¹辽宁师范大学，数学学院，辽宁 大连

²辽阳职业技术学院，计算机科学系，辽宁 辽阳

³辽宁师范大学，计算机与信息技术学院，辽宁 大连

收稿日期：2022年4月26日；录用日期：2022年5月24日；发布日期：2022年5月31日

摘要

在日常生活中，人们通常使用自然语言进行推理和判断。为了将格值模态命题逻辑更好地应用于实际中，本文提出了以六元语言真值格蕴涵代数为真值域的六元语言真值模态命题逻辑系统，定义一个将公式集和可能世界集映射到六元语言真值格蕴涵代数上的赋值映射，讨论其运算及性质，并探讨该系统基于滤子的归结原理。提出计算归结式的规则以及基于滤子的归结方法，并通过一个例子说明该方法的合理性。该系统不仅可以处理全序性信息，也可以处理非全序性信息。

关键词

六元语言真值格蕴涵代数，模态命题逻辑，归结原理

6-Element Linguistic Truth-Valued Modal Proposition Logic and Resolution Automated Reasoning

Shihui Wang¹, Yanfang Wang², Xiaosong Cui^3*

¹School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

²Department of Computer Science, Liaoyang Vocational College of Technology, Liaoyang Liaoning

³School of Computer and Information Technology, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: Apr. 26^th, 2022; accepted: May 24^th, 2022; published: May 31^st, 2022

ABSTRACT

In daily life, people usually use natural language to reason and judge. In order to better apply lattice-valued modal propositional logic in practice, a 6-element linguistic truth-valued modal propositional logic system with the 6-element linguistic truth-valued lattice implication algebra as the true value domain is proposed. An evaluation map that maps the set of formulas and the set of possible worlds to 6-element linguistic truth-valued lattice implication algebra is defined, and its operations and properties are analyzed. The resolution principle based on filter is discussed. The rules for calculating the resolution formulas and the resolution method based on filter are proposed, and an example is used to illustrate the rationality of the method. The system can process not only comparable information, but also incomparable information.

Keywords:6-Element Linguistic Truth-Valued Lattice Implication Algebra, Modal Proposition Logic, Resolution Principle

Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

我们生活中的很多现象都可以用格来刻画。徐扬 [1] [2] [3] 在1993年建立了格蕴涵代数，并构建了基于格蕴涵代数的格值命题逻辑系统 $LP\left(X\right)$ 和格值一阶逻辑系统 $LF\left(X\right)$。由于现实生活中人类思维的模糊性以及事物的复杂性，人们在表达时常常会使用自然语言。比如：“有点好”、“不太差”、“十分差”等。基于自然语言具有模糊性、可比和不可比性等特点，徐扬等人提出了语言真值格蕴涵代数，并对其性质及其子结构进行分析。邹丽 [4] 定义了语气算子间的两种运算，构建了六元语言真值命题逻辑系统6LTVP，直接利用语言真值进行自动推理。刘新等 [5] 提出了一个个人金融决策模型，通过语言值相似度处理不确定性语言值信息。罗思元等 [6] 通过聚合语言值评价矩阵，提出一种基于语言值格蕴涵代数的决策方法。高蕴慧 [7] 讨论了命题的否定的语言真值集，并研究了其运算和性质。

人工智能是一门交叉学科，涉及到计算机科学、哲学、数学、经济学等等，人工智能技术的发展与逻辑学息息相关。如今，逻辑学具有庞大且复杂的体系。由于事物的不断变化，时间、空间等都会影响人们的思维规律，因此，学者们对模态逻辑进行了深入的研究，建立了各种形式的非经典模态逻辑理论，并将其应用于其它的领域 [8] [9]。李文江 [10] 在 $LP\left(X\right)$ 系统和 $LF\left(X\right)$ 系统的基础上，构建格值模态命题逻辑系统 $LMP\left(X\right)$ 和格值模态一阶逻辑系统 $LMF\left(X\right)$。Kannan [11] 利用认知模态逻辑，对大型复杂工程系统进行知识的形式化表示和推理。Wen [12] 提出了一种定义模态逻辑和谓词逻辑系统演绎后承的新方法，该方法可以统一模态和谓词逻辑中的六种后承概念。Ray等 [13] 提出了格值布尔系统，分析了格值逻辑代数的对偶性，并研究了格值模态逻辑代数的对偶性。

自动推理是人工智能领域的一个重要研究内容，1965年，J. A. Robinson [14] 提出了归结原理，但是子句数量较多时，归结步骤也会过多，因此，许多学者投身于归结原理的改进工作中，既提高归结效率，又将其应用于专家系统等领域。徐扬等 [15] [16] 提出了 $LP\left(X\right)$ 系统和 $LF\left(X\right)$ 系统的 $\alpha$ -归结原理。张家锋 [17] 等研究了 $LF\left(X\right)$ 系统中带有删除策略的 $\alpha$ -语义归结方法。贾海瑞 [18] 讨论了 $LP\left(X\right)$ 和 $LF\left(X\right)$ 系统中的 $\alpha$ -多元极小归结原理，并给出了 $LP\left(X\right)$ 和 $LF\left(X\right)$ 系统中的归结方法。

本文基于六元语言真值格蕴涵代数和 $LMP\left(X\right)$ 系统，提出六元语言真值模态命题逻辑系统的语义表示，定义一个将公式集和可能世界集映射到六元语言真值格蕴涵代数上的赋值映射，并讨论其运算及性质。在此基础上，分析该系统的归结原理以及计算归结式的方法。

2. 预备知识

定义1 [1] 令 $\mathcal{L}=\left(L,\wedge ,\vee ,O,I\right)$ 是一带有逆序对合运算“ $\text{'}$ ”的有界格，I和O是 $\mathcal{L}$ 的最大元和最小元，若 $\forall x\in L,y\in L,z\in L$，有映射 $\to :L\times L\to L$，满足

1) $x\to \left(y\to z\right)=y\to \left(x\to z\right)$ ；

2) $x\to x=I$ ；

3) $x\to y=y^{\prime }\to x^{\prime }$ ；

4) 如果 $x\to y=y\to x=I$，则 $x=y$ ；

5) $\left(x\to y\right)\to y=\left(y\to x\right)\to x$ ；

6) $\left(x\vee y\right)\to z=\left(x\to z\right)\wedge \left(y\to z\right)$ ；

7) $\left(x\wedge y\right)\to z=\left(x\to z\right)\vee \left(y\to z\right)$

则称 $\mathcal{L}=\left(L,\wedge ,\vee ,O,I\right)$ 为一个格蕴涵代数。

定义2 [4] 称 $H=\left\{h_{+},h_0,h_{-}\right\}$ 为三元语气算子集，其中 $h_{+}$ 为某一强化算子， $h_0$ 为无影响算子， $h_{-}$ 为某一弱化算子。根据语气算子增强真值的程度，H具有一种自然的序结构，即： $h_{-}<h_0<h_{+}$。在H中引入两种运算：运算 $\oplus$ 和 $\odot$ 如表1和表2所示。

表1. H中的 $\oplus$ 计算

表2. H中的 $\odot$ 计算

定义3 [4] 令 $L_6=\left\{\left(h_{+},t\right),\left(h_0,t\right),\left(h_{-},t\right),\left(h_{+},f\right),\left(h_0,f\right),\left(h_{-},f\right)\right\}$，${\mathcal{L}}_6=\left(L_6,\vee ,\wedge ,\text{'},\to ,\left(h_{+},t\right),\left(h_{+},f\right)\right)$，其运算“ $\vee$ ”和“ $\wedge$ ”体现在 $L_{\text{6}}$ 的Hasse图中，如图1所示，运算“ $\to$ ”和“ $\text{'}$ ”如表3和表4所示，其最大元为 $\left(h_{+},t\right)$，最小元为 $\left(h_{+},f\right)$，则 ${\mathcal{L}}_{\text{6}}$ 为一个六元语言真值格蕴涵代数。并限定对任意 $h\in H$ 和 $\left(h_i,c\right)\in L_6$，有 $h\left(\left(h_i,c\right)\right)=\left(h\oplus h_i,c\right)$。

图1. L₆的Hasse图

表3. L₆中的蕴涵算子

表4. L₆中的非算子

定义4 [19] 一个模态命题模型是一个三元组 ${\rm M}=\langle W,R,m\rangle$，其中W是非空集合，称为可能世界集；R是W上的二元关系($R\subseteq W\times W$)；m是一个函数，将每个命题变元p指派为W的一个子集 $m\left(p\right)$。

3. 六元语言真值模态命题逻辑系统的语义理论

为了将格值模态命题逻辑更好地应用于实际中，本节提出以六元语言真值格蕴涵代数为真值域的六元语言真值格值模态命题逻辑系统。

定义5 六元语言真值模态命题逻辑 $6LTMP\left(X\right)$ 系统的语义可用四元组 ${{\rm M}}_{L_{\text{6}}}=\langle W,R,e_{L_6},L_{\text{6}}\rangle$ 表示，其中W是非空集合，称为可能世界集，用 $x,y,z,x_1,x_2$ 等表示； $L_{\text{6}}$ 为赋值格； $R:W\times W\to L_6$ 是W上的二元关系；映射 $e_{L_6}:H\Phi \times W\to L_6$ 称为赋值映射，其中 $H\Phi =\left\{hp|h\in H,p\in \Phi \right\}$ 为命题变量集。

例1 令 $L_6$ 中的语气词 $h_{+}$ 表示“非常”， $h_0$ 表示“一般”， $h_{-}$ 表示“稍微”。现有一个命题p：天气热，可能世界x：在中午的时候，可能世界y：在晚上的时候。

则 $e_{L_6}\left(h_{+}p,x\right)=\left(h_{+},t\right)$ 表示在中午的时候天气非常热是非常真的；

则 $e_{L_6}\left(h_{+}p,y\right)=\left(h_0,f\right)$ 表示在晚上的时候天气非常热是一般假的；

则 $e_{L_6}\left(h_{0}p,y\right)=\left(h_{-},f\right)$ 表示在晚上的时候天气一般热是稍微假的。

定义6 称 $6LTMP\left(X\right)$ 系统的公式集为 $F\left(H\Phi \right)$，递归定义如下：

1) $H\Phi$ 中的元素都属于 $F\left(H\Phi \right)$ ；

2) 对任意 $h\in H$ 及 $A\in F\left(H\Phi \right)$，有 $hA\in F\left(H\Phi \right)$ ；

3) 如果 $A\in F\left(H\Phi \right)$ 且 $B\in F\left(H\Phi \right)$，则 $\neg A$，$A\wedge B$，$A\vee B$，$A\to B$，$\square A$，$◇A\in F\left(H\Phi \right)$ ；

4) 所有公式都是有限次使用(1)至(3)和括号得到的有意义的符号串。

定义7 设六元语言真值模态命题逻辑系统 ${{\rm M}}_{L_{\text{6}}}=\langle W,R,e_{L_6},L_{\text{6}}\rangle$，映射 $e_{L_6}$ 可以唯一的扩张成 ${\nu }_{L_6}:F\left(H\Phi \right)\times W\to L_6$，即 ${\nu }_{L_6}$ 为 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中对 $F\left(H\Phi \right)\times W$ 的赋值映射，且有 ${\nu }_{L_6}\left(hp,x\right)=e_{L_6}\left(hp,x\right)$。

为了便于表述，将 ${\nu }_{L_6}\left(p,x\right)$ 简记为 $p\left(x\right)$，${\nu }_{L_6}\left(A,x\right)$ 简记为 $A\left(x\right)$。

定义8 对任意 $h\in H$ 及原子命题 $hp\in H\Phi$，有 $\left(hp\right)\left(x\right)=hp\left(x\right)$。对任意公式 $hA\in F\left(H\Phi \right)$，有 $\left(hA\right)\left(x\right)=hA\left(x\right)$。且有

$\left(\neg A\right)\left(x\right)={\left(A\left(x\right)\right)}^{\prime }$ ；

$\left(A\wedge B\right)\left(x\right)=A\left(x\right)\wedge B\left(x\right)$ ；

$\left(A\vee B\right)\left(x\right)=A\left(x\right)\vee B\left(x\right)$ ；

$\left(A\to B\right)\left(x\right)=A\left(x\right)\to B\left(x\right)$ ；

$\left(\square A\right)\left(x\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }A\left(y\right)$ ；

$\left(◇A\right)\left(x\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\vee }A\left(y\right)$，

其中 ${\Delta }_x=\left\{y|R\left(x,y\right)>\left(h_{+},f\right)\right\}$。

命题1 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中，对任意 $x\in W$，$h\in H$，$A,B\in F\left(H\Phi \right)$，若 $A\left(x\right)\ge B\left(x\right)$ 或 $A\left(x\right)\le B\left(x\right)$，则以下性质成立：

1) $\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)\equiv \left(hA\right)\left(x\right)\vee \left(hB\right)\left(x\right)$ ；

2) $\left(h\left(A\wedge B\right)\right)\left(x\right)\equiv \left(hA\right)\left(x\right)\wedge \left(hB\right)\left(x\right)$ ；

3) $\left(h\left(A\to B\right)\right)\left(x\right)=\left(hA\right)\left(x\right)\to \left(hB\right)\left(x\right)$ ；

4) $\neg \left(hA\right)\left(x\right)\equiv h\left(\neg A\right)\left(x\right)$。

证明：1) 令 $A\left(x\right)=\left(h_1,c_1\right)$，$B\left(x\right)=\left(h_{\text{2}},c_{\text{2}}\right)$，其中 $\left(h_1,c_1\right)$，$\left(h_2,c_2\right)\in L_6$。

a) 若 $c_1=c_2=t$，则 $\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)=h\left(A\vee B\right)\left(x\right)=h\left(\left(h_1,c_1\right)\vee \left(h_2,c_2\right)\right)=h(\max (h_1,h_2),t)=$ $\left(h\oplus \max \left(h_1,h_2\right),t\right)=\left(\max \left(h\oplus h_1,h\oplus h_2\right),t\right)=\max \left(\left(h\oplus h_1,t\right),\left(h\oplus h_2,t\right)\right)=hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)$。

b) 若 $c_1=c_2=f$，则 $\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)=h\left(A\vee B\right)\left(x\right)=h\left(\left(h_1,c_1\right)\vee \left(h_2,c_2\right)\right)=h(\min (h_1,h_2),f)=$ $\left(h\oplus \min \left(h_1,h_2\right),f\right)=\left(\min \left(h\oplus h_1,h\oplus h_2\right),f\right)=\max (\left(h\oplus h_1,f\right),\left(h\oplus h_2,f\right))=hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)$。

c) 若 $c_1\ne c_2$，不妨设 $c_1=t$，$c_2=f$，则 $\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)=h\left(A\vee B\right)\left(x\right)=h(\left(h_1,t\right)\vee \left(h_2,f\right))$。

① 若 $h_1=h_{+}$，则对任意的 $h_2\in H$，$h\left(\left(h_1,t\right)\vee \left(h_2,f\right)\right)=h\left(\left(h_{+},t\right)\vee \left(h_2,f\right)\right)=h\left(h_{+},t\right)=\left(h\oplus h_{+},t\right)$。另一方面， $hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)=\left(h\oplus h_{+},t\right)\vee \left(h\oplus h_2,f\right)$。根据表1，若 $h=h_{+}$，则 $\left(h\oplus h_{+},t\right)=\left(h_{+},t\right)$，$\left(h\oplus h_{+},t\right)\vee$ $\left(h\oplus h_2,f\right)=\left(h_{+},t\right)\vee \left(h_{+}\oplus h_2,f\right)=\left(h_{+},t\right)$ ；若 $h=h_{\text{0}}$，则 $\left(h\oplus h_{+},t\right)=\left(h_{+},t\right)$，$\left(h\oplus h_{+},t\right)\vee \left(h\oplus h_2,f\right)=\left(h_{+},t\right)\vee$ $\left(h_{\text{0}}\oplus h_{\text{2}},f\right)=\left(h_{+},t\right)$；若 $h=h_{-}$，则 $\left(h\oplus h_{+},t\right)=\left(h_0,t\right)$，$\left(h\oplus h_{+},t\right)\vee \left(h\oplus h_2,f\right)=\left(h_0,t\right)\vee \left(h_{-}\oplus h_2,f\right)=$ $\left(h_0,t\right)\vee \left(h_0,f\right)=\left(h_0,f\right)$；因此， $\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)=\left(hA\right)\left(x\right)\vee \left(hB\right)\left(x\right)$ ；

② 若 $h_{\text{1}}=h_{\text{0}}$ 且 $h_2\in \left\{h_0,h_{+}\right\}$，则 $h\left(\left(h_1,t\right)\vee \left(h_2,f\right)\right)=h\left(\left(h_0,t\right)\vee \left(h_2,f\right)\right)=h\left(h_0,t\right)=\left(h\oplus h_0,t\right)$。另一方面， $hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)=\left(h\oplus h_0,t\right)\vee \left(h\oplus h_2,f\right)$，根据表1，对 $h_2\in \left\{h_0,h_{+}\right\}$，总有 $\left(h\oplus h_{\text{0}},t\right)>\left(h\oplus h_{\text{2}},f\right)$，因此， $hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)=\left(h\oplus h_0,t\right)=\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)$ ；

③ 若 $h_{\text{1}}=h_{-}$ 且 $h_2\in h_{+}$，则 $h\left(\left(h_1,t\right)\vee \left(h_2,f\right)\right)=h\left(\left(h_{-},t\right)\vee \left(h_{+},f\right)\right)=h\left(h_{-},t\right)=\left(h\oplus h_{-},t\right)$。另一方面， $hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)=\left(h\oplus h_{-},t\right)\vee \left(h\oplus h_{+},f\right)$，根据表1，对任意的 $h\in H$，总有 $\left(h\oplus h_{-},t\right)>\left(h\oplus h_{\text{+}},f\right)$，因此， $hA\left(x\right)\vee hB\left(x\right)=\left(h\oplus h_{-},t\right)=\left(h\left(A\vee B\right)\right)\left(x\right)$。

2) 同理可证。

3) 同理可证。

4) 由于 $\neg \left(hA\right)\left(x\right)={\left(\left(hA\right)\left(x\right)\right)}^{\prime }={\left(hA\left(x\right)\right)}^{\prime }={\left(h\left(h_1,c_1\right)\right)}^{\prime }={\left(h\oplus h_1,c_1\right)}^{\prime }=\left(h\oplus h_1,c_1{}^{\prime }\right)$，其中，若 $c_1=t$，则 $c_1{}^{\prime }=f$ ；若 $c_1=f$，则 $c_1{}^{\prime }=t$。另一方面， $h\left(\neg A\right)\left(x\right)=h{\left(A\left(x\right)\right)}^{\prime }=h\left(h_1,c_1{}^{\prime }\right)=\left(h\oplus h_1,c_1{}^{\prime }\right)$，因此， $\left(\neg \left(hA\right)\right)\left(x\right)\equiv h\left(\neg A\right)\left(x\right)$。

例2 令 $L_6$ 中的语气词 $h_{+}$ 表示“非常”， $h_0$ 表示“一般”， $h_{-}$ 表示“稍微”。现有一个命题p：天气热，可能世界x：在中午的时候。设 $p\left(x\right)=\left(h_0,t\right)$ 表示在中午的时候天气热是一般真的。

则 $h_{+}p\left(x\right)=\left(h_{+}\oplus h_0,t\right)=\left(h_{+},t\right)$ 表示在中午的时候天气非常热是非常真的；

$\left(\neg \left(h_{+}p\right)\right)\left(x\right)=\left(h_{+},f\right)$ 表示在中午的时候天气非常凉是非常假的；

$\neg p\left(x\right)=\left(h_0,f\right)$ 表示在中午的时候天气凉是一般假的；

$h_{+}\left(\neg p\right)\left(x\right)=\left(h_{+},f\right)$ 表示在中午的时候天气非常凉是非常假的，

即 $\left(\neg \left(h_{+}p\right)\right)\left(x\right)=h_{+}\left(\neg p\right)\left(x\right)$。

命题2 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中，对任意 $x\in W$，$h\in H$，$A\in F\left(H\Phi \right)$，若对于 $y_i\in {\Delta }_x$，$i=1,2,\cdots ,n$，$A\left(y_1\right),A\left(y_2\right),\cdots ,A\left(y_n\right)$ 都是可比的，则以下性质成立：

1) $\left(\square \left(hA\right)\right)\left(x\right)=h\left(\square A\right)\left(x\right)$ ；

2) $\left(◇\left(hA\right)\right)\left(x\right)=h\left(◇A\right)\left(x\right)$。

证明：1) 令 $A\left(y_1\right)=\left(h_1,c_1\right),A\left(y_2\right)=\left(h_2,c_2\right),\cdots ,A\left(y_n\right)=\left(h_n,c_n\right)$，其中 $\left(h_i,c_i\right)\in L_6$，$i=1,2,\cdots ,n$。由 $\left(\square A\right)\left(x\right)=\text{}\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\text{}A\left(y\right)$，$\left(\square \left(hA\right)\right)\left(x\right)=\underset{y_i\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(hA\right)\left(y_i\right)=hA\left(y_1\right)\wedge hA\left(y_2\right)\wedge \cdots \wedge hA\left(y_n\right)=\left(h\oplus h_1,c_1\right)\wedge \left(h\oplus h_2,c_2\right)$ $\wedge \cdots \wedge \left(h\oplus h_n,c_n\right)$，另一方面， $h\left(\square A\right)\left(x\right)=h\left(\underset{y_i\in {\Delta }_x}{\wedge }A\left(y_i\right)\right)=h\left(\left(h_1,c_1\right)\wedge \left(h_2,c_2\right)\wedge \cdots \left(h_n,c_n\right)\right)$，与命题1证明过程类似，则 $\underset{y_i\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(hA\right)\left(y_i\right)=h\left(\underset{y_i\in {\Delta }_x}{\wedge }A\left(y_i\right)\right)$，因此 $\left(\square \left(hA\right)\right)\left(x\right)=h\left(\square A\right)\left(x\right)$。

2) 同理可证。

定义9设J是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的一个滤子， $hp$ 是一个公式，若对于给定的 $x\in W$，存在一个赋值 ${\nu }_{L_6}$，使得 $\left(hp\right)\left(x\right)\in J$，则称公式 $hp$ 为 $\left(J,x\right)$ -可满足的；若对任意的 $x\in W$，公式 $hp$ 都是 $\left(J,x\right)$ -可满足的，则称公式 $hp$ 是J-可满足的，否则公式 $hp$ 是J-不可满足的；若对于给定的 $x\in W$，对任意的赋值 ${\nu }_{L_6}$，使得 $\left(hp\right)\left(x\right)\in J$，则称公式 $hp$ 是 $\left(J,x\right)$ -真的；若对任意的 $x\in W$，公式 $hp$ 都是 $\left(J,x\right)$ -真的，则称公式 $hp$ 是J-真的；若对于给定的 $x\in W$，对任意的赋值 ${\nu }_{L_6}$，使得 $\left(hp\right)\left(x\right)\notin J$，则称公式 $hp$ 是 $\left(J,x\right)$ -假的；若对任意的 $x\in W$，公式 $hp$ 都是 $\left(J,x\right)$ -假的，则称公式 $hp$ 是J-假的。

例3 $J=\left\{\left(h_{+},t\right),\left(h_0,t\right),\left(h_{-},t\right)\right\}$ 是 ${\mathcal{L}}_6$ 中的滤子。

下面研究基于滤子 $J=\left\{\left(h_{+},t\right),\left(h_0,t\right),\left(h_{-},t\right)\right\}$ 的归结原理。

定理1 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中， $h_{1}p,h_{2}q\in H\Phi$，则以下性质成立：

1) $\square h_{1}p={\left(◇{\left(h_{1}p\right)}^{\prime }\right)}^{\prime }$ ；

2) $\square \left(h_{1}p\to h_{2}q\right)\le \square h_{1}p\to \square h_{2}q$ ；

3) $◇h_{1}p\to ◇h_{2}q\le ◇\left(h_{1}p\to h_{2}q\right)$。

证明：1) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 ${\left(◇{\left(h_{1}p\right)}^{\prime }\right)}^{\prime }\left(x\right)={\left(◇{\left(h_{1}p\right)}^{\prime }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ $={\left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\vee }{\left(h_{1}p\right)}^{\prime }\left(y\right)\right)}^{\prime }={\left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\vee }{\left(h_{1}p\left(y\right)\right)}^{\prime }\right)}^{\prime }={\left({\left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }{h}_{1}p\left(y\right)\right)}^{\prime }\right)}^{\prime }=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }{h}_{1}p\left(y\right)=\square h_{1}p\left(x\right)$。

2) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\square \left(h_{1}p\to h_{2}q\right)\left(x\right)=$ $\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\to h_{2}q\right)\left(y\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\left(y\right)\to h_{2}q\left(y\right)\right)$，另一方面， $\left(\square h_{1}p\to \square h_{2}q\right)\left(x\right){=}_{}\square h_{1}p\left(x\right)\to \square h_{2}q\left(x\right)=$ $\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\right)\left(y\right)\to \underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{2}q\right)\left(y\right)$，显然得证。

3) 同理可证。

定理2 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中， $h_{1}p,h_{2}q\in H\Phi$，则以下性质成立：

1) $\square \left(h_{1}p\wedge h_{2}q\right)=\square h_{1}p\wedge \square h_{2}q$ ；

2) $\square \left(h_{1}p\vee h_{2}q\right)\ge \square h_{1}p\vee \square h_{2}q$ ；

3) $◇\left(h_{1}p\wedge h_{2}q\right)\le ◇h_{1}p\wedge ◇h_{2}q$ ；

4) $◇\left(h_{1}p\vee h_{2}q\right)=◇h_{1}p\vee ◇h_{2}q$。

证明：1) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\square \left(h_{1}p\wedge h_{2}q\right)\left(x\right)=$ $\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\wedge h_{2}q\right)\left(y\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(\left(h_{1}p\right)\left(y\right)\wedge \left(h_{2}q\right)\left(y\right)\right)=\left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\right)\left(y\right)\right)\wedge \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{2}q\right)\left(y\right)\right)=\left(\square \left(h_{1}p\right)\left(x\right)\right)\wedge \left(\square \left(h_{2}q\right)\left(x\right)\right)$ $=\left(\square h_{1}p\wedge \square h_{2}q\right)\left(x\right)$。

2) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\square \left(h_{1}p\vee h_{2}q\right)\left(x\right)=$ $\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\vee h_{2}q\right)\left(y\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(\left(h_{1}p\right)\left(y\right)\vee \left(h_{2}q\right)\left(y\right)\right)\ge \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{1}p\right)\left(y\right)\right)\vee \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(h_{2}q\right)\left(y\right)\right)=\left(\square \left(h_{1}p\right)\left(x\right)\right)\vee \left(\square \left(h_{2}q\right)\left(x\right)\right)$ $=\left(\square h_{1}p\vee \square h_{2}q\right)\left(x\right)$。

3)~4) 同理可证。

定理3 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中， $hp\in H\Phi$，则以下性质成立：

1) $\square \left(\square hp\right)=\square hp$ ；

2) $◇\left(◇hp\right)=◇hp$ ；

3) $\square \left(◇hp\right)=◇hp$ ；

4) $◇\left(\square hp\right)=\square hp$。

证明：1) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\left(\square \left(\square hp\right)\right)\left(x\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(\square hp\right)\left(y\right)$ $=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_y}{\wedge }\left(hp\right)\left(z\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(hp\right)\left(z\right)=\underset{z\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(hp\right)\left(z\right)=\square hp\left(x\right)$。

2) 同理可证。

3) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\left(\square \left(◇hp\right)\right)\left(x\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\left(◇hp\right)\left(y\right)$ $=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_y}{\vee }\left(hp\right)\left(z\right)=\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_x}{\vee }\left(hp\right)\left(z\right)=\underset{z\in {\Delta }_x}{\vee }\left(hp\right)\left(z\right)=◇hp\left(x\right)$。

4) 同理可证。

定理4 在 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中， $h_{1}p,h_{2}q\in H\Phi$，则以下性质成立：

1) $\square \left(h_{1}p\vee \square h_{2}q\right)=\square h_{1}p\vee \square h_{2}q$ ；

2) $◇\left(h_{1}p\wedge ◇h_{2}q\right)=◇h_{1}p\wedge ◇h_{2}q$ ；

3) $\square \left(\square h_{1}p\vee \square h_{2}q\right)=\square h_{1}p\vee \square h_{2}q$ ；

4) $◇\left(◇h_{1}p\wedge ◇h_{2}q\right)=◇h_{1}p\wedge ◇h_{2}q$。

证明：1) 对任意的 $x\in W$ 及 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的广义赋值 ${\nu }_{L_6}$，都有 $\square \left(h_{1}p\vee \square h_{2}q\right)\left(x\right)=$ $\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\text{}\left(h_{1}p\vee \square h_{2}q\right)\left(y\right)=\left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\text{}{h}_{1}p\left(y\right)\right)\vee \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\text{}\square h_{2}q\left(y\right)\right)=\left(\square h_{1}p\left(x\right)\right)\vee \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_y}{\wedge }\text{}{h}_{2}q\left(z\right)\right)=\left(\square h_{1}p\left(x\right)\right)\vee \left(\underset{y\in {\Delta }_x}{\wedge }\underset{z\in {\Delta }_x}{\wedge }\text{}{h}_{2}q\left(z\right)\right)$ $=\left(\square h_{1}p\left(x\right)\right)\vee \left(\underset{z\in {\Delta }_x}{\wedge }{h}_{2}q\left(z\right)\right)=\left(\square h_{1}p\left(x\right)\right)\vee \left(\square h_{2}q\left(x\right)\right)$。

2)~4) 同理可证。

4. 六元语言真值模态命题逻辑系统的归结原理

基于以上对 $6LTMP\left(X\right)$ 系统语义的研究，提出归结式的计算方法，讨论J-归结原理，总结具体的归结方法。

形如 $\square \left(h_1{p}_1\vee \cdots \vee h_n{p}_n\right)$ 的命题称为 $\square$ -型文字，形如 $◇\left(h_1{q}_1\wedge \cdots \wedge h_m{q}_m\right)$ 命题称为 $◇$ -型文字。

定义10 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的六元语言真值模态命题逻辑公式 $hA$ 称为一个广义文字，如果满足下列条件之一：

1) $hA=\alpha \in L_6$ ；

2) $hA$ 是一个文字；

3) $hA$ 是一个 $\square$ -型文字；

4) $hA$ 是一个 $◇$ -型文字。

定义11 设六元语言真值模态命题逻辑的公式 $G_k$ 被称为广义子句，如果 $G_k$ 具有以下形式：

$G_k=h_{k1}{G}_{k1}\vee h_{k2}{G}_{k2}\vee \cdots \vee h_{kn}{G}_{kn}$

其中 $h_{ki}{G}_{ki}\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 是广义文字。

称有限个广义子句的合取 $S=G_1\wedge G_2\wedge \cdots \wedge G_n$ 为广义合取范式，称 $K=\left\{G_1,G_2,\cdots ,G_n\right\}$ 为广义子句集。

定义12 令 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的两个公式，如果满足：

1) 当 $h_{1}A$ 是J-可满足的时， $h_2\left(\neg A\right)$ 是J-不可满足的；

2) 当 $h_{1}A$ 是J-不可满足的时， $h_2\left(\neg A\right)$ 是J-可满足的，

则称 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 是J-互补文字。

定义13 令 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 是J-互补文字，具体有：

1) 若 $h_1=h_2$，则称 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 为强互补文字；

2) 若 $h_1=h_0$，$h_2=h_{+}$ 或 $h_1=h_0$，$h_2=h_{-}$，则称 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 为互补文字；

3) 若 $h_1=h_{+}$，$h_2=h_{-}$，则称 $h_{1}A$ 和 $h_2\left(\neg A\right)$ 为弱互补文字。

定义14 令 $h_{1}A$ 和 $h_{2}A$ 是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中的两个公式，如果满足：

1) 当 $h_{1}A$ 是J-可满足的时， $h_{2}A$ 是J-可满足的；

2) 当 $h_{1}A$ 是J-不可满足的时， $h_{2}A$ 是J-不可满足的，

则称 $h_{1}A$ 和 $h_{2}A$ 是J-相似文字。

定义15设 $G_1$ 和 $G_2$ 是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中无相似文字的两个广义子句，

$G_1=h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1i}{G}_{1i}\vee \cdots \vee h_{1n}{G}_{1n}$

$G_2=h_{21}{G}_{21}\vee \cdots \vee h_{2j}{G}_{2j}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m}$

若 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是J-互补文字，则 $R=h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1\left(i-1\right)}{G}_{1\left(i-1\right)}\vee h_{1\left(i+1\right)}{G}_{1\left(i+1\right)}\vee \cdots \vee h_{1n}{G}_{1n}\vee h_{21}{G}_{21}\vee \cdots \vee$ $h_{2\left(j-1\right)}{G}_{2\left(j-1\right)}\vee h_{2\left(j+1\right)}{G}_{2\left(j+1\right)}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m}$ 称为 $G_1$ 和 $G_2$ 的J-直接归结式，记作 $R=R_J\left(G_1,G_2\right)$，具体有：

1) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是强互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的强归结式，记作 $h_{+}R$ ；

2) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的归结式，记作 $h_{0}R$ ；

3) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是弱互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的弱归结式，记作 $h_{-}R$。

定义16 设 $G_1$ 和 $G_2$ 是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中无相似文字的两个广义子句

$G_1=\square \left(h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1i}{G}_{1i}\vee \cdots \vee h_{1n}{G}_{1n}\right)$

$G_2=\square \left(h_{21}{G}_{21}\vee \cdots \vee h_{2j}{G}_{2j}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m}\right)$

若 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是J-互补文字，则 $R=\square (h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1\left(i-1\right)}{G}_{1\left(i-1\right)}\vee h_{1\left(i+1\right)}{G}_{1\left(i+1\right)}\vee \cdots \vee h_{1n}{G}_{1n}\vee h_{21}{G}_{21}$ $\vee \cdots \vee h_{2\left(j-1\right)}{G}_{2\left(j-1\right)}\vee h_{2\left(j+1\right)}{G}_{2\left(j+1\right)}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m})$ 称为 $G_1$ 和 $G_2$ 的 $J_{\left(\square \square \right)}$ -归结式，也记作 $R=R_J\left(G_1,G_2\right)$，具体有：

1) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是强互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的强归结式，记作 $h_{+}R$ ；

2) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的归结式，记作 $h_{0}R$ ；

3) 如果 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是弱互补文字，则R是 $G_1$ 和 $G_2$ 的弱归结式，记作 $h_{-}R$。

定义17设 $G_1$ 和 $G_2$ 是 $6LTMP\left(X\right)$ 系统中无相似文字的两个广义子句

$G_1=\square \left(h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1i}{G}_{1i}\vee \cdots \vee h_{1n}{G}_{1n}\right)$

$G_2=◇\left(\left(h_{21}{G}_{21}\vee \cdots \vee h_{2j}{G}_{2j}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m}\right)\wedge E\right)$

若 $h_{1i}{G}_{1i}$ 和 $h_{2j}{G}_{2j}$ 是J-互补文字，则 $R=◇((h_{11}{G}_{11}\vee \cdots \vee h_{1\left(i-1\right)}{G}_{1\left(i-1\right)}\vee h_{1\left(i+1\right)}{G}_{1\left(i+1\right)}\vee \cdots \vee h_{2n}{G}_{2n}\vee h_{21}{G}_{21}$ $\vee \cdots \vee h_{2\left(j-1\right)}{G}_{2\left(j-1\right)}\vee h_{2\left(j+1\right)}{G}_{2\left(j+1\right)}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m})\wedge \left(h_{21}{G}_{21}\vee \cdots \vee h_{2m}{G}_{2m}\right)\wedge E)$ 称为 $G_1$ 和 $G_2$ 的 $J_{\left(\square ◇\right)}$ -归结式，也记作 $R=R_J\left(G_1,G_2\right)$，具体有：