上海理工大学理学院，上海

收稿日期：2021年11月15日；录用日期：2021年12月17日；发布日期：2021年12月27日

摘要

模糊线性系统(FLS)是指系数矩阵A是一个实矩阵，右端向量 $\tilde{Y}$ 是一个给定的模糊数向量的线性系统 $A\tilde{X}=\tilde{Y}$。为了便于求解模糊线性系统，可以利用嵌入方法将 $A\tilde{X}=\tilde{Y}$ 转换为2n × 2n清晰线性系统 $SX=Y$。基于已有的模糊线性系统理论，研究了模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆与BT逆的分块表示。

关键词

模糊线性系统，DMP逆，BT逆

A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System

Jing Li

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Nov. 15^th, 2021; accepted: Dec. 17^th, 2021; published: Dec. 27^th, 2021

ABSTRACT

A linear system $A\tilde{X}=\tilde{Y}$, where the coefficient matrix A is a real matrix, the right-hand side vector $\tilde{Y}$ given fuzzy number vector is called a fuzzy linear system (FLS). In order to solve fuzzy linear system, n × n fuzzy linear system can be transformed into the 2n × 2n crisp linear system by the embedded method. Based on the existing theories about the fuzzy linear system, a block representation involving the DMP inverse and BT inverse of the associated matrix S was investigated and studied.

Keywords:Fuzzy Linear System, DMP Inverse, BT Inverse

Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

模糊线性系统最早由Friedman [1] 等人在1998年提出，后来模糊线性系统的求解问题备受关注，很多学者加入到模糊线性系统的求解问题中。随着广义逆的发展，继而出现了利用Moore-Penrose逆、Group逆、Drazin逆、core逆等广义逆求解模糊线性系统的方案。

2015年Nikuie M和Ahmad M Z在 [2] 中提出了利用加权Drazin逆求解奇异模糊线性系统的方法。在2018年，Mihailovic B等人在 [3] 中首次将广义逆矩阵的分块表示和模糊线性系统相结合，运用了Moore-Penrose逆的分块表示对模糊线性系统进行求解，继而在 [4] 中给出了利用Group逆的分块表示求解模糊线性系统的算法，这为模糊线性系统的求解问题提供了一个全新的思路。2020年，Jiang H等人在 [5] 中将模糊线性系统的求解进一步推广到利用core逆的分块表示进行求解。是否可以研究关联矩阵的其他广义逆，这值得我们思考。

2010年Baksalary O M和Trenkler G在 [6] 中给出core逆的概念。而core逆只存在指标为1的方阵中，针对于这一局限性，2014年Baksalary O M和Trenkler G在 [7] 中提出了广义core逆(简记为BT逆)，同年Malik S B和Thome N在 [8] 中给出了DMP逆的定义。作为core逆的一种拓展，DMP逆和BT逆存在于任意指标k的方阵中。因此受 [5] 的启发，是否可以利用DMP逆和BT逆的分块表示求解模糊线性系统，这一问题十分值得思考和探究。

2. 已有结论及相关准备

2.1. 模糊线性系统

定义1.1 [1] 对于一个有序数对： $\tilde{z}=\left(\underset{\_}{z}\left(r\right),\bar{z}\left(r\right)\right)$，$r\in \left[0,1\right]$，若满足下面三个条件：

1) $\underset{\_}{z}\left(r\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是一个有界左连续不降，

2) $\bar{z}\left(r\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是一个有界左连续不增，

3) $\underset{\_}{z}\left(r\right)<\bar{z}\left(r\right)$，$r\in \left[0,1\right]$，

则称 $\tilde{z}$ 为一模糊数。

定义1.2 [1] 对于 $n\times n$ 的模糊矩阵方程 $A\tilde{X}\left(r\right)=\tilde{Y}\left(r\right)$ ：

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & a_{1n}\\ \cdots & a_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\\ \cdots & a_{nn}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\left(r\right)\\ {\tilde{x}}_2\left(r\right)\\ ⋮\end{array}\\ {\tilde{x}}_n\left(r\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\tilde{y}}_1\left(r\right)\\ {\tilde{y}}_2\left(r\right)\\ ⋮\end{array}\\ {\tilde{y}}_n\left(r\right)\end{array}\right]$，

此处 $A=\left(a_{ij}\right)$ 为一实数矩阵， ${\tilde{x}}_i\left(r\right)$ 和 ${\tilde{y}}_i\left(r\right)$ 均为模糊数， $i,j\in \left[0,1\right]$，称为模糊线性系统(FLS)。

定义1.3 [1] 若模糊数向量 $\tilde{X}\left(r\right)={\left[{\tilde{x}}_1\left(r\right),{\tilde{x}}_2\left(r\right),\cdots ,{\tilde{x}}_i\left(r\right)\right]}^{\text{T}}$，其中

${\tilde{x}}_i\left(r\right)=\left({\underset{\_}{x}}_i\left(r\right),{\bar{x}}_j\left(r\right)\right)$，$i=1,\cdots ,n$，$r\in \left[0,1\right]$，

满足

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\bar{x}}_j\left(r\right)}={\bar{y}}_j\left(r\right)\\ {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\underset{\_}{x}}_j\left(r\right)}={\underset{\_}{y}}_i\left(r\right)\end{array}$，$i=1,\cdots ,n$

则称该模糊数向量 $\tilde{X}\left(r\right)$ 为FLS的一个解。

根据 [1] 可知，模糊线性系统 $A\tilde{X}\left(r\right)=\tilde{Y}\left(r\right)$ 的解可以通过求解下面的清晰线性系统：

$SX\left(r\right)=Y\left(r\right)$，$r\in \left[0,1\right]$，

即

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{s}_{11}& s_{12}\\ s_{21}& s_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & s_{1n}\\ \cdots & s_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ s_{n1}& s_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\\ \cdots & s_{nn}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\underset{\_}{x}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ {\underset{\_}{x}}_n\left(r\right)\\ -{\bar{x}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ -{\bar{x}}_n\left(r\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\underset{\_}{y}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ {\underset{\_}{y}}_n\left(r\right)\\ -{\bar{y}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ -{\bar{y}}_n\left(r\right)\end{array}\right]$，

此处 $s_{ij}$ 定义如下：

当 $a_{ij}\ge 0$ 时， $s_{ij}=a_{ij}$，$s_{i+n,j+n}=a_{ij}$ ；

当 $a_{ij}<0$ 时， $s_{i,j+n}=-a_{ij}$，$s_{i+n,j}=-a_{ij}$ ；

其他未注明元素均为0。

由上述可知，矩阵 的分块表示为：

$S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$， (1)

其中，D与E均为 $n\times n$ 阶方阵， $D=\left[a_{ij}^{+}\right]$，$E=\left[a_{ij}^{-}\right]$，$a_{ij}^{+}=a_{ij}\vee 0$，$a_{ij}^{-}=-a_{ij}\vee 0$。

此时，我们称矩阵S为矩阵A的关联矩阵。

2.2. DMP逆和BT逆

这一节中，我们的主要目的是介绍一下DMP逆和BT逆的定义。首先，先介绍一些常见的广义逆的定义以及相关的概念。我们用 $S^{\diamond }$ 表示所有 $m\times n$ 复矩阵的集合， $A^{*}$ 表示矩阵A的共轭转置。 $Ind\left(A\right)=k$ 表示矩阵A的指标为k，即对于矩阵 $A\in {ℂ}_n^n$，满足 $rank\left(A^k\right)=rank\left(A^{k+1}\right)$ 的最小正整数为k。

定义2.1 给定矩阵 $A\in {ℂ}_n^n$，$Ind\left(A\right)=k$。

(I) [9] 矩阵X为A的Moore-Penrose逆，记为 $X=A^{+}$，当且仅当X满足下列方程：

(1) $AXA=A$，(2) $XAX=X$，(3) ${\left(AX\right)}^{*}=AX$，(4) ${\left(XA\right)}^{*}=XA$。

(II) [10] 矩阵X为A的Drazin逆，记为 $X=A^D$，当且仅当X满足下列方程：

(1^k) $X{A}^{k+1}=A^k$，(2) $XAX=X$，(5) $AX=XA$。

(III) [8] 矩阵X为A的DMP逆，记为 $X=A^{D,+}$，当且仅当X满足下列方程：

$XAX=X$，$XA=A^{D}A$ 以及 $A^{k}X=A^k{A}^{+}$。

另外，我们可以知道 $A^{D,+}=A^{D}A{A}^{+}$。

(IV) [7] 矩阵 $A^{\diamond }$ 为A的广义核逆(简记为BT逆)，当且仅当

$A^{\diamond }={\left(A{P}_A\right)}^{+}$，

其中 $P_A=A{A}^{+}$ 表示矩阵A的投影矩阵。

3. 关联矩阵S的DMP逆和BT逆的分块表示

在这一节，我们将给出本文的主要结果即模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 以及BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示，这对模糊线性系统的求解问题有一定的意义。假设关联矩阵S的分块表示为 $S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$，其中 $D,E\in {ℝ}^{n\times n}$。

引理2.1 [3] 关联矩阵S的Moore-Penrose逆 $S^{+}$ 的分块表示如下：

$S^{+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}+{\left(D-E\right)}^{+}\right]$，$Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}-{\left(D-E\right)}^{+}\right]$。

引理2.2 [4] 关联矩阵S的Drazin逆 $S^D$ 的分块表示如下：

$S^D=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D+{\left(D-E\right)}^D\right]$，$Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D-{\left(D-E\right)}^D\right]$。

受上述引理的启发我们研究关联矩阵S的DMP逆的分块表示，结果在定理2.3中给出。

定理2.3关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 的分块表示如下：

$S^{D,+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]$，$Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]$。

证明：由公式(1)、引理2.1和引理2.2可知，我们可以知道矩阵S、 $S^D$ 、 $S^{+}$ 分块表示为

$S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$，$S^D=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，$S^{+}=\left[\begin{array}{cc}M& N\\ N& M\end{array}\right]$，

当且仅当

$H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D+{\left(D-E\right)}^D\right]$，$Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D-{\left(D-E\right)}^D\right]$。

$M=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}+{\left(D-E\right)}^{+}\right]$，$N=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}-{\left(D-E\right)}^{+}\right]$。

所以，我们可以得到

$S^{D,+}=S^{D}S{S}^{+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}M& N\\ N& M\end{array}\right]$。

计算得，

$S^{D,+}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]\end{array}\right]$，

定理得证。

类似的，我们也可以得到关联矩阵S的BT逆的分块表示，如定理3.4所示。

定理2.4 关联矩阵S的BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示如下：

$S^{\diamond }=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]$，$Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]$。

证明：由矩阵的BT逆的定义可知， $S^{\diamond }={\left(S{P}_S\right)}^{+}={\left(SS{S}^{+}\right)}^{+}$。

因为 $S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$，可得

$S^{\diamond }=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]={\left[\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]}^{+}\right]}^{+}:={\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C& B\end{array}\right]}^{+}$，

其中，

$B=\frac{1}{2}\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}+\frac{1}{2}\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$，

$C=\frac{1}{2}\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}-\frac{1}{2}\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$。

因此， $B+C=\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}$，$B-C=\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$。

根据引理2.1可知，

$\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C& B\end{array}\right]}^{+}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}+{\left(B-C\right)}^{+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}-{\left(B-C\right)}^{+}\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}-{\left(B-C\right)}^{+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}+{\left(B-C\right)}^{+}\right]\end{array}\right]$。

所以，

$\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]\end{array}\right]$，

定理得证。

4. 结语

已经得到了模糊线性系统 $A\tilde{X}=\tilde{Y}$ 中系数矩阵A的关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 与BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示，我们希望这个结果能为求解模糊线性系统提供一个新的思路。如何分别用 $S^{D,+}$ 和 $S^{\diamond }$ 的分块表示来求解模糊线性系统，这是下一步要研究的课题。

文章引用

李 静. 模糊线性系统中关联矩阵的DMP逆和BT逆的分块表示
A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System[J]. 理论数学, 2021, 11(12): 2105-2110. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1112235

参考文献