ABSTRACT

In this paper, we consider a class of discrete and right definite Sturm-Liouville problems:

$-\nabla \left(p\left(t\right)\Delta y\left(t\right)\right)+q\left(t\right)y\left(t\right)=\lambda r\left(t\right)y\left(t\right)$,$t\in {\left[1,T\right]}_{\mathbb{Z}}$

the boundary conditions are

$b_{0}y\left(0\right)=b_1\Delta y\left(0\right)$,

$\left(c_0+c_1\lambda +c_2{\lambda }^2+c_3{\lambda }^3\right)y\left(T+1\right)={\lambda }^3\nabla y\left(T+1\right)$.

where $T>1$ is an integer, $\lambda$ is the eigenparameter and $c_3\ne 0$. First we construct two functions $f\left(\lambda \right)$ and $g\left(\lambda \right)$, using the similar way in [1], by solving the roots of $f\left(\lambda \right)=g\left(\lambda \right)$, we obtain three conclusion: the first is the existence of eigenvalues, second is the oscillation properties of eigenfunction, third is the inequalities of eigenvalues among the problems considered in this paper, Dirichlet problems and Neumann problems.

Keywords:Discerte Sturm-Liouville Problems, Nonlinear Eigenparameter Dependent Boundary Condition, Eigenvalues, Alternating Inequality

一类边界条件含谱参数的离散Sturm-Liouville问题的特征值

杨聪敏，高云兰^*，孙 康

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2019年11月5日；录用日期：2019年11月20日；发布日期：2019年11月27日

摘 要

本文讨论了一类离散右定的Sturm-Liouville问题：

$-\nabla \left(p\left(t\right)\Delta y\left(t\right)\right)+q\left(t\right)y\left(t\right)=\lambda r\left(t\right)y\left(t\right)$，$t\in {\left[1,T\right]}_{\mathbb{Z}}$

边界条件为

$b_{0}y\left(0\right)=b_1\Delta y\left(0\right)$，

$\left(c_0+c_1\lambda +c_2{\lambda }^2+c_3{\lambda }^3\right)y\left(T+1\right)={\lambda }^3\nabla y\left(T+1\right)$，

其中 $T>1$ 是一个整数， $\lambda$ 是谱参数且 $c_3\ne 0$。先构造两个函数 $f\left(\lambda \right)$ 和 $g\left(\lambda \right)$，采用类似于文献 [1] 的方法，通过求 $f\left(\lambda \right)=g\left(\lambda \right)$ 的根，我们得出如下三方面的结论：一，问题的特征值的存在性，二，特征函数的振荡性质，三，本文所考虑的问题、Dirichlet问题以及Neumann问题的特征值之间的不等式。

关键词 :离散的Sturm-Liouville问题，含非线性谱参数的边界条件，特征值，交错不等式

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1. 引言

差分方程常出现在不同领域的数学模型中，如生物学，生态学，物理学等 [2]。许多的学者进行了这方面的研究，得到了一些重要的结论。学者们根据不同的边界条件对离散问题进行研究，如分离边界条件 [3] [4]，耦合边界条件 [5] 以及含谱参数的边界条件 [6] [7]。一般讨论三个方面的问题，一是特征值的数目，二是特征值的分布，三是特征函数的振荡性。

在2014年，高承华考虑了在Neumann边界条件下的二阶离散问题，得到该问题的特征值个数以及特征函数的变号次数 [8]。在2016年高承华等人在边界条件含有谱参数的一次多项式的条件下，考虑了二阶离散Sturm-Liouville问题，在满足条件 ${\left(-1\right)}^i{\delta }_i\le 0$ ( ${\delta }_i=a_i{d}_i-b_i{c}_i$ )时，得到结论：该问题特征值的存在性，特征值的个数以及特征函数的振荡性 [9]。

接着在2018年高承华等人考虑了由二阶离散Sturm-Liouville方程和边界条件含有谱参数的二次多项式构成的问题，通过分析法得到在一定条件下该问题的特征值以及相应特征函数的性质 [1]。

本文是文献 [1] [9] 的继续，研究了Sturm-Liouville方程

$-\nabla \left(p\left(t\right)\Delta y\left(t\right)\right)+q\left(t\right)y\left(t\right)=\lambda r\left(t\right)y\left(t\right)$，$t\in {\left[1,T\right]}_{\mathbb{Z}}$ (1)

在边界条件

$b_{0}y\left(0\right)=b_1\Delta y\left(0\right)$， (2)

$\left(c_0+c_1\lambda +c_2{\lambda }^2+c_3{\lambda }^3\right)y\left(T+1\right)={\lambda }^3\nabla y\left(T+1\right)$， (3)

下算子的谱，得到了比较好的结论。

2. 两个基础函数

我们构造满足问题(1)和(2)的解，当

$y\left(0\right)=b_1$，$\Delta y\left(0\right)=b_0$，

时，(1)的一组解为

$y\left(1,\lambda \right)$，$y\left(2,\lambda \right)$，$\cdots$，$y\left(T+1,\lambda \right)$。

对于 $t\ge 1$，当 $b_0+b_1\ne 0$ 时， $y\left(t,\lambda \right)$ 是关于 $\lambda$ 的一元 $t-1$ 次多项式。当 $b_0+b_1=0$ 时， $y\left(t,\lambda \right)$ 是关于 $\lambda$ 的一元 $t-2$ 次多项式。本文中，我们仅考虑 $b_0+b_1\ne 0$ 的情况，当 $b_0+b_1=0$ 时，可用类似的方法。与此同时，我们做如下假设：

(A1) 当 $t\in {\left[0,T\right]}_{\mathbb{Z}}$ 时， $p\left(t\right)>0$ ；当 $t\in {\left[1,T\right]}_{\mathbb{Z}}$ 时， $r\left(t\right)>0$ ；

(A2) $b_0+b_1\ne 0$ ；

(A3) $c_0<0$，$c_2<0$ 且。

根据文献 [3]， [9] 以及 [10]，我们知道由(1) (2)及边界条件构成的问题有T个实根，令， ()表示上述问题的特征值。由(1) (2)及边界条件构成的问题有T个实根，令()表示该问题的特征值。为方便，我们记，，以及。

第一个函数

令

。

引理2.1有如下性质

(i)有个分支，表示为()，且()与轴相交于。

(ii) 在区间内，是严格单调递减的，其中。

(iii) 对于，当时，，当时，，当时，。

第二个函数

为方便，记，，我们有如下的引理成立。

引理2.2 若条件(A3)成立，则与各有一个实根，且根互不相同。

引理2.3 ( [9]，引理2.4)假设(A1)和(A2)成立，如果，其中，则问题(1)和(2) 的解在上变号k次。

由引理2.2可知，有一个三重根，有一个根，令的根为，再令

令

，。

我们知道，求由(1) (2) (3)构成的问题的特征值即为求解的根，因此，我们需要知道的性质。由于，故是的垂直渐近线。，故是的一个零点。因此的图像被分为两段，令表示左分支，令表示右分支，且

。

根据条件(A3)，有，故当与时，是单调增函数，且有

，，。

3. 主要结论

假设与的第K个分支相交，与的第L个分支相交，有

，。

由的性质，可知，当时，；当时，。

定理3.1 假设(A1)~(A3)成立。当时，问题(1)~(3)有个实的特征值，这些特征值以及相应的特征函数满足如下的性质：

(a) 当时，特征值满足如下的不等式

(4)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数在区间上变号k次。

(b) 当时，特征值满足如下的不等式

(5)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数有：当时，在区间上变号k次；当时，在区间上变号次。

证明：(a) 由于以及，可知与没有交点。当时，如果，则与在轴的下半部分相交，有，如果，则；当时，有与在轴的下半部分相交，有；当时，如果时，有与在轴的上半部分相交，有，如果时，有；当时，与在轴的上半部分相交，有故不等式(4)成立。

(b) 由于以及，可知与的图像没有交点，当时，与在轴的上半部分相交，即；当时，如果时，有与在轴的上半部相交，与在轴的下半部分相交，有，如果时，有；当时，有与在轴的下半部分相交，有；当时，如果时，有与在轴的上半部分相交，有，如果时，有；当时，与在轴的上半部分相交，有故不等式(5)成立。

定理3.2 假设(A1)~(A3)成立。当时，问题(1)~(3)有T个实的特征值，这些特征值以及相应的特征函数满足如下的性质：

(a) 当时，特征值满足如下的不等式

(6)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数在区间上变号k次。

(b) 当时，特征值满足如下的不等式

(7)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数有：当时，在区间上变号k次；当时，在区间上变号次。

证明：(a) 由于以及，可知与没有交点且与的图像没有交点。

(b) 由于以及，可知和均与的图像没有交点。当时，知与均没有交点，与的图像没有交点。

其余分支与相交的情况同定理3.1，故不等式(6)和(7)成立。

定理3.3 假设(A1)~(A3)成立。当时，问题(1)~(3)有个实的特征值，这些特征值以及相应的特征函数满足如下的性质：

(a) 当时，特征值满足如下的不等式

(8)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数有：当时，在区间上变号k次；当时，在区间上变号次。

(b) 当时，特征值满足如下的不等式

(9)

特征值所对应的特征函数在区间上变号k次。

证明：(a) 因为以及，可知与的图像没有交点。当时，与在轴的上半部分相交，即；当时，如果时，有与在轴的上半部相交，与在轴的下半部分相交，有，如果时，有；当时，有与在轴的下半部分相交，有；当时，如果时，有与在轴的上半部分相交，有，如果时，有；当时，与在轴的上半部分相交，有故不等式(8)成立。

(b) 因为以及，可知与没有交点，与每一个分支均有一个交点，且在轴的上半部分相交，即，故不等式(9)成立。

定理3.4 假设(A1)~(A3)成立。当时，问题(1)~(3)有个实的特征值，这些特征值以及相应的特征函数满足如下的性质：

(a)当时，特征值满足如下的不等式

(10)

当时，；当时，。特征值所对应的特征函数有：当时，在区间上变号k次；当时，在区间上变号次。

(b) 当时，特征值满足如下的不等式

(11)

当时，。特征值所对应的特征函数在区间上变号k次。

证明：(a) 由以及，可知与没有交点。当时，与在轴的下半部分相交，即；当时，如果，有，如果时，则；当时，与在轴的上半部分相交，即；当时，如果时，有与在轴的上半部相交，与在轴的下半部分相交，有，如果时，有；当时，则与在轴的下半部分相交，故有。故不等式(10)成立。

(b) 由于，故与没有交点。当时，与在轴的下半部分相交，有；当时，如果，则有，如果时，则；当时，与在轴的上半部分相交，有故不等式(11)成立。

4. 例子

我们给出一个满足条件的例子。

例 考虑如下的问题

， (12)

，. (13)

根据文献 [6] 的证明方法，我们将问题(12)以及边界条件(13)转换为矩阵形式，有

，

则的根为问题(12)~(13)的特征值，通过计算可知该问题满足条件(A1)~(A3)。我们知道即为，有三个实根，以及。

我们给出问题(12)以及Dirichlet边界条件的特征值，将问题转换为矩阵形式为

，

其特征值为，以及。

另外我们给出问题(12)以及Neumann边界条件的特征值，将问题转换为矩阵形式为

，

其特征值为，以及。

因此三个边界条件的特征值之间有如下的不等式：

。

我们知道，以及，则，，故上述不等式满足不等式(6)。

下面证明特征函数的变号次数。

不失一般性，我们假设，则该问题的特征函数为，其中即有

(14)

根据(14)我们知道在区间上，变号k次，与定理3.2(a)的结论相同。

基金项目

国家自然科学基金项目(11661059)，内蒙古自然科学基金项目(2017MS(LH)0103)资助。

文章引用

杨聪敏,高云兰,孙 康. 一类边界条件含谱参数的离散Sturm-Liouville问题的特征值
Eigenvalues of a Class of Discrete Sturm-Liouville Problems with Eigenparameter Dependent Boundary Conditions[J]. 应用数学进展, 2019, 08(11): 1852-1858. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.811215

参考文献