x\right)|x\in X\right\}$ 。对于 $\forall r\subseteq X\times X$ ，定义 $r^{*}=\left\{\left(x,y\right)|\left(y,x\right)\in r,x,y\in X\right\}$ 。对于 $\forall r\subseteq X\times X,x\in X$ ，定义 $xr=\left\{y\in X|\left(x,y\right)\in r\right\}$ 。

定义2 [5] 令G表示 $X\times X$ 的一个划分，满足 $\varnothing \notin G$ 且 $1_X\in G$ 。假设对于 $\forall g\in G$ ，有 $g^{*}\in G$ 。 $\left(X,G\right)$ 称为一个结合方案如果对于任意的 $d,e,f\in G$ 存在一个基数 $a_{def}\left(G\right)$ 使得对于任意的 $y\in X$ 和 $z\in yf$ ，有 $\left|yd\cap z{e}^{*}\right|=a_{def}\left(G\right)$ 。

注意，将用1代替 $1_X$ ，用 $a_{def}$ 代替 $a_{def}\left(G\right)$ 。

定义3 [5] 对于 $\forall e,f\in G$ ，定义 $ef=e\left\{f\right\}$ 。

给定G的一个元素s和G的一个非空子集R，Rs代替 $R\left\{s\right\}$ ，sR代替 $\left\{s\right\}R$ 。

定义4 [4] 对于 $\forall g\in G$ ， $n_g=a_{g{g}^{*}1}=\left|xg\right|,x\in X$ ，称 $n_g$ 为元素 $g\in G$ 的价；设F是G的一个子集，定义 $n_F={\displaystyle \underset{f\in F}{\sum }{n}_f}$ ，称 $n_F$ 为子集F的价；并定义 $O_{\vartheta }\left(F\right)=\left\{f\in F|n_f=1\right\}$ 。

定义5 [5] 给定 $e\in G$ ，对于 $\forall f\in G$ ，定义 $ef=\left\{g\in G|a_{efg}\ne 0\right\}$ 。

定义6 [5] 对于 $\forall E,F\subseteq G$ ，定义 $EF={\displaystyle \underset{e\in E}{\cup }eF}={\displaystyle \underset{f\in F}{\cup }Ef}={\displaystyle \underset{e\in E}{\cup }{\displaystyle \underset{f\in F}{\cup }ef}}$ ， $eF={\displaystyle \underset{f\in F}{\cup }ef}$ ， $Ef={\displaystyle \underset{e\in E}{\cup }ef}$ 集合EF称为 $E,F$ 的复积。给定 $F\subseteq G$ ，对于 $\forall x\in X$ ，定义 $xF={\displaystyle \underset{f\in F}{\cup }xf}$ 。对于任意的 $F\subseteq G$ 和 $Y\subseteq X$ ，定义 $YF={\displaystyle \underset{y\in Y}{\cup }yF}={\displaystyle \underset{y\in Y}{\cup }{\displaystyle \underset{f\in F}{\cup }yf}}$ 。

定义7 [5] G的一个非空子集F是闭的如果满足对于 $\forall d,e\in F$ 总有 $de\subseteq F$ 。

定义8 [8] 对于G的任意闭子集T， $N_G\left(T\right)=\left\{s\in G|s^{*}Ts\subseteq T\right\}$ 表示G在T中的正规化子。

有限价方案允许对任意闭子集定义一个商结构，而不仅仅是对正规闭子集。

定义9 [8] 假设 $n_G$ 是有限的，T是G的闭子集。对于 $\forall x\in X$ ，定义 $xT={\displaystyle \underset{t\in T}{\cup }xt}$ ，定义 $X/T=\left\{xT|x\in X\right\}$ 。对于 $\forall s\in G$ ，定义 $s^T=\left\{\left(yT,zT\right)|y\in X,z\in yTsT\right\}$ ，明显看出 $G//T=\left\{s^T|s\in G\right\}$ 是 $X/T$ 上的方案。这个方案称为G在T上的商方案。

定义10 [7] 给定G的同态 $\varphi$ ，将 $\varphi$ 的核定义为 $\left\{s\in G|s\varphi =1\varphi \right\}$ ，同态 $\varphi$ 的核用 $\ker \left(\varphi \right)$ 表示。

从核的定义来看，核是闭的。这里是方案的同态定理：

定理1 [7] 设H是G的一个闭子集，对于 $\forall x\in X$ ，令 $x\varphi =xH$ ；对于 $\forall g\in G$ ，令 $g\varphi =g^H$ ，则 $\varphi$ 是从 $\left(X,G\right)$ 到 ${\left(X,G\right)}^H$ 的一个双射态射，满足 $H=\ker \left(\varphi \right)$ 。设 $\varphi$ 是 $\left(X,G\right)$ 的一个同态，则 $\ker \left(\varphi \right)$ 是G的一个闭子集，且 $\left(X\varphi ,{\left(G\varphi \right)}_{X\varphi }\right)$ 是结合方案，且 $\left(X\varphi ,{\left(G\varphi \right)}_{X\varphi }\right)\cong {\left(X,G\right)}^{\ker \varphi }$ 。

下面给出结合方案上的两个同构定理：

定理2 [7] 设T和U是G的闭子集，假设 $T\subseteq U$ ，则 $\left(G//T\right)//\left(U//T\right)\cong G//U$ 。

定理3 [7] 设X是集合，G是X上的方案， $x\in X$ ，T和U是G的闭子集且 $T\subseteq N_G\left(U\right)$ ，则 ${\left(T//T\cap U\right)}_x\cong {\left(TU//U\right)}_x$ 。

2.2. 结合方案上的Sylow定理

定义10 [8] 若p是一个素数，G中的元素g称为p-价的如果 $n_g$ 可以表示成p的方幂，G的一个子集称为p-价的如果它的每个元素都是p-价的；G的一个p-价子集F称为p-子集如果 $n_F$ 可以表示成p的方幂。

定义11 [8] 令 $Sy{l}_p\left(G\right)$ 表示G中所有封闭p-子集H的集合，其中H满足p不整除 $n_{G//H}$ 。

由Sylow p-子集的定义可知，当 $n_G=p^{n}m$ ，其中 $\left(p,m\right)=1$ ，Sylow p-子集的价为 $p^n$ 。

结合方案上Sylow定理的具体内容如下所示：

定理4 [8] 设X是有限集，G是 $X\times X$ 的划分，满足 $\varnothing \notin G$ 且 $1_X\in G$ ， $\left(X,G\right)$ 是有限结合方案(简称方案)，p是素数，P为G的一个封闭p-子集。如果G是p-价的，则有下列结论：

1) 若 $P\notin Sy{l}_p\left(G\right)$ ，则存在G的一个封闭p-子集 $P^{\prime }$ 使得 $P\subseteq P^{\prime }\subseteq N_G\left(P\right)$ 且 $p{n}_P=n_{P^{\prime }}$ ；

2) 对于 $\forall P^{\prime }\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，则存在 $g\in G$ ，使得 $gP{g}^{*}\subseteq P^{\prime }$ 。特别地，若 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ， $gP{g}^{*}=P^{\prime }$ ；

3) 若 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，令 $N=N_G\left(P\right)$ ，则 $n_{G//N}\equiv 1\left(p\right)$ 且 $n_{G//N}\equiv \left|\left\{gP{g}^{*}|g\in G\right\}\cap Sy{l}_p\left(G\right)\right|\left(p\right)$ 。

3. 主要结论

下面给出关于结合方案Sylow p-子集的几个简单但十分有用的结论。

引理1 [4] 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，T和U是G的闭子集，假设 $n_T$ 和 $n_U$ 是有限的，则有下列结论：

1) $n_T{n}_U=n_{TU}{n}_{T\cap U}$ ；

2) 如果 $T\subseteq U$ ，则 $n_T$ 整除 $n_U$ ；

3) 假设 $n_G$ 是有限的， ${\left(n_T\right)}^{-1}{n}_G$ 和 ${\left(n_U\right)}^{-1}{n}_G$ 是互素的，则 $TU=G$ 。

定理5 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案，N是G的正规闭子集，P是G的Sylow p-子集，则 $PN//N$ 是 $G//N$ 的Sylow p-子集， $P\cap N$ 是N的Sylow p-子集。

证明：由闭子集的相关性质可得， $\left\{1\right\}$ 是 $P\cap N$ 的闭子集， $P\cap N$ 是N的闭子集，N是PN的闭子集，PN是G的闭子集；由引理1中1)可得 $n_{P\cap N}\cdot n_{PN//N}=n_P$ 。

要证 $PN//N$ 是 $G//N$ 的Sylow p-子集， $P\cap N$ 是N的Sylow p-子集，由Sylow p-子集的定义可以得到 $n_{\left(G//N\right)//\left(PN//N\right)}$ 和 $n_{N//P\cap N}$ 均不能被p整除，根据同构定理可以得到 $n_{G//PN}$ 不能被p整除， $n_{PN//N}$ 不能被p整除；由N是G的正规闭子集，P是G的Sylow p-子集和 $n_{P\cap N}\cdot n_{PN//N}=n_P$ 得到 $n_{G//PN}$ 不能被p整除， $n_{PN//N}$ 不能被p整除，即 $n_{\left(G//N\right)//\left(PN//N\right)}$ 和 $n_{N//P\cap N}$ 均不能被p整除，故 $PN//N$ 是 $G//N$ 的Sylow p-子集， $P\cap N$ 是N的Sylow p-子集。

引理2 [4] 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，T和U是G的闭子集，则TU是闭的当且仅当 $TU=UT$ 。

定义12 [4] 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，T和U是G的闭子集，满足 $T\subseteq U$ 并且 $T\ne U$ ，称T是U的极大闭子集如果T和U是包含T作为一个子集U的仅有闭子集。

定理6 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，则有以下结论：

1) 如果 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，B是任一封闭p-子集，并且满足 $PB=BP$ ，则B是P的闭子集。特别地，如果Q是G的正规封闭p-子集，则Q包含于G的任一Sylow p-子集中；

2) G的所有Sylow p-子集的交，记作 $O_p\left(G\right)$ ，是G的极大正规封闭p-子集，它包含G的每个正规封闭p-子集；

3) 如果 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，并且P是G的正规闭子集，那么G的Sylow p-子集的个数为1；特别地，P是 $N_G\left(P\right)$ 中唯一的Sylow p-子集。

证明：因为B和P是G的闭子集，并且 $PB=BP$ ，所以由引理2可得PB是G的闭子集；假设 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，B是任一封闭p-子集，所以 $n_B$ 和 $n_P$ 可以写作p的方幂；由引理1可得 $n_{PB}=n_P{n}_B/n_{P\cap B}$ ，所以PB是G的封闭p-子集，故 $n_{PB}\le n_P$ ；显然有 $n_{PB}\ge n_P$ ，故 $n_{PB}=n_P$ ；由闭子集和价之间的关系可以得到 $PB=P$ ，即B是P的闭子集。

因为G的Sylow p-子集在G中是共轭的，所以G的任一正规封闭p-子集包含于每个Sylow p-子集中，又包含于所有Sylow p-子集的交，即 $O_p\left(G\right)$ 中，所以 $O_p\left(G\right)$ 是G的极大正规封闭p-子集。

因为 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，P是G的正规闭子集，由Sylow第二定理和Sylow第三定理可得G的Sylow p-子集的个数为1，故有 $P=O_p\left(G\right)$ ，P是 $N_G\left(P\right)$ 中唯一的Sylow p-子集。

定理7 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，N是G的正规闭子集，P是N的Sylow p-子集，则有 $G=N_G\left(P\right)N$ 。

证明：由于P是N的Sylow p-子集，N的每个Sylow p-子集是P的一个共轭，由Sylow第二定理可以得到，共轭的形式为 $h^{*}Ph$ ， $h\in N$ 。设g是G的一个元素，由于N是G的正规闭子集，闭子集 $g^{*}Pg$ 包含于N，即 $g^{*}Pg$ 是N的一个Sylow p-子集，它必定共轭与P，即存在 $h\in N$ ，使得 $g^{*}Pg=h^{*}Ph$ ，所以有 $h{g}^{*}Pg{h}^{*}=P$ ，即有 $g{h}^{*}\in N_G\left(P\right)$ 。由 $g\in G$ 的任意性可得 $G=N{N}_G\left(P\right)=N_G\left(P\right)N$ 。

定理8 设 $\left(X,G\right)$ 是结合方案，P是G的Sylow p-子集，H是G的闭子集， $N_G\left(P\right)$ 是H的闭子集，则 $H=N_G\left(H\right)$ 。

证明：由正规化子的相关性质可得 $H\subseteq N=N_G\left(H\right)$ ，现在要证 $H\supseteq N$ 。

对于 $\forall a\in N_G\left(H\right)$ ，又P是G的Sylow p-子集，所以有P是 $N_G\left(P\right)$ 的闭子集，又 $N_G\left(P\right)$ 是H的闭子集，故有 $aP{a}^{*}$ 是 $aH{a}^{*}=H$ 的闭子集，有P和 $aP{a}^{*}$ 都是H的Sylow p-子集；由Sylow第二定理可得存在 $h\in H$ ，使得 $P=h\left(aP{a}^{*}\right)h^{*}\Rightarrow ha\in {\tilde{N}}_G\left(P\right)\subseteq H\Rightarrow a\in H$ ，故有 $H\supseteq N$ 。综上所述 $H=N_G\left(H\right)$ 。

定理9 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案，如果G的每个极大闭子集M是G的正规闭子集，并且 $n_G/n_M$ 是素数，则G的每个Sylow p-子集是正规的，并且G是它的诸Sylow p-子集的直积。

证明：设P是G的Sylow p-子集， $H=N_G\left(P\right)$ 。如果 $G\ne H$ ，取G的一个极大闭子集M，使得H是M的闭子集；由于M是G的正规闭子集，但是由定理8可得 $M=N_G\left(M\right)$ ，矛盾，故必有 $G=N_G\left(P\right)$ ，即P是G的正规闭子集，于是G是它的诸Sylow p-子集的直积。

定义13 [4] 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案，T为G的闭子集，集合T称为本原的如果 $\left\{1\right\}$ 和T是T的仅有闭子集；G称为本原的如果 $\left\{1\right\}$ 和G是G的仅有闭子集。

定理10 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案， $n_G=pq$ ，其中 $p<q$ 是两个不同的素数，则Sylow q-子集是正规闭子集，故该方案不是本原方案。

证明：由Sylow第三定理可知Sylow q-子集的个数是 $1+kq\left(k\ge 0\right)$ ，并且 $1+kq$ 整除q，故由 $p<q$ 得Sylow q-子集的个数只有一个，因此它是正规闭子集，则该方案不是本原方案。

定理11 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案， $n_G=p^{2}q$ ，其中p和q是两个不同的素数，则该方案不是本原方案。

证明：分为两种情况。

1) 如果 $p>q$ ，由定理10得Sylow p-子集只有一个，是正规闭子集，该方案不是本原方案；

2) 如果 $p<q$ ，当 $q>3$ 时， $p-1<q$ ，故q不整除 $p-1$ ，也不整除 $p^2-1$ ，所以Sylow q-子集的个数只有一个，是正规闭子集，该方案不是本原方案；当 $q=3$ 时只能有 $p=2$ ，即是价为12的结合方案，Sylow 2-子集的价为4，Sylow 2-子集的个数只有一个，是正规闭子集，该方案不是本原方案。

综上所述， $\left(X,G\right)$ 是价为 $n_G=p^{2}q$ 的结合方案时不是本原方案。

定理12 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案， $n_G=pqr$ ，其中 $p,q,r$ 是三个不同的素数，则该方案不是本原方案。

证明：不妨设 $p<q<r$ ，Sylow r-子集的个数是 $1+kr\left(k\ge 0\right)$ ，并且整除pq， $1+kr=1$ ， $1+r>q>p$ ， $1+2r$ ， $\cdots$ ， $1+kr$ 只能等于1或pq，当 $1+kr=1$ 时，Sylow r-子集是正规闭子集，该方案不是本原方案；当 $1+kr=pq$ 时，该方案的闭子集不仅只有 $\left\{1\right\}$ 和方案本身，还有pq个Sylow r-子集，故该方案不是本原方案。

Sylow q-子集的个数是 $1+mq\left(m\ge 0\right)$ ，并且整除pr， $1+mq=1$ ， $1+q>p$ ， $\cdots$ ， $1+mq=1$ 或 $1+mq=r$ 或 $1+mq=pr$ ，当 $1+mq=1$ 时，Sylow q-子集是正规闭子集，该方案不是本原方案，当 $1+mq=r$ 或 $1+mq=pr$ 时，该方案的闭子集不仅只有 $\left\{1\right\}$ 和方案本身，还有r或pr个Sylow q-子集，故该方案不是本原方案。

同理，Sylow p-子集的个数是 $1+np\left(n\ge 0\right)$ ，并且整除qr， $1+np$ 可能是q或r或qr，这三种情况下，该方案均不是本原方案。

综上所述， $\left(X,G\right)$ 是价为 $n_G=p^{2}q$ 的结合方案时不是本原方案。

定理13 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案，当 $n_G\in \left\{5,10,15,20\right\}$ 时，则G只包含一个Sylow 5-子集。

证明：当 $n_G=5$ 时，令 $J_5=\left|Sy{l}_5\left(G\right)\right|$ ，则由Sylow第三定理可得 $J_5=\left|Sy{l}_5\left(G\right)\right|$ 是5/5的因子，即1的因子，故此时只包含一个Sylow 5-子集。

当 $n_G=10$ 时， $10=2\times 5$ ，2、5是两个不同的素数；当 $n_G=15$ 时， $15=3\times 5$ ，3、5是两个不同的素数；当 $n_G=20$ 时， $20=2^2\times 5$ ，2、5是两个不同的素数；由定理10和定理11可知，G只包含一个Sylow 5-子集。

例1 设 $\left(X,G\right)$ 是有限价方案， $n_G=30$ 时， $30=2\times 3\times 5$ ，2、3和5是三个不同的素数，则由Sylow第三定理可得Sylow 2-子集的个数是 $J_2=2k+1\left(k\ge 0\right)$ ，可能的情况有1、3、5、15；Sylow 3-子集的个数是 $J_3=3k+1\left(k\ge 0\right)$ ，可能的情况有1、10；Sylow 5-子集的个数是 $J_5=5k+1\left(k\ge 0\right)$ ，可能的情况有1、6，所以该方案的闭子集除了 $\left\{1\right\}$ 和方案本身外，至少还有一个Sylow 2-子集、Sylow 3-子集和Sylow 5-子集，所以该方案不是本原方案。

对于一个给定价的方案，利用Sylow定理从计数的角度研究它的结构。对于给定价的结合方案仅知道包含1作为一个元素，其余的结构信息是不清楚的，如图1所示。下面以价为6和价为200的结合方案为例，探究它们的数学结构。

图1. 初始结合方案的内部结构

定理14 [8] 设p表示素数， $\left(X,G\right)$ 是p-价方案，如果p整除 $n_G$ ，则有 $O_{\vartheta }\left(G\right)=\left\{g\in G|n_G=1\right\}$ 包含一个闭子集H，其中 $n_H=p$ 。

例2 $n_G=6$ 时， $6=2\times 3$ ，由柯西定理可知存在价为2和3的闭子集，但不知道价为2和价为3的闭子集各有多少个，只是知道这些闭子集至少存在一个。由 $Sy{l}_p\left(G\right)$ 的定义可知存在两个Sylow p-子集，价为2的Sylow 2-子集和价为3的Sylow 3-子集。由Sylow第二定理可知，如果存在其它的闭子集，则它们必定与已知的封闭p-子集有相同的内部结构，事实上必定是共轭的。

由Sylow第三定理可知Sylow p-子集的个数是 $1+kp\left(k\ge 0\right)$ ，6的因子有1、2、3和6，价为2的Sylow 2-子集的个数可能是1、3，价为3的Sylow 3-子集的个数是1，Sylow 3-子集是正规闭子集。

例3 $n_G=200$ 时， $200=2^3\times 5^2$ ，2、5均为素数，由柯西定理可知存在价为2和价为5的闭子集，由Sylow第一定理可知还存在价为4、8和25的闭子集，其中价为4的闭子集包含价为2的闭子集，价为8的闭子集包含价为4的闭子集，价为25的闭子集包含价为5的闭子集；但是不知道这些闭子集各有多少个，只知道这些闭子集至少存在一个，由 $Sy{l}_p\left(G\right)$ 的定义可知存在两个Sylow p-子集分别是价为8的Sylow 2-子集和价为25的Sylow 5-子集。

由Sylow第二定理可知如果还存在其他的封闭p-子集，它们必定与已知的封闭p-子集是共轭的。由Sylow第三定理可知Sylow p-子集的个数是 $1+kp\left(k\ge 0\right)$ ，200的因子有1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100和200，价为8的Sylow 2-子集的个数可能是1、5、25；价为25的Sylow 5-子集的个数是1，Sylow 5-子集是正规闭子集，具体如图2所示。

由上述的例子可知，对于价较小的结合方案，利用柯西定理可以得到有价值的信息；当结合方案的价更高时，利用柯西定理得到的信息相对单薄。对于价较大的结合方案可以利用Sylow定理分析它的数学结构，一般步骤如下：

图2. 基于Sylow定理的结合方案内部结构

1) 根据给定的价，对其进行因子分解，将其化为不同素数的乘积；

2) 根据价的因子分解，应用柯西定理和Sylow第一定理，得到该方案的存在的闭子集的种类及其之间的包含关系以及Sylow p-子集所对应的价；

3) 利用Sylow第二定理得到如果存在其他的封闭p-子集，它们必定与已知的封闭p-子集是共轭的；

4) 利用Sylow第三定理得到Sylow p-子集的个数。

在有限群上可以利用Sylow定理的相关性质分析群的结构特征，将有限群上Sylow相关内容适当推广到结合方案上，可以从计数的角度探究结合方案的结构特征，更好地了解结合方案的子结构、原始结构等结构问题。

基金项目

国家自然科学基金资助项目“结构数学在现代数学中的渗透与应用”(项目编号：12171137)。

文章引用

张晓婷,闫 焱,阎 熠,王 悦. 结合方案上Sylow p-子集的若干性质研究
Research on Some Properties of Sylow p-Subsets on Association Schemes[J]. 理论数学, 2023, 13(05): 1333-1340. https://doi.org/10.12677/PM.2023.135136

参考文献