Advances in Applied Mathematics
Vol.
07
No.
12
(
2018
), Article ID:
28154
,
7
pages
10.12677/AAM.2018.712187
Analysis of Bogdanov-Takens Bifurcation in Chua’s System
Caixian Su
School of Computer Science, Guangdong Polytechnic Normal University, Guangzhou Guangdong
Received: Nov. 23rd, 2018; accepted: Dec. 17th, 2018; published: Dec. 24th, 2018
ABSTRACT
We present explicit formulae for normal form and universal unfolding of the Bogdanov-Takens bifurcation in Chua’s system by a homological method, and plot the corresponding bifurcation diagram.
Keywords:Bogdanov-Takens Bifurcation, Normal Form, Universal Unfolding, Chua’s System
Chua’s系统的Bogdanov-Takens分岔分析
苏彩娴
广东技术师范学院计算机科学学院,广东 广州
收稿日期:2018年11月23日;录用日期:2018年12月17日;发布日期:2018年12月24日
摘 要
应用同调方法显式计算Chua’s系统Bogdanov-Takens分岔的规范型和普适开折,并画出对应的分岔图。
关键词 :Bogdanov-Takens分岔,规范型,普适开折,Chua’s系统
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 引言
1983年,蔡少棠教授首次提出蔡氏电路 [1] ,这个系统拥有复杂的动力学行为,广泛应用于电子学方面 [2] 。本文主要基于参数依赖的中心流形,利用参数依赖的归一化方法 [3] [4] 来分析Chua’s系统的Bogdanov-Takens分岔。文章第二和第三部分分别介绍了对称系统Bogdanov-Takens (BT)分岔规范型和普适开折的计算公式,第四部分计算Chua’s系统相应分岔的规范型和普适开折,并画出它的分岔图。
2. 规范型计算公式
考虑以下 对称系统
(1)
其中 , , 充分光滑。向量场(1)在变换 下保持不变,当 时,有平衡点 ,系统的雅可比矩阵 在 处非零并且有二重零特征值,由向量场(1)的对称性,其可展开为如下形式:
(2)
其中 , ,其余类似。设(1)的规范型和普适开折分别 [5] [6] [7] [8]:
(3)
(4)
定理1:根据临界中心流形不变性和Fredholm择一性定理,向量场(1)相应于BT分岔规范型(3),其系数计算公式如下 [9]:
(5)
(6)
其中 和 分别为A和AT的广义特征向量,且满足:
(7)
(8)
3. 普适开折的计算公式
考虑参数 在 附近扰动,扰动量为 ,此时(1)式可展开为如下形式:
(9)
其中 如前所述, , 类似。
将原始参数和开折参数的关系表示为 ,进一步采用如下平方逼近:
(10)
定理2:设(1)的BT分岔是非退化的,相应于普适开折(4),根据Fredholm择一定理,比较同调代数方程中 项的系数得到如下线性代数方程 [10]:
(11)
(12)
(13)
(14)
由(11)~(14)可解得a,b,以下方程可以求得c,d和e:
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
其中 是如下奇异线性代数方程的任意解:
(21)
(22)
通过以上方程计算,并消去 ,可以确定参数变换 ,从而求得开折参数 ,且分岔的横截性条件为:
如果(1)的双零分岔满足非退化和横截性条件,则当 在 附近扰动,普适开折(4)对不同的 和 ,其分岔图和相图的拓扑结构与 和 时相同 [13] 。
4. Chua’s系统Bogdanov-Takens分岔分析
以下为本文研究的立方非线性Chua’s系统 [11] 。
(23)
容易验证:当 时,系统(23)有平衡点 ,它的Jacobi矩阵在平衡点处为 。令 ,解得特征值 , ,根据(7)和(8)得到广义特征向量为:
其中 为任意非零实数,计算 为:
由(5)和(6)得到(23)的系数规范型
(24)
系统(23)满足BT分岔非退化条件 ,从而 和 时,然后扰动参数向量 ,由临界值 变成 由(11)~(14)得到线性项的系数如下:
将以上系数代入(21)和(22)得
这里 和 为任意实数,由上面(15)~(20),得到二次项系数为:
令 ,并代入 ,将以上两式代入(10)式,比较两端系数可以得到开折参数如下:
(25)
由于 ,故横截性满足,从而当 和 时, 和 可以作为系统(23)的分岔参数使系统发生完整双零分岔,本文可以计算2次精确度的开折参数,而文献 [12] 中计算的分岔参数仅是我们计算的线性部分。
最后,取 , ,则系统参数变成 ,由上面(24)和(25)得相应系数 , , , .根据文献 [13] ,可得分岔曲线如下:
其分岔图见图1。
Figure 1. Bifurcation curves of system (23) at with bifurcation parameter
图1. 系统(23)在临界参数 附近以 为分岔参数的分岔图
5. 结束语
本文利用同调代数方法计算Chua’s系统的规范型和普适开折,计算出来的开折参数精确到2次项,相对于其他研究的计算精确度更高,计算方法也更加简便。最后利用开折参数来分析Chua’s系统的分岔,并画出它的分岔图。
文章引用
苏彩娴. Chua’s系统的Bogdanov-Takens分岔分析
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