贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳

收稿日期：2021年1月14日；录用日期：2021年2月17日；发布日期：2021年2月25日

摘要

复线性微分方程， $f^{\left(k\right)}+A_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=F\left(z\right)$ 在不同空间上解的性质被许多学者研究，如Hardy空间，Dirichket空间等等，在这些空间上考虑了解的函数空间属性。在该文章中，我们主要研究了该方程在 $\gamma$ -Bloch-Orilicz空间上解的函数空间属性以及解的增长性，其中 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 是单位 $D=\left\{\left|z\right|<1\right\}$ 上的解析函数。

关键词

Bloch-Orilicz空间，级，解析函数

Properties of Solutions of Complex Linear Differential Equations in Orilicz Type Spaces

Xingxing Huang, Congli Yang^*, Yan Luo

Department of Mathematical Science, Guizhou Normal University, Guiyang Guizhou

Received: Jan. 14^th, 2021; accepted: Feb. 17^th, 2021; published: Feb. 25^th, 2021

ABSTRACT

The properties of the solution of the following complex linear differential equation $f^{\left(k\right)}+A_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=F\left(z\right)$ is studied in some spaces as the weighted Hardy spaces and Dirichlet spaces, the properties of the solutions of the complex linear differential equations in these spaces is considered. In this paper, some results of the properties and growth of solutions of the equations are obtained in $\gamma$ -Bloch-Orilicz spaces, where $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ are analytic in the unit disc $D=\left\{\left|z\right|<1\right\}$.

Keywords:Bloch-Orilicz Spaces, Order, Analytic Functions

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

1982年，Pommerenke研究了二阶复线性微分方程 $f^{″}+A_0\left(z\right)f=0$ 的解与空间的关系，给出了该方程系数的一些条件，得到了该方程的解属于哈代空间H²，详见文献 [1]，2000年，J. Heittokangas在文献 [2] 中给出了该方程得到了复线性微分方程系数的一些条件下，得到了方程的解属于一些解析空间的结论，J. Heittokangas也在该文章中得到了复线性微分方程的系数如果在单位圆D上解析，那么它的解在单位圆D上也是解析的。在那之后，单位圆上的复线性微分方程的解析解和一些函数空间关系被许多学者研究，并且得到了很多有意义的结论，详见文献 [3] - [11]，下面我们将主要考虑复线性微分方程。

$f^{\left(k\right)}+A_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}+\cdots +A_0\left(z\right)f=F\left(z\right)$ (1)

其中系数 $A_j\left(z\right)\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right)$ 是单位圆D上的解析函数并且 $F\left(z\right)\ne 0$，在以上的条件的基础上我们得到了一些相关结论。

为了证明我们的结论，我们需要引入一些如下的基本的概念。

2. 预备知识

令 $H\left(D\right)$ 表示D上所有的全纯函数，那么Bloch空间的定义为：

$B=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right);{\Vert f\Vert }_B=\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f{\left(z\right)}^{\prime }\right|<\infty \right\}$

它是Banach空间且它的范数为； ${\Vert f\Vert }_B=\left|f\right|+{\left|f\right|}_B$，详见文献 [12]，对于 $\alpha >0$，那么 $\alpha$ -Bloch空间的定义为：

$B_{\alpha }=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right);{\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}=\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left|f{\left(z\right)}^{\prime }\right|<\infty \right\}$

关于 $\alpha$ -Bloch空间的更多性质我们可以在文献 [13] 中找到，

令 $\phi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是严格递增的凸函数，并且 $\phi \left(0\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }\phi \left(t\right)=\infty$，此时我们将Bloch-Orilicz空间 $B^{\phi }$ 定义为：

$B^{\phi }=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right);{\Vert f\Vert }_{B^{\phi }}=\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\phi \left(\lambda \left|f{\left(z\right)}^{\prime }\right|\right)<\infty \right\}$

对于一些取决于f且大于0的 $\lambda$，${\Vert f\Vert }_{\phi }=\inf \left\{k>0,S_{\phi }\left(\frac{f^{\prime }}{k}\right)\right\}$，其中 $S_{\phi }\left(\frac{f^{\prime }}{k}\right)=\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\phi \left(\left|f{\left(z\right)}^{\prime }\right|\right)$，详见文献 [14]，类似于 $\alpha$ -Bloch空间的定义，我们将 $\gamma$ -Bloch-Orilicz空间 $B_{\gamma }^{\phi }$ 定义为：

$B_{\gamma }^{\phi }=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right);{\Vert f\Vert }_{B_{\gamma }^{\phi }}=\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }\phi \left(\lambda \left|f{\left(z\right)}^{\prime }\right|\right)<\infty \right\}$

其中 $\gamma ,\lambda$ 取决于f且 $\gamma ,\lambda >0$，该定义我们可以在文献 [15] 中找到。

令 $\phi \left(t\right)$ 为凸函数，则下列陈述成立；

i) 若 $s<1,t>0$，那么 $\phi \left(st\right)\le s\phi \left(t\right)$ ；

ii) 若 $s>1,t>0$，那么 $\phi \left(st\right)\ge s\phi \left(t\right)$ ；

iii) 若 $s>1,t>0$，那么 ${\phi }^{-1}\left(st\right)\le s{\phi }^{-1}\left(t\right)$，其中 ${\phi }^{-1}$ 是 $\phi$ 的逆函数。

若 $0<p<\infty$，当f满足下列条件时，我们称 $H^p$ 为哈代空间。

$H^p=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right):\underset{0\le r<1}{\sup }{\left(\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{\left|f\left(r{\text{e}}^{i\phi }\right)\right|}^p\text{d}\phi }\right)}^{\frac{1}{p}}<\infty \right\}$

当 $p=\infty$ 的情况我们可以参考文献 [16]。

如果函数 $f\in H\left(D\right)$，当函数满足条件：

$\underset{z\in D}{\sup }\left|f\left(z\right)\right|<\infty$

时，那么我们称 $f\in H^{\infty }$，显然 $H^{\infty }$ 是由D上全体有界解析函数组成，令 $0<q<\infty$，相应地加权哈代空间 $H_q^{\infty }$ 的定义为：

$H_q^{\infty }=\left\{f\left(z\right)\in H\left(D\right):{\Vert f\Vert }_{H_q^{\infty }}=\underset{0\le r<1}{\sup }\left|f\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^q<\infty \right\}$

当 $f\left(z\right)$ 满足条件时：

$p=\inf \left\{q>0;f\left(z\right)\in H_q^{\infty }\right\}$

那么我们说 $f\in G_p$ 空间，关于 $G_p$ 空间的更多知识我们可以详见文献 [17]。

接下来为我们来介绍单位圆D上的解析函数 $f\left(z\right)$ 的级 ${\sigma }_M\left(f\right)$ 的定义为：

${\sigma }_M\left(f\right)=\underset{r\to 1^{-}}{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}{\log }^{+}M\left(r,f\right)}{\log \frac{1}{1-r}}$

其中 $M\left(r,f\right)=\underset{\left|z\right|=r}{\max }\left|f\left(z\right)\right|$。

最后，我们来回顾 ${\epsilon }^{\beta }$ 空间的定义。

设 $f\left(z\right)\in H\left(D\right)$，存在 $\alpha \in \left(0,\infty \right)$ 使得 $\left|f\left(z\right)\right|\le {\text{e}}^{\frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }}}$，则 $f\left(z\right)\in {\epsilon }^{\beta }$。

2003年，Chyzhykov等人在文献 [18] 中研究了方程 $f^{\left(k\right)}+A\left(z\right)f=0$ 解的增长性，从他们的研究中我们知道了若系数 $A\left(z\right)\in G_p$，那么就有 ${\sigma }_M\left(f\right)\le \frac{p}{k}-1$。

后来，李和肖在文献 [8] 研究了高阶非齐次线性微分方程：

$f^{\left(k\right)}+A\left(z\right)f=F\left(z\right)$ (2)

解与函数空间的性质，这是对文献 [2] 中结果的推广，在该文章中得到了如下的结论：

定理2：若方程(2)中的系数 $A\left(z\right),F\left(z\right)$ 在D上解析且满足：

$\left|A\left(z\right)\right|\le \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }},F\left(z\right)\in H^p$

其中 $\alpha >0,\beta \ge 0$ 是两个有限的常数。且 $\frac{1}{k}\le p\le \infty$，那么方程(2)解满足

i) 若 $0\le \beta <k$，那么 $f\left(z\right)\in H^{\infty }$ ；

ii) 若 $\beta =k$，那么 $f\left(z\right)\in H_{\frac{\alpha }{k-1}}^{\infty }$ ；

iii) 若 $k<\beta <\infty$，那么 $f\left(z\right)\in {\epsilon }^{\beta =k}$。

根据以上结论，2020年，曾在文献 [19] 中再一次研究了方程(1)的解与函数空间的关系，得到了如下结论：

定理2.1.4：若方程(1)中的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 都是D上的解析函数且满足：

$\left|A_j\left(z\right)\right|\le \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta -j}},F\left(z\right)\in H^p$

其中 $\alpha >0,\beta \ge 0$ 是两个有限的常数。且 $\frac{1}{k}\le p\le \infty$，$f\left(z\right)$ 为方程(1)的任意非平凡解，那么以下结论成立

i) 若 $0\le \beta <k$，则 $f\left(z\right)\in H^{\infty }$ ；

ii) 若 $\beta =k$，则 $f\left(z\right)\in H_q^{\infty }$，其中q只与 $k,\alpha$ 及 $\beta$ 有关；

iii) 若 $\beta >k$，则 $f\left(z\right)\in {\epsilon }^{\beta -k}$。

定理2.1.6：设 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 是D上的解析函数且满足

$\left|A_j\left(z\right)\right|\le \frac{{\alpha }_1}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{{\beta }_1-j}},\left|F\left(z\right)\right|\le \frac{{\alpha }_2}{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{{\beta }_2}}$

其中 ${\alpha }_i>0\left(i=1,2\right),{\beta }_1\ge 0$ 以及 ${\beta }_2\ge 0$ 是两个有限的常数。那么方程(1)的任意非平凡解f(z)满足

i) 若 $0\le {\beta }_1<k$ 且 $0\le {\beta }_2<k$，则 $f\left(z\right)\in H^{\infty }$ ；

ii) 若 $0\le {\beta }_1<k$ 且 $0\le {\beta }_2=k$，则 $f\left(z\right)\in H_q^{\infty }$ ；

iii) 若 $0\le {\beta }_1<k$ 且 ${\beta }_2>k$，则 $f\left(z\right)\in H_{{\beta }_2-k}^{\infty }$ ；

iv) 若 ${\beta }_1=k$，则对任意有限的 ${\beta }_2$，存在一个常数 $q>0$，使得 $f\left(z\right)\in H_q^{\infty }$ ；

v) 若 ${\beta }_1=k$，则对任意有限的 ${\beta }_2$，有 $f\left(z\right)\in {\epsilon }^{{\beta }_1-k}$。

3. 相关引理

为了证明本文中的结论，我们需要如下引理；

引理1 [19] 令u, v为 $\left[\mathrm{0,1}\right)$ 上的非负可积函数，且c为一个0的常数，如果对任意的 $t\in \left[\mathrm{0,1}\right)$ 有

$u\left(t\right)\le c+{\displaystyle {\int }_0^{t}u\left(s\right)v\left(s\right)\text{d}s}$

那么

$u\left(t\right)\le c\exp \left({\displaystyle {\int }_0^{t}v\left(s\right)\text{d}s}\right)$

引理2 [20] 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 都是D上的解析函数， $f\left(z\right)$ 为方程(1)的解，那么存在常数 $C_1,C_2$ 满足 $C_1>0,C_1\le C{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left|f^{\left(j\right)}\left(0\right)\right|},C_2>0$，则对于所有的 $z=r{\text{e}}^{i\theta }\in D$ 有

$\left|f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le \left(C_1+\frac{1}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_0^r\left|F\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-1}\text{d}s\right)\cdot \exp \left(C_2{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^r\left|A_j^n\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-i+n-1}\text{d}s}}\right)$

引理3 [20] 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 都是D上的解析函数， $f\left(z\right)$ 为方程(1)的解，那么对任意的 $z,z_0\in D$ 有

$\begin{array}{c}f\left(z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{k-1}{\sum }}{c}_n{\left(z-z_0\right)}^n}+\frac{1}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_{z_0}^{z}F\left(\xi \right)}{\left(z-\xi \right)}^{k-1}\text{d}\xi \\ +{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{j}{\sum }}{d}_{j,n}}{\displaystyle {\int }_{z_0}^z{A}_j^n\left(\xi \right)f\left(\xi \right)}{\left(z-\xi \right)}^{k-j+n-1}\text{d}\xi }\end{array}$

其中 $c_n\in D$ 是取决于初始值 $f\left(z\right),f^{\prime }\left(z\right),\cdots ,f^{k-1}\left(z\right)$ 的常数，常数 $d_{j,n}\in Q$，积分路径为D上的逐段光滑的曲线。

引理4 [19] 若函数 $g\left(\xi \right)$ 是D上的解析函数，令 $h\left(z\right)={\displaystyle {\int }_{z_0}^z{\left(z-\xi \right)}^{k}g\left(\xi \right)\text{d}\xi },k\in N^{+},z,z_0\in D$，则对任意满足 $n\le k$ 的自然数n有

$h^n\left(z\right)=\frac{k!}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_{z_0}^z{\left(z-\xi \right)}^{k-n}g\left(\xi \right)\text{d}\xi }$

引理5 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 都是D上的解析函数， $f\left(z\right)$ 为方程(1)的解，那么存在常数 $C_1,C_2$ 满足 $C_1>0,C_1\le C{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}\left|f^{\left(j\right)}\left(0\right)\right|},C_2>0$，则对于所有的 $z=r{\text{e}}^{i\theta }\in D$ 有

$\left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le \left(C_1+\frac{1}{\left(k-2\right)!}{\displaystyle {\int }_0^r\left|F\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-2}\text{d}s\right)\cdot \exp \left(C_2{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{j}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^r\left|A_j^n\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-i+n-2}\text{d}s}}\right)$

证明：由引理3和引理4，我们有：

$\begin{array}{c}\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{k-1}{\sum }}{c}_{n}n{\left(z-z_0\right)}^{n-1}}+\frac{1}{\left(k-2\right)!}{\displaystyle {\int }_{z_0}^{z}F\left(\xi \right)}{\left(z-\xi \right)}^{k-2}\text{d}\xi \\ +{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{j}{\sum }}{d}_{j,n}}{\displaystyle {\int }_{z_0}^z{A}_j^n\left(\xi \right)f\left(\xi \right)}{\left(z-\xi \right)}^{k-j+n-2}\text{d}\xi }\end{array}$

其中 $c_n\in D$ 是取决于初始值 $f\left(z\right),f^{\prime }\left(z\right),\cdots ,f^{k-1}\left(z\right)$ 的常数，常数 $d_{j,n}\in Q$，积分路径为D上的逐段光滑的曲线。我们令 $z=r{\text{e}}^{i\theta },\xi =s{\text{e}}^{i\theta }$，满足 $0\le s\le r<1$，我们令 $z_0=0$，那么上面的积分路径就变为 $\left[0,z\right]$ 这条线，这时我们可得

$\begin{array}{c}\left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|=C_1+\frac{1}{\left(k-2\right)!}{\displaystyle {\int }_0^z\left|F\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-2}\text{d}\xi \\ +C_2{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{k-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{j}{\sum }}{d}_{j,n}}{\displaystyle {\int }_0^z\left|A_j^n\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\left|f\left(s{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|}{\left(1-s\right)}^{k-j+n-2}\text{d}\xi }\end{array}$

结合引理1，结论得证。

4. 定理及证明

有了以上的结论之后，我们在此基础上考虑了方程(1)的解与 $\gamma$ -Bloch-Orilicz空间之间的关系，并得到了如下的一些结论。

定理1. 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 在D上的解析且满足 $A_j^{\left(k-1\right)},F\left(z\right)\in B_{\gamma }^{\phi }$，其中 $\gamma >0$，则方程(1)的解 $f\left(z\right)$ 满足 ${\sigma }_M\left(f\right)<\gamma$。

证明：根据 $\gamma$ -Bloch-Orilicz空间的定义以及定理1的条件可知，存在两个常数 $\gamma ,C_0>0$，对于所有的 $j=0,1,\cdots ,k-1$ 和 $z\in D$，我们有下列不等式成立；

$\left|A_j^{k-1}\left(z\right)\right|\le {\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right),\left|F^{\prime }\left(z\right)\right|\le {\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

令 $g\left(t\right)\le {\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$，那么 $g\left(t\right)$ 在 $\left[\mathrm{0,1}\right)$ 上是增函数，则对于任意的 $z\in D$ 以及所有的 $s\in \left\{s:\left|s\right|\le z\right\}$，有以下不等式成立

$\left|A_j^{k-2}\left(z\right)\right|\le \left|A_j^{k-2}\left(0\right)\right|+{\displaystyle {\int }_0^z\left|A_j^{k-1}\left(s\right)\right|\text{d}s}\le \left|A_j^{k-2}\left(0\right)\right|+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0\left|z\right|}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

$\left|A_j^{k-3}\left(z\right)\right|\le \left|A_j^{k-3}\left(0\right)\right|+\left|A_j^{k-2}\left(0\right)\right|+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0{\left|z\right|}^2}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

$⋮$

$\left|{A^{\prime }}_j\left(z\right)\right|\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k-2}{\sum }}\left|A_j^i\left(0\right)\right|}{\left|z\right|}^{k-2}+\left|A_j^{k-2}\left(0\right)\right|+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0{\left|z\right|}^{k-2}}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

$\left|A_j\left(z\right)\right|\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k-1}{\sum }}\left|A_j^i\left(0\right)\right|}{\left|z\right|}^{k-1}+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0{\left|z\right|}^{k-1}}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

通过以上结果，那么对于所有的 $j=0,1,\cdots ,k-1$ 和所有的 $i=0,1,\cdots ,k-1$，我们有：

$\left|A_j^i\left(z\right)\right|\le C_{A_j^i}+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

类似地，我们可以得到

$\left|F\left(z\right)\right|\le C_F+{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)$

结合引理2，以及(3) (4)两个不等式，那么存在两个正常数 $C_1,C_2$，我们可以得到如下结论：

$\left|f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le \left(C_1+\frac{1}{k!}{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)\right)\cdot \exp \left(C_2{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)\right)$

此时我们有：

$\begin{array}{c}{\sigma }_M\left(f\right)\le \underset{r\to 1^{-}}{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1-{\left|r\right|}^2\right)}^{\gamma }}\right)}{\log \frac{1}{r-1}}\\ =\underset{r\to 1^{-}}{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}\left(\frac{1}{{\left(1-r\right)}^{\gamma }}{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1+r\right)}^{\gamma }}\right)\right)}{\log \frac{1}{r-1}}\\ =\gamma +\underset{r\to 1^{-}}{\lim \sup }\frac{{\log }^{+}{\phi }^{-1}\left(\frac{C_0}{{\left(1+r\right)}^{\gamma }}\right)}{\log \frac{1}{r-1}}=\gamma \end{array}$

结论得证。

定理2. 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 在D上的解析且满足

$\left|A_j^{k-1}\left(z\right)\right|\le \log \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }},\left|F\left(z\right)\right|\le \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }}$

其中 $\alpha >1,\beta \ge 0$ 是两个有限的常数，对于所有的 $t\in \left[\mathrm{0,}\infty \right)$，令 $\phi \left(t\right)\le t^m\left(m>1\right)$ 成立，那么方程(1)非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足：

i) 若 $0<\beta \le k-1$，那么 $f\left(z\right)\in B_{m\left(\beta +1\right)}^{\phi }$ ；

ii) 若 $\beta >k-1$，那么 $f\left(z\right)\in B_{m\left(2\beta +2-k\right)}^{\phi }$

证明：由引理5及定理2的条件可知，存在两个正数 $C_1,C_2$ 使得

$\left|f\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le \left(C_1+\frac{C^{*}}{{\left(1-r\right)}^{\beta +1-k}}\right)\cdot \exp \left(C_2^{*}\log \frac{\alpha }{{\left(1-r\right)}^{\beta +1}}\right)$

成立，其中 $C^{*}=\frac{\alpha }{\left(\beta +1-k\right)\left(k-2\right)!}$，$C_2^{*}$ 是一个正常数，那么存在一个常数 $C_3>0$ 使得

$\left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\le C_3\left(\frac{1}{{\left(1-r\right)}^{2\beta +2-k}}+\frac{1}{{\left(1-r\right)}^{\beta +1}}\right)$

成立。

因为 $\phi \left(t\right)\le t^m$，那么我们有

$\phi \left(\lambda \left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\right)\le {\left(C_3\left(\frac{1}{{\left(1-r\right)}^{2\beta +2-k}}+\frac{1}{{\left(1-r\right)}^{\beta +1}}\right)\right)}^m$

若 $0<\beta \le k-1$，则有

$\phi \left(\lambda \left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\right)\le O{\left(\frac{1}{1-r}\right)}^{m\left(\beta +1\right)}$

这就意味着 $f\left(z\right)\in B_{m\left(\beta +1\right)}^{\phi }$，

若 $\beta >k-1$，我们有

$\phi \left(\lambda \left|f^{\prime }\left(r{\text{e}}^{i\theta }\right)\right|\right)\le O{\left(\frac{1}{1-r}\right)}^{m\left(2\beta +2-k\right)}$

此时我们便能得到 $f\left(z\right)\in B_{m\left(2\beta +2-k\right)}^{\phi }$，

结论得证。

给定任意的 $t\in \left[\mathrm{0,}\infty \right)$，令 $\phi \left(t\right)=t$，则可以得到下列推论，

推论3. 若方程(1)的系数 $A_j\left(j=0,1,\cdots ,k-1\right),F\left(z\right)$ 在D上的解析且满足

$\left|A_j^{k-1}\left(z\right)\right|\le \log \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }},\left|F\left(z\right)\right|\le \frac{\alpha }{{\left(1-\left|z\right|\right)}^{\beta }}$

其中 $\alpha >1,\beta \ge 0$ 是两个有限的常数，那么方程(1)非平凡解 $f\left(z\right)$ 满足：

i) 若 $0<\beta \le k-1$，那么 $f\left(z\right)\in B^{\beta +1}$ ；

ii) 若 $\beta >k-1$，那么 $f\left(z\right)\in B^{2\beta +2-k}$。

基金项目

国家自然科学基金(11861024, 11561012)。

文章引用

黄星星,杨丛丽,罗 颜. 复线性微分方程在Orlicz型空间上解的性质
Properties of Solutions of Complex Linear Differential Equations in Orilicz Type Spaces[J]. 理论数学, 2021, 11(02): 282-290. https://doi.org/10.12677/PM.2021.112038

参考文献