Advances in Applied Mathematics
Vol. 08  No. 12 ( 2019 ), Article ID: 33517 , 10 pages
10.12677/AAM.2019.812234

Inequalities for Dual Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals

Guojun Deng, Yan Gou

Lanzhou No.9 Middle School, Lanzhou Gansu

Received: 23rd, 2019; accepted: Dec. 11th, 2019; published: Dec. 18th, 2019

ABSTRACT

This paper generalizes the notion of dual affine quermassintegrals in the classical Brunn-Minkowski theory and its inequalities to Orlicz space. Concept of dual Orlicz mixed affine quermassintegrals is introduced in this paper, and the Orlicz-Minkowski inequality and the Orlicz-Brunn-Minkowski inequality are established for this new dual Orlicz mixed affine quermassintegrals.

Keywords:Star Bodies, Orlicz Space, Dual Orlicz Mixed Affine Quermassintegrals, Orlicz-Minkowski Inequality, Orlicz-Brunn-Minkowski Inequality

对偶Orlicz混合仿射均质积分的不等式

邓国军,缑艳

兰州市第九中学,甘肃 兰州

收稿日期:2019年11月23日;录用日期:2019年12月11日;发布日期:2019年12月18日

摘 要

本文将经典Brunn-Minkowski理论中对偶仿射均质积分的概念及相关不等式推广到Orlicz空间,提出了对偶Orlicz混合仿射均质积分的概念,建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

关键词 :星体,Orlicz空间,对偶Orlicz混合仿射均质积分,Orlicz-Minkowski不等式,Orlicz-Brunn-Minkowski不等式

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言和主要结果

早在19世纪末20世纪初,Brunn-Minkowski理论开始逐渐进入人们的视野。从1962年开始,Brunn-Minkowski理论逐渐进入 L p Brunn-Minkowski理论阶段(见 [1] ),在经过Lutwak (见 [2] [3] )等的基础性工作之后, L p Brunn-Minkowski理论得到迅速的发展(见 [4] - [10] )。最近,在Lutwak Yang和Zhang等人的开创性研究(见 [11] [12] )和近期的一系列探究性工作(见 [13] [14] [15] )的推动下,凸体的经典Brunn-Minkowski理论(见 [16] [17] [18] [19] ) (包括 L p Brunn-Minkowski理论(见 [20] ))已被推广到Orlicz-Brunn-Minkowski理论之中。

S n 1 和B分别表示n维欧式空间 n 中的单位球面和标准单位球,用 κ n 表示 n 中所有凸体(非空内点的紧凸集)构成的集合, κ o n κ s n 分别表示 κ n 中以原点为内点和关于原点对称的所有凸体构成的集合。 v o l k ( ) 表示k维体积,且记 v o l n ( B ) = ω n 。在 n 中,一个紧的星形(关于原点) K的径向函数 ρ K = ρ ( K , ) 被定义为:对 x n \ { 0 } ρ K ( x ) = ρ ( K , x ) = max { λ 0 : λ x K } 。当 ρ K 是一个正的连续函数时,称K是一个星体(关于原点)。设 S n T G L ( n ) 中所有星体(支撑上有连续径向函数的关于原点的星形集)构成的集合,用 S o n 表示 S n 中以原点为内点的所有星体构成的集合。如果 K , L S o n ρ K ( u ) / ρ L ( u ) u S n 1 无关,则称K和L互为膨胀。显然,当 K , L S o n 时,

K L 当且仅当 ρ K ρ L . (1.1)

c > 0 ,就有

ρ c K ( x ) = c ρ K ( x ) , x n \ { 0 } . (1.2)

一般地,根据径向函数的定义可得:若 T G L ( n ) ,则K的象 T K = { T y : y K } 的径向函数为(见 [16] [21] )

ρ T K ( x ) = ρ K ( T 1 x ) , x n \ { 0 } , (1.3)

其中 G L ( n ) 表示一般的非奇异线性变换群, T 1 为T的逆变换。

关于凸体仿射均质积分的概念,Lutwak (见 [22] )已给出了明确的定义:如果 K κ o n Φ ˜ 0 ( K ) = V ( K ) Φ ˜ n ( K ) = ω n ,那么当 0 < i < n 时,凸体K的仿射均质积分被定义为

Φ n i ( K ) = ω n ( G ( n , i ) [ v o l i ( K | ξ ) ω i ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n ,

其中 G ( n , i ) , μ i v o l i ( K | ξ ) 分别表示 n 中i维线性子空间的Grassman流形(且 μ ( G ( n , i ) ) = 1 ), G ( n , i ) 上规范Haar测度和K在i维子空间 ξ n 上正交投影的i维体积。

在文献 [23] 中,Lutwak进一步给出对偶仿射均质积分的定义:如果 K S o n Φ ˜ 0 ( K ) = V ( K ) Φ ˜ n ( K ) = ω n ,那么对于 0 < i < n ,星体K的对偶仿射均质积分被定义为

Φ ˜ n i ( K ) = ω n ( G ( n , i ) [ v o l i ( K ξ ) ω i ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n , (1.4)

其中 v o l i ( K ξ ) 表示K与i维子空间 ξ n 交的i维体积。

随后,袁俊(见 [9] )给出混合p次对偶仿射均质积分的概念:如果 K , L S o n ξ G ( n , i ) ,那么对于 0 p i ,混合p次对偶仿射均质积分被定义为

Φ ˜ p , n i ( K , L ) = ω n ( G ( n , i ) [ V ˜ p , i ( K , L ; ξ ) ω i ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n , (1.5)

其中 V ˜ p , i ( K , L ; ξ ) = V ˜ ( K ξ , i p ; L ξ , p ) 。当 p = 1 时, Φ ˜ 1 , i ( K , L ) 可记为对偶混合仿射均质积分 Φ ˜ i ( K , L ) 。当 0 p n i 时,就有 Φ ˜ p , i ( K , K ) = Φ ˜ i ( K ) Φ ˜ n i , i ( K , L ) = Φ ˜ i ( L )

在此基础上,袁俊(见 [9] )给出了如下两个重要的不等式:

定理A:如果 K , L S o n ,且 0 i n 1 ,那么当 0 P i 时,

Φ ˜ p , i ( K , L ) n i Φ ˜ i ( K ) n i p Φ ˜ i ( L ) p , (1.6)

等号成立当且仅当K是L的膨胀。

定理B:如果 K , L S o n ,且 0 i n 1 ,那么

Φ ˜ i ( K + ˜ L ) 1 n i Φ ˜ i ( K ) 1 n i + Φ ˜ i ( L ) 1 n i , (1.7)

等号成立当且仅当K是L的膨胀。

Ψ 是所有严格增的凹函数 ϕ : [ 0 , + ) [ 0 , + ) 所构成的集合,且使得 ϕ ( 0 ) = 0 , ϕ ( 1 ) = 1 lim t ϕ ( t ) =

文献 [14] 和 [15] 各自独立地给出了如下的对偶Orlicz混合体积 V ˜ ϕ ( K , L ) 的公式:对于 ϕ Ψ K , L S n ,对偶Orlicz混合体积 V ˜ ϕ ( K , L )

V ˜ ϕ ( K , L ) = 1 n S n 1 ϕ ( ρ L ( u ) ρ K ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) . (1.8)

其中S是 S n 1 上的Lebesgue测度。当 ϕ ( t ) = t p , 0 < p 1 时,对于 K , L S o n ,对偶Orlic混合体积 V ˜ ϕ ( K , L ) 变为p次对偶混合体积,即

V ˜ p ( K , L ) = 1 n S n 1 ρ K n p ( u ) ρ L p ( u ) d S ( u ) .

本文提出了如下对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义,从而推广了混合p次对偶仿射均质积分的概念。在此基础上,讨论了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些性质,建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

首先,提出对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义。

定义1.1:设 K , L S o n ξ G ( n , i ) 。如果 ϕ Ψ ,那么对每一个 i = 0 , 1 , , n 1 ,对偶Orlicz混合仿射均质积分被定义为

Φ ˜ ϕ , n i ( K , L ) = ω n ω i ( G ( n , i ) [ V ˜ ϕ ( i ) ( K ξ , L ξ ) ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n , (1.9)

其中 V ˜ ϕ ( i ) ( K ξ , L ξ ) 表示 K ξ L ξ 的i维对偶Orlicz混合体积。

ϕ ( t ) = t p , 0 < p 1 时,对偶Orlicz混合仿射均质积分(1.9)变为袁俊(见 [9] )的混合p次偶仿射均质积分(1.5)。

其次,获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式。

定理1.2:如果 K , L S o n ϕ Ψ ,那么对每一个 i = 0 , 1 , , n 1

Φ ˜ ϕ , i ( K , L ) Φ ˜ i ( K ) ϕ ( ( Φ ˜ i ( L ) Φ ˜ i ( K ) ) 1 n i ) , (1.10)

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。

最后,利用定理1.2,建立了可推出对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。

定理1.3:如果 K , L S o n ϕ Ψ α , β > 0 。那么对每一个 i = 0 , 1 , , n 1

α ϕ ( ( Φ ˜ i ( K ) Φ ˜ i ( α K + ˜ ϕ β L ) ) 1 n i ) + β ϕ ( ( Φ ˜ i ( K ) Φ ˜ i ( α K + ˜ ϕ β L ) ) 1 n i ) 1 , (1.11)

等号成立当且仅当K和L互为膨胀(径向Orlicz线性组合 α K + ˜ ϕ β L 的定义请见第二节(2.2))。

2. 预备知识及引理

如果 K 1 , , K r S o n λ 1 , , λ r ,那么径向Minkowski线性组合, λ 1 K 1 + ˜ + ˜ λ r K r ,被定义为

λ 1 K 1 + ˜ + ˜ λ r K r = { λ 1 x 1 + ˜ + ˜ λ r x r : x i K i } .

K , L S o n α , γ 0 时,

α ( K + ˜ L ) = α K + ˜ α L , ( α + ˜ γ ) K = α K + ˜ γ K .

由此,易得

ρ α K + ˜ γ L ( ) = α ρ K ( ) + γ ρ L ( ) .

对于 K , L S o n ,在 S o n 上定义径向Hausdorff度量为

δ ˜ ( K , L ) = max u S n 1 | ρ K ( u ) ρ L ( u ) | = : ρ ( K , ) ρ ( L , ) .

若当 i δ ˜ ( K i , K ) 0 。则星体列 { K i } 收敛于K。这意味着当且仅当 ρ K i ( ) 一致收敛于 ρ K ( ) 时,序列 { K i } 收敛于K。

一个紧的星形K的n维体积的极坐标公式是

V ( K ) = v o l n ( K ) = 1 n S n 1 ρ K ( u ) n d S ( u ) . (2.1)

最近,Gardner(见 [14] )等人给出了径向Orlicz线性组合 α K + ˜ β ϕ L 的定义:设 K , L S n ,如果 α , β > 0 ϕ Ψ ,那么对任意 x n \ { 0 } ,径向Orlicz线性组合 α K + ˜ β ϕ L 被定义为

ρ α K + ˜ β ϕ L ( x ) = inf { λ > 0 : α ϕ ( ρ K ( x ) λ ) + β ϕ ( ρ L ( x ) λ ) 1 } , (2.2)

并有 α K + ˜ β ϕ L S n ,由(2.2)可以知道, ρ α K + ˜ β ϕ L S n 1 上是Borel可测的。

等价地,设 K , L S n ,如果 ϕ Ψ ρ K ( u ) + ρ L ( u ) > 0 ,那么对于任意 u S n 1 ,径向Orlicz线性组合 α K + ˜ β ϕ L 亦可定义为

α ϕ ( ρ K ( u ) ρ α K + ˜ ϕ β L ( u ) ) + α ϕ ( ρ L ( u ) ρ α K + ˜ ϕ β L ( u ) ) = 1. (2.3)

那么,当 K , L S o n 时, α K + ˜ β ϕ L S o n

引理2.1:设 K , L S o n α , β > 0 ,如果 ϕ Ψ ,那么对于 T G L ( n )

T ( α K + ˜ β ϕ L ) = α T K + ˜ β ϕ T L .

证明:对于任意 x n 1 \ { 0 } ,由等式(1.3)和径向Orlicz线性组合的定义(2.2),得

ρ ( α T K + ˜ β ϕ T L , x ) = inf { λ > 0 : α ϕ ( ρ T K ( x ) λ ) + β ϕ ( ρ T L ( x ) λ ) 1 } = inf { λ > 0 : α ϕ ( ρ K ( T 1 x ) λ ) + β ϕ ( ρ L ( T 1 x ) λ ) 1 } = ρ ( α K + ˜ β ϕ L , T 1 x ) = ρ ( T ( α K + ˜ β ϕ L ) , x ) .

引理2.2:设 K , L S o n α , β > 0 ,且 i = 0 , 1 , , n 1 ,如果 ϕ Ψ ,那么对于 ξ G ( n , i )

( α K + ˜ ϕ β L ) ξ = α ( K ξ ) + ˜ ϕ β ( L ξ ) .

证明:设 ξ G ( n , i ) 是任意固定的,记 S i 1 = S n 1 ξ 。对于 u S i 1 Q S o n ,有 ρ Q ( u ) = ρ Q ξ ( u ) 。由此,利用 α K + ˜ ϕ β L 的定义,对 u S i 1 ,可得

α ϕ ( ρ K ξ ( u ) ρ ( α K + ˜ ϕ β L ) ξ ( u ) ) + β ϕ ( ρ L ξ ( u ) ρ ( α K + ˜ ϕ β L ) ξ ( u ) ) = 1.

另一个方面,利用 ξ α ( K ξ ) + ˜ ϕ β ( L ξ ) 的定义,可得

α ϕ ( ρ K ξ ( u ) ρ α ( K ξ ) + ˜ ϕ β ( L ξ ) ( u ) ) + β ϕ ( ρ L ξ ( u ) ρ α ( K ξ ) + ˜ ϕ β ( L ξ ) ( u ) ) = 1.

因此,在 ξ 中, ( α K + ˜ ϕ β L ) ξ α ( K ξ ) + ˜ ϕ β ( L ξ ) 是同一个星体。

Gardner (见 [14] )等证明了如下对偶Orlicz混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式。

引理2.3:如果 K , L S o n ϕ Ψ ,那么

V ˜ ϕ ( K , L ) V ( K ) ϕ ( ( V ( L ) V ( K ) ) 1 n ) ,

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。

3. 主要结果的证明

首先获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些基本性质。

性质3.1:如果 K , L , L 1 , L 2 S o n ϕ Ψ ,那么

1) Φ ˜ ϕ , i ( K , K ) = ϕ ( 1 ) Φ ˜ i ( K ) = Φ ˜ i ( K )

2) Φ ˜ ϕ , 0 ( K , L ) = V ˜ ϕ ( K , L )

3) 如果 L 1 L 2 ,那么 Φ ˜ ϕ , i ( K , L 1 ) Φ ˜ ϕ , i ( K , L 2 )

4) 当 T S L ( n ) 时, Φ ˜ ϕ , i ( T K , T L ) = Φ ˜ ϕ , i ( K , L )

我们只给出性质(4)的证明。

证明:设 ξ G ( n , n i ) ,记 S n i 1 = S n 1 ξ 。如果 T S L ( n ) = { T G L ( n ) : | T | = 1 } ,则对于 u S n i 1 Q S o n ,有。当时,记,利用对偶Orlicz混合体积(1.8)和等式(1.3),使得当时,可得

由此,当时,根据对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义,可得

,规范化的仿射均质积分的对偶conical测度可被定义为

(3.1)

其中,上的Haar测度。显然,规范化的仿射均质积分的对偶conical测度上的一个概率测度。

定理1.2的证明:利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),对偶仿射均质积分的定义(1.4),引理2.3,Jensen不等式(见 [14] ),Höld不等式以及严格增的凹函数,可得

则所需不等式成立。

若上述不等式的等号成立,由于是严格增的函数,则对偶Minkowski不等式的等号成立。因此存在使得,从而对任意,有

反之,当时,利用对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),可得

时,对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Minkowski不等式(1.10)变为袁俊(见 [9] )的混合p次对偶仿射均质积分的Minkowski不等式(1.6)。

推论3.2:设,且。如果

(3.2)

或者

(3.3)

证明:若(3.2)成立,令,根据,对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),以及对偶仿射均质积分的定义(1.4),得到

由此,利用定理1.2,可得

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为上是严格增的,则

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取,类似地,可得,等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此,。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分,则

若(3.3)成立,如果令,根据,对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义(1.9),以及对偶仿射均质积分的定义(1.4),得到

根据定理1.2,就有

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因为上是严格增的,则

等号成立当且仅当K和L互为膨胀。如果取,类似地,可得,等号成立当且仅当K和L互为膨胀。因此,。由于K和L具有相同的对偶仿射均质积分,则

为了证明定理1.3,我们还需以下引理:

引理3.3:设

1) 如果K和L互为膨胀,那么对于,K和互为膨胀。

2) 设,如果K和互为膨胀,则K和L互为膨胀。

证明:为了证明(1),假设存在常数,使得。令。径向Orlicz线性组合的定义表明函数

的唯一解。

另一方面,存在使得

这意味着

因此,

为证明(2),假设存在常数使得。于是对任意,有

这表明,对于

是一个常数。由的性质可知和L互为膨胀。

定理1.3的证明:为方便起见,令

于是,当时,利用引理2.2,可得

对于的定义表明

(3.4)

因此,利用,对偶仿射均质积分的定义(1.4),(3.4)式,Minkowski不等式以及定理1.2,可得

从而所需不等式得证。根据定理1.2和引理3.3,定理1.3等号成立的条件可立即得出。

时,对偶Orlicz混合仿射均质积分的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式(1.11)变为袁俊(见 [9] )的对偶仿射均质积分的Brunn-Minkowski不等式(1.7)。

文章引用

邓国军,缑 艳. 对偶Orlicz混合仿射均质积分的不等式
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