Pure Mathematics
Vol.07 No.04(2017), Article ID:21474,7
pages
10.12677/PM.2017.74044
Module Analytic Functions and Its Properties
Chuanhua Jiang, Xiaohua Liang
Guangxi Normal University, Guilin Guangxi
Received: Jul. 6th, 2017; accepted: Jul. 20th, 2017; published: Jul. 25th, 2017
ABSTRACT
In this paper, the finite number is called the module derivative of complex function
. And if
exists module derivative at any point
of some field
, then
is module analytic function over field
. Let
be a complex function, then we give a necessary condition, such that
is a module analytic function as follows:
which can be called module Cauchy-Riemann equation or shortly by M-C.R. equation. Furthermore, for module analytic function
of field
,we get the necessary and sufficient conditions: (1)
,
satisfies the M-C.R. equation within the field
. (2)
,
satisfies the equation
within the field
. Finally, the correlations between module analytic function and several preexisting functions are discussed, including analysis function, semi-analytic function, and conjugate analytic function.
Keywords:Analysis Function, Cauchy-Riemann Equation, Module Analytic Function, Module Cauchy-Riemann Equation
模解析函数及其性质
蒋传华,梁小华
广西师范大学,广西 桂林
收稿日期:2017年7月6日;录用日期:2017年7月20日;发布日期:2017年7月25日
摘 要
若复变函数在
处满足如下极限存在(有限)
称函数
于点
模可导;若
在
的某个邻域内的任一点模可导,则称
在
模解析。如果函数
在区域
内任一点模解析,则称
为区域
内模解析函数。我们给出了一个复变函数
模解析的如上定义,并导出了模解析函数的必要条件:
。我们称此为模柯西–黎曼方程(简称模C.-R.方程)。进一步,我们给出了模解析的充分必要条件:(1)
,
在区域
内满足模C.-R.方程;(2)
,
在区域
内满足
。最后,我们讨论了模解析函数与已有的各类复变函数,如解析函数,半解析函数,共轭解析函数之间的关系。
关键词 :解析函数,柯西–黎曼方程,模解析函数,模柯西–黎曼方程
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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
1. 模解析函数
定义1.1:设函数在点
的邻域内或包含
的区域D内有定义,如果当
按任意方式趋于
时,即当
按任意方式趋于零时,比值
,
的极限都存在(有限),则称此极限为函数在点
的模导数(记为
),此时称函数
于点
模可导。若
在
的某个邻域内的任一点模可导,则称
在
模解析。如果函数
在区域D内任一点模解析,则称
为区域D内模解析函数。或称
在区域D内模解析。
例1.1:试证明函数在
平面上不解析,但是在
平面上模解析。
证明:由,
,得
,
,
,
。又
,即此函数
不满足C.-R.方程,在平面上不解析。但
即
因此,函数在
平面上处处模解析。
例1.2:试证明函数在
平面上不解析,但是在
平面上模解析。
证明:由,
,得
,
,
,
。又
,即此函数
不适合C.-R.方程,在平面上不解析。但
即
因此,函数在
平面上处处模解析。
2. 主要定理及证明
如果函数是模可微的,它的实部
与虚部
应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件,类似于解析函数柯西–黎曼方程,我们也可以探讨这种条件。
若在点
模可微,即
(1)
存在,设,
,其中:
,
,
代入,则(1)可以改写为
(2)
存在,因为当无论按什么方式趋于零时,(2)总是成立的。不妨设
,
,即变点
沿平行于实轴的方向趋于点
(见图1),此时有
(3)
成立。同样,不妨设,
,即变点
沿
平行于虚轴的方向趋于点,此时有
, (4)
成立。综合(3)和(4)得
或者
(5)
Figure 1. z + Δz tend to z)
图1. z + Δz趋于点z
我们称(5)为模柯西–黎曼方程(简记为模C.-R.方程)。
由以上的讨论可以得到如下定理:
定理2.1:(模解析的必要条件)设函数在区域
内有定义,且在
内模解析,则必有:
(1) 偏导数,
,
,
在区域
内存在;
(2),
在区域
内满足模C.-R.方程。
例2.1:试证明函数在
平面上满足定理2.1中的条件,但在
平面上不是模解析函数。
证明:因为,
,易知
和
都是可微函数。易得
,
,
,
。可知
和
的偏导数在区域
内存在,满足
,所以适合模C.-R.方程。但
在时极限不存在。这只要让
沿射线
随
而趋于零,即知上述比值是一个与
有关的值,即
。所以函数
在
平面上不是模解析函数。下面我们给出判定一个复变函数是否模解析的充要条件:
定理2.2:(模解析的充要条件)设函数在区域
内有定义,其在区域
内模解析的充分必要条件是:
(1),
在区域
内满足模
方程;
(2) 偏导数,
,
,
在区域
内存在且
。
证明:设函数,由极坐标变换
,
,
,于是对任意
,有
,上式表明
与
的取值无关。
由于此极限与的取值无关,即函数
在区域
内模解析充要条件为
且
.
综上,定理2.2得证。
例2.2:试证明函数在
平面上模解析。
证明:令,于是
,易得
,
,
,
.
满足,且
,适合模C.-R.方程,由定理2.2知
在
平面上模解析,并且
.
例2.3:讨论函数的模解析性。
解:因为,
,故:
,
,
,
,
满足,若要
,须
。故仅在直线
上满足模C.-R.方程,从而仅在直线
上
模可导,但在
平面上,
却处处不模解析。
3. 模解析函数与其它函数类的关系
定理3.1解析函数一定是模解析函数,模解析函数不一定是解析函数。
证明:设函数是在区域
内是解析函数,若任一点
,则
存在,必有
极限存在,于是函数
在区域
内模解析。所以解析函数一定是模解析函数。反之,模解析函数不一定是解析函数。
例3.1:函数在
平面上模解析,但在
平面上不是解析函数。
例3.2:函数在
平面上是模解析也是解析函数。
证明:因,于是有
,
,
,
.
适合且
,满足定理2.2中的条件,所以
在
平面上是模解析函数,其在
平面上也是解析函数。
文献 [1] 给出了半解析函数的定义如下:假定在区域
内连续,若对于每一点
,都有
,则称
在
内是第一类半解析函数;若对于每一点
,都有
,则称
在
内是第二类半解析函数,第一类半解析函数和第二类半解析函数统称为半解析函数 [1] 。
定理3.2:模解析函数不一定是半解析函数,半解析函数也不一定是模解析函数。
证明:模解析函数的条件且
与半解析函数的条件
或者
进行比较即可的定理结论。
例3.3:函数在
平面上是模解析函数,但不是半解析函数。
证明:由例2.2知,函数是模解析函数,令
,于是
,
易得
,
,
,
.
,
。根据半解析函数的定义,得
不是半解析函数。
例3.4:函数在
平面上是半解析函数,但不是模解析函数。
证明:因,则
,
。易得
,
,
,
.
于是,根据半解析函数的定义,所以
是半解析函数,但
,所以根据定理2.2知
不是模解析函数。
文献 [2] 给出了共轭解析函数的充要条件如下:
(1) 二元函数,
在区域
内可微;
(2),
在区域
内满足共轭解析条件:
,
;
则(1)和(2)称为函数在区域
内共轭解析的充分必要条件 [2] 。
定理3.3:(共轭解析一定模解析)共轭解析函数一定是模解析函数,但模解析函数不一定是共轭解析函数。
证明:若函数是共轭解析的,在
平面上则有
存在,所以:
极限存在,则必有存在,易得到
也存在,因而函数
是模解析函数.所以共轭解析函数一定是模解析函数。反之,模解析函数不一定是共轭解析函数。
例3.5:函数在
平面上模解析,同时也是共轭解析函数。
证明:由例2.1知是模解析函数,令
,可得
,
,
,
,因而满足共轭解析条件
,
。所以函数
在
平面上共轭解析。
例3.6:函数在
平面上是模解析函数,但不是共轭解析函数。
证明:函数,令
,得
,于是得
,
,
,
满足且
,根据定理3.2知
是模解析函数,但不满足
,
,不适合共轭解析条件,所以此函数不是共轭解析函数。
定理3.4:函数既是共轭解析也是半解析函数必须满足下面条件之一:(1)
。(2)
。
证明:设是共轭解析函数,则
且
。
若是第一类半解析函数,则
,所以有
且
,于是
。
Figure 2. The diagram of inclusion relation
图2. 包含关系图
若是第二类半解析函数,则
,所以有
且
,于是
。
推论3.1:模解析函数与解析函数,半解析函数,共轭解析函数的包含关系,如图2所示。
本文所涉及到基本概念和已知结论在参考文献 [2] [3] [4] [5] [6] 里。
文章引用
蒋传华,梁小华. 模解析函数及其性质
Module Analytic Functions and Its Properties[J]. 理论数学, 2017, 07(04): 349-355. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2017.74044
参考文献 (References)
- 1. 华东师范大学数学系. 数学分析下册(第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2010: 119.
- 2. 杜迎雪, 许小艳. 复变函数的可导性与解析性[J]. 中国科技信息, 2006(13): 287.
- 3. 王海英. 复变函数共轭可微的又一充要条件及应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2008, 29(2): 82-83.
- 4. 王见定, 著. 半解析函数共轭解析函数[M]. 北京: 北京工业大学出版社, 1988: 1, 23.
- 5. 王见定. 半解析函数, 共轭解析函数及其在力学中的初步应用[J]. 北京: 北京工业大学分校, 1997, 27(2): 259- 262.
- 6. 钟玉泉. 复变函数(第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2014: 46-55.