成都理工大学数理学院，四川 成都

收稿日期：2023年8月3日；录用日期：2023年9月5日；发布日期：2023年9月14日

摘要

在实际的地震资料中含有各种不同类型的随机噪声，会降低地震资料的信噪比和对有效信号的分析，因此去噪是地震资料处理的首要步骤。加权核范数最小化(WNNM)作为地震资料去噪的有效方法之一，利用图像的非局部相似性，是一种低秩矩阵逼近方法，并且为不同的奇异值分配不同的权重。同时离散余弦变换(DCT)是试图对图像进行去相关，是一种稀疏变换。本文从地震数据的稀疏性和非局部相似性出发，利用局部地震资料的稀疏性和地震数据的空间信息，我们提出了一种使用稀疏性和低秩正则化的地震去噪方法(WNNM-DCT)。实验结果表明，本文提出的方法相对于WNNM和其他去噪方法，能更好的去除噪声，保留图像的有效信息。

关键词

加权核范数最小化，离散余弦变换，随机噪声，信噪比，稀疏性，非局部相似性

Seismic Data Denoising Method Based on Improved Weighted Kernel Norm Minimization

Xin Li

School of Mathematics and Science, Chengdu University of Technology, Chengdu Sichuan

Received: Aug. 3^rd, 2023; accepted: Sep. 5^th, 2023; published: Sep. 14^th, 2023

ABSTRACT

The actual seismic data contains a variety of different types of random noise, which will reduce the signal-to-noise ratio of the seismic data and the analysis of the effective signal, so denoising is the first step in seismic data processing. As one of the effective methods for denoising seismic data, the weighted kernel norm minimization (WNNM) is a low-rank matrix approximation method that uses the non-local similarity of the image and assigns different weights to different singular values. At the same time, the discrete cosine transform (DCT) is an attempt to decorrelate the image and is a sparse transformation. Starting from the sparsity and non-local similarity of seismic data, we propose an earthquake denoising method (WNNM-DCT) using sparsity and low-rank regularization using the sparsity of local seismic data and the spatial information of seismic data. Experimental results show that compared with WNNM and other denoising methods, the proposed method can better remove noise and retain the effective information of the image.

Keywords:Weighted Kernel Norm Minimization, Discrete Cosine Transform, Random Noise, Signal-to-Noise Ratio, Sparsity, Non-Local Similarity

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

在信号采集过程中，地震资料总是受到不同来源的噪声干扰，这导致地震资料的信噪比和可见性降低，并影响后续对地质结构的分析和研究，因此随机噪声抑制是地震资料处理的一个关键步骤 [1] [2] 。

自上个世纪80年代至今，研究者们提出了很多算法用于图像去噪，其中非局部相似性理论的提出，使得图像去噪跨入了一个新的纪元 [3] [4] 。而图像处理方法可以为地震资料处理提供优质的方法，从而引起学者们的广泛关注。Huang Wang等人将块配三维(Block-Matching 3D, BM3D) [5] 协同滤波方法应用与地震去噪；Juan Li提出了加权核范数最小化(WNNM) [6] 抑制地震噪声。加权核范数最小化(WNNM) [6] [7] 作为所有LRMA方法中最重要的噪声抑制方法之一，为不同的奇异值分配不同的权重。这一类方法能更好的保留地震信号的有效信息，但容易丢失部分纹理结构信息。

基于字典的稀疏表达技术的出现，使图像处理技术的得到了飞速发展，利用字典对信号特征的表达进行图像的提取，不仅仅可以处理复杂的图像处理问题，而且还能有效地过滤掉噪声，同时也能够滤除噪声，近年来基于稀疏表示的图像处理技术受到了越来越多的研究者的重视。Mairal J.等人提出了非局部稀疏模型，该模型一种基于学习的联合稀疏编码的方法(LSSC) [8] 。Rusanovskyy等人根据DCT [9] 变换的低数据相关性、高能量压实等优点出发，引入一种将离散余弦变换(DCT)集成到NLM方法中的新型图像去噪算法。稀疏表示的去噪方法容易丢失图像细节。本文根据这两种去噪方向的优缺点，提出了一种基于WNNM和DCT的地震资料去噪方法(WNNM-DCT)，以去除地震资料的噪声。经实验，该方法能有效的去除地震资料的噪声，并且信噪比(SNR)、峰值信噪比(PSNR)和结构相似性(SSIM) [10] 有所提升。

2. 基本原理

2.1. 去噪原理

噪声地震数据Y可以被描述为以下模型

$Y=X+N$

其中Y表示观察到的噪声图像，X表示干净图像，N表示噪声。一般来说，问题1是一个具有无限多个解的不适定逆问题。

去噪的目的是从Y中尽可能的恢复X。通常，X本身不是一个低秩。为了获得满足低秩性质的矩阵，需要对Y进行块匹配。首先选取参考块，并且按照一定窗口大小搜索与其相似的块级，即非局部相似块。通过将这些非局部相似块叠加成矩阵，用 $Y_P$ 表示，则公式(1)可以重写为

$Y_P=X_P+N_P$

通过收集所有的去噪块，整个图像就可以估计出来。

加权核范数最小化(WNNM)是一种基于非局部相似性的低秩矩阵近似方法，它探索了相似块的低秩特性。WNNM通过下列最小化能量函数来估计矩阵 $X_P$ ：

${\hat{X}}_P=\arg \underset{X_P}{\min }\frac{1}{{\sigma }_n^2}{\Vert Y_P-X_P\Vert }_F^2+{\Vert X_P\Vert }_{\omega ,*}$

其中， ${\hat{X}}_P$ 是 $X_P$ 的估计， ${\sigma }_n^2$ 是噪声方差， ${\Vert Y_P-X_P\Vert }_F^2$ 是Frobenius范数， ${\Vert X_P\Vert }_{\omega ,*}$ 是加权核范数，定义为

${\Vert X_P\Vert }_{\omega ,*}={\displaystyle \sum {\omega }_i{\sigma }_i(\; X\; P\; )}$

${\omega }_i\ge 0$ 是权重， ${\sigma }_i\left(X_P\right)$ 是 $X_P$ 的第i个奇异值。

DCT方法试图对图像数据进行去相关，它是一种建立良好且非常有效的变换，以实现图像块的稀疏表示。

2.2. 本文方法

本文所提出的WNNM-DCT方法首先对含噪图像Y分块，并且按照一定搜索窗口大小和斑块大小搜索非局部相似块，并把非局部相似块进行DCT变换。DCT的变换系数分布在低频和高频上，并且由于DCT的高能压缩，我们可以使用少数对噪声足够鲁棒的低频系数来表示像素的邻域补丁。对于大多数图像，大部分信号能量位于低频；低频系数是通过对图像邻域块进行DCT之后的Zigzag扫描到频率系数而获得的。因此，在对图像邻域DCT变换之后，对频率系数 $C\left(u,v\right)$ 执行Zigzag扫描以获得低维频率系数，计算公式如下。

$c\left[d\left(N_i\right)\right]={\left\{C\left(u,v\right)\right\}}_{Zigzag}$

然后，将这些低频系数利用DCT逆变换来重建非局部相似块 $L_i$ 。把处理过后的非局部相似块 $L_i$ 堆叠成矩阵，并使用WNNM近似估计。通过这两项步骤，最后得到本文提出的方法WNNM-DCT，表示如下：

$\{\begin{array}{c}\hat{X}=\arg \underset{X}{\min }{\Vert Y-X\Vert }_F^2+\alpha \cdot {\Vert DL\left(Y\right)-X\Vert }_F^2+\beta \cdot {\Vert X\Vert }_{\omega .*}\\ Y=X+N\end{array}$

其中，DL(Y)代表DCT过滤高频系数的过程，也是DCT去噪的过程。

为了解决优化问题，本文使用ADMM算法生成X，一种方法是将方程7转换为其等效公式，给出如下：

$\{\begin{array}{c}\hat{A},\hat{B},\hat{X}=\arg \underset{A,B,X}{\min }\frac{1}{{\sigma }_n^2}{\Vert A\Vert }_F^2+\alpha \cdot {\Vert B\Vert }_F^2+\beta \cdot {\Vert X\Vert }_{\omega ,*}\\ Y=A+X,C=X+B,C=DL(\; Y\; )\end{array}$

然后将其转化为无约束优化问题，公式为，求解过程可转化为

$\begin{array}{l}L\left(A,B,X\right)=\arg \underset{A,B,X}{\min }\frac{1}{{\sigma }_n^2}\cdot {\Vert A\Vert }_F^2+\alpha \cdot {\Vert B\Vert }_F^2+\beta \cdot {\Vert X\Vert }_{\omega ,*}+\frac{u_1}{2}\cdot {\Vert Y-A-X+W_1\Vert }_F^2\\ \begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & & \end{array}+\frac{u_2}{2}\cdot {\Vert C-X-B+W_2\Vert }_F^2\end{array}$

将执行迭代过程，依次更新每个变量，同时修复其他变量。特别地，第 $\left(k+1\right)$ 次迭代可以表示为

$A^{(k+1)}=\arg \underset{A}{\min }\frac{1}{{\sigma }_n^2}\cdot {\Vert A\Vert }_F^2+\frac{u_1}{2}\cdot \Vert Y^{(k)}-A-X^{(k)}+W_1^{(k-1)}\Vert$

$B^{(k+1)}=\arg \underset{B}{\min }\alpha \cdot {\Vert B\Vert }_F^2+\frac{u_2}{2}\cdot \Vert C^{(k)}-X^{(k)}+W_2^{(k)}\Vert$

$\begin{array}{l}{X}^{(k+1)}=\arg \underset{X}{\min }\beta \cdot {\Vert X\Vert }_{\omega ,*}+\frac{u_1}{2}\cdot \Vert Y^{(k)}-A^{(k)}-X+W_1^{(k)}\Vert \\ \begin{array}{ccc}& & +\frac{u_2}{2}\end{array}\cdot \Vert C^{(k)}-X-B^{(k)}+W_2^{(k)}\Vert \end{array}$

当 $\Vert X^{(k+1)}-X^{(k)}\Vert <\epsilon$ 时，停止迭代，得到的 $A,B,X$ 是最优解。最后聚合所有处理过后的图像块得到去噪图像X。

3. 实验与分析

3.1. 合成地震数据

在本节中，本文验证了一个合成地震剖面对WNNM-DCT的去噪性能的结果。如图1(a)所示，截面尺寸为256 × 256。灰度值范围统一转换为0~255。通过将噪声添加到合成纯区间来构造合成噪声区间。图1(b)显示了添加了噪声方差为90的合成截面。我们可以看到，大多数有效信号都受到噪声的污染，无法轻易识别。

图1. 模拟资料和实际资料

为了验证本文提出的WNNM-DCT方法的有效性，本文与传统的方法如NCSR、BM3D、WNNM和本文方法WNNM-DCT。图2显示了这四种方法对合成噪声地震剖面的去噪结果。可以看出，由于较强的噪声，在图2(a)和图2(b)中，地震剖面表现出不同程度的模糊性、边缘不清楚以及断层位置缺乏清晰度，这些都无法保存地震剖面的纹理和信息。在图2(c)，地震剖面显示了高质量的结果，去噪地震数据显示了纹理和信息的显著恢复。图3(e)显示了最清晰的地震轴，表明去噪地震数据与原始地震数据之间具有高度相似性。这表明WNNM-DCT有效地抑制了随机噪声，同时保留了更多的局部细节。

为了定量比较这四种方法的去噪性能，本文计算了当输入有噪地震剖面的噪声方差 ${\sigma }^2$ 不同时，去噪结果的PSNR、SNR和SSIM，如表1所示可以看出，NCSR的客观评价指标最低，WNNM-DCT的数值最高。BM3D和WNNM的数值依次增加。结果表明，WNNM-DCT的去噪结果与原始地震剖面最为相似。

图2. 模拟地震剖面去噪效果图

表1. 4种不同方法对地震剖面去噪效果比较

3.2. 实际地震数据

接下来，我们对每条道中有256个采样点的现场地震剖面进行处理，如图1(c)，以测试WNNM-DCT的去噪性能，并将结果与NCSR、BM3D和WNNM的去噪结果进行比较。该部分包含多种类型的噪声，有效信号无法轻易识别。图3显示了四种方法的去噪结果，图4示了相应的残差图像。通过仔细观察，我们可以发现WNNM-DCT的去噪效果是最好的。图3(d)的纹理结构信息更清晰，而图3(a)、图3(b)和图3(c)包含水平噪声。此外，图中有许多明显的细节和纹理结构。图4(a)和图4(b)，代表了有效信号损耗的程度。相反，图4(c)和图4(d)具有较少的纹理结构。这表明WNNM-DCT更适合于地震数据去噪，具有更好的有效信号恢复能力。

图3. 实际资料去噪图

图4. 实际资料残差图

4. 结论

针对地震资料图像的特点，本文根据非局部相似性和非局部稀疏模型两个去噪方向的优缺点，提出了结合WNNM和DCT的去噪算法。本文提出的方法，不但保留了部分纹理结构信息，而且减轻了容易丢失图像信息这一缺点。并由实验验证，该方法相对于其他方法信噪比、峰值信噪比和结构相似性有了一定的提高，同时对实际资料的去噪处理也有较好的效果。我们的方法不仅可以有效地抑制噪声，而且可以很好地保存有用的信息。对于复杂的地质结构，纹理变得更加清晰，地震剖面的细节可以持久化。

文章引用

李 鑫. 基于改进的加权核范数最小化的地震资料去噪方法
Seismic Data Denoising Method Based on Improved Weighted Kernel Norm Minimization[J]. 理论数学, 2023, 13(09): 2614-2620. https://doi.org/10.12677/PM.2023.139267

参考文献